三线摆测转动惯量误差的分析
教学重点：
1. 培养学生在独立完成本实验任务的过程中，从查阅资料、开放预习、操作，到完成数据
处理、独立撰写课程论文的多种能力。
2. 掌握三线摆、秒表等仪器的基本原理和调节、使用方法；学会用三线摆测不同刚体转动
惯量的方法。
3. 在处理数据的过程中，应用实验误差理论计算不确定度和百分误差；分析误差原因，对
提高测量结果的精度提出、实施改进措施。
教学难点：
1. 转动惯量不确定度的分析； 2. 改进测量方法的实施过程。
实验要求：
1. 2. 3. 4.
测准各刚体、三线摆装置的几何参量；
记录各待测刚体的质量，测准它们的扭转摆动周期；
计算转动惯量及其不确定度；对测量结果加以分析和讨论；提出改进方案并付诸实施。 答辩。
基本实验内容：
1. 调解下圆盘水平，用钢直尺测出上、下圆盘间距；
2.扭动上圆盘，待下圆盘的纯扭转摆动稳定后，用秒表（或电脑通用计数器）测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次；
3. 分别将独立的刚体置于下圆盘上（中心重合），测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时
间，共做五次；
4. 将两个相同的刚体对称置于下圆盘上，使两刚体的边缘同切于下圆盘的中心，测出刚
体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次； 5. 处理数据
①下圆盘的转动惯量J1
推导计算1和不确定度U，得出结果；
1
②不同刚体的转动惯量
将实验结果与各自理论值相比较，求出百分误差。
数据记录与处理
J0=mgDdT0/(162H)=0.0087272(kg.m) U0/J0=146⨯10-4 U0=146⨯10-4⨯J0
U0=146⨯10-4⨯0.0087272≈0.0001(kg.m2)
J0与不确定度对齐,应取到小数点后四位,故结果表达式为J
J=0.0087±0.0001(kg.m2)
(二) 电脑通用计数器测空载圆盘
与秒表测空载圆盘求解类似,只数值略有不同而已 J1=mgDdT1/(16π2H)
=1.9804⨯9.80064⨯0.2000⨯0.11964⨯1.37222/(16⨯3.14162⨯0.6325) =0.0087522(kg.m2)
周期的A类不确定度: S(t1)=0.001(s) S(T1)=0.001/30=0.00003(s)
电脑通用计数器误差极限为: ∆ins=0.0001(s) 仍取置信概率为0.95, 则
2+0.00012 UT1=4⨯0.00003
转动惯量的相对不确定度为:
U1/J1=0.52+22+3.32+3.22+1.462)⨯(10-4)2 第一项为微小量,可忽略
U1/J1=5.013⨯10-4⨯0.0087522≈0.000004(kg.m2) 表达式J为:
J=0.008755±0.000004(kg.m2)
(三) 通用计数器测下盘与圆柱 首先将各数据带入公式计算J2 J2=mgDdT2/(16π2H)
=1.9804⨯9.80064⨯0.2000⨯0.11964⨯1.17872/(16⨯3.14162⨯0.6325)-0.0087552 =0.0094325-0.0087552=0.0006773(kg.m2) 通用计数器误差极限为:∆ins=0.0001(s) 周期T的A类不确定度:S(t2)=0.002(s) S(T2)=0.002/30=0.00007(s)
2+0.000072=0.0002(s) U(T2)=⨯0.0001
相对不确定度为:
U2/J2=
Um0/(m0+m1)2+Um1/(m0+m1)2+(UR/R)2+(Ur/r)2+4(UT/T)2+(UH/H)2+(UJ1/J1)2
根号内前两项为微小量,可舍去. U2/J2=7.3⨯10-4
U2=7.3⨯10-4⨯0.0006773=0.0000005(kg.m2)
分析与讨论
理论值的计算
(一) 下圆盘的转动惯量
将所得数据带入理论值计算公式中
J=1/2m0(1/2D0)2=(1/2)⨯1.9804⨯(0.2000/2)2=0.0099(kg.m2) (二) 圆柱的转动惯量
J=(1/2)m(D1/2)2=(1/2)⨯0.90534⨯(0.08006/2)2 J=0.00073(kg.m2) (三) 百分误差的计算
1.秒表测下圆盘:.009902-0.⨯100%/0.009902=11.86% 2.通用计数器测下圆盘的百分误差:
0.009902-0.⨯100%/0.009902=11.58%
3.通用计数器测圆柱的百分误差:
0.000725-0.⨯100%/0.000725=6.62%
(四) 误差来源分析 1. 圆盘没有完全水平
2. 上下圆盘中心点连线不在一条直线上 3. 秒表测量时,起点和终点均目测,不够精确. 4. 圆盘在扭动运动中同时有摆动.
5. 下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形,将导致上下圆盘中心点连线不在一
条直线上.
6. 由于钢丝太细,不能遮光,在钢丝上贴一片小纸条,但同时也会带来空气阻力.
7. 尤其应注意的是,如果贴上的纸条过大,将导致所测得周期为原打算测周期数的2倍.
结论
由秒表所测结果和电脑通用计数器所测结果可以看出,其结果位数相差两位,所以在实验要求并不十分精确的情况下,完全可以用秒表替代电脑通用计数器
注意
1. 实验中若遮光纸条过大或过小,将使周期的测量出现问题,导致百分误差较大.
2. 转动上圆盘幅度过大或过小时,必须待圆盘转动幅度稳定之后才能重新测量, （可在下圆盘标上刻度,以显示每次转动的圆盘幅度）
三线摆测转动惯量误差的分析
教学重点：
1. 培养学生在独立完成本实验任务的过程中，从查阅资料、开放预习、操作，到完成数据
处理、独立撰写课程论文的多种能力。
2. 掌握三线摆、秒表等仪器的基本原理和调节、使用方法；学会用三线摆测不同刚体转动
惯量的方法。
3. 在处理数据的过程中，应用实验误差理论计算不确定度和百分误差；分析误差原因，对
提高测量结果的精度提出、实施改进措施。
教学难点：
1. 转动惯量不确定度的分析； 2. 改进测量方法的实施过程。
实验要求：
1. 2. 3. 4.
测准各刚体、三线摆装置的几何参量；
记录各待测刚体的质量，测准它们的扭转摆动周期；
计算转动惯量及其不确定度；对测量结果加以分析和讨论；提出改进方案并付诸实施。 答辩。
基本实验内容：
1. 调解下圆盘水平，用钢直尺测出上、下圆盘间距；
2.扭动上圆盘，待下圆盘的纯扭转摆动稳定后，用秒表（或电脑通用计数器）测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次；
3. 分别将独立的刚体置于下圆盘上（中心重合），测出刚体扭转摆动若干周期相应的总时
间，共做五次；
4. 将两个相同的刚体对称置于下圆盘上，使两刚体的边缘同切于下圆盘的中心，测出刚
体扭转摆动若干周期相应的总时间，共做五次； 5. 处理数据
①下圆盘的转动惯量J1
推导计算1和不确定度U，得出结果；
1
②不同刚体的转动惯量
将实验结果与各自理论值相比较，求出百分误差。
数据记录与处理
J0=mgDdT0/(162H)=0.0087272(kg.m) U0/J0=146⨯10-4 U0=146⨯10-4⨯J0
U0=146⨯10-4⨯0.0087272≈0.0001(kg.m2)
J0与不确定度对齐,应取到小数点后四位,故结果表达式为J
J=0.0087±0.0001(kg.m2)
(二) 电脑通用计数器测空载圆盘
与秒表测空载圆盘求解类似,只数值略有不同而已 J1=mgDdT1/(16π2H)
=1.9804⨯9.80064⨯0.2000⨯0.11964⨯1.37222/(16⨯3.14162⨯0.6325) =0.0087522(kg.m2)
周期的A类不确定度: S(t1)=0.001(s) S(T1)=0.001/30=0.00003(s)
电脑通用计数器误差极限为: ∆ins=0.0001(s) 仍取置信概率为0.95, 则
2+0.00012 UT1=4⨯0.00003
转动惯量的相对不确定度为:
U1/J1=0.52+22+3.32+3.22+1.462)⨯(10-4)2 第一项为微小量,可忽略
U1/J1=5.013⨯10-4⨯0.0087522≈0.000004(kg.m2) 表达式J为:
J=0.008755±0.000004(kg.m2)
(三) 通用计数器测下盘与圆柱 首先将各数据带入公式计算J2 J2=mgDdT2/(16π2H)
=1.9804⨯9.80064⨯0.2000⨯0.11964⨯1.17872/(16⨯3.14162⨯0.6325)-0.0087552 =0.0094325-0.0087552=0.0006773(kg.m2) 通用计数器误差极限为:∆ins=0.0001(s) 周期T的A类不确定度:S(t2)=0.002(s) S(T2)=0.002/30=0.00007(s)
2+0.000072=0.0002(s) U(T2)=⨯0.0001
相对不确定度为:
U2/J2=
Um0/(m0+m1)2+Um1/(m0+m1)2+(UR/R)2+(Ur/r)2+4(UT/T)2+(UH/H)2+(UJ1/J1)2
根号内前两项为微小量,可舍去. U2/J2=7.3⨯10-4
U2=7.3⨯10-4⨯0.0006773=0.0000005(kg.m2)
分析与讨论
理论值的计算
(一) 下圆盘的转动惯量
将所得数据带入理论值计算公式中
J=1/2m0(1/2D0)2=(1/2)⨯1.9804⨯(0.2000/2)2=0.0099(kg.m2) (二) 圆柱的转动惯量
J=(1/2)m(D1/2)2=(1/2)⨯0.90534⨯(0.08006/2)2 J=0.00073(kg.m2) (三) 百分误差的计算
1.秒表测下圆盘:.009902-0.⨯100%/0.009902=11.86% 2.通用计数器测下圆盘的百分误差:
0.009902-0.⨯100%/0.009902=11.58%
3.通用计数器测圆柱的百分误差:
0.000725-0.⨯100%/0.000725=6.62%
(四) 误差来源分析 1. 圆盘没有完全水平
2. 上下圆盘中心点连线不在一条直线上 3. 秒表测量时,起点和终点均目测,不够精确. 4. 圆盘在扭动运动中同时有摆动.
5. 下圆盘上三条钢丝与圆盘交点并不构成等边三角形,将导致上下圆盘中心点连线不在一
条直线上.
6. 由于钢丝太细,不能遮光,在钢丝上贴一片小纸条,但同时也会带来空气阻力.
7. 尤其应注意的是,如果贴上的纸条过大,将导致所测得周期为原打算测周期数的2倍.
结论
由秒表所测结果和电脑通用计数器所测结果可以看出,其结果位数相差两位,所以在实验要求并不十分精确的情况下,完全可以用秒表替代电脑通用计数器
注意
1. 实验中若遮光纸条过大或过小,将使周期的测量出现问题,导致百分误差较大.
2. 转动上圆盘幅度过大或过小时,必须待圆盘转动幅度稳定之后才能重新测量, （可在下圆盘标上刻度,以显示每次转动的圆盘幅度）