《二次根式》分类练习题
二次根式的定义：
【例1】下列各式
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
2
______个
【例2
举一反三： 1、使代数式
有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] x -3
有意义的x 的取值范围是（ ） x -4
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
A、x>3 2
x 的取值范围是
1m n
有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
3、如果代数式-m +
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
【例3】若y=
x -5+-x +2009，则x+y=
举一反三：
2
1
=(x +y ) ，则x －y 的值为（ ）
A ．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x 、y 都是实数，且y=2x -3+3-2x +4，求xy 的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b 是
a +
1
的值。 b +2
若的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a -b = 。 若的整数部分为x ，小数部分为y ，求
知识点二：二次根式的性质
x 2+
1
y 的值.
a -2+(c -4)=0，a -b +c =
【例4
】若则 ．
举一反三：
1、若m -3+(n +1) 2=0，则m +n 的值为 。
2、已知x , y 为实数，且x -1+3(y -2)=0，则x -y 的值为（ ）
2
2
A ．3 B ．– 3 C ．1
2
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x －4｜＋ 4、若
y 2-5y +6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2005
a -b +
1
(a -b )
=_____________
。
（公式(a ) 2=a (a ≥0) 的运用）
【例5】
化简：a -1+的结果为（ ）
A 、4—2a B、0 C、2a —4 D、4 举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
2
x
2
-3；m 4-4m 2+
4x 4-9=__________,x 2-+2=__________
2、
1
3、
⎧a (a ≥0) （公式的应用）a 2=a =⎨
-a (a
【例6】已知x
A 、x -2 举一反三：
B、x +2
C 、-x -2
D 、2-x
1
、根式( )
A ．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、已知a
2a │可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a 3、若2 a
3
）
A. 5-2a B. 1-2a C. 2a -5 D. 2a -1 4、若a －3＜0，则化简
a 2-6a +9+4-a
的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－
2a 5
得（ ）
2
（A ） 2 （B ）-4x +4 （C ）－2 （D ）4x -4
a 2-2a +1
a 2-a 6、当a ＜l 且a ≠0时，化简＝ ．
7、已知a
0【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －
b │的结果等
于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：
a -1+=______． 【例8
】化简-x -
2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤
1
2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．a ≥4 Ｂ．a ≤2 Ｃ．2≤a ≤4 Ｄ．a =2或a =4
【例9】如果a +a 2-2a +1=1，那么a 的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三：
1、如果a =3成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
A . a ≤0B . a ≤3; C . a ≥-3; D . a ≥
3
2
2、若(x -3) +x -3=0，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x >3 （B ）x
a +2
的结果是 a 2
（A ）-a -2 (B)--a -2 (C)a -2 (D)-a -2 1、把二次根式a -
A. -a
1
化简，正确的结果是（ ） a
B. --a
C. -a
D. a
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
b x
x ＝ ；(a -1)
1
＝ 1-a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
2、同类二次根式（可合并根式）： 3、【例
11】在根式
） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 举一反三：
1
1、45a , , 2, 40b 2, 54, (a 2+b 2) 中的最简二次根式是
2
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A
B
C
．
D
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
3ab
2x 2+y 2xy 3a b 2 (1) (2) (3) (4)a -b (a >b ) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
(1) (2)45a b (3)【例12】下列根式中能与是合并的是( )
2
x 2
y
x
A. B. 27 C.2 D.
1 2
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A
D
23；③
2
；④3
2、在二次根式：①；② 是 。
3、如果最简二次根式
27中，能与3合并的二次根式
3a -8与-2a 能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化
2．有理化因式：
=
a
a -b 与a -b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a
与a
，
，
【例13】 把下列各式分母有理化 （1
例14】把下列各式分母有理化
（2
（3
（4
）（1
（2
（3
） （4
）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
1
、已知x =
（2
（3
x +y 22
y =，求下列各式的值：（1）（2）x -3xy +y
x -y
2、把下列各式分母有理化：
（1
（3
a ≠b ) （2
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【例16】化简
⋅
2x
≥0, y ≥0⨯23
【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5）
（6） （7） （8）
【例18】化简：
(a
>0, b ≥0) (x
≥0, y >0) (x ≥0, y >0)
【例19】计算：
（4
=
成立的的x 的取值范围是（ ） 【例20
A 、x >2 B、x ≥0 C、0≤x ≤2 D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【例20】（1
） （2
）+
【例21】 （1
）（2
a -b
（5
5+
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、
2233b
2、 12 +4ab 5⋅(-a b ) ÷3
2 b 2a
1
－348 ) 8
（6
+ 1
3、
3
（
1
6、(72+
22+) ⋅-7
知识点八：根式比较大小
【例22】
比较
与的大小。（用两种方法解答） 【例23
【例24
【例25
【例26
33的大小
的大小。
《二次根式》分类练习题
二次根式的定义：
【例1】下列各式
其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A
2
______个
【例2
举一反三： 1、使代数式
有意义，则x 的取值范围是 ．[来源:学*科*网Z*X*X*K] x -3
有意义的x 的取值范围是（ ） x -4
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
A、x>3 2
x 的取值范围是
1m n
有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
3、如果代数式-m +
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
【例3】若y=
x -5+-x +2009，则x+y=
举一反三：
2
1
=(x +y ) ，则x －y 的值为（ ）
A ．－1 B．1 C．2 D．3
2、若x 、y 都是实数，且y=2x -3+3-2x +4，求xy 的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
已知a
b 是
a +
1
的值。 b +2
若的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a -b = 。 若的整数部分为x ，小数部分为y ，求
知识点二：二次根式的性质
x 2+
1
y 的值.
a -2+(c -4)=0，a -b +c =
【例4
】若则 ．
举一反三：
1、若m -3+(n +1) 2=0，则m +n 的值为 。
2、已知x , y 为实数，且x -1+3(y -2)=0，则x -y 的值为（ ）
2
2
A ．3 B ．– 3 C ．1
2
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x －4｜＋ 4、若
y 2-5y +6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.
2005
a -b +
1
(a -b )
=_____________
。
（公式(a ) 2=a (a ≥0) 的运用）
【例5】
化简：a -1+的结果为（ ）
A 、4—2a B、0 C、2a —4 D、4 举一反三：
1、 在实数范围内分解因式:
2
x
2
-3；m 4-4m 2+
4x 4-9=__________,x 2-+2=__________
2、
1
3、
⎧a (a ≥0) （公式的应用）a 2=a =⎨
-a (a
【例6】已知x
A 、x -2 举一反三：
B、x +2
C 、-x -2
D 、2-x
1
、根式( )
A ．-3 B．3或-3 C．3 D．9
2、已知a
2a │可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a 3、若2 a
3
）
A. 5-2a B. 1-2a C. 2a -5 D. 2a -1 4、若a －3＜0，则化简
a 2-6a +9+4-a
的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－
2a 5
得（ ）
2
（A ） 2 （B ）-4x +4 （C ）－2 （D ）4x -4
a 2-2a +1
a 2-a 6、当a ＜l 且a ≠0时，化简＝ ．
7、已知a
0【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －
b │的结果等
于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：
a -1+=______． 【例8
】化简-x -
2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤
1
2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．a ≥4 Ｂ．a ≤2 Ｃ．2≤a ≤4 Ｄ．a =2或a =4
【例9】如果a +a 2-2a +1=1，那么a 的取值范围是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a≤1 举一反三：
1、如果a =3成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
A . a ≤0B . a ≤3; C . a ≥-3; D . a ≥
3
2
2、若(x -3) +x -3=0，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x >3 （B ）x
a +2
的结果是 a 2
（A ）-a -2 (B)--a -2 (C)a -2 (D)-a -2 1、把二次根式a -
A. -a
1
化简，正确的结果是（ ） a
B. --a
C. -a
D. a
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
b x
x ＝ ；(a -1)
1
＝ 1-a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
2、同类二次根式（可合并根式）： 3、【例
11】在根式
） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 举一反三：
1
1、45a , , 2, 40b 2, 54, (a 2+b 2) 中的最简二次根式是
2
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） ．．A
B
C
．
D
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？
3ab
2x 2+y 2xy 3a b 2 (1) (2) (3) (4)a -b (a >b ) (5) (6)
5、把下列各式化为最简二次根式：
(1) (2)45a b (3)【例12】下列根式中能与是合并的是( )
2
x 2
y
x
A. B. 27 C.2 D.
1 2
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A
D
23；③
2
；④3
2、在二次根式：①；② 是 。
3、如果最简二次根式
27中，能与3合并的二次根式
3a -8与-2a 能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1．分母有理化
2．有理化因式：
=
a
a -b 与a -b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a
与a
，
，
【例13】 把下列各式分母有理化 （1
例14】把下列各式分母有理化
（2
（3
（4
）（1
（2
（3
） （4
）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
1
、已知x =
（2
（3
x +y 22
y =，求下列各式的值：（1）（2）x -3xy +y
x -y
2、把下列各式分母有理化：
（1
（3
a ≠b ) （2
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除 【例16】化简
⋅
2x
≥0, y ≥0⨯23
【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
（5）
（6） （7） （8）
【例18】化简：
(a
>0, b ≥0) (x
≥0, y >0) (x ≥0, y >0)
【例19】计算：
（4
=
成立的的x 的取值范围是（ ） 【例20
A 、x >2 B、x ≥0 C、0≤x ≤2 D、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【例20】（1
） （2
）+
【例21】 （1
）（2
a -b
（5
5+
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 1、
2233b
2、 12 +4ab 5⋅(-a b ) ÷3
2 b 2a
1
－348 ) 8
（6
+ 1
3、
3
（
1
6、(72+
22+) ⋅-7
知识点八：根式比较大小
【例22】
比较
与的大小。（用两种方法解答） 【例23
【例24
【例25
【例26
33的大小
的大小。