«复变函数与积分变换»期末试题（A ）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
1-i 3
的幅角是（ ）；2. 2
Ln (-1+i ) 的主值是
（ ）；3.
1
f (z ) =
1+z 2
，
f (5) (0) =（ ）；
z -sin z 1
f (z ) =4．z =0是 的（ ）极点；5． ，
z 4z
； Re s [f (z ), ∞]=（ ）
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；
（A ） （C ）
f '(z ) =u x +iu y ； （B ）f '(z ) =u x -iu y ；
f '(z ) =u x +iv y ； （D ）f '(z ) =u y +iv x .
C
2．C 是正向圆周z =3，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
（A ）
33(z -1) 3(z -1) 3； （B ）； （C ）； （D ）. z -2z -2(z -2) 2(z -2) 2
∞
n
z n
3．如果级数∑c
n =1
在
z =2点收敛，则级数在
（A ）z （C ）z
=-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点绝对收敛；
=1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
(B) 如果f (z ) 在C 所围成的区域内解析，则（C ）如果
C
f (z ) dz =0
C
f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是
u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
1
∞为sin 的可去奇点；(A) (B) ∞为sin z 的本性奇点；
z
(C) ∞为
的孤立奇点; (D) ∞为1的孤立奇点.
1sin z sin z
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2
2
2
2
1
（1）设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求a , b , c , d .
（2）．计算
C
e z
d z 其中C 是正向圆周：z =2； 2
z (z -1)
z 15
（3）计算d z
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2
（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇
(sinπz ) 3
点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数f (z ) =
1
在以下区域内展开成罗朗级数； 2
z (z -1)
（1）0
五．
10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题
⎧⎨
y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x
⎩y (0) =y '(0) =1
（本题
六、（本题6分）求
+∞
f (t ) =e
-βt
(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
π1-i 的幅角是（-+2k π, k =0, ±1, ±2 ）；2.
32
Ln (-1+i ) 的主值是
113π
f (z ) =i ）
（ ln 2+；3. 2，f 1+z 24
(5)
(0) =（ 0 ），4．z =0是
z -sin z 1
的（ 一级 ）极点；5． f (z ) =，Re s [f (z ), ∞]=（-1 ）；
z 4z
二．选择题（每题3分，共15分）
1----5 B D C B D
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求
2
2
2
2
a , b , c , d .
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
e z
d z 其中C 是正向圆周： （2）．计算C 2
(z -1) z
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
e z
因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22
(z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆
c 1, c 2
且位于c 内
e z
C (z -1) 2z d z =C 1
e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
e z e z
=2πi () '+2πi
z z =1(z -1) 2
=2πi
z =0
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z 15
（3）．d z
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
z 15
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2πi Re s [f (z ), ∞] -----（5分）
11
=2πi Re s [f () 2] ----（8分）
z z 1() 15
111 f () 2=
12143z 2z z
(1+2) (2+() )
z z
111
f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, 2243
z z z (1+z ) (2z +1) 11111Re s [f () 2, 0]=lim zf () 2=lim =1 2243
z z z z z →0z →0(1+z ) (2z +1)
z 15
∴d z =2πi --------（10分）
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
z (z 2-1)(z +2) 32
(z -3) （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇
(sinπz ) 3
点？，如果有极点，请指出它的级. 解
：
z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2
f (z ) =的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞3
(sinπz )
sin πz ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（
，z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0
（3）z （4）z
3
=3为f (z ) 的一级极点，
=2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
（5）∞为f (z ) 的非孤立奇点。
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f (z ) =
1
在以下区域内展开成罗朗级数；
z 2(z -1)
（1）0
解：（1）当0
111f (z ) =2=-[]'
z (z -1) (z -1) (z -1+1)
∞1n n
'[]=[(-1) (z -1) ]' 而∑(z -1+1) n =0
=∑(-1) n n (z -1) n -1
n =0
∞
f (z ) =∑(-1) n +1n (z -1) n -2 -------6分
n =0
∞
（2）当0
111
f (z ) =2=-2-=
z (z -1) z (1-z ) z 2
∞
∑z
n =0
∞
n
=-∑z n -2 -------10分
n =0
（3）当1
11f (z ) =2=
z (z -1) z 3(1-1)
z
1
f (z ) =3
z
每步可以酌情给分。
1n ∞1
() =∑n +3 ------14分 ∑n =0z n =0z
∞
五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：
⎧y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x
⎨
⎩y (0) =1=y '(0) =1
解：对y (x ) 的Laplace
变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1
…（5分） s +1
s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) =
整理得
11
+
(s +1)(s -1)(s -4) s -11111
…（7分） =-++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151
=++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4)
L (s ) =
y (x ) =
1-x 5x 14x
e +e +e …（10分） 10615
-βt
六、（6分）求
f (t ) =e
+∞
(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
-βt
-i ωt
解：F (ω) =⎰e e
-∞
+∞
dt (β>0) --------3分
F (ω) =⎰e
-∞
-i ωt βt
e dt +⎰e -i ωt e -βt dt (β>0)
+∞0
+∞
=⎰e
-∞
(β-i ω) t
dt +⎰e -(β+i ω) t dt (β>0)
e -(β+i ω) t -
+∞
e (β-i ω) t =
(β>0)
-∞
112β
F (ω) =+ = (β>0) ------4分
-i +i β2+ω2
1f (t ) =
1=⎰
+∞
-∞
e i ωt F (ω) d ω (β>0) - -------5分
⎰
+∞
-∞
e i ωt
2β
d ω (β>0) 22
β+ω
=
⎰-∞β2+ω22β
1
+∞
β
(cosωt +i sin ωt ) d ω (β>0)
=
⎰
+∞
cos ωt i
ω +
β2+ω2βsin ωt
⎰-∞β2+ω2ω (β>0)
+∞
f (t ) =
2β
π
⎰
+∞
cos ωt
ω (β>0) ， -------6分 22
β+ω
+∞cos ωt π-βt d ω=e 22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题（B)
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1-i 的幅角是（ ）；2. Ln (-+i ) 的主值是2二．1．
（ ）；3. a =（ ），f (z ) =x 2+2xy -y 2+i (ax 2+2xy +y 2)
析．4．在复平面内处处解z =1z -sin z 0是 3的（ ）极点；5． f (z ) =，z z
Re s [f (z ), ∞]=（ ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数
（A ）
（C ）f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； f '(z ) =u y +iv x ； （B ）f '(z ) =u x -iu y ； f '(z ) =u x +iv y ； （D ）f '(z ) =u x +iu y .
C 2．C 是正向圆周z =2，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
（A ） 33z 3z 3； （B ）； （C ）； （D ）. 22z -1z -1(z -1) (z -1)
∞
3．如果级数∑c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在
n =1
（A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点绝对收敛；
（C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
(B) 如果f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成C
的区域内一定解析；
（C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
（A ）、n z l 是复平面上的多值函数； (B ) 、cosz 是无界函数；
(C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e z 是周期函数．
三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分） （1）设f (z ) =u (x , y ) +i (x 2+g (y ))) 是解析函数，且f (0) =0，g (y ), u (x , y ), f (z ) ．
（2）．计算z
C (z 2+1)(z -i ) 2d z ．其中C 是正向圆周z =2；
求
z 2
e z d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C (1-z )
1
1d z ．其中C 是正向圆周z （4）．利用留数计算C 2(z -1)(z -2)
=3；
z (z 2-1)(z +2) 3
（5）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinπz ) 3
有极点，请指出它的级.
四、（本题12分）将函数f (z ) =1在以下区域内展开成罗朗级
z 2(z -1)
（1）0
五．
10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎧⎨y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x ⎩y (0) =y '(0) =1
（本题
六、（本题8分）求f (t ) =e -βt (β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
+∞⎰cos ωt π-β22d ω=e t 0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B ）
填空题（每小题3分，共计15分）
1-i π1．的幅角是（ -+2k π, k =0±1, ±2, ）；2. Ln (-1-i ) 的24
1π主值是（ln 2-i ）；3. 24f (z ) =11+z 2，f (7) (0) =（ 0 ）；
z -sin z 1f (z ) =f (z ) =Re s [f (z ), 0]=4． ，（ 0 ） ；5． ，z 2z 3
Re s [f (z ), ∞]=（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1-------5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2222（1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．C 1d z ．其中C 是正向圆周z 2z (z -1) =2；
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，
仅给出用前者计算过程 因为函数f (z ) =1在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22(z -1) z
为圆心画互不相交互不包含的小圆c 1, c 2且位于c 内
1C (z -1) 2z d z =C 111(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
11=2πi () '+2πi z z =1(z -1) 2
1
3z =0 z =0z e d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C (1-z )
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
z =2f (z)dz =-2πi Re s [f (z ), ∞]=2πic -1 -----（5分）
1
2z 1
111111=-(z +z +++ )(1++2+3+ ) 22! 3! z 4! z z z z 2
c -1=-(1+1+811+) =- 32! 3!
z =28f (z)dz =-2πi 3
(z 2-1)(z +2) 3
（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinπz ) 3
极点，请指出它的级.
f (z ) 的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞
3z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（sin πz ）=0的三级零点，
z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点， z =0, 2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
∞为f (z ) 的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
1四、（本题14分）将函数f (z ) =2在以下区域内展开成罗z (z +1) 朗级数；
（1）0
（1）0
解：（1）当0
f (z ) =111=[]' 2z (z +1) (z +1) (1-(z +1)
∞∞1n ]'=[∑(z +1) ]'=∑n (z +1) n -1 而[(1-(z +1) n =0n =0
f (z ) =∑n (z +1) n -2 --------6分
n =0∞
（2）当0
11f (z ) =2=z (z +1) z 2
∞∑(-1) n =0∞n z n
=∑(-1) z n -2 -----10分
n =0
（3）当1
11f (z ) =2=z (z +1) z 3(1+)
z
1f (z ) =3z
1n ∞n 1(-) =∑(-1) n +3 --------14分 ∑z z n =0n =0∞五．（本题10分）用
Laplace 变换求解常微分方程定解问题
⎧y ''(x ) +2y '(x ) -3y (x ) =e -x
⎨ 'y (0) =0, y (0) =1⎩
解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1 …（5分） s +1s 2L (s ) -1+2sL (s ) -3L (s ) =
整理得
L (s ) =s +2 …（7分） (s +1)(s -1)(s +4)
131y (x ) =-e -x +e x -e -3x …（10分） 488
六、（本题6分）求⎧1t ≤1f (t ) =⎨的傅立叶变换，并由此证明： t >10⎩
⎧πt 1⎩
解：F (ω) =⎰+∞
-∞e -i ωt f (t ) dt
F (ω) =⎰e -i ωt dt -------2分 -11
e =-i ω-i ωt 1=i
-1e -i ω-e i ωω =2sin ωω ----- 4分
共6页第 21 页
1f (t ) =2π=⎰+∞-∞e i ωt F (ω) d ω ----------- 5分 ωd ω π⎰11+∞-∞e i ωt sin ω=π⎰2+∞sin ω-∞ω(cosωt +i sin ωt ) d ω =+∞π⎰+∞sin ωcos ωt 0ωω + π⎰i +∞sin ωsin ωt -∞ωω sin ωcos ωt
ωd ω=π2f ⎧πt 1⎩ 共6页第 22
页
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
1-i 3
的幅角是（ ）；2. 2
Ln (-1+i ) 的主值是
（ ）；3.
1
f (z ) =
1+z 2
，
f (5) (0) =（ ）；
z -sin z 1
f (z ) =4．z =0是 的（ ）极点；5． ，
z 4z
； Re s [f (z ), ∞]=（ ）
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；
（A ） （C ）
f '(z ) =u x +iu y ； （B ）f '(z ) =u x -iu y ；
f '(z ) =u x +iv y ； （D ）f '(z ) =u y +iv x .
C
2．C 是正向圆周z =3，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
（A ）
33(z -1) 3(z -1) 3； （B ）； （C ）； （D ）. z -2z -2(z -2) 2(z -2) 2
∞
n
z n
3．如果级数∑c
n =1
在
z =2点收敛，则级数在
（A ）z （C ）z
=-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点绝对收敛；
=1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
(B) 如果f (z ) 在C 所围成的区域内解析，则（C ）如果
C
f (z ) dz =0
C
f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是
u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
1
∞为sin 的可去奇点；(A) (B) ∞为sin z 的本性奇点；
z
(C) ∞为
的孤立奇点; (D) ∞为1的孤立奇点.
1sin z sin z
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2
2
2
2
1
（1）设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求a , b , c , d .
（2）．计算
C
e z
d z 其中C 是正向圆周：z =2； 2
z (z -1)
z 15
（3）计算d z
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2
（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇
(sinπz ) 3
点？，如果有极点，请指出它的级.
四、（本题14分）将函数f (z ) =
1
在以下区域内展开成罗朗级数； 2
z (z -1)
（1）0
五．
10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题
⎧⎨
y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x
⎩y (0) =y '(0) =1
（本题
六、（本题6分）求
+∞
f (t ) =e
-βt
(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
π1-i 的幅角是（-+2k π, k =0, ±1, ±2 ）；2.
32
Ln (-1+i ) 的主值是
113π
f (z ) =i ）
（ ln 2+；3. 2，f 1+z 24
(5)
(0) =（ 0 ），4．z =0是
z -sin z 1
的（ 一级 ）极点；5． f (z ) =，Re s [f (z ), ∞]=（-1 ）；
z 4z
二．选择题（每题3分，共15分）
1----5 B D C B D
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求
2
2
2
2
a , b , c , d .
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
e z
d z 其中C 是正向圆周： （2）．计算C 2
(z -1) z
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
e z
因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22
(z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆
c 1, c 2
且位于c 内
e z
C (z -1) 2z d z =C 1
e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
e z e z
=2πi () '+2πi
z z =1(z -1) 2
=2πi
z =0
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z 15
（3）．d z
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
z 15
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2πi Re s [f (z ), ∞] -----（5分）
11
=2πi Re s [f () 2] ----（8分）
z z 1() 15
111 f () 2=
12143z 2z z
(1+2) (2+() )
z z
111
f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, 2243
z z z (1+z ) (2z +1) 11111Re s [f () 2, 0]=lim zf () 2=lim =1 2243
z z z z z →0z →0(1+z ) (2z +1)
z 15
∴d z =2πi --------（10分）
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
z (z 2-1)(z +2) 32
(z -3) （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇
(sinπz ) 3
点？，如果有极点，请指出它的级. 解
：
z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2
f (z ) =的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞3
(sinπz )
sin πz ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（
，z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0
（3）z （4）z
3
=3为f (z ) 的一级极点，
=2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
（5）∞为f (z ) 的非孤立奇点。
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f (z ) =
1
在以下区域内展开成罗朗级数；
z 2(z -1)
（1）0
解：（1）当0
111f (z ) =2=-[]'
z (z -1) (z -1) (z -1+1)
∞1n n
'[]=[(-1) (z -1) ]' 而∑(z -1+1) n =0
=∑(-1) n n (z -1) n -1
n =0
∞
f (z ) =∑(-1) n +1n (z -1) n -2 -------6分
n =0
∞
（2）当0
111
f (z ) =2=-2-=
z (z -1) z (1-z ) z 2
∞
∑z
n =0
∞
n
=-∑z n -2 -------10分
n =0
（3）当1
11f (z ) =2=
z (z -1) z 3(1-1)
z
1
f (z ) =3
z
每步可以酌情给分。
1n ∞1
() =∑n +3 ------14分 ∑n =0z n =0z
∞
五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：
⎧y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x
⎨
⎩y (0) =1=y '(0) =1
解：对y (x ) 的Laplace
变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1
…（5分） s +1
s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) =
整理得
11
+
(s +1)(s -1)(s -4) s -11111
…（7分） =-++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151
=++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4)
L (s ) =
y (x ) =
1-x 5x 14x
e +e +e …（10分） 10615
-βt
六、（6分）求
f (t ) =e
+∞
(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
-βt
-i ωt
解：F (ω) =⎰e e
-∞
+∞
dt (β>0) --------3分
F (ω) =⎰e
-∞
-i ωt βt
e dt +⎰e -i ωt e -βt dt (β>0)
+∞0
+∞
=⎰e
-∞
(β-i ω) t
dt +⎰e -(β+i ω) t dt (β>0)
e -(β+i ω) t -
+∞
e (β-i ω) t =
(β>0)
-∞
112β
F (ω) =+ = (β>0) ------4分
-i +i β2+ω2
1f (t ) =
1=⎰
+∞
-∞
e i ωt F (ω) d ω (β>0) - -------5分
⎰
+∞
-∞
e i ωt
2β
d ω (β>0) 22
β+ω
=
⎰-∞β2+ω22β
1
+∞
β
(cosωt +i sin ωt ) d ω (β>0)
=
⎰
+∞
cos ωt i
ω +
β2+ω2βsin ωt
⎰-∞β2+ω2ω (β>0)
+∞
f (t ) =
2β
π
⎰
+∞
cos ωt
ω (β>0) ， -------6分 22
β+ω
+∞cos ωt π-βt d ω=e 22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题（B)
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1-i 的幅角是（ ）；2. Ln (-+i ) 的主值是2二．1．
（ ）；3. a =（ ），f (z ) =x 2+2xy -y 2+i (ax 2+2xy +y 2)
析．4．在复平面内处处解z =1z -sin z 0是 3的（ ）极点；5． f (z ) =，z z
Re s [f (z ), ∞]=（ ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数
（A ）
（C ）f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； f '(z ) =u y +iv x ； （B ）f '(z ) =u x -iu y ； f '(z ) =u x +iv y ； （D ）f '(z ) =u x +iu y .
C 2．C 是正向圆周z =2，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
（A ） 33z 3z 3； （B ）； （C ）； （D ）. 22z -1z -1(z -1) (z -1)
∞
3．如果级数∑c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在
n =1
（A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点绝对收敛；
（C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
(B) 如果f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成C
的区域内一定解析；
（C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
（A ）、n z l 是复平面上的多值函数； (B ) 、cosz 是无界函数；
(C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e z 是周期函数．
三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分） （1）设f (z ) =u (x , y ) +i (x 2+g (y ))) 是解析函数，且f (0) =0，g (y ), u (x , y ), f (z ) ．
（2）．计算z
C (z 2+1)(z -i ) 2d z ．其中C 是正向圆周z =2；
求
z 2
e z d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C (1-z )
1
1d z ．其中C 是正向圆周z （4）．利用留数计算C 2(z -1)(z -2)
=3；
z (z 2-1)(z +2) 3
（5）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinπz ) 3
有极点，请指出它的级.
四、（本题12分）将函数f (z ) =1在以下区域内展开成罗朗级
z 2(z -1)
（1）0
五．
10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎧⎨y ''(x ) -5y '(x ) +4y (x ) =e -x ⎩y (0) =y '(0) =1
（本题
六、（本题8分）求f (t ) =e -βt (β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
+∞⎰cos ωt π-β22d ω=e t 0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B ）
填空题（每小题3分，共计15分）
1-i π1．的幅角是（ -+2k π, k =0±1, ±2, ）；2. Ln (-1-i ) 的24
1π主值是（ln 2-i ）；3. 24f (z ) =11+z 2，f (7) (0) =（ 0 ）；
z -sin z 1f (z ) =f (z ) =Re s [f (z ), 0]=4． ，（ 0 ） ；5． ，z 2z 3
Re s [f (z ), ∞]=（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1-------5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2222（1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．C 1d z ．其中C 是正向圆周z 2z (z -1) =2；
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，
仅给出用前者计算过程 因为函数f (z ) =1在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22(z -1) z
为圆心画互不相交互不包含的小圆c 1, c 2且位于c 内
1C (z -1) 2z d z =C 111(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
11=2πi () '+2πi z z =1(z -1) 2
1
3z =0 z =0z e d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C (1-z )
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
z =2f (z)dz =-2πi Re s [f (z ), ∞]=2πic -1 -----（5分）
1
2z 1
111111=-(z +z +++ )(1++2+3+ ) 22! 3! z 4! z z z z 2
c -1=-(1+1+811+) =- 32! 3!
z =28f (z)dz =-2πi 3
(z 2-1)(z +2) 3
（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinπz ) 3
极点，请指出它的级.
f (z ) 的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞
3z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（sin πz ）=0的三级零点，
z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点， z =0, 2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
∞为f (z ) 的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
1四、（本题14分）将函数f (z ) =2在以下区域内展开成罗z (z +1) 朗级数；
（1）0
（1）0
解：（1）当0
f (z ) =111=[]' 2z (z +1) (z +1) (1-(z +1)
∞∞1n ]'=[∑(z +1) ]'=∑n (z +1) n -1 而[(1-(z +1) n =0n =0
f (z ) =∑n (z +1) n -2 --------6分
n =0∞
（2）当0
11f (z ) =2=z (z +1) z 2
∞∑(-1) n =0∞n z n
=∑(-1) z n -2 -----10分
n =0
（3）当1
11f (z ) =2=z (z +1) z 3(1+)
z
1f (z ) =3z
1n ∞n 1(-) =∑(-1) n +3 --------14分 ∑z z n =0n =0∞五．（本题10分）用
Laplace 变换求解常微分方程定解问题
⎧y ''(x ) +2y '(x ) -3y (x ) =e -x
⎨ 'y (0) =0, y (0) =1⎩
解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1 …（5分） s +1s 2L (s ) -1+2sL (s ) -3L (s ) =
整理得
L (s ) =s +2 …（7分） (s +1)(s -1)(s +4)
131y (x ) =-e -x +e x -e -3x …（10分） 488
六、（本题6分）求⎧1t ≤1f (t ) =⎨的傅立叶变换，并由此证明： t >10⎩
⎧πt 1⎩
解：F (ω) =⎰+∞
-∞e -i ωt f (t ) dt
F (ω) =⎰e -i ωt dt -------2分 -11
e =-i ω-i ωt 1=i
-1e -i ω-e i ωω =2sin ωω ----- 4分
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1f (t ) =2π=⎰+∞-∞e i ωt F (ω) d ω ----------- 5分 ωd ω π⎰11+∞-∞e i ωt sin ω=π⎰2+∞sin ω-∞ω(cosωt +i sin ωt ) d ω =+∞π⎰+∞sin ωcos ωt 0ωω + π⎰i +∞sin ωsin ωt -∞ωω sin ωcos ωt
ωd ω=π2f ⎧πt 1⎩ 共6页第 22
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