全等三角形的性质和判定定理
全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．是本章学习的重点。全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．下面我们主要讨论一下全等三角形的性质和判定定理的复习。
首先，我们要明白这两节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法，难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识。这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。
1.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。
2.全等三角形的判定方法：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
3.证明三角形全等的基本思路：
找第三边（SSS）(1)已知两边：找夹角(SAS)
若有直角（HL或SAS）
找这边的另一邻角（ASA）已知一边与邻角找这个角的另一边（SAS）
找这个边的对角（AAS） （2）已知一边一角已知一边与对角找一角（AAS）已知是直角，找一边（HL）
(3)已知两角找夹边（ASA）
找夹边外任一边（AAS）
三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．下面我们举几个具体的例子来说明全等三角形的性质和判定定理的应用。
例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，
点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）求证AP＝AQ；
（2）求证AP⊥AQ．
分析 （1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP
≌△QCA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PAQ＝90°．
证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°．
在Rt△AEC和Rt△ADB中，
∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，
∴∠ABP＝∠ACE．
在△ABP和△QCA中，
BP＝CA（已知），
∠
ABP＝∠ACE（已证），
AB＝QC（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS）．
∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）．
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）．
又∵∠P＋∠PAD＝90°，
∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，
即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．
例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形
的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．
分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根
据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．
已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，
AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．
判断∠B和∠B′的关系．
解：∠B＝∠B′．理由如下：
∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，ABAB, ADAD,
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．
∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．
规律·方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上
诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．
例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，
∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边
上的F处，你能获得哪些结论?
分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等
不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．
解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．
②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．
③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，
∠CEB＝∠FEB．
④∠AEB＝90°或EA⊥EB．
⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.
【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推
理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．
全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题
抽象成几何问题来解决，一般难度不大．
例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的
木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．
分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，
而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．
解：影子一样长．理由如下：
因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．
因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．
在△ABC和△A′B′C′中，
∠ABC＝∠A′B′C′,
∠ACB＝∠A′C′B′,
AB＝A′B′,
所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），
所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．
全等三角形的性质和判定定理
全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．是本章学习的重点。全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．下面我们主要讨论一下全等三角形的性质和判定定理的复习。
首先，我们要明白这两节课的重点是全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法，难点是根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识。这里我们列出重要知识点和基本的解题思路。
1.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等；对应角相等。
2.全等三角形的判定方法：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
3.证明三角形全等的基本思路：
找第三边（SSS）(1)已知两边：找夹角(SAS)
若有直角（HL或SAS）
找这边的另一邻角（ASA）已知一边与邻角找这个角的另一边（SAS）
找这个边的对角（AAS） （2）已知一边一角已知一边与对角找一角（AAS）已知是直角，找一边（HL）
(3)已知两角找夹边（ASA）
找夹边外任一边（AAS）
三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．下面我们举几个具体的例子来说明全等三角形的性质和判定定理的应用。
例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，
点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．
（1）求证AP＝AQ；
（2）求证AP⊥AQ．
分析 （1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP
≌△QCA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PAQ＝90°．
证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°．
在Rt△AEC和Rt△ADB中，
∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，
∴∠ABP＝∠ACE．
在△ABP和△QCA中，
BP＝CA（已知），
∠
ABP＝∠ACE（已证），
AB＝QC（已知），
∴△ABP≌△QCA（SAS）．
∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）．
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）．
又∵∠P＋∠PAD＝90°，
∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，
即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．
例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形
的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．
分析 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根
据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．
已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，
AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．
判断∠B和∠B′的关系．
解：∠B＝∠B′．理由如下：
∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．
在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，ABAB, ADAD,
∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（ HL）．
∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．
规律·方法 边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上
诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．
例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，
∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边
上的F处，你能获得哪些结论?
分析 对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等
不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．
解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．
②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．
③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，
∠CEB＝∠FEB．
④∠AEB＝90°或EA⊥EB．
⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.
【解题策略】 本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推
理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．
全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题
抽象成几何问题来解决，一般难度不大．
例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的
木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．
分析 本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，
而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．
解：影子一样长．理由如下：
因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．
因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．
在△ABC和△A′B′C′中，
∠ABC＝∠A′B′C′,
∠ACB＝∠A′C′B′,
AB＝A′B′,
所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），
所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．