习题解答（一）
1-4 一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。
（1） 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；
（2） 若每个字母出现的可能性分别为
P A =1/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10
试计算传输的平均信息速率。
解：(1) I =log 2
1
=log 2M =log 24=2(bit /符号) P (x )
传输每个符号占用的时间为：∆t =2⨯（5m s /符号）=10（m s /符号）
I 2
则：R b ===200(bit /s ) -3
∆t 10⨯10（2）H (x ) =-∑P (x i )[log2P (x i )]
i =1n
11111133=-log 2-log 2-log 2-log 2≈1. 985(bit /符号)
5544441010
I 1. 985
则：R b =≈=198. 5(bit /s ) -3
∆t 10⨯10
1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用
持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的1/3： （1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。
解：(1) 因为划出现的概率是点出现概率的1/3，所以点出现的概率为P 1=3/4，
划出现的概率为P 2=1/4。故
3
I 1=-log 2P 1=-log 2≈0. 415(bit )
41
I 2=-log 2P 2=-log 2=2(bit )
431
H =P 1I 1+P 2I 2=⨯0. 415+⨯2=0. 81(bit /符号）
44
（2）
1-6 设一信息源的输出由128个不同的字符组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
1-9 如果二进制独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求R B 和R b ；有四进制信号，码元宽度为0.5ms ，求传码率R B 和独立等概时的传信率R b 。
解：（1）R B 2=
11
==2000(B ) -3T b 0. 5⨯10
11 ==2000(B ) T b 0. 5⨯10-3
R b 2=R B 2log 22=2000(bit /s ) （2）R B 4=
R b 4=R B 4log 24=4000(bit /s )
3-3 设z (t ) =X 1cos ω0t -X 2sin ω0t 是一随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ
（1）E [z (t )]、E [z 2(t )]；
（2）z (t ) 的一维分布密度函数f (z ); （3）B(t1,t 2) 与R(t1,t 2) 。
2
的正态随机变量，试求：
解：（1）E [z (t )]=E [X 1cos ω0t -X 2sin ω0t ]
=E [X 1cos ω0t ]-E [X 2sin ω0t ]=E [X 1]cos ω0t -E [X 2]sin ω0t =0E [z 2(t )]=E [(X 1cos ω0t -X 2sin ω0t ) 2]
2
=E [X 12]cos 2ω0t -2E [X 1]E [X 2]cos ω0t sin ω0t +E [X 2]sin 2ω0t
=σ2(cos2ω0t +sin 2ω0t ) -0=σ2
（2）因为X 1、X 2为正态分布，所以z (t ) 也为正态分布，
又
E [z (t )]=0，D [z (t )]=E [z 2(t )]-E 2[z (t )]=σ2
1
z 2所以f (z ) =exp(-2)
2σ2πσ
（3）R (t 1, t 2) =E [z (t 1) z (t 2)]
=E [(X 1cos ω0t 1-X 2sin ω0t 1)(X 1cos ω0t 2-X 2sin ω0t 2)]
2
=E [X 12]cos ω0t 1cos ω0t 2+E [X 2]sin ω0t 1sin ω0t 2
-E [X 1]E [X 2]cos ω0t 1sin ω0t 2-E [X 2]E [X 1]sin ω0t 1cos ω0t 2=σ2cos[ω0(t 2-t 1)]=σ2cos ω0τ
B (t 1, t 2) =R (t 1, t 2) -E [z (t 1)]E [z (t 2)]=R (t 1, t 2) =σ2cos ω0τ
3-4 求乘积z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为
R x (τ) 、R Y (τ)。
解：R (t 1, t 2) =E [z (t 1) z (t 2)]=E [X (t 1) Y (t 1) X (t 2) Y (t 2)]
=E [X (t 1) X (t 2)]E [Y (t 1) Y (t 2)]=R X (τ) R Y (τ)
3-5 已知随机过
程
广义平稳过程，且其自相关函数为
，其中m(t)是
随机变量θ在(0,2π) 上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。
(1)证明:z(t)是广义平稳的; (2)试画出自相关函数R z (t ) 的波形; (3)试求功率谱密度P z (f ) 及功率f 0
解 (1) 欲证随机过程Z(t)广义平稳，只需验证Z(t)的均值与时间无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关即可。
=
解：R z (τ) =E [z (t 1) z (t 2)]=E [m (t 1) Cos (ω0t 1+θ) ∙m (t 2) Cos (ω0t 2+θ)]
1
=E [m (t 1) m (t 2)]E [Cos (ω0t 1+θ) Cos (ω0t 2+θ)]=R m (τ) Cos ω0τ
2
可见，Z(t)的均值与时间t 无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关，故Z(t)广义平稳。
图形如下图所示：
(3) 因为Z(t)广义平稳，所以其功率谱密度P z （ω）⇔R z (τ) 。由图可见，R z (τ) 的波形可视为余弦函数与三角波的乘积。利用傅里叶变换的频域卷积性质，可得
平均功率：
3-7 一个均值为a ，自相关函数为R x (τ) 的平稳随机过程X(t)通过一个线性系统后的输出过程为
Y(t)= X(t)+ X(t-T) T 为延迟时间
（1） 试画出该线性系统的方框图；
（2） 试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。
解： （1）
:
(2) 根据平稳过程X(t)通过线性系统后的输出过程Y(t)也是平稳的，以及由维纳——辛钦定理可知R x (τ) ⇔P x （ω），R Y (τ) ⇔P y （ω）。
Y （t ）的自相关函数为
R Y (τ) =E [Y (t)Y (t +τ)]=E {[X (t ) +X (t -T )][X (t +τ) +X (t +τ-T )]}=2R x (τ) +R x (τ-T ) +R x (τ+T ) 功率谱密度为
P Y (ω) =2P X (ω) +P X (ω) e -jwT +P X (ω) e jwT =2(1+cos ωT ) P X (ω)
3-8 将一个均值为0、功率谱密度为n 0/2的高斯白噪声加到一个中心频率为ωc、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。
（1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。
图P2-1
解：（1）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为：
⎧n 0/2
P no (ω) =⎨
⎩0故
ω±ωc ≤πB
其余ω
n 0
⨯2BSa (πB τ) cos ωc τ2
R no (τ) =F -1[P no (ω)]=
=n 0BSa (πB τ) cos ωc τ
(2) 因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又，R no (∞) =E [n o (t )]=0,
R no (0) -R no (∞) =σ2=n 0B -0=n 0B ，所以，D [n o (t )]=σ2=n 0B 故输出噪声的一维概率密度为：x 2f (x ) =exp(-)
2n 0B 2πn 0B
1
4 -5 某个信息源由A,B,C 和D 等4个符号组成。设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其他符号的条件概率P(x i /y i ) 均为1/1024，试求出该信道的容量C 等于多少b/符号。
解 因信道噪声而损失的平均信息量为：
信源发送的平均信息量为：
4-6若习题4—5中的4个符号分别用二进制码组00,01,10,11表示，每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试求出该信道的容量C 等于多少b/s。
解 因为1个符号的传输时间=10ms，所以每秒传输100个符号。
所以：
C t =100*1.947=194.7(b/s)
4 -7设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有
16个亮度等级。若用3kHz 带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于l0dB ，试问需要传输多少时间?
解 由香农公式可得信道的最大信息速率(每秒内能够传输的平均信息量的最大值) 为：
一张图片所含的平均信息量为：
所以，需要的传输时间：
5-7设某信道具有双边噪声功率谱密度P n (f )=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz ，而载波为100kHz ，已调信号的功率为10kW 。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为10kHz 的一理想带通滤波器，试问：
（1） 该理想带通滤波器中心频率和通带宽度为多大？ （2） 解调器输入端的信噪功率比为多少？
（4） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。
解：（1）f 0=f c =100kHz ,
通带宽度等于已调信号带宽：B =2f H =2*5KHz =10KHz
（2） N i ==2P n (f ) ∙B =2⨯0. 5⨯10-3⨯10⨯103=10W
Si =10KW S i 10kW
∴==1000N i 10W （3） DSB 的调制度增益为2∴
S 0S
=G ⋅i =2⨯1000=2000N 0N i
（4） 对于DSB ：N 0=
1
N i =2. 5W ，又N 0=2P n 0(f ) B 4
N 2. 5-3
∴P n 0(f ) =0==0. 25⨯10(W /Hz ) 3 2B 2⨯5⨯10
5-9设某信道具有双边噪声功率谱密度P n (f )=0.5*10-3 W/Hz，在该信道中传输抑制载波的单边带（上边带）信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5 kHz，而载波为100 kHz，已调信号的功率为10 kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为5 kHz 的一理想带通滤波器，试问：
（1） 该理想带通滤波器中心频率为多少？ （2） 解调器输入端的信噪功率比为多少？
f H 解：（1）f 0=f c +=102. 5kHz
2
（2） N i =2⎰
f c +f H f c
P n (f ) df =2⎰
105k
100k
0. 5⨯10-3df =5W
S i 10kW ∴==2000N i 5W （3） SSB 的调制度增益为1S 0S i ∴=G ⋅=1⨯2000=2000N 0N i
5－10 某线性调制系统的输出信噪比为20dB ，输出噪声功率为
10-9W ，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB ，试求：
（1）DSB/SC时的发射机输出功率； （2）SSB/SC时的发射机输出功率。
解：设发射机输出功率为S T ，解调器输入信号功率为Si, 则传输损耗K= ST /Si=100(dB).
（1）DSB/SC的制度增益G=2，解调器输入信噪比
相干解调时：Ni=4No
因此，解调器输入端的信号功率：
发射机输出功率：
（2）SSB/SC制度增益G=1，则
解调器输入端的信号功率
发射机输出功率：
习题解答（一）
1-4 一个由字母A ，B ，C ，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。
（1） 不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；
（2） 若每个字母出现的可能性分别为
P A =1/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10
试计算传输的平均信息速率。
解：(1) I =log 2
1
=log 2M =log 24=2(bit /符号) P (x )
传输每个符号占用的时间为：∆t =2⨯（5m s /符号）=10（m s /符号）
I 2
则：R b ===200(bit /s ) -3
∆t 10⨯10（2）H (x ) =-∑P (x i )[log2P (x i )]
i =1n
11111133=-log 2-log 2-log 2-log 2≈1. 985(bit /符号)
5544441010
I 1. 985
则：R b =≈=198. 5(bit /s ) -3
∆t 10⨯10
1-5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用
持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的1/3： （1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。
解：(1) 因为划出现的概率是点出现概率的1/3，所以点出现的概率为P 1=3/4，
划出现的概率为P 2=1/4。故
3
I 1=-log 2P 1=-log 2≈0. 415(bit )
41
I 2=-log 2P 2=-log 2=2(bit )
431
H =P 1I 1+P 2I 2=⨯0. 415+⨯2=0. 81(bit /符号）
44
（2）
1-6 设一信息源的输出由128个不同的字符组成。其中16个出现的概率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
1-9 如果二进制独立等概信号，码元宽度为0.5ms ，求R B 和R b ；有四进制信号，码元宽度为0.5ms ，求传码率R B 和独立等概时的传信率R b 。
解：（1）R B 2=
11
==2000(B ) -3T b 0. 5⨯10
11 ==2000(B ) T b 0. 5⨯10-3
R b 2=R B 2log 22=2000(bit /s ) （2）R B 4=
R b 4=R B 4log 24=4000(bit /s )
3-3 设z (t ) =X 1cos ω0t -X 2sin ω0t 是一随机过程，若X 1和X 2是彼此独立且具有均值为0、方差为σ
（1）E [z (t )]、E [z 2(t )]；
（2）z (t ) 的一维分布密度函数f (z ); （3）B(t1,t 2) 与R(t1,t 2) 。
2
的正态随机变量，试求：
解：（1）E [z (t )]=E [X 1cos ω0t -X 2sin ω0t ]
=E [X 1cos ω0t ]-E [X 2sin ω0t ]=E [X 1]cos ω0t -E [X 2]sin ω0t =0E [z 2(t )]=E [(X 1cos ω0t -X 2sin ω0t ) 2]
2
=E [X 12]cos 2ω0t -2E [X 1]E [X 2]cos ω0t sin ω0t +E [X 2]sin 2ω0t
=σ2(cos2ω0t +sin 2ω0t ) -0=σ2
（2）因为X 1、X 2为正态分布，所以z (t ) 也为正态分布，
又
E [z (t )]=0，D [z (t )]=E [z 2(t )]-E 2[z (t )]=σ2
1
z 2所以f (z ) =exp(-2)
2σ2πσ
（3）R (t 1, t 2) =E [z (t 1) z (t 2)]
=E [(X 1cos ω0t 1-X 2sin ω0t 1)(X 1cos ω0t 2-X 2sin ω0t 2)]
2
=E [X 12]cos ω0t 1cos ω0t 2+E [X 2]sin ω0t 1sin ω0t 2
-E [X 1]E [X 2]cos ω0t 1sin ω0t 2-E [X 2]E [X 1]sin ω0t 1cos ω0t 2=σ2cos[ω0(t 2-t 1)]=σ2cos ω0τ
B (t 1, t 2) =R (t 1, t 2) -E [z (t 1)]E [z (t 2)]=R (t 1, t 2) =σ2cos ω0τ
3-4 求乘积z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为
R x (τ) 、R Y (τ)。
解：R (t 1, t 2) =E [z (t 1) z (t 2)]=E [X (t 1) Y (t 1) X (t 2) Y (t 2)]
=E [X (t 1) X (t 2)]E [Y (t 1) Y (t 2)]=R X (τ) R Y (τ)
3-5 已知随机过
程
广义平稳过程，且其自相关函数为
，其中m(t)是
随机变量θ在(0,2π) 上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。
(1)证明:z(t)是广义平稳的; (2)试画出自相关函数R z (t ) 的波形; (3)试求功率谱密度P z (f ) 及功率f 0
解 (1) 欲证随机过程Z(t)广义平稳，只需验证Z(t)的均值与时间无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关即可。
=
解：R z (τ) =E [z (t 1) z (t 2)]=E [m (t 1) Cos (ω0t 1+θ) ∙m (t 2) Cos (ω0t 2+θ)]
1
=E [m (t 1) m (t 2)]E [Cos (ω0t 1+θ) Cos (ω0t 2+θ)]=R m (τ) Cos ω0τ
2
可见，Z(t)的均值与时间t 无关，自相关函数仅与时间间隔τ有关，故Z(t)广义平稳。
图形如下图所示：
(3) 因为Z(t)广义平稳，所以其功率谱密度P z （ω）⇔R z (τ) 。由图可见，R z (τ) 的波形可视为余弦函数与三角波的乘积。利用傅里叶变换的频域卷积性质，可得
平均功率：
3-7 一个均值为a ，自相关函数为R x (τ) 的平稳随机过程X(t)通过一个线性系统后的输出过程为
Y(t)= X(t)+ X(t-T) T 为延迟时间
（1） 试画出该线性系统的方框图；
（2） 试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。
解： （1）
:
(2) 根据平稳过程X(t)通过线性系统后的输出过程Y(t)也是平稳的，以及由维纳——辛钦定理可知R x (τ) ⇔P x （ω），R Y (τ) ⇔P y （ω）。
Y （t ）的自相关函数为
R Y (τ) =E [Y (t)Y (t +τ)]=E {[X (t ) +X (t -T )][X (t +τ) +X (t +τ-T )]}=2R x (τ) +R x (τ-T ) +R x (τ+T ) 功率谱密度为
P Y (ω) =2P X (ω) +P X (ω) e -jwT +P X (ω) e jwT =2(1+cos ωT ) P X (ω)
3-8 将一个均值为0、功率谱密度为n 0/2的高斯白噪声加到一个中心频率为ωc、带宽为B 的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。
（1）求滤波器输出噪声的自相关函数； （2）写出输出噪声的一维概率密度函数。
图P2-1
解：（1）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为：
⎧n 0/2
P no (ω) =⎨
⎩0故
ω±ωc ≤πB
其余ω
n 0
⨯2BSa (πB τ) cos ωc τ2
R no (τ) =F -1[P no (ω)]=
=n 0BSa (πB τ) cos ωc τ
(2) 因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又，R no (∞) =E [n o (t )]=0,
R no (0) -R no (∞) =σ2=n 0B -0=n 0B ，所以，D [n o (t )]=σ2=n 0B 故输出噪声的一维概率密度为：x 2f (x ) =exp(-)
2n 0B 2πn 0B
1
4 -5 某个信息源由A,B,C 和D 等4个符号组成。设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4,1/4,3/16,5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其他符号的条件概率P(x i /y i ) 均为1/1024，试求出该信道的容量C 等于多少b/符号。
解 因信道噪声而损失的平均信息量为：
信源发送的平均信息量为：
4-6若习题4—5中的4个符号分别用二进制码组00,01,10,11表示，每个二进制码元用宽度为5ms 的脉冲传输，试求出该信道的容量C 等于多少b/s。
解 因为1个符号的传输时间=10ms，所以每秒传输100个符号。
所以：
C t =100*1.947=194.7(b/s)
4 -7设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有
16个亮度等级。若用3kHz 带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于l0dB ，试问需要传输多少时间?
解 由香农公式可得信道的最大信息速率(每秒内能够传输的平均信息量的最大值) 为：
一张图片所含的平均信息量为：
所以，需要的传输时间：
5-7设某信道具有双边噪声功率谱密度P n (f )=0.5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz ，而载波为100kHz ，已调信号的功率为10kW 。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为10kHz 的一理想带通滤波器，试问：
（1） 该理想带通滤波器中心频率和通带宽度为多大？ （2） 解调器输入端的信噪功率比为多少？
（4） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。
解：（1）f 0=f c =100kHz ,
通带宽度等于已调信号带宽：B =2f H =2*5KHz =10KHz
（2） N i ==2P n (f ) ∙B =2⨯0. 5⨯10-3⨯10⨯103=10W
Si =10KW S i 10kW
∴==1000N i 10W （3） DSB 的调制度增益为2∴
S 0S
=G ⋅i =2⨯1000=2000N 0N i
（4） 对于DSB ：N 0=
1
N i =2. 5W ，又N 0=2P n 0(f ) B 4
N 2. 5-3
∴P n 0(f ) =0==0. 25⨯10(W /Hz ) 3 2B 2⨯5⨯10
5-9设某信道具有双边噪声功率谱密度P n (f )=0.5*10-3 W/Hz，在该信道中传输抑制载波的单边带（上边带）信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5 kHz，而载波为100 kHz，已调信号的功率为10 kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为5 kHz 的一理想带通滤波器，试问：
（1） 该理想带通滤波器中心频率为多少？ （2） 解调器输入端的信噪功率比为多少？
f H 解：（1）f 0=f c +=102. 5kHz
2
（2） N i =2⎰
f c +f H f c
P n (f ) df =2⎰
105k
100k
0. 5⨯10-3df =5W
S i 10kW ∴==2000N i 5W （3） SSB 的调制度增益为1S 0S i ∴=G ⋅=1⨯2000=2000N 0N i
5－10 某线性调制系统的输出信噪比为20dB ，输出噪声功率为
10-9W ，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB ，试求：
（1）DSB/SC时的发射机输出功率； （2）SSB/SC时的发射机输出功率。
解：设发射机输出功率为S T ，解调器输入信号功率为Si, 则传输损耗K= ST /Si=100(dB).
（1）DSB/SC的制度增益G=2，解调器输入信噪比
相干解调时：Ni=4No
因此，解调器输入端的信号功率：
发射机输出功率：
（2）SSB/SC制度增益G=1，则
解调器输入端的信号功率
发射机输出功率：