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高一物理期中综合复习
一、曲线运动专题
（一）曲线运动中值得注意的几个问题 问题一：曲线运动的条件
物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它的速度方向不在同一条直线上。 概括：
（1）物体必须有初速度； （2）必须有合力；
（3）速度与合力的方向不在同一条直线上。
合外力对速度的影响：合外力不仅可以改变速度的大小，还可以改变速度的方向。 如图1-甲，与共线的分力
改变速度的大小；与垂直的分力
改变速度的方向。
图1-甲
如图1-乙、1-丙，将合力F 沿着速度方向和垂直速度方向分解为速度
改变速度的大小，垂直速度方向的分力
产生加速度
和
，沿着速度方向的分力
产生加
改变速度的方向。
图1-乙 图1-丙
问题二：运动的合成和分解 1. 怎样确定合运动和分运动？
物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。 2. 运动合成的规律
（1）合运动与分运动具有等时性； （2）分运动具有各自的独立性。 3. 如何将已知运动进行合成或分解 （1）在一条直线上的两个分运动的合成 例如：速度等于等于
2
的匀速直线运动与在同一条直线上的初速度等于零的匀加速直线运动的合运动是初速度
的匀变速直线运动。
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（2）互成角度的两个直线运动的合运动
两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。
一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。
初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变速直线运动。
总结规律：对于以上这些特例，我们可以通过图示研究会更加简便。具体做法：先将速度进行合成，再合成加速度，通过观察合速度与合加速度的方向是否共线，进而判定是直线运动还是曲线运动。如图2所示。
图2
问题三：关于绳子末端速度的分解
解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。
例：如图3，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车
角，且重物下滑的速率为时，小车的速度为多少？
问题四：（小船、汽艇等）渡河问题
有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。现将有关问题讨论如下，供大家参考。 处理此类问题的方法常常有两种：
（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。 （2）将船的速度
沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5，
为水流速度，则
为
沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成
船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。
图5
3
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问题1：渡河位移最短 河宽
是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽
呢？下面就这个问题
进行如下讨论： （1）
，只有使船垂直横渡，则应
，即
，因此只有
要使渡河位移最小为河宽
，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽。渡河时间。
图6
（2）
由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。
以水流速度的末端A 为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O 点作该圆的切线，交圆于B 点，此时让船速与半径AB 平行，如图7所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
由相似三角形知识可得
解得
渡河时间仍可以采用上面的方法
（3）
此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图8不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。
图8
4
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问题2：渡河时间最短；
渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度
越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，即（二）如何解决平抛运动中的常见问题 1. 理论基础
。
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，因此常用的公式有如下几点：（如图1）
图1
位移公式：
，
速度公式：
，
两者关系：
，
，
（P 点为OQ 的中点）
2. 典型例题分析 （1）利用速度公式解题
如图2所示，球做平抛运动，在球落地前抛运动的初速度。
，其速度方向与竖直方向的夹角由变为，求此球做平
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（2）利用位移公式解题 如图3所示，斜面高不计阻力，求抛出速度
，倾角为
，在斜面的顶点A 以
的速度水平抛出一小球，小球刚好落在B 点，
）
、小球在空中运动的时间？（
图3
（3）利用两者的关系公式解题 离开地面高度为1500m 处，一架飞机以
（4）用平抛曲线求初速度的n 种方法
在研究平抛物体运动的实验中，用实验描绘出的轨迹曲线求平抛物体的初速度一。现简析几种求初速度① 平抛规律法
根据平抛运动的规律，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。若实验描绘出的轨迹曲线如图5所示，选抛出点为坐标原点O 建立坐标系，则有
①
的方法，供参考。
，是本实验的主要目的之
的速度水平飞行。已知投下物体在离开飞机10s 时降
落伞张开，即做匀速运动，求物体落到地面时离出发点的水平距离。
②
二式联立得③
），分别代入③式求出多个
值，最后求出它们的平均值即
由轨迹曲线测出多个点ABCDE 的坐标（，为所求初速度
。
6
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② 轨迹方程法
由法1中的①、②消去，可得平抛轨迹方程结合图中轨迹曲线，若测出水平位移
，竖直位移
，
由轨迹曲线方程可导出，推证如下：
。
因为，，
所以
同理又
，
所以
显然，只要测出相等时间内的水平位移③ 纸带结论法
故
，即可求出初速度
。
和对应的竖直位移的差值
对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T 内的位移差重要结论。
对于法2的测量数据，有
④
⑤
都相等，且。这是处理纸带常用的一条
联立④、⑤二式可得。
，竖直位移依次为
、
另外，此法还可以扩展，若轨迹曲线上依次还有点D 、E 等，且水平位移均为等，则有
⑥
⑦
⑧
由⑥与⑦或⑧联立可得或
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故（1、2、3、„，2、3、4、„，且）
以上的分析给我们以启示，在处理实验或解题时，不要墨守成规过分依赖课本，要善于开动脑筋思考创新，寻找更好的方法和措施。这样，既提高了解题能力和速度，也有利于培养创新意识和发散思维。 （5）平抛运动中n 种常用的时间求解方法
平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。 ① 利用水平位移或竖直位移求解时间
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。
水平方向：，可得
竖直方向：，解得。
图6
② 利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间 例1：如图7，AB 为斜面，倾角为飞行的时间。
例2：如图8，以地撞在倾角为
的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ ）
，小球从A 点以初速度
水平抛出，恰好落到B 点，求物体在空中
A. B. C. D. 求解时间
④ 利用匀变速直线运动的推论
例3：如图10，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A 、B 间的水平距离和B 、C 间的水平距离都是初速度
8
，AB 间的竖直距离是等于多少？
，BC 间的竖直距离是25cm 。若取，则小球平抛的
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推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P （，）的速度的反向延长线交于轴的例4：如图11，将一小球从坐标原点沿着水平轴M 为P 点在
以
处。
的速度抛出，经过一段时间到达P 点，
轴相交于Q 点，已知
，
轴上投影，做小球轨迹在P 点的切线并反向延长，与
则小球运动的时间为多少？
图11
（6）平抛运动中偏转角的应用
在平抛运动中涉及角度问题常有两类：位移偏转角和速度偏转角。 例如：如图12是初速度为
的物体做平抛运动的轨迹图，OA 是物体运动到A 点时的位移，是物体在A
为速度偏转角，则有
点时的速度，其中为位移偏转角，
，。
图12
如能恰当的应用这一规律，解题就可事半功倍，应用如下： 例：如图13，小球在斜面上A 点以速度（1）小球何时离斜面最远； （2）小球何时落在斜面上的C 点？
（3）小球刚要落到斜面上时，速度方向与斜面间的夹角？
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水平抛出，落在斜面上的C 点，已知斜面倾角为，求：
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【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确） 1. 关于物体的运动下列说法正确的是（ ） A. 物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零 B. 做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态 C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变
D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上 2. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ） A. 速率 B. 速度 C. 加速度 D. 合外力 3. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动（速度大小相等，方向相反除外） C. 只要两个分运动是直线运动，那么它们的合运动也一定是直线运动 D. 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 4. 将一小球从距地面高处，以初速度
水平抛出，小球落地时速度为，它的竖直分量为
，则下列
各式中计算小球在空中飞行时间正确的是（ ）
A. B. C. D.
大于B 球的初速度
，
5. 在高度为的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A 和B ，若A 球的初速度则下列说法中正确的是（ ） A. A球比B 球先落地
B. 在飞行过程中的任一段时间内，A 球的水平位移总是大于B 球的水平位移 C. 若两球在飞行中遇到一堵墙，A 球击中墙的高度大于B 球击中墙的高度
D. 在空中飞行的任意时刻，A 球总在B 球的水平正前方，且A 球的速率总是大于B 球的速率 6. 如图1所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ） A. 匀速运动 B. 匀加速运动 C. 变加速运动 D. 减速运动
7. 如图2所示，在研究平抛运动时，小球A 沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关S ，被电磁铁吸住的小球B 同时自由下落，改变整个装置的高度H 做同样的实验，发现位于同一高度的A 、B 两球总是同时落地，该实验现象说明了A 球在离开轨道后（ ） A. 水平方向的分运动是匀速直线运动 B. 水平方向的分运动是匀加速直线运动 C. 竖直方向的分运动是自由落体运动 D. 竖直方向的分运动是匀速直线运动
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二. 填空题（把答案填在题中的横线上） 8.
已知船在静水中行驶速度为
可利用 法则求得。如果
，河水的速度为
和
垂直，则
（
），要求船在河水中行驶的速度为
，则
等于 。如果使船到达正对岸，的方向应 。
的方向应偏向
河水的 游。要使船到达对岸时间最短，则
9. 以16m/s的速度水平抛出一石子，石子落地的速度方向与抛出时速度方向成那么石子抛出点与落地点的高度差为 m，石子落地时速率 为 m/s。（
10. 如图3所示，在倾角为
，
，
）
角。不计空气阻力，
的斜面上A 点，以初速度水平抛出一小球，小球落在斜
面上的B 点，不计空气阻力，求小球落到B 点的速度大小为 。
三. 解答题（解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，答案中必须明确写出数值和单位。） 11. 一物体做平抛运动，在落地前速度和下落的高度。（
12. 有A 、B 两小球，用长为L=4m的细绳连接，现将A 、B 两球从同一点以相同的水平速度后抛出，A 球先抛，相隔的时间为细绳恰可拉直？
，取
先
内，它的速度与水平方向的夹角由）
变为
，求物体抛出时的初
。求A 球抛出后，经过多少时间，两球间的
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【试题答案】
1. AC 2. B 3. BD 4. ACD 5. BCD 6. C 7. C 8. 平行四边形，10. 11. ，上；与河岸垂直 9. 7.2；20
；
12. 1.0秒
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二、匀速圆周运动专题
匀速圆周运动（一） 知识要点
1. 匀速圆周运动、圆周运动；运动轨迹为圆或圆的一部分，这样的运动叫圆周运动。如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。
匀速圆周运动的轨迹为曲线，所以匀速圆周运动是变速运动，匀速是运动的快慢程度不改变。 匀速圆周运动是变速运动，所以做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零。 2. 描述圆周运动的物理量
（1）线速度：线速度大小又叫速率，用表示，则沿弧运动得越快。
线速度的方向为圆的切线方向。 线速度就是圆周运动的瞬时速度。
，S 为弧长，为通过这段弧长的时间，速率越大
（2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的角度的单位是弧度，时间单位是秒，都相同，所以角速度都相同。
，与所用时间比叫角速度。
角速度的大小描述了做
的单位就是弧度/秒，用字母表示为
圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变形的物体转动中任何点转过的角度（3）周期：使圆运动运动一周的时间叫周期用字母T 表示，单位为秒。 周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。
（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号赫兹（
），
越大，转动就越快。
表示单位又叫
（5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。
各量之间的关系，线速度与角速度
，
R 一定，与（6）
成正比，
，
一定与R 成正比，一定，与R 成反比。
的关系：
（7）向心加速度
① 物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
② 大小：3. 匀速圆周运动
③ 方向：总是指向圆心，与线速度方向垂直
（1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。 （2）运动学特征：线速度大小、向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动。
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4. 向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。
（2）大小：
（3）产生：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力。 5. 向心加速度的分析
向心加速度是向心力的效果，其方向与向心力相同，总是指向圆心。
从运动的角度看，向心加速度是描述做匀速圆周运动的物体的速度方向变化情况的物理量，其计算公式
由上式可以看出：当线速度v 一定时，向心加速度a 跟轨道半径r 成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a 跟r 成正比；由于6. 圆周运动中向心力的特点
（1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。
（2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化．求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
【典型例题分析】
，所以a 总是跟v 与
的乘积成正比。
[例1] 皮带传动装置，
，求与v 的大小关系？
[例2] 地球的半径约为R=6400km，试计算： （1）赤道上的物体随地球自转的线速度多大？ （2）北纬
的地方，随地球自转的角速度、线速度各是多少？
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[例3] 大型转盘，在水平面内绕竖直轴转动，在转动盘的边缘上的人向转盘中心的靶子瞄准射击，能否击中靶子？若不能，应该怎样瞄准才能击中靶子，设转盘半径为R ，角速度为
[例4] 如图所示，小球Q 自空中自由下落从转动的圆形纸筒穿过。如图所示，纸筒绕水平轴匀速转动，已知转动角速度
，半径
，
取
，若小球穿筒壁时能量损失不计，撞击时
。
间也可不计，小球穿过后纸筒上只留下一个孔。试求小球下落小高度是多少？
【模拟试题】
1. 关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是（ ）
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比 2. 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度越大，周期一定越小 B. 角速度越大，周期一定越小 C. 转速越大，周期一定越小 D. 圆周半径越小，周期一定越小 3. 机械表的时针与分针做圆周运动（ ） A. 分针角速度是时针角速度的12倍 B. 分针角速度是时针速度的60倍
C. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍 D. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍
4. 如图所示，电视画面每（ ）
s 更迭一帧，当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时，观众如果注视车轮的
辐条，往往会产生奇怪的感觉，设车轮上有八根对称分布的完全相同的辐条，试问：下列说法哪些正确
A. 若在s 内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的
B. 若在s 内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是不动的
C. 若在s 内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的
D. 若在s 内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的
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5. 如图所示，一圆盘绕过O 点的竖直轴在水平面内旋转，角速度为ω，半径R ，有人站在盘边缘Ｐ点处面对O 随圆盘转动，他想用枪击中盘中心的目标O ，子弹发射速度为V 则（ ） A. 枪应瞄准O 点射击
B. 枪应向PO 左偏过θ角射击，cos ＝
C. 枪应向PO 左方偏过θ角射击，tan =
D. 枪应向PO 左方偏过θ角射击，sin
= 6. 如图所示为一球体绕轴OO ’以角速度A. AB两点具有相同的角速度 B. AB两点具有相同的线速度 C. A、B 两点加速度方向都指向球心 D. A、B 两点的转动周期相同
旋转，A 、B 为球体上的两点，下面几种说法正确的是（ ）
7. 甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R 的圆周跑道匀速跑步．在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度分别为ω1、ω2和v 1、v 2，则（ ） A. C.
，，
B. D.
，，
8. 地球自转的周期是 s ；地球的半径为6400km ，放在赤道上的物体随地球自转运动的线速度是 m/s。
9. 手表分针的长度为1.8cm ，转轴到手表分针尖端的距离是1.5cm ，则分针尖端的线速度的大小是 m/s。
10. 已知某人骑自行车1.0分钟蹬了10圈，车轮与脚蹬轮盘转数之比为3：1，车轮边缘转动的线速度大小为 m/s。（车轮直径为0.7m ）
11. 如图所示，在轮B 上固定有同轴小轮A ，轮Ｂ通过皮带带动轮C ，皮带和两轮之间没有滑动，Ａ、B 、C 三轮的半径依次为r 1、r 2和r 3，绕在A 轮上的绳子，一端固定在Ａ轮边缘上，另一端系有重物Ｐ，当重物Ｐ以速率v 匀速下落时，C 轮转动的角速度为 。
12. 半径为10cm 的砂轮，转速为5r ／min ，则砂轮旋转的角速度多大? 砂轮上距轴不同距离的点，角速度是否相等? 线速度是否相等? 砂轮边缘上的点的线速度多大？
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13. 如图所示，皮带轮O 1、O 2的半径之比求：A 、B 、C 三点的向心加速度之比？
，A 、B 分别为轮边缘上的点，，
14. 地球表面赤道上的人和纬度45°处的人随地球自转的角速度之比为多少？线速度之比为多少? 15. 如图所示，A 轮通过皮带带动B 轮，C 轮与B 轮同轴，已知R A ：R B ：R C =2：1：2，皮带传动时不打滑，试求：
（1）三轮边缘的线速度之比 （2）三轮的旋转周期之比
【试题答案】
1. B 2. BC 3. AC 4. AD 5.D 6. AD 7. C 8.
；
9.
10. 13.
11. 14.
12. ；
；是，不是，
15.（1）
（2）
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圆周运动（二）
二. 知识要点：
深刻理解向心力的概念，知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，这一个力或几个力的合力就是向心力，会对圆周运动的物体进行受力分析，会找向心力。知道物体做匀速圆周运动的条件，知道什么是近心运动，什么是离心运动，知道外力大于向心力做近心运动，外力小于向心力，做离心运动。
三. 重难点分析： 1. 向心力及来源
物体做圆周运动有加速度
产生这个加速度的力就叫向心力，这个力的大小为
。方向总是指向圆心。只要物体所受外力大小为
这个力就可以做向心力，若几个力的合力大小为
，方向总指向圆心，那么
，方向指向圆心，那么这几个力的合力做向心力。因
此① 向心力是根据力的效果命名的，不是单独一种性质的力。② 向心力可以由一个力提供也可以由几个力的合力充当，既几个力共同做向心力，还可以由某一个力的分力作向心力。
2.
做匀速圆周运动的条件，近心运动，离心运动。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合大小
方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。
若合外力则F 所产生的加速度大于，在垂直于v 方向改变得过快，速度偏向圆心过多，运动
半径减小做近心运动。
若合外力3. 实例分析 （1）火车转弯
则F 所产生的加速度比做半径不变的圆周运动加速度小，偏向圆心方向速度的改变
慢，运动的半径增大，做远离圆心的运动简称离心运动。
火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。
见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨外轨，与列车前进方向无关。
取水平面内转弯半径为r ，内外轨距为d ，内外轨高度差为h 。 转弯时竖直截面见右图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方为
。
方向
两轨道连线倾角为
，
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而
为转弯时速率
∴
转弯时速率则外力的合力恰好等于向心力，若则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车
向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。 当
则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车
对内轨有向圆心方向的推力。
火车提速转弯半径r 不改变则内外轨道高差h 要增加，不然火车转弯有危险。 （2）汽车过拱形桥和凹形山坡底，设拱形桥半径为r ，汽车速率为v 。
等大比重力小。
汽车对桥面压力与
若v 足够大使则汽车对桥面无压力，汽车即将离开桥面。
若汽车没有离开桥面半径与竖直方向成角，
即使v 不变，也会随增大而减小。当
时，
（3）圆锥摆
减小到零，汽车也即将离桥面。
长度为的细绳下端拴一个质量为m 的小球，固定绳的上端，使小球沿水平面内的圆做匀速圆周运动。
细绳转动恰好形成一个锥面，所以叫圆锥摆。 设绳与竖直方向成角，球转动的角速度为
而
。
∴
当一定，越大一定是
越大，T 越小，即转得快。
∴ 圆锥摆转动越快，悬线偏离竖直方向越多
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（4）上述圆锥摆运动中若线速度突然增大，则周运动半径增大。
增大，而，小球就要做离心运动使圆
相反若速度减小就要做近心运动，运动半径逐渐减小。
即外力小于向心力时就要做离心运动，外力大于向心力时就要做近心运动。 4. 应用匀速圆周运动规律求解问题的步骤和方法。 （1）确定研究对象
（2）找到运动过程中的状态变化，即从什么位置开始做圆周运动，要求的状态是否为圆周运动。 （3）对研究对象分析受力，尤其注意确定向心力方向。
（4）建坐标系原点在圆心，指向圆心为正方向，坐标轴随物体运动而运动。（转动的坐标系） （5）由牛顿第二定律列方程。注意未知量个数，列方程个数。 注意：作用力，反作用力关系。 （6）解方程，进行必要的讨论。 【典型例题分析】
[例1] 匀速行进中的小车下面悬挂一个重物，若绳长为，行进速度为v ，当小车突然刹车停止运动悬绳的拉力多大？（已知悬挂重物质量为m ）
[例2] 过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简化为下面问题。竖直平面内的圆形轨道半径为R 。过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道上做圆周运动，求在圆形轨道最高点，车的最小速度。
[例3] 汽车与路面之间的动摩擦因数
，转弯处弯道半径为
，
取
。
（1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？ （2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为（3）若是（2）中转弯路面，最大转弯速度是多少？
，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。
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[例4] 质量为
和的小球分别固定在长为的轻杆两端。转杆绕过中点的水平轴匀速转动。若轻杆转
动中对轴的作用力最小为零，求对轴作用力最大值。
[例5] 如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P 在水平板上绕O 点做半径为a 的圆周运动，速率为点距离增大到b 。 求：
（1）小球以b 为半径做匀速圆周运动的速率 （2）小球运动由绳长为a 到绳长为b 的时间。
【模拟试题】
1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 （ ） A.
B.
C.
D.
。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O
2. 以相同的材料做成的A 、Ｂ、C 三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，
且
，
A. C的向心加速度最大 B. A受到的摩擦力最大 C. 转速增大时，C 比B 先滑动
D. 转速增大时，B 比A 先滑动
3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A 和B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A 球运动的半径大于B 球运动的半径，则（ ） A. A球的角速度必小于B 球的角速度 B. A球的线速度必小于B 球的线速度 C. A球运动的周期必大于B 球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K 倍，在水平面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为（ ） A. v=KC. v≤
21
，则（ ）
B. v≤ D. v≤
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5. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A 点，遇到一段半径为R 的圆弧曲面AB ，然后落到水平地面的C 点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC 的最小距离为（ ） A. 0 B. R C.
R D. （
－1）
R
6. 如图所示，已知半圆形碗半径为R ，质量为M ，静止在地面上，质量为m 的滑块滑到圆弧最底端速率为v ，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
A. mg＋m B. Mg＋mg ＋m
C. D. Mg＋mg —m
7. 如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的水平细杆上，穿有质量分别为m 和M 的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则（ ）
A. 当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B. 当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动 C. 若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动 D. 若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动 8. 关于向心力的说法中正确的是（ ） A. 物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B. 向心力是指向圆心方向的合力，是根据作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或者某几种力的合力 D. 向心力只改变物体的运动方向，不改变物体的运动快慢 9. 两个做匀速圆周运动的物体，其质量之比为
，角速度之比为
，线速度之比为
，则它们的
向心加速度之比为 ，它们所需向心力之比为 。
10. 一个做匀速圆周运动的物体，如果半径不变而速率增加到原来速率的3倍，其向心力增加了64N ，那么物体原来受到的向心力的大小是 N。
11. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R 。若要物体不滑下，则圆筒转动的角速度至少为 。
12. 地球在自转的过程中，质量为m 、站在赤道上的人A 和质量为2m 、站在北纬
位置的
人B ，随地球一起转动，A 和B 随地球转动的角速度之比为 ，A 和B 随地球转动的线速度之比为 ，A 和B 随地球转动的向心加速度之比为 ，A 和B 随地球转动的向心力之比为 。 13. 用绳的一端拴一重物，手握绳的另一端使重物在竖直面内做圆周运动，试分析重物 到达最高点与最低点时向心力的来源，绳子在哪一点受到的拉力大? 为什么?
14. 如图所示，高为h 竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有入口A ，在A 的正下方处有出口B ，一质量为m 的小球自入口A 沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B 处飞出，小球进入入口A 的速度应满足什么条件? 在运动过程中，球对筒压力多大?
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15. 如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm 的两个钉子A 和B ，长1m 的细绳一端系着质量为0.4kg 的小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球和钉子A 、B 在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N ，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？
16. 如图所示，弹簧一端固定在转轴上，另一端与小物块相连，物块在光滑水平面上绕轴做匀速圆周运动，
弹簧原长为0.5m ，劲度系数为100N ／m ，物块质量为多少?
kg ，当物块转动周期为0.2s ，弹簧的伸长量是
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【试题答案】
1. C 2. D 3. AC 4. B 5. D 6. B 7. CD 8. ABCD
9. ; 10. 8N 11. 12. ；；；
13. 略14. 小球速率俯视小球做匀速圆周运动时间为t 。A 、B
半径在同一方向，
竖直方向小球做自由落体运动，，
向心力
15. 设小球恰好断开时，运动半径为小球绕第三个半周时半径为
，
，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为
16. 设伸长量为。
解得
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三、万有引力专题
知识归纳： （一）知识体系：
（二）知识点归纳： 1、开普勒行星运动定律
第一定律（轨道定律）： 。 第二定律（面积定律）： 。 第三定律（周期定律及公式）： 。 2、万有引力定律
（1）用开普勒定律推导万有引力定律： （2）万有引力定律公式： 。
（3）万有引力定律适用条件： 。 （三）解题方法：
1、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法：
①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：（2）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
，R 为天体半径。
①由得 ∴r 越大， 得 ∴r 越大，
②由
③由
得 ∴r 越大，
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（3）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（ ）：v 1＝ km/s，人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（ ）：v 2＝ km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度（ ）：v 3＝ km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
（4）同步卫星的特点：
①同步卫星的周期T ＝ 。 ②同步卫星的高度H ＝ 。 ③同步卫星的线速度V ＝ 。 ④同步卫星一定都处在赤道上空（可证明）。 （5）万有引力和重力：
重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G
, g ＝GM/r常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高
2
2
度的增大而减小，即g h ＝GM/（r+h），比较得g h ＝（）·
g
2
在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ， 所以m 2g ＝F －F 向＝G 因地球自转角速度很小G
－m 2R ω自
>>m2R ω自, 所以m 2g ＝ G
2
2
2
＝m 2R ω自时，
2
假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G －m 2R ω自知物体的重力将变小，当G
m 2g ＝0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝得多.
，比现在地球自转角速度要大
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【典型例题】
1、万有引力定律及其适用条件：
【例1】如图所示，在一个半径为R 、质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？
（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m 的引
力
上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．
2、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）
由 得，又 得
【例2】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度。
3、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）
表面重力加速度：，轨道重力加速度：
【例3】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量
m 之比M /m ＝81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径
R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有
列式证明；若有错误，求出正确结果。
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，
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4、人造卫星、宇宙速度：
宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）
【例4】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A. 卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。 B. 卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C. 卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。 D. 卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。
5、双星问题：
【例5】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点
做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。
6、有关航天问题的分析：
【例6】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H ＝3.410m 的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R ＝6.3710m ，重力加速度g ＝9.8m/s）
【模拟试题】
1、离地面高度h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的A. 2倍 B.
倍 C.
倍 D.（
，则高度是地球半径的（ ）
6
2
5
－1）倍
2、若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G ，则可求得 （ ） A 、该行星的质量 B、太阳的质量 C、该行星的平均密度 D、太阳的平均密度
3、两个行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别为R 1和R 2，若只考虑太阳的万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为： （ ） A、1∶1 B、
C、
D、
4、一个半径是地球的3倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 （ ）
A 、6倍 B、18倍 C、4倍 D、135倍
5、已知地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期及公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为 （ ）
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A 、R t /rT B、R T /rt
32323232
C 、R t /rT D、R T /rt
2323 2323
6、人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动，下面说法正确的是 （ ） A 、卫星内的物体失重，卫星本身没失重 B、卫星内的物体不再受地球引力作用
C 、卫星内的物体仍受地球引力作用 D、卫星内的物体没有地球引力作用而有向心力作用 7、关于第一宇宙速度，下面说法正确的是（ ）
A 、是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B、它是近地圆形轨道上人造卫星的运行速度 C 、它是能使卫星进入近地圆形轨道的最大发射速度 D、它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度 8、人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为ν, 周期为T , 若使卫星周期变为2T ，可能的方法有（ ）
A 、R 不变，使线速度变为ν/2 B、ν不变，使轨道半径变为2R C 、轨道半径变为
D、以上方法均不可以
9、同步地球卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法错误的是 （ ） A 、同步卫星处于平衡状态 B、同步卫星的速率是唯一的 C 、各国的同步卫星都在同一圆周上运行 D、同步卫星加速度大小是唯一的
10、设月球绕地球运动的周期为27天, 则地球的同步卫星到地球中心的距离r 与月球中心到地球中心的距离R 之比r/R为（ ）
A 、1/3 B、1/9 C、1/27 D、1/18
11、地球质量为M ，半径为r ，万有引力常量为G ，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度。
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据。
（2）若已知第一宇宙速度的大小为v ＝7.9km/s，地球半径R ＝6.4×10m ，万有引力恒量G ＝6.67×10/kg ，求地球质量（结果要求二位有效数字）。
12、宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。
2
6
－11
N ·m
2
L 。
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【试题答案】
1、D 2、B 3、A 4、C 5、A 6、C 7、B 8、C 9、A 10、B 11、（1）
（2）6.0×10kg
24
12、解：设抛出点的高度为h ，第一次平抛的水平射程为x ，则有
x +y ＝L （1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x ，可得 （2x ）+h ＝（
L ） （2）
由以上两式解得h ＝ （3）
设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得h ＝gt 由万有引力定律与牛顿第二定律得（式中m 为小球的质量）（联立以上各式得：。
30
4）
5）
（
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1
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高一物理期中综合复习
一、曲线运动专题
（一）曲线运动中值得注意的几个问题 问题一：曲线运动的条件
物体做曲线运动的条件：物体所受的合力方向（加速度的方向）跟它的速度方向不在同一条直线上。 概括：
（1）物体必须有初速度； （2）必须有合力；
（3）速度与合力的方向不在同一条直线上。
合外力对速度的影响：合外力不仅可以改变速度的大小，还可以改变速度的方向。 如图1-甲，与共线的分力
改变速度的大小；与垂直的分力
改变速度的方向。
图1-甲
如图1-乙、1-丙，将合力F 沿着速度方向和垂直速度方向分解为速度
改变速度的大小，垂直速度方向的分力
产生加速度
和
，沿着速度方向的分力
产生加
改变速度的方向。
图1-乙 图1-丙
问题二：运动的合成和分解 1. 怎样确定合运动和分运动？
物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解，在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。 2. 运动合成的规律
（1）合运动与分运动具有等时性； （2）分运动具有各自的独立性。 3. 如何将已知运动进行合成或分解 （1）在一条直线上的两个分运动的合成 例如：速度等于等于
2
的匀速直线运动与在同一条直线上的初速度等于零的匀加速直线运动的合运动是初速度
的匀变速直线运动。
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（2）互成角度的两个直线运动的合运动
两个分运动都是匀速直线运动，其合运动也是匀速直线运动。
一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。
初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变速直线运动。
总结规律：对于以上这些特例，我们可以通过图示研究会更加简便。具体做法：先将速度进行合成，再合成加速度，通过观察合速度与合加速度的方向是否共线，进而判定是直线运动还是曲线运动。如图2所示。
图2
问题三：关于绳子末端速度的分解
解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。
例：如图3，重物M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车
角，且重物下滑的速率为时，小车的速度为多少？
问题四：（小船、汽艇等）渡河问题
有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：（1）渡河时间最短；（2）渡河位移最短。现将有关问题讨论如下，供大家参考。 处理此类问题的方法常常有两种：
（1）将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。 （2）将船的速度
沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图5，
为水流速度，则
为
沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成
船实际上沿水流方向的运动速度，为船垂直于河岸方向的运动速度。
图5
3
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问题1：渡河位移最短 河宽
是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽
呢？下面就这个问题
进行如下讨论： （1）
，只有使船垂直横渡，则应
，即
，因此只有
要使渡河位移最小为河宽
，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽。渡河时间。
图6
（2）
由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。
以水流速度的末端A 为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O 点作该圆的切线，交圆于B 点，此时让船速与半径AB 平行，如图7所示，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
由相似三角形知识可得
解得
渡河时间仍可以采用上面的方法
（3）
此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图8不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。
图8
4
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问题2：渡河时间最短；
渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度
越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，即（二）如何解决平抛运动中的常见问题 1. 理论基础
。
平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，因此常用的公式有如下几点：（如图1）
图1
位移公式：
，
速度公式：
，
两者关系：
，
，
（P 点为OQ 的中点）
2. 典型例题分析 （1）利用速度公式解题
如图2所示，球做平抛运动，在球落地前抛运动的初速度。
，其速度方向与竖直方向的夹角由变为，求此球做平
5
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（2）利用位移公式解题 如图3所示，斜面高不计阻力，求抛出速度
，倾角为
，在斜面的顶点A 以
的速度水平抛出一小球，小球刚好落在B 点，
）
、小球在空中运动的时间？（
图3
（3）利用两者的关系公式解题 离开地面高度为1500m 处，一架飞机以
（4）用平抛曲线求初速度的n 种方法
在研究平抛物体运动的实验中，用实验描绘出的轨迹曲线求平抛物体的初速度一。现简析几种求初速度① 平抛规律法
根据平抛运动的规律，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。若实验描绘出的轨迹曲线如图5所示，选抛出点为坐标原点O 建立坐标系，则有
①
的方法，供参考。
，是本实验的主要目的之
的速度水平飞行。已知投下物体在离开飞机10s 时降
落伞张开，即做匀速运动，求物体落到地面时离出发点的水平距离。
②
二式联立得③
），分别代入③式求出多个
值，最后求出它们的平均值即
由轨迹曲线测出多个点ABCDE 的坐标（，为所求初速度
。
6
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② 轨迹方程法
由法1中的①、②消去，可得平抛轨迹方程结合图中轨迹曲线，若测出水平位移
，竖直位移
，
由轨迹曲线方程可导出，推证如下：
。
因为，，
所以
同理又
，
所以
显然，只要测出相等时间内的水平位移③ 纸带结论法
故
，即可求出初速度
。
和对应的竖直位移的差值
对于匀变速直线运动，相邻的相等时间T 内的位移差重要结论。
对于法2的测量数据，有
④
⑤
都相等，且。这是处理纸带常用的一条
联立④、⑤二式可得。
，竖直位移依次为
、
另外，此法还可以扩展，若轨迹曲线上依次还有点D 、E 等，且水平位移均为等，则有
⑥
⑦
⑧
由⑥与⑦或⑧联立可得或
7
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故（1、2、3、„，2、3、4、„，且）
以上的分析给我们以启示，在处理实验或解题时，不要墨守成规过分依赖课本，要善于开动脑筋思考创新，寻找更好的方法和措施。这样，既提高了解题能力和速度，也有利于培养创新意识和发散思维。 （5）平抛运动中n 种常用的时间求解方法
平抛运动是高中物理运动学中一个基本模型，具有典型的物理规律。考查中常常涉及到“速度、位移、时间”等问题，下面针对平抛运动中的时间问题常用的几种方法进行归纳总结，供大家参考。 ① 利用水平位移或竖直位移求解时间
平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由合运动和分运动的等时性，平抛运动的时间等于各分运动的时间。
水平方向：，可得
竖直方向：，解得。
图6
② 利用水平位移、竖直位移及倾角求解时间 例1：如图7，AB 为斜面，倾角为飞行的时间。
例2：如图8，以地撞在倾角为
的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ ）
，小球从A 点以初速度
水平抛出，恰好落到B 点，求物体在空中
A. B. C. D. 求解时间
④ 利用匀变速直线运动的推论
例3：如图10，是某次实验记录的小球平抛运动轨迹中的三点，测得A 、B 间的水平距离和B 、C 间的水平距离都是初速度
8
，AB 间的竖直距离是等于多少？
，BC 间的竖直距离是25cm 。若取，则小球平抛的
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推论：平抛运动中以抛出点为坐标原点的坐标系中任一点P （，）的速度的反向延长线交于轴的例4：如图11，将一小球从坐标原点沿着水平轴M 为P 点在
以
处。
的速度抛出，经过一段时间到达P 点，
轴相交于Q 点，已知
，
轴上投影，做小球轨迹在P 点的切线并反向延长，与
则小球运动的时间为多少？
图11
（6）平抛运动中偏转角的应用
在平抛运动中涉及角度问题常有两类：位移偏转角和速度偏转角。 例如：如图12是初速度为
的物体做平抛运动的轨迹图，OA 是物体运动到A 点时的位移，是物体在A
为速度偏转角，则有
点时的速度，其中为位移偏转角，
，。
图12
如能恰当的应用这一规律，解题就可事半功倍，应用如下： 例：如图13，小球在斜面上A 点以速度（1）小球何时离斜面最远； （2）小球何时落在斜面上的C 点？
（3）小球刚要落到斜面上时，速度方向与斜面间的夹角？
9
水平抛出，落在斜面上的C 点，已知斜面倾角为，求：
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【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确） 1. 关于物体的运动下列说法正确的是（ ） A. 物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零 B. 做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态 C. 做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变
D. 做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上 2. 做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是（ ） A. 速率 B. 速度 C. 加速度 D. 合外力 3. 关于运动的合成，下列说法中正确的是（ ） A. 合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B. 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动（速度大小相等，方向相反除外） C. 只要两个分运动是直线运动，那么它们的合运动也一定是直线运动 D. 两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 4. 将一小球从距地面高处，以初速度
水平抛出，小球落地时速度为，它的竖直分量为
，则下列
各式中计算小球在空中飞行时间正确的是（ ）
A. B. C. D.
大于B 球的初速度
，
5. 在高度为的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A 和B ，若A 球的初速度则下列说法中正确的是（ ） A. A球比B 球先落地
B. 在飞行过程中的任一段时间内，A 球的水平位移总是大于B 球的水平位移 C. 若两球在飞行中遇到一堵墙，A 球击中墙的高度大于B 球击中墙的高度
D. 在空中飞行的任意时刻，A 球总在B 球的水平正前方，且A 球的速率总是大于B 球的速率 6. 如图1所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（ ） A. 匀速运动 B. 匀加速运动 C. 变加速运动 D. 减速运动
7. 如图2所示，在研究平抛运动时，小球A 沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开轻质接触式开关S ，被电磁铁吸住的小球B 同时自由下落，改变整个装置的高度H 做同样的实验，发现位于同一高度的A 、B 两球总是同时落地，该实验现象说明了A 球在离开轨道后（ ） A. 水平方向的分运动是匀速直线运动 B. 水平方向的分运动是匀加速直线运动 C. 竖直方向的分运动是自由落体运动 D. 竖直方向的分运动是匀速直线运动
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二. 填空题（把答案填在题中的横线上） 8.
已知船在静水中行驶速度为
可利用 法则求得。如果
，河水的速度为
和
垂直，则
（
），要求船在河水中行驶的速度为
，则
等于 。如果使船到达正对岸，的方向应 。
的方向应偏向
河水的 游。要使船到达对岸时间最短，则
9. 以16m/s的速度水平抛出一石子，石子落地的速度方向与抛出时速度方向成那么石子抛出点与落地点的高度差为 m，石子落地时速率 为 m/s。（
10. 如图3所示，在倾角为
，
，
）
角。不计空气阻力，
的斜面上A 点，以初速度水平抛出一小球，小球落在斜
面上的B 点，不计空气阻力，求小球落到B 点的速度大小为 。
三. 解答题（解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，答案中必须明确写出数值和单位。） 11. 一物体做平抛运动，在落地前速度和下落的高度。（
12. 有A 、B 两小球，用长为L=4m的细绳连接，现将A 、B 两球从同一点以相同的水平速度后抛出，A 球先抛，相隔的时间为细绳恰可拉直？
，取
先
内，它的速度与水平方向的夹角由）
变为
，求物体抛出时的初
。求A 球抛出后，经过多少时间，两球间的
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【试题答案】
1. AC 2. B 3. BD 4. ACD 5. BCD 6. C 7. C 8. 平行四边形，10. 11. ，上；与河岸垂直 9. 7.2；20
；
12. 1.0秒
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二、匀速圆周运动专题
匀速圆周运动（一） 知识要点
1. 匀速圆周运动、圆周运动；运动轨迹为圆或圆的一部分，这样的运动叫圆周运动。如果质点沿圆周运动，在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动叫匀速圆周运动。
匀速圆周运动的轨迹为曲线，所以匀速圆周运动是变速运动，匀速是运动的快慢程度不改变。 匀速圆周运动是变速运动，所以做匀速圆周运动的物体状态是非平衡态，所受合外力不为零。 2. 描述圆周运动的物理量
（1）线速度：线速度大小又叫速率，用表示，则沿弧运动得越快。
线速度的方向为圆的切线方向。 线速度就是圆周运动的瞬时速度。
，S 为弧长，为通过这段弧长的时间，速率越大
（2）角速度：连接质点和圆心的半径转过的角度的单位是弧度，时间单位是秒，都相同，所以角速度都相同。
，与所用时间比叫角速度。
角速度的大小描述了做
的单位就是弧度/秒，用字母表示为
圆周运动绕圆心转动快慢程度。角速度大则绕圆心转得快。对一个不变形的物体转动中任何点转过的角度（3）周期：使圆运动运动一周的时间叫周期用字母T 表示，单位为秒。 周期描述圆周运动重复的快慢，也反映了转动快慢。周期越小，转动越快。
（4）频率：1秒内完成圆周运动的次数叫频率。它是周期的倒数，单位是1/秒。用符号赫兹（
），
越大，转动就越快。
表示单位又叫
（5）转速：工程技术中常用。定义为每秒转过的圈数，数值与频率相同，单位也是1/秒。
各量之间的关系，线速度与角速度
，
R 一定，与（6）
成正比，
，
一定与R 成正比，一定，与R 成反比。
的关系：
（7）向心加速度
① 物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
② 大小：3. 匀速圆周运动
③ 方向：总是指向圆心，与线速度方向垂直
（1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间里通过的圆弧长度相等，就是匀速圆周运动。 （2）运动学特征：线速度大小、向心加速度大小不变，但方向时刻改变，故匀速圆周运动是变速运动。
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4. 向心力
（1）作用效果：产生向心加速度，以不断改变物体的速度方向，维持物体做圆周运动。
（2）大小：
（3）产生：向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力。 5. 向心加速度的分析
向心加速度是向心力的效果，其方向与向心力相同，总是指向圆心。
从运动的角度看，向心加速度是描述做匀速圆周运动的物体的速度方向变化情况的物理量，其计算公式
由上式可以看出：当线速度v 一定时，向心加速度a 跟轨道半径r 成反比；当角速度ω一定时，向心加速度a 跟r 成正比；由于6. 圆周运动中向心力的特点
（1）匀速圆周运动：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故只存在向心加速度，物体受到外力的合力就是向心力。可见，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，是物体做匀速圆周运动的条件。
（2）变速圆周运动：速度大小发生变化，向心加速度和向心力都会相应变化．求物体在某一点受到的向心力时，应使用该点的瞬时速度，在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心，合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。
【典型例题分析】
，所以a 总是跟v 与
的乘积成正比。
[例1] 皮带传动装置，
，求与v 的大小关系？
[例2] 地球的半径约为R=6400km，试计算： （1）赤道上的物体随地球自转的线速度多大？ （2）北纬
的地方，随地球自转的角速度、线速度各是多少？
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[例3] 大型转盘，在水平面内绕竖直轴转动，在转动盘的边缘上的人向转盘中心的靶子瞄准射击，能否击中靶子？若不能，应该怎样瞄准才能击中靶子，设转盘半径为R ，角速度为
[例4] 如图所示，小球Q 自空中自由下落从转动的圆形纸筒穿过。如图所示，纸筒绕水平轴匀速转动，已知转动角速度
，半径
，
取
，若小球穿筒壁时能量损失不计，撞击时
。
间也可不计，小球穿过后纸筒上只留下一个孔。试求小球下落小高度是多少？
【模拟试题】
1. 关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是（ ）
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比 2. 质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度越大，周期一定越小 B. 角速度越大，周期一定越小 C. 转速越大，周期一定越小 D. 圆周半径越小，周期一定越小 3. 机械表的时针与分针做圆周运动（ ） A. 分针角速度是时针角速度的12倍 B. 分针角速度是时针速度的60倍
C. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍 D. 如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍
4. 如图所示，电视画面每（ ）
s 更迭一帧，当屏幕上出现一辆车匀速奔驰的情景时，观众如果注视车轮的
辐条，往往会产生奇怪的感觉，设车轮上有八根对称分布的完全相同的辐条，试问：下列说法哪些正确
A. 若在s 内，每根辐条恰好转过45°，则观众觉得车轮是不动的
B. 若在s 内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是不动的
C. 若在s 内，每根辐条恰好转过365°，则观众觉得车轮是倒转的
D. 若在s 内，每根辐条恰好转过355°，则观众觉得车轮是倒转的
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5. 如图所示，一圆盘绕过O 点的竖直轴在水平面内旋转，角速度为ω，半径R ，有人站在盘边缘Ｐ点处面对O 随圆盘转动，他想用枪击中盘中心的目标O ，子弹发射速度为V 则（ ） A. 枪应瞄准O 点射击
B. 枪应向PO 左偏过θ角射击，cos ＝
C. 枪应向PO 左方偏过θ角射击，tan =
D. 枪应向PO 左方偏过θ角射击，sin
= 6. 如图所示为一球体绕轴OO ’以角速度A. AB两点具有相同的角速度 B. AB两点具有相同的线速度 C. A、B 两点加速度方向都指向球心 D. A、B 两点的转动周期相同
旋转，A 、B 为球体上的两点，下面几种说法正确的是（ ）
7. 甲沿着半径为R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R 的圆周跑道匀速跑步．在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度分别为ω1、ω2和v 1、v 2，则（ ） A. C.
，，
B. D.
，，
8. 地球自转的周期是 s ；地球的半径为6400km ，放在赤道上的物体随地球自转运动的线速度是 m/s。
9. 手表分针的长度为1.8cm ，转轴到手表分针尖端的距离是1.5cm ，则分针尖端的线速度的大小是 m/s。
10. 已知某人骑自行车1.0分钟蹬了10圈，车轮与脚蹬轮盘转数之比为3：1，车轮边缘转动的线速度大小为 m/s。（车轮直径为0.7m ）
11. 如图所示，在轮B 上固定有同轴小轮A ，轮Ｂ通过皮带带动轮C ，皮带和两轮之间没有滑动，Ａ、B 、C 三轮的半径依次为r 1、r 2和r 3，绕在A 轮上的绳子，一端固定在Ａ轮边缘上，另一端系有重物Ｐ，当重物Ｐ以速率v 匀速下落时，C 轮转动的角速度为 。
12. 半径为10cm 的砂轮，转速为5r ／min ，则砂轮旋转的角速度多大? 砂轮上距轴不同距离的点，角速度是否相等? 线速度是否相等? 砂轮边缘上的点的线速度多大？
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13. 如图所示，皮带轮O 1、O 2的半径之比求：A 、B 、C 三点的向心加速度之比？
，A 、B 分别为轮边缘上的点，，
14. 地球表面赤道上的人和纬度45°处的人随地球自转的角速度之比为多少？线速度之比为多少? 15. 如图所示，A 轮通过皮带带动B 轮，C 轮与B 轮同轴，已知R A ：R B ：R C =2：1：2，皮带传动时不打滑，试求：
（1）三轮边缘的线速度之比 （2）三轮的旋转周期之比
【试题答案】
1. B 2. BC 3. AC 4. AD 5.D 6. AD 7. C 8.
；
9.
10. 13.
11. 14.
12. ；
；是，不是，
15.（1）
（2）
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圆周运动（二）
二. 知识要点：
深刻理解向心力的概念，知道如果一个力或几个力的合力的效果是使物体产生向心加速度，这一个力或几个力的合力就是向心力，会对圆周运动的物体进行受力分析，会找向心力。知道物体做匀速圆周运动的条件，知道什么是近心运动，什么是离心运动，知道外力大于向心力做近心运动，外力小于向心力，做离心运动。
三. 重难点分析： 1. 向心力及来源
物体做圆周运动有加速度
产生这个加速度的力就叫向心力，这个力的大小为
。方向总是指向圆心。只要物体所受外力大小为
这个力就可以做向心力，若几个力的合力大小为
，方向总指向圆心，那么
，方向指向圆心，那么这几个力的合力做向心力。因
此① 向心力是根据力的效果命名的，不是单独一种性质的力。② 向心力可以由一个力提供也可以由几个力的合力充当，既几个力共同做向心力，还可以由某一个力的分力作向心力。
2.
做匀速圆周运动的条件，近心运动，离心运动。当物体做匀速圆周运动，外力或几个外力的合大小
方向总指向圆心，就是做匀速圆周运动所需要的力恰好与合外力相等。
若合外力则F 所产生的加速度大于，在垂直于v 方向改变得过快，速度偏向圆心过多，运动
半径减小做近心运动。
若合外力3. 实例分析 （1）火车转弯
则F 所产生的加速度比做半径不变的圆周运动加速度小，偏向圆心方向速度的改变
慢，运动的半径增大，做远离圆心的运动简称离心运动。
火车左右两侧的车轮分别沿铁轨运动，沿直线运动时，两条钢轨位于同一水平面内以防侧倾倒。而当火车转弯时，有向心加速度需要向心力，为此使钢轨不在一个平面内，外侧高而内侧低，本身不再是竖直的但能顺利转弯而不发生侧倾，否则车辆不能受到外力，要做离心运动，发生倾覆。
见下图，列车转弯时，靠近圆心一侧为内侧，另一侧为外侧，相应为内轨外轨，与列车前进方向无关。
取水平面内转弯半径为r ，内外轨距为d ，内外轨高度差为h 。 转弯时竖直截面见右图，由于转弯在水平面内转弯半径为水平方向，向心加速度为水平方向。列车受力有重力，竖直向下，路轨支持力与双轨连线垂直，这两个力的合力做向心力，沿水平方为
。
方向
两轨道连线倾角为
，
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而
为转弯时速率
∴
转弯时速率则外力的合力恰好等于向心力，若则外力的合力小于向心力，要做离心运动火车
向外侧翻倒，滑动，火车对外侧轨道有沿转弯半径向外的压力，火车向外侧推轨道。 当
则合外力大于向心力，要做近心运动，火车对内侧轨道有沿转弯半径向圆心方向的压力，即火车
对内轨有向圆心方向的推力。
火车提速转弯半径r 不改变则内外轨道高差h 要增加，不然火车转弯有危险。 （2）汽车过拱形桥和凹形山坡底，设拱形桥半径为r ，汽车速率为v 。
等大比重力小。
汽车对桥面压力与
若v 足够大使则汽车对桥面无压力，汽车即将离开桥面。
若汽车没有离开桥面半径与竖直方向成角，
即使v 不变，也会随增大而减小。当
时，
（3）圆锥摆
减小到零，汽车也即将离桥面。
长度为的细绳下端拴一个质量为m 的小球，固定绳的上端，使小球沿水平面内的圆做匀速圆周运动。
细绳转动恰好形成一个锥面，所以叫圆锥摆。 设绳与竖直方向成角，球转动的角速度为
而
。
∴
当一定，越大一定是
越大，T 越小，即转得快。
∴ 圆锥摆转动越快，悬线偏离竖直方向越多
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（4）上述圆锥摆运动中若线速度突然增大，则周运动半径增大。
增大，而，小球就要做离心运动使圆
相反若速度减小就要做近心运动，运动半径逐渐减小。
即外力小于向心力时就要做离心运动，外力大于向心力时就要做近心运动。 4. 应用匀速圆周运动规律求解问题的步骤和方法。 （1）确定研究对象
（2）找到运动过程中的状态变化，即从什么位置开始做圆周运动，要求的状态是否为圆周运动。 （3）对研究对象分析受力，尤其注意确定向心力方向。
（4）建坐标系原点在圆心，指向圆心为正方向，坐标轴随物体运动而运动。（转动的坐标系） （5）由牛顿第二定律列方程。注意未知量个数，列方程个数。 注意：作用力，反作用力关系。 （6）解方程，进行必要的讨论。 【典型例题分析】
[例1] 匀速行进中的小车下面悬挂一个重物，若绳长为，行进速度为v ，当小车突然刹车停止运动悬绳的拉力多大？（已知悬挂重物质量为m ）
[例2] 过山车是常见的刺激娱乐项目，可以简化为下面问题。竖直平面内的圆形轨道半径为R 。过山车从倾斜轨道滑下进入圆形轨道，在竖直轨道上做圆周运动，求在圆形轨道最高点，车的最小速度。
[例3] 汽车与路面之间的动摩擦因数
，转弯处弯道半径为
，
取
。
（1）若路面铺成水平的，汽车转弯时速度不能超过多大？ （2）若路面铺成外侧高内侧低的坡面，倾角为（3）若是（2）中转弯路面，最大转弯速度是多少？
，汽车以多大速度转弯，与路面无摩擦。
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[例4] 质量为
和的小球分别固定在长为的轻杆两端。转杆绕过中点的水平轴匀速转动。若轻杆转
动中对轴的作用力最小为零，求对轴作用力最大值。
[例5] 如图所示，有一质量为m 的小球P 与穿过光滑水平板中央小孔O 的轻绳相连，用力拉着绳的另一端使P 在水平板上绕O 点做半径为a 的圆周运动，速率为点距离增大到b 。 求：
（1）小球以b 为半径做匀速圆周运动的速率 （2）小球运动由绳长为a 到绳长为b 的时间。
【模拟试题】
1. 甲、乙两个物体均做匀速圆周运动，甲的质量和轨道半径均为乙的一半，当甲转过 60°时，乙在这段时间里正好转过45°，则甲乙两个物体的向心力之比为 （ ） A.
B.
C.
D.
。若将绳突然放松，然后再拉住，使小球到O
2. 以相同的材料做成的A 、Ｂ、C 三物体放在匀速转动的平台上，若都相对于平台静止，
且
，
A. C的向心加速度最大 B. A受到的摩擦力最大 C. 转速增大时，C 比B 先滑动
D. 转速增大时，B 比A 先滑动
3. 一个内壁光滑的圆锥形筒固定在水平面上，如图所示。有质量相同的小球A 和B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，A 球运动的半径大于B 球运动的半径，则（ ） A. A球的角速度必小于B 球的角速度 B. A球的线速度必小于B 球的线速度 C. A球运动的周期必大于B 球的运动的周期 D. A球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力
4. 冰面上的溜冰运动员所受最大静摩擦力为运动员重力的K 倍，在水平面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为（ ） A. v=KC. v≤
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，则（ ）
B. v≤ D. v≤
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5. 如图所示，在光滑水平面上放一小球以某速度运动到A 点，遇到一段半径为R 的圆弧曲面AB ，然后落到水平地面的C 点，假如小球没有跟圆弧曲线上的任何点接触，则BC 的最小距离为（ ） A. 0 B. R C.
R D. （
－1）
R
6. 如图所示，已知半圆形碗半径为R ，质量为M ，静止在地面上，质量为m 的滑块滑到圆弧最底端速率为v ，碗仍静止，此时地面受到碗的压力为（ ）
A. mg＋m B. Mg＋mg ＋m
C. D. Mg＋mg —m
7. 如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的水平细杆上，穿有质量分别为m 和M 的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则（ ）
A. 当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动
B. 当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动 C. 若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω时两球也不动 D. 若两球相对杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动 8. 关于向心力的说法中正确的是（ ） A. 物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B. 向心力是指向圆心方向的合力，是根据作用效果命名的
C. 向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或者某几种力的合力 D. 向心力只改变物体的运动方向，不改变物体的运动快慢 9. 两个做匀速圆周运动的物体，其质量之比为
，角速度之比为
，线速度之比为
，则它们的
向心加速度之比为 ，它们所需向心力之比为 。
10. 一个做匀速圆周运动的物体，如果半径不变而速率增加到原来速率的3倍，其向心力增加了64N ，那么物体原来受到的向心力的大小是 N。
11. 如图所示，物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ，圆筒的半径为R 。若要物体不滑下，则圆筒转动的角速度至少为 。
12. 地球在自转的过程中，质量为m 、站在赤道上的人A 和质量为2m 、站在北纬
位置的
人B ，随地球一起转动，A 和B 随地球转动的角速度之比为 ，A 和B 随地球转动的线速度之比为 ，A 和B 随地球转动的向心加速度之比为 ，A 和B 随地球转动的向心力之比为 。 13. 用绳的一端拴一重物，手握绳的另一端使重物在竖直面内做圆周运动，试分析重物 到达最高点与最低点时向心力的来源，绳子在哪一点受到的拉力大? 为什么?
14. 如图所示，高为h 竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有入口A ，在A 的正下方处有出口B ，一质量为m 的小球自入口A 沿切线方向水平射入圆筒内，要使球从B 处飞出，小球进入入口A 的速度应满足什么条件? 在运动过程中，球对筒压力多大?
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15. 如图所示，在光滑水平面上固定相距40cm 的两个钉子A 和B ，长1m 的细绳一端系着质量为0.4kg 的小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球和钉子A 、B 在同一直线上，小球始终以2m/s的速率，在水平面上做匀速圆周运动，若细绳能够承受最大拉力为4N ，那么从开始到细绳断开所经历的时间是多少？
16. 如图所示，弹簧一端固定在转轴上，另一端与小物块相连，物块在光滑水平面上绕轴做匀速圆周运动，
弹簧原长为0.5m ，劲度系数为100N ／m ，物块质量为多少?
kg ，当物块转动周期为0.2s ，弹簧的伸长量是
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【试题答案】
1. C 2. D 3. AC 4. B 5. D 6. B 7. CD 8. ABCD
9. ; 10. 8N 11. 12. ；；；
13. 略14. 小球速率俯视小球做匀速圆周运动时间为t 。A 、B
半径在同一方向，
竖直方向小球做自由落体运动，，
向心力
15. 设小球恰好断开时，运动半径为小球绕第三个半周时半径为
，
，所以当小球绕完两半周接第三个半圆时绳子断开。时间为
16. 设伸长量为。
解得
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三、万有引力专题
知识归纳： （一）知识体系：
（二）知识点归纳： 1、开普勒行星运动定律
第一定律（轨道定律）： 。 第二定律（面积定律）： 。 第三定律（周期定律及公式）： 。 2、万有引力定律
（1）用开普勒定律推导万有引力定律： （2）万有引力定律公式： 。
（3）万有引力定律适用条件： 。 （三）解题方法：
1、万有引力定律在天文学上的应用。 （1）基本方法：
①把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
②在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：（2）环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
，R 为天体半径。
①由得 ∴r 越大， 得 ∴r 越大，
②由
③由
得 ∴r 越大，
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（3）三种宇宙速度
①第一宇宙速度（ ）：v 1＝ km/s，人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度。 ②第二宇宙速度（ ）：v 2＝ km/s，使物体挣脱地球束缚，在地面附近的最小发射速度。 ③第三宇宙速度（ ）：v 3＝ km/s，使物体挣脱太阳引力束缚，在地面附近的最小发射速度。
（4）同步卫星的特点：
①同步卫星的周期T ＝ 。 ②同步卫星的高度H ＝ 。 ③同步卫星的线速度V ＝ 。 ④同步卫星一定都处在赤道上空（可证明）。 （5）万有引力和重力：
重力是由万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化，从赤道到两极逐渐增大．通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等，即m 2g ＝G
, g ＝GM/r常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高
2
2
度的增大而减小，即g h ＝GM/（r+h），比较得g h ＝（）·
g
2
在赤道处，物体的万有引力分解的两个分力F 向和m 2g 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋m 2g ， 所以m 2g ＝F －F 向＝G 因地球自转角速度很小G
－m 2R ω自
>>m2R ω自, 所以m 2g ＝ G
2
2
2
＝m 2R ω自时，
2
假设地球自转加快，即ω自变大，由m 2g ＝G －m 2R ω自知物体的重力将变小，当G
m 2g ＝0，此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度ω自＝得多.
，比现在地球自转角速度要大
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【典型例题】
1、万有引力定律及其适用条件：
【例1】如图所示，在一个半径为R 、质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？
（2）如果题中的球穴挖在大球的正中央，根据同样道理可得剩余部分对球外质点m 的引
力
上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量（7M/8）集中于球心时对质点的引力一样．
2、测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）
由 得，又 得
【例2】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R 的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为。试计算土星的质量和平均密度。
3、行星表面重力加速度、轨道重力加速度问题：（重力近似等于万有引力）
表面重力加速度：，轨道重力加速度：
【例3】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g 0，行星的质量M 与卫星的质量
m 之比M /m ＝81，行星的半径R 0与卫星的半径R 之比R 0/R ＝3.6，行星与卫星之间的距离r 与行星的半径
R 0之比r /R 0＝60。设卫星表面的重力加速度为g ，则在卫星表面有
列式证明；若有错误，求出正确结果。
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，
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4、人造卫星、宇宙速度：
宇宙速度：（弄清第一宇宙速度与卫星发射速度的区别）
【例4】将卫星发射至近地圆轨道1（如图所示），然后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，2、3相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A. 卫星在轨道3上的速率大于轨道1上的速率。 B. 卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度。
C. 卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。 D. 卫星在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。
5、双星问题：
【例5】两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点
做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。
6、有关航天问题的分析：
【例6】无人飞船“神州二号”曾在离地高度为H ＝3.410m 的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R ＝6.3710m ，重力加速度g ＝9.8m/s）
【模拟试题】
1、离地面高度h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的A. 2倍 B.
倍 C.
倍 D.（
，则高度是地球半径的（ ）
6
2
5
－1）倍
2、若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G ，则可求得 （ ） A 、该行星的质量 B、太阳的质量 C、该行星的平均密度 D、太阳的平均密度
3、两个行星的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别为R 1和R 2，若只考虑太阳的万有引力作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为： （ ） A、1∶1 B、
C、
D、
4、一个半径是地球的3倍，质量是地球的36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 （ ）
A 、6倍 B、18倍 C、4倍 D、135倍
5、已知地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期及公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为 （ ）
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A 、R t /rT B、R T /rt
32323232
C 、R t /rT D、R T /rt
2323 2323
6、人造地球卫星进入轨道做匀速圆周运动，下面说法正确的是 （ ） A 、卫星内的物体失重，卫星本身没失重 B、卫星内的物体不再受地球引力作用
C 、卫星内的物体仍受地球引力作用 D、卫星内的物体没有地球引力作用而有向心力作用 7、关于第一宇宙速度，下面说法正确的是（ ）
A 、是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B、它是近地圆形轨道上人造卫星的运行速度 C 、它是能使卫星进入近地圆形轨道的最大发射速度 D、它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度 8、人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为ν, 周期为T , 若使卫星周期变为2T ，可能的方法有（ ）
A 、R 不变，使线速度变为ν/2 B、ν不变，使轨道半径变为2R C 、轨道半径变为
D、以上方法均不可以
9、同步地球卫星相对地面静止不动，犹如悬在高空中，下列说法错误的是 （ ） A 、同步卫星处于平衡状态 B、同步卫星的速率是唯一的 C 、各国的同步卫星都在同一圆周上运行 D、同步卫星加速度大小是唯一的
10、设月球绕地球运动的周期为27天, 则地球的同步卫星到地球中心的距离r 与月球中心到地球中心的距离R 之比r/R为（ ）
A 、1/3 B、1/9 C、1/27 D、1/18
11、地球质量为M ，半径为r ，万有引力常量为G ，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度。
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据。
（2）若已知第一宇宙速度的大小为v ＝7.9km/s，地球半径R ＝6.4×10m ，万有引力恒量G ＝6.67×10/kg ，求地球质量（结果要求二位有效数字）。
12、宇航员站在某一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。
2
6
－11
N ·m
2
L 。
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【试题答案】
1、D 2、B 3、A 4、C 5、A 6、C 7、B 8、C 9、A 10、B 11、（1）
（2）6.0×10kg
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12、解：设抛出点的高度为h ，第一次平抛的水平射程为x ，则有
x +y ＝L （1）
由平抛运动的规律得知，当初速度增大到2倍，其水平射程也增大到2x ，可得 （2x ）+h ＝（
L ） （2）
由以上两式解得h ＝ （3）
设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得h ＝gt 由万有引力定律与牛顿第二定律得（式中m 为小球的质量）（联立以上各式得：。
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4）
5）
（
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