曲线道路坐标计算
§1 曲线要素计算
缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。其曲率半径ρ从直线的曲率半径∞（无穷大）
1
逐渐变化到圆曲线的半径R，在缓和曲线上任意一点的曲率半径ρ与缓和曲线的长度l成反比，以公式表示为：ρ∝ 或 ρ⋅l=C（C为常数，称
l
曲线半径变更率）。当l=lo时，ρ=R，应有C=ρ⋅l=R⋅lo
以上几式是缓和曲线必要的前提条件。在实际应用中，可采取符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。
为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线lo，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p，因而圆心就由O'移到O，而原来的半径R保持不变，如图。
由图中可看出，缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分，而另一半是靠近原来的圆曲线部分，原来圆曲线的两端其圆心角βo相对应的那部分圆弧，现在由缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下缓圆点(HY)到圆缓点(YH)这段长度即ly。
βo为缓和曲线的切线角，即缓圆点或圆缓点切线与直缓点或缓直点切线的交角，亦即圆曲线HY→YH两端各延长
γ为缓和曲线总偏角，即从直缓点(ZH)测设缓圆点(HY)或从缓直点(HZ)测设圆缓点(YH)的偏角。 q为切线增量(切垂距)，即ZH(或HZ)到从圆心O向ZH(或HZ)的切线作垂线垂足的距离。
p为圆曲线内移值，即垂线(从圆心O向ZH(或HZ)的切线作垂线)长与圆曲线半径R之差。
lo
部分所对应的圆心角。 2
§1.1 不等长缓和曲线要素计算：
在铁路曲线测设中，线路曲线一般是由相等的两条缓和曲线中间加一个圆曲线构成，有时还会出现由两个不等长的缓和曲线中间加一个圆曲线构成的特殊情况，如图：缓和曲线长分别为lo1、lo2 ， 切线长分别为T1、T2 ，曲线偏角(线路转角)为α，圆曲线半径为R，圆曲线长为ly ，曲线长为L ，外矢距为E ，切曲差为J，(缓和曲线后)圆曲线内移值分别为p1、p2，(缓和曲线)切线增量分别为q1、q2，缓和曲线偏角分别为βo1、
2
βo2 ， 回旋线参数分别为A12=Rlo1、A2=Rlo2
各曲线要素计算公式如下：
ll
q1=o1-o12
2240R
3
T2=q2+(R+p2)tg
α
2
+
(p1-p2)
sinα
ll
q2=o2-o22
2240Rll
p1=o1-o13
24R2688Rll
p2=o2-o23
24R2688R
2
4
2
4
3
βo1=
lo118090lo1
⋅= 2RππR
βo2=
lo218090lo2
⋅= 2RππR
L=lo1+lo2+(α-βo1-βo2)
πR
180︒
T1=q1+(R+p1)tg
α
2
+
(p2-p1)
sinα
从以上公式可以看出，当lo1=lo2时，就是等长(对称)缓和曲线的情况。
切曲差： J=2T-L
§1.3 缓和曲线各主点桩号计算公式：
§2 方位角计算
§2.1 交点转角角度计算公式
R为曲线半径，T为切线长） ∆y ∆x
-1
§2.2 直线段上任一点的方位角计算公式：α=tan
①Δx>0且Δy>0，则=α；②Δx>0且Δy
-1∆x180⋅或
α=tan（度） ∆yπ
（若Δy>0，则=-α+90；若Δy
(180±90)-α → 180(1±1/2)-α → π(1±1/2)-α（弧度）→ [π(1±1/2)-α]·180/π（度）
§2.3 缓和曲线上任一点的方位角计算公式
缓和曲线上任一点的切线角：
αZH为直缓点的方位角） ∆l18090⋅∆l∆l∆l∆l
β=⋅=β===（弧度）→（度） 2
2R⋅loππ⋅R⋅lo2ρ2A2R⋅lo
注：ρ为该点的曲率半径，A为回旋线参数A2=R⋅lo=ρ⋅∆l 公式导证：dβ=
2222
β=⎰dβ=⎰
∆l∆l
∆l⋅d∆l1
=R⋅loR⋅lo
⎰
∆l
1∆l2∆l2
∆l⋅d∆l=⋅=
R⋅lo22R⋅lo
()
∆l2180o
或 βo= 当∆l=lo时，β=βo， 即⋅
2R⋅loπ
lo180o90lo
βo=⋅=
2RππR
d∆l
ρ
=
∆l⋅d∆lR⋅lo
（已知 ρ=） R⋅lo∆l
§2.4圆曲线上任一点的方位角计算公式
αHY为缓圆点的方位角）
∆l180o180⋅∆l⋅=其中，β= 为该点的切线角（缓圆点切线与该点切线的交角，即ΔL所对应的圆心角）。 Rππ⋅R
∆l180o90⋅∆lβ
γ=⋅== 为该点的弦切角（也叫偏角，即缓圆点到该点的弦与缓圆点的切线所夹的角。弦切角等于弦所对应的圆心角之半，
2Rππ⋅R2
也就是切线角的一半）。
注：Δl为曲线长度：计算点位到起算点(主点：ZH、HY、YH、HZ)的长度。第3、4中，以计算方向为准，左偏取"﹣"，右偏取"﹢"（左负右正）。
§3 坐标值计算
§3.1 直线段上任一点的坐标值计算公式：
直线两端点A、B间距离为S，A点坐标为(XA，YA)，方位角为α，则有：
⎧XB=XA+S⋅cosα
⎨
⎩YB=YA+S⋅sinα
★ 坐标转换
大地坐标系(北京54坐标系)与工程坐标系转换：
⎧X=xo+Acosα-Bsinα
大地坐标：⎨
Y=y+Asinα+Bcosαo⎩
⎧A=(X-xo)cosα+(Y-yo)sinα
工程坐标：⎨
()()B=Y-ycosα-X-xsinαoo⎩
O(xo , yo)为工程坐标系原点的北京54坐标值，X、Y为北京54坐标值，A、B为工程坐标值，α为工程坐标系与北京54坐标系X轴的夹角，即大地
坐标系方位角。
§3.2 缓和曲线上任一点的坐标值计算公式：
591317
⎛⎫∆l∆l∆l∆l ⎪⋅cosαX=XZH+ ∆l-+-+2468⎪2468
40R⋅lo3456R⋅lo599040R⋅lo175472640R⋅lo⎭⎝
7111519
⎛∆l3⎫∆l∆l∆l∆l⎪⋅sinα -+-+579⎪579 6R⋅l336R3⋅l342240R⋅lo9676800R⋅lo3530096640R⋅lo⎭oo⎝
591317
⎛⎫∆l∆l∆l∆l ⎪⋅sinαY=YZH+ ∆l-+-+2468⎪2468
40R⋅lo3456R⋅lo599040R⋅lo175472640R⋅lo⎭⎝
7111519
⎛∆l3⎫∆l∆l∆l∆l⎪⋅cosα± -+-+579⎪579 6R⋅l336R3⋅l342240R⋅lo9676800R⋅lo3530096640R⋅lo⎭oo⎝
s-E⋅sinα⎧X=XZH+N⋅coα⎧X=XZH+N⋅cosα+E⋅sinα左偏：⎨ 右偏：⎨ （N、E为坐标增量）（左加减，右减加）
Y=Y+N⋅sinα+E⋅coαsY=Y+N⋅sinα-E⋅cosαZHZH⎩⎩
说明：XZH为直缓点X坐标值，YZH为直缓点Y坐标值，lo为缓和曲线长度，α为起算点(ZH或HZ)的方位角，R为曲线半径，∆l为计算点位到起算点的长度。
注：第一段缓和曲线从直缓点计算到缓圆点(ZH → HY)，第二段缓和曲线从缓直点计算到圆缓点(HZ → YH)，与第一段计算方向相反，即"±" 相反；且方位角应="α+180"。
§3.3 圆曲线上任一点的坐标值计算公式：
注：以计算方向为准，左偏取"﹣"；右偏取"﹢"（左负右正）。
式中，弦长d=2Rsin
β
2
（缓圆点到计算点的弦的长度）；
(弧度)（弦所对应的圆心角，也就是切线角θ的一半）；方位角α=αHY±
β
2
（缓圆点到计算点沿弦方向的方位角）。
说明：XHY为缓圆点X坐标值，YHY为缓圆点Y坐标值，αHY为缓圆点的方位角，R为曲线半径，β为计算点的切线角，∆l为计算点位到起算点(HY)的长度。
§3.4边桩坐标值计算公式：
⎧Xb=Xz+S⋅cos(α±90)
⎨
Y=Y+S⋅sin(α±90)z⎩b
在有缓和曲线的圆曲线中圆心O的坐标是一个非常重要的数据。 Xo=Xjd+(R+E)cosTjd-o Yo=Yjd+(R+E)sinTjd-o
★ Excel计算公式： ☆1 方位角计算公式
☆1.1 直线段上任一点的方位角: =(PI()*(1-SIGN(ΔY)/2)-ATAN((ΔX)/(ΔY)))*180/PI() ☆1.2 缓和曲线上任一点的方位角: =αZH - SIGN(±1) *90*(L-LZH)^2/(PI()*R* LH) ☆1.3 圆曲线上任一点的方位角: =αHY - SIGN(±1) *180*( L-LHY)/(PI()*R) ☆2 坐标值计算公式
☆2.1 直线段上任一点的坐标值: X= Xo+(ΔS)*COS(RADIANS(α))
Y= Yo+(ΔS)*SIN(RADIANS(α))
☆2.2 缓和曲线上任一点的坐标值
X=XZH+(( L-LZH)-( L-LZH)^5/(40*R^2* LH ^2)+( L-LZH)^9/(3456*R^4* LH ^4)-( L-LZH)^13/(599040*R^6* LH ^6)+( L-LZH)^17/(175472640*R^8* LH
^8))*COS(RADIANS(α))+ SIGN(±1) *(( L-LZH)^3/(6*R* LH)-( L-LZH)^7/(336*R^3* LH ^3)+( L-LZH)^11/(42240*R^5* LH ^5)-( L-LZH)^15/(9676800*R^7* LH ^7)+( L-LZH)^19/(3530096640*R^9* LH ^9))*SIN(RADIANS(αZH))
Y=YZH+(( L-LZH)-( L-LZH)^5/(40*R^2* LH ^2)+( L-LZH)^9/(3456*R^4* LH ^4)-( L-LZH)^13/(599040*R^6* LH ^6)+( L-LZH)^17/(175472640*R^8* LH ^8))* SIN(RADIANS(α))- SIGN(±1) *(( L-LZH)^3/(6*R* LH)-( L-LZH)^7/(336*R^3* LH ^3)+( L-LZH)^11/(42240*R^5* LH ^5)-( L-LZH)^15/(9676800*R^7* LH ^7)+( L-LZH)^19/(3530096640*R^9* LH ^9))*COS(RADIANS(αZH))
☆2.3圆曲线上任一点的坐标值
X= XHY +2*R*SIN((L-LHY)/(2*R))*COS(RADIANS(α)- SIGN(±1) * (( L-LHY)/(2*R))) Y= YHY +2*R*SIN((L-LHY) /(2*R))*SIN(RADIANS(α)- SIGN(±1) * (( L-LHY)/(2*R))) 注：SIGN(±1)中，左偏用”+1”表示，右偏用”-1”表示。
☆求直线段两点距离公式:
=ROUND (SQRT(POWER((A3-A1),2)+POWER((A3-B1),2)),3)
☆ 度分秒(° ′ ″)格式转换为度(°)格式: =INT(F3)+(INT(F3*100)-INT(F3)*100)/60+(F3*10000-INT(F3*100)*100)/3600
注：上面计算式中，度分秒(° ′ ″)要以小数输入，例如132° 16′43.00933″应写成132.164300933输入。
把单元格中的度分秒（° ′ ″ ）转化为小数形式：=INT(F3)+INT((F3-INT(F3))*60)/100+((F3-INT(F3))*60-INT((F3-INT(F3))*60))*60/10000
☆ 度(°)格式转换为度分秒（° ′ ″ ）格式: =INT(D1)&"°"&INT((D1-INT(D1))*60)&"′"&ROUND(((D1-INT(D1))*60-INT((D1-INT(D1))*60))*60,5)&"″"
注：上面计算出来的是度分秒（° ′ ″ ）格式，是字符串格式，Excel中不能用来计算，只是用来看的哟！
§3曲线的测设
§3.1 切线支距法（直角坐标法） §3.2偏角法 §3.3极坐标法
§4通用线形计算的数学模型
线路曲线的构成往往是千变万化的，但就线型而言不外乎是由直线段、圆曲线段、回旋曲线段组成，复合曲线可以看作是由参数不同的曲线元组成。如图：
设回旋曲线起点A的曲率为ρA，其里程为KA，回旋曲线终点B的曲率为ρB，其里程为KB。XAY为测量坐标系，x'Ay'为以A点切线为x'轴的局部坐标系。
由于回旋线上里程为Ki的各点曲率半径Ri与该点离回旋线原始起点的长度li成反比，即有：
1li
ρi==（c为常数）
Ric
根据上式，回旋线上里程为Ki点的曲率为
ρi=ρA+
ρB-ρA
KB-KA
(Ki-KA)
当曲线右偏时，ρA、ρB取正；当曲线左偏时，ρA、ρB取负。
1
dl=ρidl Ri
dβ=
βi=
ρi+ρA
2
(Ki-KA)⨯
180︒
π
回旋线上任一点的切线方位角αi=αA+
ρi+ρA
2
(Ki-KA)⨯
180
π
当ρA=0，ρB=0时，ρi=0，则αi=αA，上式变为计算直线段上任意点切线方位角的计算公式；当ρA=ρB=
11
时，ρi=，上式代表圆曲RR
线上任意点切线方位角的计算公式。由此可见，只要知道了曲线起终点的曲率、里程及起点的切线方位角，利用上式可以计算任意线形（无论直线、圆曲线、回旋线）点位切线的坐标方位角。
在测量坐标系中有：
dX=dlcosαi dY=dlsinαi
l=Ki-KA⇒dl=dKi
设回旋线起点A点的坐标为（XA,YA），则可得回旋线上任意点在测量坐标系中的坐标：
X=XA+⎰cosαidl
KA
Ki
Y=YA+⎰sinαidl
KA
Ki
上面推导αi、X、Y的计算公式就是线路逐桩坐标计算的通用数学模型，施工现场使用的很多可编程计算器都具有积分计算函数，例如卡西欧fx4500p、fx4800p、fx4850p、fx5800等。采用通用数学模型，可使线路坐标计算程序的编制变得简洁通用，无须按不同线形分别采用各自的数学模型计算，简化了编程步骤，节约了计算器内存，对小半径曲线应将积分分割数设为4或5。
§5竖曲线测设
线路纵断面是由许多不同坡度的坡段连接成的，坡度变化点称为变坡点，在变坡点处，相邻两坡度的代数差称为变坡点的坡度代数差。为缓和坡度在变坡点处的急剧变化，便于行车，通常在坡段间以曲线连接，这种连接不同坡段的曲线称为竖曲线。
《公路路线设计规范》规定，各级公路在纵坡变更处均应设置竖曲线。各级公路竖曲线的半径及其最小长度规定如下表：
在铁路纵断面上，当变坡点的坡度代数差∆i大于《铁路线路设计规范》规定的限值时，需设置竖曲线，国家Ⅰ、Ⅱ级铁路∆i≤0.3%、Ⅲ级铁路
∆i≤0.4%。竖曲线半径在Ⅰ、Ⅱ级铁路上不小于10000m，Ⅲ级铁路不小于5000m。在工作量不过份加大的情况下，为了改进交通条件，竖曲线的半径应尽可能地加大。
竖曲线有凸形和凹形两种，顶点在曲线之上者为凸形竖曲线；反之称为凹形竖曲线。连接两相邻坡度线的竖曲线，可以用圆曲线，也可以用抛物线。目前，我国铁路和公路多采用圆曲线连接，在使用范围内二者几乎没有差别，下面按圆曲线推导竖曲线计算公式。按抛物线推导的公式表达式在形式上与按圆曲线近似计算公式是相同的。
如图：
由于在纵断面上只计水平距离和竖直高度，斜线不计角度而计坡度。因此，竖曲线长与切线长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两坡度线的交角用坡度代数差表示。
由于允许坡度的数值不大，可以认为纵断面上的曲折角α=∆i=i1-i2。 竖曲线切线长：T=R⨯tg
α
2
=
1
R⨯(i1-i2) 2
竖曲线长度：L=R⨯(i1-i2)
由于α很小，故可以认为竖曲线上各点的y坐标方向与半径方向一致，也认为它就是切线上与曲线上的高程差。从而得
(R+y)2=R2+x2
2Ry=x2-y2
由于y2与x2相比较，其值甚微，可略去不计。故有
2Ry=x2
x2
从而竖曲线上任一点的竖距y=
2RT2
竖曲线外矢距：E=
2R
算得竖距y后，根据坡度线上各点的高程，就可以计算出竖曲线上的曲线点高程。
曲线道路坐标计算
§1 曲线要素计算
缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。其曲率半径ρ从直线的曲率半径∞（无穷大）
1
逐渐变化到圆曲线的半径R，在缓和曲线上任意一点的曲率半径ρ与缓和曲线的长度l成反比，以公式表示为：ρ∝ 或 ρ⋅l=C（C为常数，称
l
曲线半径变更率）。当l=lo时，ρ=R，应有C=ρ⋅l=R⋅lo
以上几式是缓和曲线必要的前提条件。在实际应用中，可采取符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。
为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线lo，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p，因而圆心就由O'移到O，而原来的半径R保持不变，如图。
由图中可看出，缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分，而另一半是靠近原来的圆曲线部分，原来圆曲线的两端其圆心角βo相对应的那部分圆弧，现在由缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下缓圆点(HY)到圆缓点(YH)这段长度即ly。
βo为缓和曲线的切线角，即缓圆点或圆缓点切线与直缓点或缓直点切线的交角，亦即圆曲线HY→YH两端各延长
γ为缓和曲线总偏角，即从直缓点(ZH)测设缓圆点(HY)或从缓直点(HZ)测设圆缓点(YH)的偏角。 q为切线增量(切垂距)，即ZH(或HZ)到从圆心O向ZH(或HZ)的切线作垂线垂足的距离。
p为圆曲线内移值，即垂线(从圆心O向ZH(或HZ)的切线作垂线)长与圆曲线半径R之差。
lo
部分所对应的圆心角。 2
§1.1 不等长缓和曲线要素计算：
在铁路曲线测设中，线路曲线一般是由相等的两条缓和曲线中间加一个圆曲线构成，有时还会出现由两个不等长的缓和曲线中间加一个圆曲线构成的特殊情况，如图：缓和曲线长分别为lo1、lo2 ， 切线长分别为T1、T2 ，曲线偏角(线路转角)为α，圆曲线半径为R，圆曲线长为ly ，曲线长为L ，外矢距为E ，切曲差为J，(缓和曲线后)圆曲线内移值分别为p1、p2，(缓和曲线)切线增量分别为q1、q2，缓和曲线偏角分别为βo1、
2
βo2 ， 回旋线参数分别为A12=Rlo1、A2=Rlo2
各曲线要素计算公式如下：
ll
q1=o1-o12
2240R
3
T2=q2+(R+p2)tg
α
2
+
(p1-p2)
sinα
ll
q2=o2-o22
2240Rll
p1=o1-o13
24R2688Rll
p2=o2-o23
24R2688R
2
4
2
4
3
βo1=
lo118090lo1
⋅= 2RππR
βo2=
lo218090lo2
⋅= 2RππR
L=lo1+lo2+(α-βo1-βo2)
πR
180︒
T1=q1+(R+p1)tg
α
2
+
(p2-p1)
sinα
从以上公式可以看出，当lo1=lo2时，就是等长(对称)缓和曲线的情况。
切曲差： J=2T-L
§1.3 缓和曲线各主点桩号计算公式：
§2 方位角计算
§2.1 交点转角角度计算公式
R为曲线半径，T为切线长） ∆y ∆x
-1
§2.2 直线段上任一点的方位角计算公式：α=tan
①Δx>0且Δy>0，则=α；②Δx>0且Δy
-1∆x180⋅或
α=tan（度） ∆yπ
（若Δy>0，则=-α+90；若Δy
(180±90)-α → 180(1±1/2)-α → π(1±1/2)-α（弧度）→ [π(1±1/2)-α]·180/π（度）
§2.3 缓和曲线上任一点的方位角计算公式
缓和曲线上任一点的切线角：
αZH为直缓点的方位角） ∆l18090⋅∆l∆l∆l∆l
β=⋅=β===（弧度）→（度） 2
2R⋅loππ⋅R⋅lo2ρ2A2R⋅lo
注：ρ为该点的曲率半径，A为回旋线参数A2=R⋅lo=ρ⋅∆l 公式导证：dβ=
2222
β=⎰dβ=⎰
∆l∆l
∆l⋅d∆l1
=R⋅loR⋅lo
⎰
∆l
1∆l2∆l2
∆l⋅d∆l=⋅=
R⋅lo22R⋅lo
()
∆l2180o
或 βo= 当∆l=lo时，β=βo， 即⋅
2R⋅loπ
lo180o90lo
βo=⋅=
2RππR
d∆l
ρ
=
∆l⋅d∆lR⋅lo
（已知 ρ=） R⋅lo∆l
§2.4圆曲线上任一点的方位角计算公式
αHY为缓圆点的方位角）
∆l180o180⋅∆l⋅=其中，β= 为该点的切线角（缓圆点切线与该点切线的交角，即ΔL所对应的圆心角）。 Rππ⋅R
∆l180o90⋅∆lβ
γ=⋅== 为该点的弦切角（也叫偏角，即缓圆点到该点的弦与缓圆点的切线所夹的角。弦切角等于弦所对应的圆心角之半，
2Rππ⋅R2
也就是切线角的一半）。
注：Δl为曲线长度：计算点位到起算点(主点：ZH、HY、YH、HZ)的长度。第3、4中，以计算方向为准，左偏取"﹣"，右偏取"﹢"（左负右正）。
§3 坐标值计算
§3.1 直线段上任一点的坐标值计算公式：
直线两端点A、B间距离为S，A点坐标为(XA，YA)，方位角为α，则有：
⎧XB=XA+S⋅cosα
⎨
⎩YB=YA+S⋅sinα
★ 坐标转换
大地坐标系(北京54坐标系)与工程坐标系转换：
⎧X=xo+Acosα-Bsinα
大地坐标：⎨
Y=y+Asinα+Bcosαo⎩
⎧A=(X-xo)cosα+(Y-yo)sinα
工程坐标：⎨
()()B=Y-ycosα-X-xsinαoo⎩
O(xo , yo)为工程坐标系原点的北京54坐标值，X、Y为北京54坐标值，A、B为工程坐标值，α为工程坐标系与北京54坐标系X轴的夹角，即大地
坐标系方位角。
§3.2 缓和曲线上任一点的坐标值计算公式：
591317
⎛⎫∆l∆l∆l∆l ⎪⋅cosαX=XZH+ ∆l-+-+2468⎪2468
40R⋅lo3456R⋅lo599040R⋅lo175472640R⋅lo⎭⎝
7111519
⎛∆l3⎫∆l∆l∆l∆l⎪⋅sinα -+-+579⎪579 6R⋅l336R3⋅l342240R⋅lo9676800R⋅lo3530096640R⋅lo⎭oo⎝
591317
⎛⎫∆l∆l∆l∆l ⎪⋅sinαY=YZH+ ∆l-+-+2468⎪2468
40R⋅lo3456R⋅lo599040R⋅lo175472640R⋅lo⎭⎝
7111519
⎛∆l3⎫∆l∆l∆l∆l⎪⋅cosα± -+-+579⎪579 6R⋅l336R3⋅l342240R⋅lo9676800R⋅lo3530096640R⋅lo⎭oo⎝
s-E⋅sinα⎧X=XZH+N⋅coα⎧X=XZH+N⋅cosα+E⋅sinα左偏：⎨ 右偏：⎨ （N、E为坐标增量）（左加减，右减加）
Y=Y+N⋅sinα+E⋅coαsY=Y+N⋅sinα-E⋅cosαZHZH⎩⎩
说明：XZH为直缓点X坐标值，YZH为直缓点Y坐标值，lo为缓和曲线长度，α为起算点(ZH或HZ)的方位角，R为曲线半径，∆l为计算点位到起算点的长度。
注：第一段缓和曲线从直缓点计算到缓圆点(ZH → HY)，第二段缓和曲线从缓直点计算到圆缓点(HZ → YH)，与第一段计算方向相反，即"±" 相反；且方位角应="α+180"。
§3.3 圆曲线上任一点的坐标值计算公式：
注：以计算方向为准，左偏取"﹣"；右偏取"﹢"（左负右正）。
式中，弦长d=2Rsin
β
2
（缓圆点到计算点的弦的长度）；
(弧度)（弦所对应的圆心角，也就是切线角θ的一半）；方位角α=αHY±
β
2
（缓圆点到计算点沿弦方向的方位角）。
说明：XHY为缓圆点X坐标值，YHY为缓圆点Y坐标值，αHY为缓圆点的方位角，R为曲线半径，β为计算点的切线角，∆l为计算点位到起算点(HY)的长度。
§3.4边桩坐标值计算公式：
⎧Xb=Xz+S⋅cos(α±90)
⎨
Y=Y+S⋅sin(α±90)z⎩b
在有缓和曲线的圆曲线中圆心O的坐标是一个非常重要的数据。 Xo=Xjd+(R+E)cosTjd-o Yo=Yjd+(R+E)sinTjd-o
★ Excel计算公式： ☆1 方位角计算公式
☆1.1 直线段上任一点的方位角: =(PI()*(1-SIGN(ΔY)/2)-ATAN((ΔX)/(ΔY)))*180/PI() ☆1.2 缓和曲线上任一点的方位角: =αZH - SIGN(±1) *90*(L-LZH)^2/(PI()*R* LH) ☆1.3 圆曲线上任一点的方位角: =αHY - SIGN(±1) *180*( L-LHY)/(PI()*R) ☆2 坐标值计算公式
☆2.1 直线段上任一点的坐标值: X= Xo+(ΔS)*COS(RADIANS(α))
Y= Yo+(ΔS)*SIN(RADIANS(α))
☆2.2 缓和曲线上任一点的坐标值
X=XZH+(( L-LZH)-( L-LZH)^5/(40*R^2* LH ^2)+( L-LZH)^9/(3456*R^4* LH ^4)-( L-LZH)^13/(599040*R^6* LH ^6)+( L-LZH)^17/(175472640*R^8* LH
^8))*COS(RADIANS(α))+ SIGN(±1) *(( L-LZH)^3/(6*R* LH)-( L-LZH)^7/(336*R^3* LH ^3)+( L-LZH)^11/(42240*R^5* LH ^5)-( L-LZH)^15/(9676800*R^7* LH ^7)+( L-LZH)^19/(3530096640*R^9* LH ^9))*SIN(RADIANS(αZH))
Y=YZH+(( L-LZH)-( L-LZH)^5/(40*R^2* LH ^2)+( L-LZH)^9/(3456*R^4* LH ^4)-( L-LZH)^13/(599040*R^6* LH ^6)+( L-LZH)^17/(175472640*R^8* LH ^8))* SIN(RADIANS(α))- SIGN(±1) *(( L-LZH)^3/(6*R* LH)-( L-LZH)^7/(336*R^3* LH ^3)+( L-LZH)^11/(42240*R^5* LH ^5)-( L-LZH)^15/(9676800*R^7* LH ^7)+( L-LZH)^19/(3530096640*R^9* LH ^9))*COS(RADIANS(αZH))
☆2.3圆曲线上任一点的坐标值
X= XHY +2*R*SIN((L-LHY)/(2*R))*COS(RADIANS(α)- SIGN(±1) * (( L-LHY)/(2*R))) Y= YHY +2*R*SIN((L-LHY) /(2*R))*SIN(RADIANS(α)- SIGN(±1) * (( L-LHY)/(2*R))) 注：SIGN(±1)中，左偏用”+1”表示，右偏用”-1”表示。
☆求直线段两点距离公式:
=ROUND (SQRT(POWER((A3-A1),2)+POWER((A3-B1),2)),3)
☆ 度分秒(° ′ ″)格式转换为度(°)格式: =INT(F3)+(INT(F3*100)-INT(F3)*100)/60+(F3*10000-INT(F3*100)*100)/3600
注：上面计算式中，度分秒(° ′ ″)要以小数输入，例如132° 16′43.00933″应写成132.164300933输入。
把单元格中的度分秒（° ′ ″ ）转化为小数形式：=INT(F3)+INT((F3-INT(F3))*60)/100+((F3-INT(F3))*60-INT((F3-INT(F3))*60))*60/10000
☆ 度(°)格式转换为度分秒（° ′ ″ ）格式: =INT(D1)&"°"&INT((D1-INT(D1))*60)&"′"&ROUND(((D1-INT(D1))*60-INT((D1-INT(D1))*60))*60,5)&"″"
注：上面计算出来的是度分秒（° ′ ″ ）格式，是字符串格式，Excel中不能用来计算，只是用来看的哟！
§3曲线的测设
§3.1 切线支距法（直角坐标法） §3.2偏角法 §3.3极坐标法
§4通用线形计算的数学模型
线路曲线的构成往往是千变万化的，但就线型而言不外乎是由直线段、圆曲线段、回旋曲线段组成，复合曲线可以看作是由参数不同的曲线元组成。如图：
设回旋曲线起点A的曲率为ρA，其里程为KA，回旋曲线终点B的曲率为ρB，其里程为KB。XAY为测量坐标系，x'Ay'为以A点切线为x'轴的局部坐标系。
由于回旋线上里程为Ki的各点曲率半径Ri与该点离回旋线原始起点的长度li成反比，即有：
1li
ρi==（c为常数）
Ric
根据上式，回旋线上里程为Ki点的曲率为
ρi=ρA+
ρB-ρA
KB-KA
(Ki-KA)
当曲线右偏时，ρA、ρB取正；当曲线左偏时，ρA、ρB取负。
1
dl=ρidl Ri
dβ=
βi=
ρi+ρA
2
(Ki-KA)⨯
180︒
π
回旋线上任一点的切线方位角αi=αA+
ρi+ρA
2
(Ki-KA)⨯
180
π
当ρA=0，ρB=0时，ρi=0，则αi=αA，上式变为计算直线段上任意点切线方位角的计算公式；当ρA=ρB=
11
时，ρi=，上式代表圆曲RR
线上任意点切线方位角的计算公式。由此可见，只要知道了曲线起终点的曲率、里程及起点的切线方位角，利用上式可以计算任意线形（无论直线、圆曲线、回旋线）点位切线的坐标方位角。
在测量坐标系中有：
dX=dlcosαi dY=dlsinαi
l=Ki-KA⇒dl=dKi
设回旋线起点A点的坐标为（XA,YA），则可得回旋线上任意点在测量坐标系中的坐标：
X=XA+⎰cosαidl
KA
Ki
Y=YA+⎰sinαidl
KA
Ki
上面推导αi、X、Y的计算公式就是线路逐桩坐标计算的通用数学模型，施工现场使用的很多可编程计算器都具有积分计算函数，例如卡西欧fx4500p、fx4800p、fx4850p、fx5800等。采用通用数学模型，可使线路坐标计算程序的编制变得简洁通用，无须按不同线形分别采用各自的数学模型计算，简化了编程步骤，节约了计算器内存，对小半径曲线应将积分分割数设为4或5。
§5竖曲线测设
线路纵断面是由许多不同坡度的坡段连接成的，坡度变化点称为变坡点，在变坡点处，相邻两坡度的代数差称为变坡点的坡度代数差。为缓和坡度在变坡点处的急剧变化，便于行车，通常在坡段间以曲线连接，这种连接不同坡段的曲线称为竖曲线。
《公路路线设计规范》规定，各级公路在纵坡变更处均应设置竖曲线。各级公路竖曲线的半径及其最小长度规定如下表：
在铁路纵断面上，当变坡点的坡度代数差∆i大于《铁路线路设计规范》规定的限值时，需设置竖曲线，国家Ⅰ、Ⅱ级铁路∆i≤0.3%、Ⅲ级铁路
∆i≤0.4%。竖曲线半径在Ⅰ、Ⅱ级铁路上不小于10000m，Ⅲ级铁路不小于5000m。在工作量不过份加大的情况下，为了改进交通条件，竖曲线的半径应尽可能地加大。
竖曲线有凸形和凹形两种，顶点在曲线之上者为凸形竖曲线；反之称为凹形竖曲线。连接两相邻坡度线的竖曲线，可以用圆曲线，也可以用抛物线。目前，我国铁路和公路多采用圆曲线连接，在使用范围内二者几乎没有差别，下面按圆曲线推导竖曲线计算公式。按抛物线推导的公式表达式在形式上与按圆曲线近似计算公式是相同的。
如图：
由于在纵断面上只计水平距离和竖直高度，斜线不计角度而计坡度。因此，竖曲线长与切线长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两坡度线的交角用坡度代数差表示。
由于允许坡度的数值不大，可以认为纵断面上的曲折角α=∆i=i1-i2。 竖曲线切线长：T=R⨯tg
α
2
=
1
R⨯(i1-i2) 2
竖曲线长度：L=R⨯(i1-i2)
由于α很小，故可以认为竖曲线上各点的y坐标方向与半径方向一致，也认为它就是切线上与曲线上的高程差。从而得
(R+y)2=R2+x2
2Ry=x2-y2
由于y2与x2相比较，其值甚微，可略去不计。故有
2Ry=x2
x2
从而竖曲线上任一点的竖距y=
2RT2
竖曲线外矢距：E=
2R
算得竖距y后，根据坡度线上各点的高程，就可以计算出竖曲线上的曲线点高程。