几何证明经典题型（提高）
1. 如图10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①请直接写出图10-1中线段BG 、线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；
②将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图10-2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且AB =a , BC =b , CE =ka , CG =kb
(a ≠b , k 0) ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，
不必证明.
BE ，（3）在图10-5中，连结DG 、且a =4, b =2, k =
答案： ⑴①BG ＝DE ；
BG ⊥DE ；
②①中得到的结论仍然成立
⑵BG ⊥DE 成立；
BG ＝
1
，则BE 2+DG 2= ． 2
DE 不成立
⑶BE 2+DG2
2. 如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。求证：∠ADF ＝∠CDE 。
简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。 因为∠１＝90°
－∠３＝∠２，AC ＝BC ，
所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。 所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。 因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF, 所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。 所以∠ADF ＝∠G ＝∠CDE 。
3. 如图 ，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，AE ＝求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°。
简证：过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F 。
1
（AD ＋AB ）。2
因为∠２＝∠３，AC ＝AC ，
所以Rt △ACF ≌Rt △ACE （AAS ）。 所以CF ＝CE ，AF ＝AE 。
因为AD ＋AB ＝２AE ，AB ＝AE ＋EB ， 所以EB ＝AE －AD 。 因为FD ＝AF －AD ， 所以EB ＝FD 。
所以Rt △CEB ≌Rt △CFD （SAS ）。 所以∠ABC ＝∠5。
所以∠ADC ＋∠ABC ＝∠ADC ＋∠５＝180°。
4. 已知：∠MAN ，AC 平分∠MAN ．
⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°， AB ＋AD AC ．（填写“＞”，“＜”，“＝”） ⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶在图3中： ①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，判断AB ＋AD 与AC 的数量关系，并说明理由；
②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示, 直接写出结果，不必证明）
C C
D
D A A A B N B B
23. 解：
(1) AB ＋．--------------------------------------------------------------------------1分
(2) 仍然成立．
证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC， ∴ △AEC ≌△AFC ， ∴ AE=AF，CE=CF．
∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．
∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．
又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC． ∴ AB+AD=AC (3)①AB+AD=3AC ．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH． ∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=
A
3
AC ．∴AG+AH=3AC ． 2
∴GD+DA+AH=3AC ． 方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC ． ∴AD+AB=3AC ．
②AB ＋AD ＝2cos
2
·AC ．
5. 如图所示，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点
重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。
（1）求点G 的坐标；
（2）求折痕EF 所在直线的解析式；
（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：（1）∵四边形ABCO 是正方形 ∴BC=OA=4
∵E 为CB 中点，∴EB=2 ∵MN//y轴，N （3，0） ∴MN ⊥EB ，且MB=NA=1 ∴EM=1
而
∴∠EGM=30°，∴MG=EG·cos30°=
∴G （3，） （2）∵∠EGM=30°
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60° ∴CF=CE·tan60°
∴FO=
。∴F （0，
），E （2，4）
设直线EF 的解析式为
∴折痕EF 所在直线解析式为
（3）如图所示，
。
6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90 ，AD=AB=2,点E 是AB 边上一动点(点E
不与点A 、B 重合) ，连结ED ，过ED 的中点F 作ED 的垂线，交AD 于点G, 交BC 于点K, 过点K 作KM ⊥AD 于M ． (1) 当E 为AB 中点时，求
DM
的值； DG
AE 1DM
=, 则(2) 若的值等于 ； AB 3DG AE 1
=（n 为正整数）(3) 若， AB n DM 则的值等于 （用含n 的式子表示）． DG
答案：（1）连接GE ．
∵KM ⊥AD ，KG 是DE 的垂直平分线 ∴∠KMG=∠DFG=90° ∴∠GKM=∠GDF
∵MK=AB=AD,∠KMG=∠DAE=90° ∴ΔKMG ≌ΔDAE ∴MG = AE
∵E 是AB 中点，且AB=AD=2 ∴AE=MG=1
∵KG 是DE 的垂直平分线 ∴GE=GD 设GE=GD=x 则AG=2-x
在Rt ΔAEG 中，∠E AG=90°，
222
由勾股定理得（2-x ）+1=x
51DM 12(n -1) 2
= （2） （3） 2∴x= ∴DM=GD-GM= ∴
44DG 55n +1
7. 如图所示，等腰Rt △ABC 的直角边AB=2，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同
速度做直线运动。已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D 。
（1）设AP 的长为x ，△PCQ 的面积为S ，求出S 关于x 的函数关系式；
（2）当AP 的长为何值时，？
（3）作PE ⊥AC 于E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论。 答案：（1）①当点P 在线段AB 上时，如图（1）所示
∵AP=CQ=x，PB=2－x ∴
即
②当点P 在AB 延长线上时，如图（2）所示
∵AP=CQ=x，PB=x－
2
即（2）①令②令解得
，即，即，舍去负值。
。
故当AP 的长为时，
（3）作PF//BC交AC 的延长线于F ，则AP=PF=CQ，AE=EF ∴ ∴DF=CD
①当点P 在线段AB 上时， ∴
②当点P 在AB 的延长线上时，
，此方程无实根； 。
∴DE=EF－FD
故当P 、Q 运动时，线段DE 的长度保持不变，始终等于
8. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备
下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠CAB =90 ，直线m 过点O , 过
A 、B 、C 三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E 、F .
(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE 、CF 和AD 三者之间的数量关系并证明；
(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上
述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD 、BE 、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
答案：（1）猜想：BE+CF=AD 证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心 ∴AO=2OM且AM ⊥BC
又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD
（2）图2结论：
BE+CF=AD 证明：联结AO 并延长交BC 于点G ,
B
G
图2
A
B
M
图1
过G 做GH ⊥EF 于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点
∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点 ∴HG=
1
(EB+CF) 2
∴EB+CF=AD (3)CF－BE= AD
9. 已知：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD，∠C=90°，AB=BC=4，CD=6。
（1）点E 为BC 边上一点，EF//AD，交CD 边于点F ，FG//EA，交AD 边于点G ，若四边形AEFG 为矩形，求BE 的长；
（2）如图所示，将（1）中的∠AEF 绕E 点逆时针旋转为∠，交CD 边于点，且点与D 点不重合，射线交AB 边于点M ，作N//交AD 边于点N ，设BM 为x ，中，边上的高为y ，求y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围。
答案：（1）作AH ⊥CD 于点H （如图所示）
∵四边形AEFG 为矩形
∴∠AEF=90°
∴∠1+∠3=90°
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵EF//AD。∴∠2=∠D ∴∠1=∠D
∵AB=BC=CH=4 ∴HD=CD－CH=2 ∴
∴tan ∠1=
∴BE=2，即E 为BC 的中点。
（2）如图所示，作NP ⊥CD 于点P ，则PN=y
可得∠4=∠5=∠6，它们的正切值相等。
即
。
，即
整理，得
当点与点D 重合时（如图所示）
∠BEM=∠EDC ，∴tan ∠BEM
∴x 的取值范围为
10. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90︒，点D 为AC 的中点．
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
A
A
F
D F
D
H
E
C B
C
图1E 图2H
答案：（1）FH 与FC 的数量关系是：FH =FC ．
证明：延长DF 交AB 于点G ，
由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG ∥CB ．
∵点D 为AC 的中点， ∴点G 为AB 的中点，且DC =1
2
AC ． ∴DG 为△ABC 的中位线． ∴DG =
1
2
BC ． ∵AC=BC， ∴DC=DG．
∴DC - DE =DG- DF． 即EC =FG．
∵∠EDF =90°，FH ⊥FC ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1 =∠2．
11如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，tan B =2.
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：DF -EF =2AF ；
A
D
F
E
H
C
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
A D
B P E C B E
图2 图1
答案：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ tan B =
D
A
D
C
B E
图3
C
AE
=2 BE
D
∴AE =2BE ．
∵E 为BC 的中点， ∴BC =2BE ．
∴AE=BC.
B P ∵ABCD 是平行四边形， E
∴AD=BC. 图8 ∴AE=AD.
（2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ， ∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，
∴△ADH ≌△AEF ．
∴∠HAD =∠F AE ，AH =AF ．
B
∴∠F AH ==90°． E
F
在Rt △F AH 中， AH =AF ， 图9 ∴FH =2AF ．
∴FH =FD -HD =FD -EF =2AF ． 即DF -EF =2AF ．
（3）按题目要求所画图形见图9，
线段DF 、EF 、AF 之间的数量 关系为：
H DF +EF =2AF ．
12．小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形.
（1）如图①所示△ABC ，△DBE ，两直角边交于点F ，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，
连结BF 、AD ，则线段BF 与线段AD 的数量关系是 ；直线BF 与直
线AD 的位置关系是 ，并求证：FG ＋DC ＝AC ；
（2）如果小华将两块三角板△ABC ，△DBE 如图②所示摆放，使D 、B 、C 三点在一
条直线上，AC 、DE 的延长线相交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AE 于点G ，
连结AD ，FB ，则FG 、DC 、AC 之间满足的数量关系式是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG
＝DC ＝5，将一个45°角的顶点与点B 重合，
并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于P 、Q 两点（如图③），线段DF
分别与线段BQ 、BP 相交于M 、N 两点，若PG ＝2，求线段MN 的长．
12-1 12-2
12-3
答案．
B
A E G
D
（1）结论：
则线段BF 于线段AC 的数量关系是：相等；直线BF 于直线AC 的位置关系是：互相垂直；
证明： ∆ABC 、∆BDE 是等腰直角三角形 ∴∠ABC =∠BAC =∠BDE =45︒，
AD ⊥BC
∴∠CFD =45︒
∴CD =CF
FG //BC
∠AGF =∠ABC =45︒
∴FG =AF
AD =AF +FC
∴AD =FG +DC
（2）FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系式是FG =AD +DC ； （3）过点B 作BH ⊥FG 垂足为H ，过点P 作PK ⊥AG 垂足为K
FG //BC , C 、D 、B 在一条直线上， 可证∆AFG 、∆DCF 是等腰直角三角形，
AG =72, CD =5
∴根据勾股定理得：AF =FG =7, FD =5∴AC =BC =2 ∴BD =3
BH ⊥FG ，
2
∴BH //CF ，∠BHF =90︒
FG //BC
∴四边形CFHB 是矩形 ∴BH =5, FH =2
，FG //BC
∴∠G =45︒
∴HG =BH =5，BG =52
PK ⊥AG ，PG =2
∴PK =KG =
2
∴BK =52-2=42
∠PBQ =45︒, ∠HGB =45︒
∴∠GBH
=45︒
∴∠1=∠2
PK ⊥AG ，BH ⊥FG
∴∠BHQ =∠BKP =90︒ ∴∆BQH ∽∆BPK
∴
PK BK
= QH BH
4
∴QH =5
∴FQ =3 4
FG //BC
∴∠D =∠MFQ , ∠DBM =∠FQM ∴∆FQM ∽∆DBM
DM =42 ∠D =∠MFQ , ∠DNB =∠FNP
∴∆BDN ∽∆PFN ∴DN
FN
=
BD
PF
∴DN =
2
8
∴MN =42-
2172
= 88
13. (1)已知：如图1，△ABC 中，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE
和ACHF ，直线AN ⊥BC 于N ，若EP ⊥AN 于P ，FQ ⊥AN 于Q . 判断线段EP 、FQ 的数量关系，并证明；
(2)如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC , 分别以两腰AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若E P ⊥M N 于P ，FQ ⊥MN 于Q ．(1)中结论还成立吗？请说明理由.
E
Q
G
H
B
N 图1
C
B
P
F
G
E
Q M
H
N 图2
C P
F
答案：（1）线段EP 、FQ 的数量关系为相等．
∵EP ⊥AN ，AN ⊥BC ，
∴∠P =∠ANB =90︒，∠1+∠3=90︒． 又∵四边形ABGE 是正方形，
∴∠EAB =90︒，AE =AB ， ∴∠1+∠2=90︒． ∴∠3=∠2.
∴∆EPA ≌∆ANB ． ∴EP =AN ．
同理可证 F Q =A N ． ∴EP =FQ ．
（2）过点A 作JK ⊥AD 交EP 于J , 交BC 于K ,
过点D 作RT ⊥AD 交FQ 于R , 交BC 于T ．
G
E
P Q A
F
H
B
N 图1
C
∵PN ⊥AD 于M ， ∴JK ∥PN ． ∵AD ∥BC ,
∴四边形AKNM 为平行四边形． ∴AK =MN ．
J Q M
P R H F
G
B K N T 图2
C
同理可得DT =MN ． ∴AK =DT ．
又∵EP ⊥MN ，JK ∥PN , AD ∥BC , ∴JK ⊥EP ，JK ⊥BC ， 同（1）的证明可得 EJ =AK
, FR =DT ．
∴EJ =FR ．
由平行四边形JAMP 和QMDR 可知JP =AM 又∵AM =MD ,
∴JP =QR ． ∴EJ +JP =QR +RF ∴EP =FQ ．
∵△DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ．
∴ CF =FH ． （2）FH 与FC 仍然相等．
14 如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD
全等，射线MN 与MQ 不过A 、B 、C 、D 四点且分别交ABCD 的边于E 、F 两点. （1）求证：ME=MF；
（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC =2AB =4，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系.
A
B
N
, QR =MD ．
D
Q
A
M
D
C
B
答案： 过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH.
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90， ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中
∠1=∠2， MG=MH， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ≌△MHF . ∴ME=MF.
（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.
过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .
∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90. ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中，
1=∠2
∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴
ME MG
=. MF MH
∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵BC =2AB =4， ∴MG =
11
AB , MH =BC . 22
∴
ME 1
=. MF 2
A
E G
②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .
D
C
P
Q
∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90. . ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中，
1=∠2， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ∽△MHF . ∴
ME MG
=. MF MH
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC.
又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点. ∵BC =2AB =4，∴MG =
∴
11
BC , MH =AB . 22
ME
=2. MF
③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.
过点M 作MH ⊥BC 于点H .
∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=90. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM .
ME MH FM MH
== ∴，. FE FM FE EM
∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.
又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵BC =2AB =4，∴AB=2. ∴MH=1. ∴∴
N
1FM FM 1EM EM
====， . ME MH ⋅EF EF MF MH ⋅EF EF
11FM 2+EM 2
+==1. ………………6分 ME 2MF 2EF 2
P
④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .
易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG.
同理由③得
ME 1ME 11
=2或+=1. =或
ME 2MF 2MF 2MF
14. 已知：△AOB 中，AB =OB =2，△COD 中，CD =OC =3, ∠ABO =∠DCO . 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
综上所述：ME 与MF 的数量关系是
11
+=1. MG 2ME 2
11+=1. ∴
ME 2MF 2
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =60，则△PMN 的形状是
________________，此时
AD
=________； BC
(2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =2α，证明△PMN ∽△BAO ，并计算
AD
的值（用含α的式子表示）； BC
(3) 在图2中，固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值. 答案：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分
（2）证明：连接BM 、CN .
由题意，得BM ⊥OA ，CN ⊥OD , ∠AOB =∠COD =90︒-α. ∵ A 、O 、C 三点在同一直线上， ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上.
∴ ∠BMC =∠CNB =90. ∵ P 为BC 中点，
1
∴ 在Rt △BMC 中，PM =BC .
2
在Rt △BNC 中，PN =
∴ PM =PN . 1BC . 2
1BC 为半径的圆上. 2∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，
∴ ∠MPN =2∠MBN .
1∠ABO =α， 2
∴ ∠MPN =∠ABO .
∴ △PMN ∽△BAO .
MN AO =∴ . PM BA
11由题意，MN =AD ，又PM =BC . 22
AD MN =∴ . BC PM
AD AO =∴ . BC BA
AM =sin α. 在Rt △BMA 中，AB
∵ AO =2AM ，
AO =2sin α. ∴ BA
AD =2sin α. ∴ BC
5（3）. 2又∵ ∠MBN =
几何证明经典题型（提高）
1. 如图10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合) ，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①请直接写出图10-1中线段BG 、线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；
②将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针) 方向旋转任意角度α，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立, 并选取图10-2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且AB =a , BC =b , CE =ka , CG =kb
(a ≠b , k 0) ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，
不必证明.
BE ，（3）在图10-5中，连结DG 、且a =4, b =2, k =
答案： ⑴①BG ＝DE ；
BG ⊥DE ；
②①中得到的结论仍然成立
⑵BG ⊥DE 成立；
BG ＝
1
，则BE 2+DG 2= ． 2
DE 不成立
⑶BE 2+DG2
2. 如图1，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD 是中线，CE ⊥BD 于点E ，交AB 于点F 。求证：∠ADF ＝∠CDE 。
简证：过点A 作AG ⊥AC 交CF 的延长线于点G 。 因为∠１＝90°
－∠３＝∠２，AC ＝BC ，
所以Rt △CAG ≌Rt △BCD （ASA ）。 所以AG ＝CD ＝AD ，∠G ＝∠CDE 。 因为∠４＝45°＝∠５，AF ＝AF, 所以△ADF ≌△AGF （SAS ）。 所以∠ADF ＝∠G ＝∠CDE 。
3. 如图 ，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，AE ＝求证：∠ADC ＋∠ABC ＝180°。
简证：过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F 。
1
（AD ＋AB ）。2
因为∠２＝∠３，AC ＝AC ，
所以Rt △ACF ≌Rt △ACE （AAS ）。 所以CF ＝CE ，AF ＝AE 。
因为AD ＋AB ＝２AE ，AB ＝AE ＋EB ， 所以EB ＝AE －AD 。 因为FD ＝AF －AD ， 所以EB ＝FD 。
所以Rt △CEB ≌Rt △CFD （SAS ）。 所以∠ABC ＝∠5。
所以∠ADC ＋∠ABC ＝∠ADC ＋∠５＝180°。
4. 已知：∠MAN ，AC 平分∠MAN ．
⑴在图1中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°， AB ＋AD AC ．（填写“＞”，“＜”，“＝”） ⑵在图2中，若∠MAN ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ⑶在图3中： ①若∠MAN ＝60°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，判断AB ＋AD 与AC 的数量关系，并说明理由；
②若∠MAN ＝α（0°＜α＜180°），∠ABC ＋∠ADC ＝180°，则AB ＋AD ＝____AC （用含α的三角函数表示, 直接写出结果，不必证明）
C C
D
D A A A B N B B
23. 解：
(1) AB ＋．--------------------------------------------------------------------------1分
(2) 仍然成立．
证明：如图2过C 作CE ⊥AM 于E ，CF ⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC平分∠MAN ，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC， ∴ △AEC ≌△AFC ， ∴ AE=AF，CE=CF．
∵ 在Rt △CEA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE．
∴ AE+AF=2AE=AC． ∴ ED+DA+AF=AC． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF ．
又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB ， ∴ △CED ≌△CFB ． ∴ ED=FB， ∴ FB+DA+AF=AC． ∴ AB+AD=AC (3)①AB+AD=3AC ．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC ≌△AHC ． ∴AG=AH． ∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=
A
3
AC ．∴AG+AH=3AC ． 2
∴GD+DA+AH=3AC ． 方法同(2)可证△GDC ≌△HBC ． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC ． ∴AD+AB=3AC ．
②AB ＋AD ＝2cos
2
·AC ．
5. 如图所示，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点
重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC=4，点E 为BC 的中点，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ，现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为EF ，点F 为折痕与y 轴的交点。
（1）求点G 的坐标；
（2）求折痕EF 所在直线的解析式；
（3）设点P 为直线EF 上的点，是否存在这样的点P ，使得以P 、F 、G 为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：（1）∵四边形ABCO 是正方形 ∴BC=OA=4
∵E 为CB 中点，∴EB=2 ∵MN//y轴，N （3，0） ∴MN ⊥EB ，且MB=NA=1 ∴EM=1
而
∴∠EGM=30°，∴MG=EG·cos30°=
∴G （3，） （2）∵∠EGM=30°
∴∠MEG=∠FEG=∠CEF=60° ∴CF=CE·tan60°
∴FO=
。∴F （0，
），E （2，4）
设直线EF 的解析式为
∴折痕EF 所在直线解析式为
（3）如图所示，
。
6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90 ，AD=AB=2,点E 是AB 边上一动点(点E
不与点A 、B 重合) ，连结ED ，过ED 的中点F 作ED 的垂线，交AD 于点G, 交BC 于点K, 过点K 作KM ⊥AD 于M ． (1) 当E 为AB 中点时，求
DM
的值； DG
AE 1DM
=, 则(2) 若的值等于 ； AB 3DG AE 1
=（n 为正整数）(3) 若， AB n DM 则的值等于 （用含n 的式子表示）． DG
答案：（1）连接GE ．
∵KM ⊥AD ，KG 是DE 的垂直平分线 ∴∠KMG=∠DFG=90° ∴∠GKM=∠GDF
∵MK=AB=AD,∠KMG=∠DAE=90° ∴ΔKMG ≌ΔDAE ∴MG = AE
∵E 是AB 中点，且AB=AD=2 ∴AE=MG=1
∵KG 是DE 的垂直平分线 ∴GE=GD 设GE=GD=x 则AG=2-x
在Rt ΔAEG 中，∠E AG=90°，
222
由勾股定理得（2-x ）+1=x
51DM 12(n -1) 2
= （2） （3） 2∴x= ∴DM=GD-GM= ∴
44DG 55n +1
7. 如图所示，等腰Rt △ABC 的直角边AB=2，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同
速度做直线运动。已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D 。
（1）设AP 的长为x ，△PCQ 的面积为S ，求出S 关于x 的函数关系式；
（2）当AP 的长为何值时，？
（3）作PE ⊥AC 于E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论。 答案：（1）①当点P 在线段AB 上时，如图（1）所示
∵AP=CQ=x，PB=2－x ∴
即
②当点P 在AB 延长线上时，如图（2）所示
∵AP=CQ=x，PB=x－
2
即（2）①令②令解得
，即，即，舍去负值。
。
故当AP 的长为时，
（3）作PF//BC交AC 的延长线于F ，则AP=PF=CQ，AE=EF ∴ ∴DF=CD
①当点P 在线段AB 上时， ∴
②当点P 在AB 的延长线上时，
，此方程无实根； 。
∴DE=EF－FD
故当P 、Q 运动时，线段DE 的长度保持不变，始终等于
8. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备
下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心，∠CAB =90 ，直线m 过点O , 过
A 、B 、C 三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点D 、E 、F .
(1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段BE 、CF 和AD 三者之间的数量关系并证明；
(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上
述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD 、BE 、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．
答案：（1）猜想：BE+CF=AD 证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心 ∴AO=2OM且AM ⊥BC
又∵EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF ∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD
（2）图2结论：
BE+CF=AD 证明：联结AO 并延长交BC 于点G ,
B
G
图2
A
B
M
图1
过G 做GH ⊥EF 于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点
∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点 ∴HG=
1
(EB+CF) 2
∴EB+CF=AD (3)CF－BE= AD
9. 已知：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD，∠C=90°，AB=BC=4，CD=6。
（1）点E 为BC 边上一点，EF//AD，交CD 边于点F ，FG//EA，交AD 边于点G ，若四边形AEFG 为矩形，求BE 的长；
（2）如图所示，将（1）中的∠AEF 绕E 点逆时针旋转为∠，交CD 边于点，且点与D 点不重合，射线交AB 边于点M ，作N//交AD 边于点N ，设BM 为x ，中，边上的高为y ，求y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围。
答案：（1）作AH ⊥CD 于点H （如图所示）
∵四边形AEFG 为矩形
∴∠AEF=90°
∴∠1+∠3=90°
∵∠C=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1=∠2
∵EF//AD。∴∠2=∠D ∴∠1=∠D
∵AB=BC=CH=4 ∴HD=CD－CH=2 ∴
∴tan ∠1=
∴BE=2，即E 为BC 的中点。
（2）如图所示，作NP ⊥CD 于点P ，则PN=y
可得∠4=∠5=∠6，它们的正切值相等。
即
。
，即
整理，得
当点与点D 重合时（如图所示）
∠BEM=∠EDC ，∴tan ∠BEM
∴x 的取值范围为
10. 在△ABC 中，AC=BC，∠ACB =90︒，点D 为AC 的中点．
（1）如图1，E 为线段DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连结CF ，过点F 作FH ⊥FC ，交直线AB 于点H ．判断FH 与FC 的数量关系并加以证明． （2）如图2，若E 为线段DC 的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
A
A
F
D F
D
H
E
C B
C
图1E 图2H
答案：（1）FH 与FC 的数量关系是：FH =FC ．
证明：延长DF 交AB 于点G ，
由题意，知 ∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF． ∴DG ∥CB ．
∵点D 为AC 的中点， ∴点G 为AB 的中点，且DC =1
2
AC ． ∴DG 为△ABC 的中位线． ∴DG =
1
2
BC ． ∵AC=BC， ∴DC=DG．
∴DC - DE =DG- DF． 即EC =FG．
∵∠EDF =90°，FH ⊥FC ，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°．
∴∠1 =∠2．
11如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，tan B =2.
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：DF -EF =2AF ；
A
D
F
E
H
C
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
A D
B P E C B E
图2 图1
答案：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ tan B =
D
A
D
C
B E
图3
C
AE
=2 BE
D
∴AE =2BE ．
∵E 为BC 的中点， ∴BC =2BE ．
∴AE=BC.
B P ∵ABCD 是平行四边形， E
∴AD=BC. 图8 ∴AE=AD.
（2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ， ∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，
∴△ADH ≌△AEF ．
∴∠HAD =∠F AE ，AH =AF ．
B
∴∠F AH ==90°． E
F
在Rt △F AH 中， AH =AF ， 图9 ∴FH =2AF ．
∴FH =FD -HD =FD -EF =2AF ． 即DF -EF =2AF ．
（3）按题目要求所画图形见图9，
线段DF 、EF 、AF 之间的数量 关系为：
H DF +EF =2AF ．
12．小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形.
（1）如图①所示△ABC ，△DBE ，两直角边交于点F ，过点F 作FG ∥BC 交AB 于点G ，
连结BF 、AD ，则线段BF 与线段AD 的数量关系是 ；直线BF 与直
线AD 的位置关系是 ，并求证：FG ＋DC ＝AC ；
（2）如果小华将两块三角板△ABC ，△DBE 如图②所示摆放，使D 、B 、C 三点在一
条直线上，AC 、DE 的延长线相交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AE 于点G ，
连结AD ，FB ，则FG 、DC 、AC 之间满足的数量关系式是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG
＝DC ＝5，将一个45°角的顶点与点B 重合，
并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于P 、Q 两点（如图③），线段DF
分别与线段BQ 、BP 相交于M 、N 两点，若PG ＝2，求线段MN 的长．
12-1 12-2
12-3
答案．
B
A E G
D
（1）结论：
则线段BF 于线段AC 的数量关系是：相等；直线BF 于直线AC 的位置关系是：互相垂直；
证明： ∆ABC 、∆BDE 是等腰直角三角形 ∴∠ABC =∠BAC =∠BDE =45︒，
AD ⊥BC
∴∠CFD =45︒
∴CD =CF
FG //BC
∠AGF =∠ABC =45︒
∴FG =AF
AD =AF +FC
∴AD =FG +DC
（2）FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系式是FG =AD +DC ； （3）过点B 作BH ⊥FG 垂足为H ，过点P 作PK ⊥AG 垂足为K
FG //BC , C 、D 、B 在一条直线上， 可证∆AFG 、∆DCF 是等腰直角三角形，
AG =72, CD =5
∴根据勾股定理得：AF =FG =7, FD =5∴AC =BC =2 ∴BD =3
BH ⊥FG ，
2
∴BH //CF ，∠BHF =90︒
FG //BC
∴四边形CFHB 是矩形 ∴BH =5, FH =2
，FG //BC
∴∠G =45︒
∴HG =BH =5，BG =52
PK ⊥AG ，PG =2
∴PK =KG =
2
∴BK =52-2=42
∠PBQ =45︒, ∠HGB =45︒
∴∠GBH
=45︒
∴∠1=∠2
PK ⊥AG ，BH ⊥FG
∴∠BHQ =∠BKP =90︒ ∴∆BQH ∽∆BPK
∴
PK BK
= QH BH
4
∴QH =5
∴FQ =3 4
FG //BC
∴∠D =∠MFQ , ∠DBM =∠FQM ∴∆FQM ∽∆DBM
DM =42 ∠D =∠MFQ , ∠DNB =∠FNP
∴∆BDN ∽∆PFN ∴DN
FN
=
BD
PF
∴DN =
2
8
∴MN =42-
2172
= 88
13. (1)已知：如图1，△ABC 中，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE
和ACHF ，直线AN ⊥BC 于N ，若EP ⊥AN 于P ，FQ ⊥AN 于Q . 判断线段EP 、FQ 的数量关系，并证明；
(2)如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC , 分别以两腰AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若E P ⊥M N 于P ，FQ ⊥MN 于Q ．(1)中结论还成立吗？请说明理由.
E
Q
G
H
B
N 图1
C
B
P
F
G
E
Q M
H
N 图2
C P
F
答案：（1）线段EP 、FQ 的数量关系为相等．
∵EP ⊥AN ，AN ⊥BC ，
∴∠P =∠ANB =90︒，∠1+∠3=90︒． 又∵四边形ABGE 是正方形，
∴∠EAB =90︒，AE =AB ， ∴∠1+∠2=90︒． ∴∠3=∠2.
∴∆EPA ≌∆ANB ． ∴EP =AN ．
同理可证 F Q =A N ． ∴EP =FQ ．
（2）过点A 作JK ⊥AD 交EP 于J , 交BC 于K ,
过点D 作RT ⊥AD 交FQ 于R , 交BC 于T ．
G
E
P Q A
F
H
B
N 图1
C
∵PN ⊥AD 于M ， ∴JK ∥PN ． ∵AD ∥BC ,
∴四边形AKNM 为平行四边形． ∴AK =MN ．
J Q M
P R H F
G
B K N T 图2
C
同理可得DT =MN ． ∴AK =DT ．
又∵EP ⊥MN ，JK ∥PN , AD ∥BC , ∴JK ⊥EP ，JK ⊥BC ， 同（1）的证明可得 EJ =AK
, FR =DT ．
∴EJ =FR ．
由平行四边形JAMP 和QMDR 可知JP =AM 又∵AM =MD ,
∴JP =QR ． ∴EJ +JP =QR +RF ∴EP =FQ ．
∵△DEF 与△ADG 都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ．
∴ CF =FH ． （2）FH 与FC 仍然相等．
14 如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点M ，正方形MNPQ 与正方形ABCD
全等，射线MN 与MQ 不过A 、B 、C 、D 四点且分别交ABCD 的边于E 、F 两点. （1）求证：ME=MF；
（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC =2AB =4，其他条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系.
A
B
N
, QR =MD ．
D
Q
A
M
D
C
B
答案： 过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H . ∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点，∴MG=MH.
又∵∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90， ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中
∠1=∠2， MG=MH， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ≌△MHF . ∴ME=MF.
（2）解：①当MN 交BC 于点E ，MQ 交CD 于点F 时.
过点M 作MG ⊥BC 于点G ，MH ⊥CD 于点H .
∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90. ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中，
1=∠2
∠MGE=∠MHF ∴△MGE ∽△MHF . ∴
ME MG
=. MF MH
∵M 为矩形对角线AB 、AC 的交点，∴MB=MD=MC
又∵MG ⊥BC ，MH ⊥CD ，∴点G 、H 分别是BC 、DC 的中点. ∵BC =2AB =4， ∴MG =
11
AB , MH =BC . 22
∴
ME 1
=. MF 2
A
E G
②当MN 的延长线交AB 于点E ，MQ 交BC 于点F 时. 过点M 作MG ⊥AB 于点G ，MH ⊥BC 于点H .
D
C
P
Q
∴∠MGE=∠MHF=90.
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点， ∴∠1+∠GMQ=∠2+∠GMQ=90. . ∴∠1=∠2.
在△MGE 和△MHF 中，
1=∠2， ∠MGE=∠MHF . ∴△MGE ∽△MHF . ∴
ME MG
=. MF MH
∵M 为矩形对角线AC 、BD 的交点，∴MB=MA=MC.
又∵MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，∴点G 、H 分别是AB 、BC 的中点. ∵BC =2AB =4，∴MG =
∴
11
BC , MH =AB . 22
ME
=2. MF
③当MN 、MQ 两边都交边BC 于E 、F 时.
过点M 作MH ⊥BC 于点H .
∴∠MHE=∠MHF =∠NMQ=90. ∴∠1=∠3，∠2=∠4.
∴△MEH ∽△FEM ，FMH ∽△FEM .
ME MH FM MH
== ∴，. FE FM FE EM
∵M 为正方形对角线AC 、BD 的交点， ∴点M 为AC 的中点.
又∵MH ⊥BC ，∴点M 、H 分别是AC 、BC 的中点. ∵BC =2AB =4，∴AB=2. ∴MH=1. ∴∴
N
1FM FM 1EM EM
====， . ME MH ⋅EF EF MF MH ⋅EF EF
11FM 2+EM 2
+==1. ………………6分 ME 2MF 2EF 2
P
④当MN 交BC 边于E 点，MQ 交AD 于点F 时. 延长FM 交BC 于点G .
易证△MFD ≌△MGB . ∴MF=MG.
同理由③得
ME 1ME 11
=2或+=1. =或
ME 2MF 2MF 2MF
14. 已知：△AOB 中，AB =OB =2，△COD 中，CD =OC =3, ∠ABO =∠DCO . 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
综上所述：ME 与MF 的数量关系是
11
+=1. MG 2ME 2
11+=1. ∴
ME 2MF 2
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =60，则△PMN 的形状是
________________，此时
AD
=________； BC
(2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且∠ABO =2α，证明△PMN ∽△BAO ，并计算
AD
的值（用含α的式子表示）； BC
(3) 在图2中，固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值. 答案：(1)等边三角形，1；(每空1分) ------------------------2分
（2）证明：连接BM 、CN .
由题意，得BM ⊥OA ，CN ⊥OD , ∠AOB =∠COD =90︒-α. ∵ A 、O 、C 三点在同一直线上， ∴ B 、O 、D 三点在同一直线上.
∴ ∠BMC =∠CNB =90. ∵ P 为BC 中点，
1
∴ 在Rt △BMC 中，PM =BC .
2
在Rt △BNC 中，PN =
∴ PM =PN . 1BC . 2
1BC 为半径的圆上. 2∴ B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，
∴ ∠MPN =2∠MBN .
1∠ABO =α， 2
∴ ∠MPN =∠ABO .
∴ △PMN ∽△BAO .
MN AO =∴ . PM BA
11由题意，MN =AD ，又PM =BC . 22
AD MN =∴ . BC PM
AD AO =∴ . BC BA
AM =sin α. 在Rt △BMA 中，AB
∵ AO =2AM ，
AO =2sin α. ∴ BA
AD =2sin α. ∴ BC
5（3）. 2又∵ ∠MBN =