一
刘丽 01211209
（徐州师范大学 数学系 徐州221116）
摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广, 应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列; 极限; 单调有界定理.
1 引言
求数列极限是数学中的一类基本问题, 在考研中常见. 求极限的方法很多, 如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等. 就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广, 并加以证明. 另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.
2 主要内容
本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广, 并加以证明.
[1]
例1 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题) 设0
(3-
x n )x n ,
(n
=1, 2, ). 证明:数列{x n }的极限存在并求出此极限.
例1可以作如下推广: 命题 1 若0
x n (p -x n ), (n =1, 2, ), 则数列{x n }的极限存在且为
p 2
.
证明 由00且p -x 1>0. 由算术—几何平均不等式知
0
x 1(p -x 1)≤
12
(x 1+p -x 1)=
p 2
,
假设0
p 2
(k >1), 再次用算术—几何平均不等式知
0
x k p -x k
≤
12
(x k
p 2
+p -x k )=
p 2
,
由数学归纳法知, 对任意正整数n >1均有0
x n +1x n
x n (p -x n )x n
, 因而数列{x n }有界. 又当n >1时,
p x n
-1≥1,
==
p -x n x n
=
故x n ≤x n +1(n >1), 即数列{x n }单调递增. 由数列的单调有界定理知lim x n 存在, 设为a , 对
n →∞
x n +1=lim x n =
n →∞
x n (p -x n )两边同时取极限得:a =p 2
a (p -a ), 可解得a =
p 2
或a =0（舍去）. 故
.
注 由命题1立得例1的极限存在且为
[1]
32
.
例2 (厦门大学，2002年研究生入学试题
) 证明数列{x n }收敛, 其中
x 1=1,
x n +1=
1⎛3⎫ x n +⎪, n =1, 2, , 并求极限lim x n . n →∞2⎝x n ⎪⎭
通过观察、猜想、分析可将例2推广为以下更一般的形式: 命题 2 若a >0, x 1>0, p ∈N , 定义x n +1=
1
p
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
, n =1, 2, , 则数列{x n }存
在极限且为a .
证明 由x 1>0可知
x 2=
p -1p
x 1+
a p x 1
1-p
1⎡a ⎤1
()=p -1x +≥⋅p ⋅1⎢p -1⎥p ⎣p x 1⎦
p
x 1
p -1
⋅
a x 1
p -1
=a ,
1
p
当且仅当x 1=a 时取等号.
设x k ≥a , 则
x k +1=
p -1p
x k +
a p x k
1-p
1p
1p
=
1⎡a ⎤
()p -1x + k ⎢p -1⎥p ⎣x k ⎦
⎫
⎪ ⎪⎪⎭
⎛1 a
x k +x k + +x k +p -1=p x k
p -1个⎝
≥
1p
⋅p ⋅
p
x k
p -1
⋅
a x k
p -1
=a
1
p
,
当且仅当x k =a 时取等号.
由数学归纳法知, 对任意自然数n 都有:x n ≥a . 故数列{x n }有界. 又当n >1时,
x n +1-x n =
1p
1p
1p
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
-x n =
a px n
p -1
-
1p
x n =
a -x n px n
p
p -1
,
p p -1
因为x n ≥a , 所以a -x n ≤0. 又因为px n >0, 所以x n +1-x n ≤0, 即x n +1≤x n . 所以数列{x n }
是单调递增的.
由数列的单调有界定理知:lim x n 存在, 设为t , 对x n +1=
n →∞
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
两边同时
取极限得:t =
p -1p
t +
a p
t
1-p
, 可解得t =a . 所以说数列极限存在且为a .
1p 1p
注 由以上命题2易得例2中的数列{x n }极限存在且为3. 推论
[2]
当x 1>0, x n +1=
1k
[(k -1)x
n
+x n
1-k
], n ≥1时, 数列{x
n
}极限存在且为1.
利用这个推论很容易便可知对于数列{x n }:x n +1=限存在且为1. 例3
[3]
1⎛1⎫
2x n +2⎪ (a >0, x 1>0) 的极 3 x n ⎪⎝⎭
（广西师范大学研究生入学试题） 若a >0, a 1=a +a
1
3
(
13
)
13
, a 2=a 1+a
(
13
)
13
, ,
a n =a n -1+a n -2
()
13
, , 试证明数列{a n }收敛于方程x =x +x 3的一个正根.
3
1
首先可以通过观察, 将参量一般化便可推广得到如下结论:
⎫⎛⎫⎛⎫ 命题 3 若a >0, x 1=⎛ a +a ⎪, x 2= x 1+a ⎪, , x n = x n -1+x n -2⎪, , p >0,
⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
1p
1p
1p
1p
1p
1p
则数列{x n }为单调有界数列, 必存在极限. 证明 分两种情况: （i ）当x 1≥a ,
p p p p ⎫⎛⎫ 因为x 2=⎛ x 1+a ⎪, x 1= a +a ⎪, 即x 2=x 1+a , x 1=a +a ,
⎝⎭⎝⎭
1
1
1
p
1p
1p
1p
11
所以x 2-x 1
p p
p p p ⎫p ⎫⎛=⎛ x 1+a ⎪- a +a ⎪=x 1-a ≥0, 即x 2≥x 1, 故有x 2≥x 1.
⎝⎭⎝⎭
假设当n ≤k 时, 均有x k +1≥x k (k ≥1, k ∈N ), 则当 n =k +1时, 有
p p ⎫=⎛ x k +x k -1⎪, 即x k +1=x k +x k -1,
⎝⎭
1
p
1p
1
x k +1
所以
x k +1-x k
1p
1p
p p
p p p ⎫⎛⎫⎛p ⎫=⎛ x k +x k -1⎪- x k -1+x k -2⎪=(x k -x k -1)+ x k -1-x k -2⎪,
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
p p
由x k ≥x k -1, x k -1≥x k -2⇒x k +1≥x k ⇒x k +1≥x k . 由数学归纳法可知, 对任意自然数n 均有
x n +1≥x n . 所以数列{x n }是单调递增的数列.
下证数列{x n }有界.
令f (x )=x -x -x , 因为
p
1p
f (1)=1-1-1
p
1p
=-1
p
-2-2
1p
>0,
由根的存在原理知f (x )在(1, 2)内必有一正根, 而在(2, +∞)上无根, 设M 是f (x )最大的正根.
⎫由x 1≥a , 即⎛ a +a ⎪
⎝⎭
1
p
1p
1p
≥a 得a +a
≥a , 所以f (a )=a
p
p
p ⎫
-⎛ a +a ⎪≤0. ⎝⎭
1
又a >0, 所以a ≤M , 但是M +M ① x 1=a +a ≤M +M
p
1
p
1p
1p
=M
p
,
=M
p
,即 x 1≤M ;
② 假设当n ≤k 时均有x k ≤M , (k ≥1, k ∈N ), 则当n =k +1时, 有
x k +1=x k +x k -1≤M +M
p
1p
1p
=M
p
,
即x k +1≤M .
由①②及数学归纳法可知, 对一切自然数n 均有x n ≤M 成立. 所以数列{x n }是单调递增且有上界的数列.
（ii ） 当x 1
由（i ）（ii ）可知数列{x n }是单调有界数列, 从而命题3得证.
注 由以上的命题3可知例3中的数列{a n }是单调有界数列, 则必收敛, 设lim a n =l ,
n →∞
对a n =a n -1+a n -2
3
1
3
(
13
)
13
两边同时取极限的得:l =l +l
(
13
)
13
即 l =l +l . 所以l 是方程
3
13
x =x +x 的一个正根, 从而例3得证.
例4
[3]
（中国科技大学、北京邮电学院考研试题） 已知a 0=6, a n =6+a n -1,
(n
=1, 2, ). 证明lim a n 存在并求其值.
n →∞
例4可以作如下推广: 命题 4 若x 0=0, x n +1=
l
p
p
a +x n , (a >0, p ∈N , n =0, 1, 2, ), 则数列{x n }极限存在且为
-l -a =0的正根.
证明 由x n +1=推关系知x n ≥0.
p
a +x n 得x n +1=a +x n . 又x 0=0, a >0, 则x 1=
p p
a +0=
p
a >0. 由递
因函数y =x 是递增函数, 则由
x n +1-x n =a +x n -(a +x n -1)=x n -x n -1
p
p
p
知 x n +1-x n 与 x n -x n -1的符号相同. 而 x n -x n -1 的符号又与 x n -x n -1 的符号相同, 故依次下去便知最终与 x 2-x 1的符号相同. 而
x 2-x 1=a +x 1-x 1=a +
p
p
p p p p
p p p p
a -a =
p
a >0,
即x 2>x 1, 所以 x 2-x 1>0, 从而 x n +1-x n >0, 于是便有x n +1>x n , 故数列{x n }是单调递增
p
p
数列.
又x 1=
p
a
p
a +1, 假设当n ≤k 时都有 x k
p
a +1 成立, 则当 n =k +1时,
x k +1
p
a +x k
p
a +
p
a +1
p
p
(
p
a +1
)
p
=
p
a +1,
由数学归纳法知, 对一切自然树n 都有 x n
a +1, 即数列{x n }有界.
p
由数列的单调有界定理知数列{x n }必存在极限, 设lim x n =l , 对x n +1=
n →∞
a +x n 两边同时取
极限的得 l
p
=a +l 即 l
p
-l -a =0. 所以数列{x n }收敛于方程l
p
-l -a =0的正根.
推论 若x 0=0, a >0, x n +1=
2
a +x n (n =0, 1, 2, ), 则数列{x n }的极限存在且收敛于
1+
+4a 2
方程x -x -a =0的一个正根, 即lim x n =
n →∞
.
注 利用该推论易知例4中的数列{a n }的极限存在且为3. 文[4]、[5]中的一些题也可由此推论直接得出.
例5 设x 1=a , y 1=b , 0
x n +1=
x n y n , y n +1=
x n +y n
2
[1]
,
证明lim x n =lim y n .
n →∞
n →∞
例5可以作如下推广:
命题 5 设x 1=a , y 1=b , 0
x n +1=
p
x n
p -1
y n , y n +1=
(p -1)x n
p
+y n
,
则仍有 lim x n =lim y n 成立.
n →∞
n →∞
证明 由已知 00, y 1>0.
假设当 n ≤k 时均有x k >0, y k >0, (k ≥1, k ∈N ), 则当n =k +1时有
x k +1=
p
x k
p -1
y k >0, y k +1=
(p -1)x k
p
+y k
>0,
由数学归纳法知, 对任意自然数n 都有x n >0, y n >0成立. 由算术—几何平均不等式知
y n +1=
(p -1)x n
p
+y n
≥
1p
⋅p ⋅
p
x n
p -1
y n =
p
x n
p -1
y n =x n +1>0,
当且仅当x n =y n 时取等号.
而当n >1时,
x n +1x n
p
=
x n
p -1
y n
x n
=
p
y n x n
≥1, 即x n ≤x n +1,
y n +1-y n =
(p -1)x n
p
+y n
-y n =
(p -1)x n +(1-p )y n p
=
p -1p
(x n -y n )≤0,
即y n ≥y n +1. 故有
x n ≤x n +1≤y n +1≤y n .
而当n =1时, 由于0
x 2=
p
x 1
p -1
y 1>x 1, y 2=
(p -1)x 1+
p
y 1
因此对任意自然数n 都有下式成立
a =x 1
所以数列{x n }、{y n }均为单调有界数列.
lim y n 存在, 分别设为l 、m , 对y n +1=故由数列的单调有界定理知lim x n 、
n →∞
n →∞
(p -1)x n
p
+y n
两
边同时取极限得m =
(p -1)l +m
p
, 可解得 l =m , 即lim x n =lim y n .
n →∞
n →∞
注 例5是命题5的特殊形式, 证明类似.
通过以上这简单的五个例子很容易看出它们是各自推广后命题参量的特殊值, 还有好多题
都可直接根据这些命题很快得出其极限值.
一
刘丽 01211209
（徐州师范大学 数学系 徐州221116）
摘要 文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广, 应用单调有界定理证明其极限的存在. 关键词 数列; 极限; 单调有界定理.
1 引言
求数列极限是数学中的一类基本问题, 在考研中常见. 求极限的方法很多, 如定义法、反正法、两边夹、单调有界定理、柯西准则等. 就一类能运用单调有界定理证明的考研题中有关求数列极限的问题在形式上进行了推广, 并加以证明. 另外还讨论了一类与积分有关的数列的极限问题.
2 主要内容
本节主要针对考研的一些特殊类型数列通过观察、猜想对其进行一般化的推广, 并加以证明.
[1]
例1 (2002年全国硕士研究生入学考试数学二试题) 设0
(3-
x n )x n ,
(n
=1, 2, ). 证明:数列{x n }的极限存在并求出此极限.
例1可以作如下推广: 命题 1 若0
x n (p -x n ), (n =1, 2, ), 则数列{x n }的极限存在且为
p 2
.
证明 由00且p -x 1>0. 由算术—几何平均不等式知
0
x 1(p -x 1)≤
12
(x 1+p -x 1)=
p 2
,
假设0
p 2
(k >1), 再次用算术—几何平均不等式知
0
x k p -x k
≤
12
(x k
p 2
+p -x k )=
p 2
,
由数学归纳法知, 对任意正整数n >1均有0
x n +1x n
x n (p -x n )x n
, 因而数列{x n }有界. 又当n >1时,
p x n
-1≥1,
==
p -x n x n
=
故x n ≤x n +1(n >1), 即数列{x n }单调递增. 由数列的单调有界定理知lim x n 存在, 设为a , 对
n →∞
x n +1=lim x n =
n →∞
x n (p -x n )两边同时取极限得:a =p 2
a (p -a ), 可解得a =
p 2
或a =0（舍去）. 故
.
注 由命题1立得例1的极限存在且为
[1]
32
.
例2 (厦门大学，2002年研究生入学试题
) 证明数列{x n }收敛, 其中
x 1=1,
x n +1=
1⎛3⎫ x n +⎪, n =1, 2, , 并求极限lim x n . n →∞2⎝x n ⎪⎭
通过观察、猜想、分析可将例2推广为以下更一般的形式: 命题 2 若a >0, x 1>0, p ∈N , 定义x n +1=
1
p
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
, n =1, 2, , 则数列{x n }存
在极限且为a .
证明 由x 1>0可知
x 2=
p -1p
x 1+
a p x 1
1-p
1⎡a ⎤1
()=p -1x +≥⋅p ⋅1⎢p -1⎥p ⎣p x 1⎦
p
x 1
p -1
⋅
a x 1
p -1
=a ,
1
p
当且仅当x 1=a 时取等号.
设x k ≥a , 则
x k +1=
p -1p
x k +
a p x k
1-p
1p
1p
=
1⎡a ⎤
()p -1x + k ⎢p -1⎥p ⎣x k ⎦
⎫
⎪ ⎪⎪⎭
⎛1 a
x k +x k + +x k +p -1=p x k
p -1个⎝
≥
1p
⋅p ⋅
p
x k
p -1
⋅
a x k
p -1
=a
1
p
,
当且仅当x k =a 时取等号.
由数学归纳法知, 对任意自然数n 都有:x n ≥a . 故数列{x n }有界. 又当n >1时,
x n +1-x n =
1p
1p
1p
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
-x n =
a px n
p -1
-
1p
x n =
a -x n px n
p
p -1
,
p p -1
因为x n ≥a , 所以a -x n ≤0. 又因为px n >0, 所以x n +1-x n ≤0, 即x n +1≤x n . 所以数列{x n }
是单调递增的.
由数列的单调有界定理知:lim x n 存在, 设为t , 对x n +1=
n →∞
p -1p
x n +
a p
x n
1-p
两边同时
取极限得:t =
p -1p
t +
a p
t
1-p
, 可解得t =a . 所以说数列极限存在且为a .
1p 1p
注 由以上命题2易得例2中的数列{x n }极限存在且为3. 推论
[2]
当x 1>0, x n +1=
1k
[(k -1)x
n
+x n
1-k
], n ≥1时, 数列{x
n
}极限存在且为1.
利用这个推论很容易便可知对于数列{x n }:x n +1=限存在且为1. 例3
[3]
1⎛1⎫
2x n +2⎪ (a >0, x 1>0) 的极 3 x n ⎪⎝⎭
（广西师范大学研究生入学试题） 若a >0, a 1=a +a
1
3
(
13
)
13
, a 2=a 1+a
(
13
)
13
, ,
a n =a n -1+a n -2
()
13
, , 试证明数列{a n }收敛于方程x =x +x 3的一个正根.
3
1
首先可以通过观察, 将参量一般化便可推广得到如下结论:
⎫⎛⎫⎛⎫ 命题 3 若a >0, x 1=⎛ a +a ⎪, x 2= x 1+a ⎪, , x n = x n -1+x n -2⎪, , p >0,
⎝
⎭
⎝
⎭
⎝
⎭
1p
1p
1p
1p
1p
1p
则数列{x n }为单调有界数列, 必存在极限. 证明 分两种情况: （i ）当x 1≥a ,
p p p p ⎫⎛⎫ 因为x 2=⎛ x 1+a ⎪, x 1= a +a ⎪, 即x 2=x 1+a , x 1=a +a ,
⎝⎭⎝⎭
1
1
1
p
1p
1p
1p
11
所以x 2-x 1
p p
p p p ⎫p ⎫⎛=⎛ x 1+a ⎪- a +a ⎪=x 1-a ≥0, 即x 2≥x 1, 故有x 2≥x 1.
⎝⎭⎝⎭
假设当n ≤k 时, 均有x k +1≥x k (k ≥1, k ∈N ), 则当 n =k +1时, 有
p p ⎫=⎛ x k +x k -1⎪, 即x k +1=x k +x k -1,
⎝⎭
1
p
1p
1
x k +1
所以
x k +1-x k
1p
1p
p p
p p p ⎫⎛⎫⎛p ⎫=⎛ x k +x k -1⎪- x k -1+x k -2⎪=(x k -x k -1)+ x k -1-x k -2⎪,
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
p p
由x k ≥x k -1, x k -1≥x k -2⇒x k +1≥x k ⇒x k +1≥x k . 由数学归纳法可知, 对任意自然数n 均有
x n +1≥x n . 所以数列{x n }是单调递增的数列.
下证数列{x n }有界.
令f (x )=x -x -x , 因为
p
1p
f (1)=1-1-1
p
1p
=-1
p
-2-2
1p
>0,
由根的存在原理知f (x )在(1, 2)内必有一正根, 而在(2, +∞)上无根, 设M 是f (x )最大的正根.
⎫由x 1≥a , 即⎛ a +a ⎪
⎝⎭
1
p
1p
1p
≥a 得a +a
≥a , 所以f (a )=a
p
p
p ⎫
-⎛ a +a ⎪≤0. ⎝⎭
1
又a >0, 所以a ≤M , 但是M +M ① x 1=a +a ≤M +M
p
1
p
1p
1p
=M
p
,
=M
p
,即 x 1≤M ;
② 假设当n ≤k 时均有x k ≤M , (k ≥1, k ∈N ), 则当n =k +1时, 有
x k +1=x k +x k -1≤M +M
p
1p
1p
=M
p
,
即x k +1≤M .
由①②及数学归纳法可知, 对一切自然数n 均有x n ≤M 成立. 所以数列{x n }是单调递增且有上界的数列.
（ii ） 当x 1
由（i ）（ii ）可知数列{x n }是单调有界数列, 从而命题3得证.
注 由以上的命题3可知例3中的数列{a n }是单调有界数列, 则必收敛, 设lim a n =l ,
n →∞
对a n =a n -1+a n -2
3
1
3
(
13
)
13
两边同时取极限的得:l =l +l
(
13
)
13
即 l =l +l . 所以l 是方程
3
13
x =x +x 的一个正根, 从而例3得证.
例4
[3]
（中国科技大学、北京邮电学院考研试题） 已知a 0=6, a n =6+a n -1,
(n
=1, 2, ). 证明lim a n 存在并求其值.
n →∞
例4可以作如下推广: 命题 4 若x 0=0, x n +1=
l
p
p
a +x n , (a >0, p ∈N , n =0, 1, 2, ), 则数列{x n }极限存在且为
-l -a =0的正根.
证明 由x n +1=推关系知x n ≥0.
p
a +x n 得x n +1=a +x n . 又x 0=0, a >0, 则x 1=
p p
a +0=
p
a >0. 由递
因函数y =x 是递增函数, 则由
x n +1-x n =a +x n -(a +x n -1)=x n -x n -1
p
p
p
知 x n +1-x n 与 x n -x n -1的符号相同. 而 x n -x n -1 的符号又与 x n -x n -1 的符号相同, 故依次下去便知最终与 x 2-x 1的符号相同. 而
x 2-x 1=a +x 1-x 1=a +
p
p
p p p p
p p p p
a -a =
p
a >0,
即x 2>x 1, 所以 x 2-x 1>0, 从而 x n +1-x n >0, 于是便有x n +1>x n , 故数列{x n }是单调递增
p
p
数列.
又x 1=
p
a
p
a +1, 假设当n ≤k 时都有 x k
p
a +1 成立, 则当 n =k +1时,
x k +1
p
a +x k
p
a +
p
a +1
p
p
(
p
a +1
)
p
=
p
a +1,
由数学归纳法知, 对一切自然树n 都有 x n
a +1, 即数列{x n }有界.
p
由数列的单调有界定理知数列{x n }必存在极限, 设lim x n =l , 对x n +1=
n →∞
a +x n 两边同时取
极限的得 l
p
=a +l 即 l
p
-l -a =0. 所以数列{x n }收敛于方程l
p
-l -a =0的正根.
推论 若x 0=0, a >0, x n +1=
2
a +x n (n =0, 1, 2, ), 则数列{x n }的极限存在且收敛于
1+
+4a 2
方程x -x -a =0的一个正根, 即lim x n =
n →∞
.
注 利用该推论易知例4中的数列{a n }的极限存在且为3. 文[4]、[5]中的一些题也可由此推论直接得出.
例5 设x 1=a , y 1=b , 0
x n +1=
x n y n , y n +1=
x n +y n
2
[1]
,
证明lim x n =lim y n .
n →∞
n →∞
例5可以作如下推广:
命题 5 设x 1=a , y 1=b , 0
x n +1=
p
x n
p -1
y n , y n +1=
(p -1)x n
p
+y n
,
则仍有 lim x n =lim y n 成立.
n →∞
n →∞
证明 由已知 00, y 1>0.
假设当 n ≤k 时均有x k >0, y k >0, (k ≥1, k ∈N ), 则当n =k +1时有
x k +1=
p
x k
p -1
y k >0, y k +1=
(p -1)x k
p
+y k
>0,
由数学归纳法知, 对任意自然数n 都有x n >0, y n >0成立. 由算术—几何平均不等式知
y n +1=
(p -1)x n
p
+y n
≥
1p
⋅p ⋅
p
x n
p -1
y n =
p
x n
p -1
y n =x n +1>0,
当且仅当x n =y n 时取等号.
而当n >1时,
x n +1x n
p
=
x n
p -1
y n
x n
=
p
y n x n
≥1, 即x n ≤x n +1,
y n +1-y n =
(p -1)x n
p
+y n
-y n =
(p -1)x n +(1-p )y n p
=
p -1p
(x n -y n )≤0,
即y n ≥y n +1. 故有
x n ≤x n +1≤y n +1≤y n .
而当n =1时, 由于0
x 2=
p
x 1
p -1
y 1>x 1, y 2=
(p -1)x 1+
p
y 1
因此对任意自然数n 都有下式成立
a =x 1
所以数列{x n }、{y n }均为单调有界数列.
lim y n 存在, 分别设为l 、m , 对y n +1=故由数列的单调有界定理知lim x n 、
n →∞
n →∞
(p -1)x n
p
+y n
两
边同时取极限得m =
(p -1)l +m
p
, 可解得 l =m , 即lim x n =lim y n .
n →∞
n →∞
注 例5是命题5的特殊形式, 证明类似.
通过以上这简单的五个例子很容易看出它们是各自推广后命题参量的特殊值, 还有好多题
都可直接根据这些命题很快得出其极限值.