一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。
2．数学模型
由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构陈伟数学模型。如概率的功利化定义。
3．抽象模型
抽象模型是指通过人们对模型的反复观察、理解、认识，从获取到的信息中抽出共同的、本质性的特征，舍弃其非本质的特征来建立一个合理的模型。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤
（1）建模准备：确立建模课题的过程；
（2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
（3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；
（4）模型求解：构造数学模型之后，找出解决问题的方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
（5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等；
（6）模型检验：模型分析符合要求后，还必须回到客观实际中去对模型进行
检验，看它是否符合客观实际；
（7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其应用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
A 题 (9n, 9n+8)
小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英寸，但两件之和不得超过107英寸，每件的最大重量不得超过32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？
解：x 1 , y1 , z1 分别表示第一个箱子的长、宽、高，x 2 , y2 , z2 分别表示表示第一个箱子的长、宽、高. 于是建立数学模型为
MaxV = x1 y1 z1+ x2 y2 z2
x 1+ y1+ z1 ≤ 62,
x 2+ y2 + z2≤ 62,
max{x1 , y1 , z1} + max{x2 , y2 , z2 } ≤ 107,
x 1≥ 0, y1≥ 0, z1≥ 0, x2≥ 0, y2≥ 0, z2≥ 0.
当 x 1= y1= z2= x2= y2 = z2 =64时, 体积最大.
四、综合题（21分）
L. 跑步中的数学问题(7n+2, 7n+6, 7n+4)
跑步是基本活动技能，是人体快速移动的一种动作姿势。跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。近二三十年来，跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动， 是深受广大群众所欢迎的健身项目。人们普遍认为跑步是最好的健身方法。 每个正常人都经历过跑步，有人会疲惫不堪。 我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？
1. 论文题目
《关于跑步能量消耗的数学模型》
2. 论文摘要
跑步时人体快速移动的一种动作姿势，是基本的活动技能。现在跑步已经被公认为是最好的健身方法，原因是它能全面的提高身体的协调性，增加体质，增加肺活量，但是跑步过程中也伴随着能量的消耗，研究其消耗能量的多少，可以帮助我们给清楚地认识跑步的作用，并且让我们达到科学训练的目的。
3. 关键词
身体 速度 能量消耗
4. 论文正文
问题提出
跑步过程中能量的消耗与哪些因素有关，如何计算跑步过程中的能量消耗。 问题分析
人体自身有重量，而且在跑动过程中，伴随步伐的交替，人的重心会上下浮动，而且双腿的向前交替运动皆存在做功过程，由功能关系可知此时存在能量的消耗。所以我们可以通过做功的角度换角度去求跑步过程中的能量损耗。 模型假设、模型设计
（1）跑步所花费的时间分成两部分:第一部分为两条腿同时离开地面的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。
根据经验不妨设
（2） 假设跑步是匀速的，速度为v 。跑步所消耗的能量为
（m 为身体的质量） W f =(h +d )mg
d a =h b
W s =1m ' v 2 （m ′为腿部的质量） 2
于是，跑步时所消耗的能量总和为
W =W f +W s =(h +d )mg +1m ' v 2 2
(3) 用 L 表示人的身高, 不妨设 m 、m ′ 与 L 3 成正比， a 与 L 成正比，即
m =C 1L 3, m ' =C 2L 3, a =C 3L
模型的解法与结果
重心离开 B 上升到最高点所需要的时间
t =b 2v
因此，最高的高度为
12gb 2 h =gt =228v
所以
(a +b )bmg 2
W =8v 2+1m ' v 2 2
又因为完成一个周期跑步的时间为(a + b)／v, 从而单位时间所消耗的能量为
W bmg 2m ' v 3 P ==+a +b 8v 2(a +b )
v
再由第二假设, 令b = ja ,于是
L 4v 3L 2 P =C 4j +C v 1+j 5再令dP =0, 有 dj
(1+j )2C 5v 4v 4 =∝2C 4L 2L
模型的优缺点及改进的方向
模型中的变量比较单一，笼统，并且没有考虑一些特殊的变量，因此存在计算方面的误差。
五、复述题（21分）
R. 椅子放稳模型(3n+2)
一、问题重述
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们通过建立模型分别解决以下问题：
1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；
2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？
3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。
二、模型假设
为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。假设1显然是合理的。否则即便放在平面上也不会是椅子放稳。
假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有j 阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。
假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
三、建模与分析
首先，根据假设1，椅脚连线呈正方形, 而正方形以中心为对称, 即正方形绕中心的旋转可以表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。如图1，椅脚连线为正方形ABCD ，在图1所示的坐标系下对角线AC 与ox 轴重合, 椅子绕中心o 旋转角度θ后, 正方形转至的位置，如图2所示，即对角线AC 与ox 轴的夹角表示了椅子的位置。
正方形ABCD 绕O 点旋转
其次，要把椅子着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖值距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置时，椅脚与地面的距离不尽相同，所以这个距离是变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。设A 、C 两脚与地面的距离之和为f(θ) ，B 、D 两脚与地面的距离之和为 g(θ), 显然f(θ) 、 g(θ) ≥0。由假设2知f(θ) 、 g(θ) 都是连续函数。在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f(θ) 、 g(θ) 中至少有一个为零。当θ= 0 时，不妨设f(θ) > 0、 g(θ)= 0。另一方
面，由对称性知道，旋转p/2的角度后，相当于AC 和BD 互换一个位置. 故有f(p/2)=0，g(p/2)>0，这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。
命题1已知f(θ) 和g(θ) 是θ的连续函数，对任意的θ，有f(θ). g(θ)=0 ，且f(0 )>0 、g(0)=0，g(π/2)>0 ,f(π/2 )=0,则存在θ∈[0 , (π/2 ]，使得f( )= g( ) =0 .
可以看到，引入变量θ和函数f(θ) 、g(θ) ，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单而精确的数学语言表示出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。
四、模型求解
令h(θ)= f(θ) –g(θ) ，则h(0)>0和h(π/2)
使h( )=0，即f （ ) = g( ). 因为f(θ) . g(θ)=0，所以f( ) = g( ) = 0.
五、模型的分析及推广
1. 模型分析
模型的优点在于用一元变量表示了椅子的位置，用的两个函数表示了椅子四只脚与地面的距离，充分运用了正方形关于中心的对称性，使得问题得到了极大的简化，并得到了逻辑上的求解。缺点在于运用了正方形关于中心的对称性，使模型的适应范围受到了一定的局限，如对一般四边形是否也适应，未能作出回答；而且也未能考虑到平行移动的情形。
2. 如果椅脚连线呈矩形，其结论也成立。事实上，如图3建立坐标系，A 、B 、
C 、D 表示椅子的四只脚. θ0θ0θ0θ0θ0
假设条件只需将正方形假设条件中的正方形改为矩形。设f(θ) 表示相邻两脚A 、B 与地面的距离之和，g(θ) 表示相邻两脚C 、D 两脚与地面的距离之和。由矩形对称性知道, 旋
转180°度的角后，相当于AB 和CD 互换一个位置。这样，改变椅子位置使四只脚同时着地就归结为证明如下数学命题：命题2已知f(θ) 和g(θ) 是θ的连续函数, 对任意的θ，有f(θ). g(θ)=0，且θf(0 )>0 θ、g(0) =0 ，f(π)=0 、g(π)>0，则存在θ∈[0，00
π],使得f( )= g( ) =0。
3. 模型的进一步分析与推广 θ0θ0由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转，可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正方形和矩形的四个顶点共圆，可通过适当的旋转将椅子放平稳。那么，椅子四脚连线所构成的四边形是圆
内接四边形，是否一定可通过适当的旋转可将椅子放平稳？反之，通过适当的旋转可将椅子放平稳，椅子四脚连线是否一定是圆内接四边形？
我们先看一个实例，设地面为一个足够大的球面部分，其方程为：
x2 + y2 + (z . 10000)2 = 100002 (z
-(11/6) 2-(25/6) 2
椅子四只脚构成一菱形ABCD ，对角线的长度分别为 AC=8，BD=6。根据球面的特点，要使得菱形ABCD 的顶 点至少有三个在球面上，则其三个顶点必在同一个圆上。
不妨取菱形 ABCD 所在的平面与球面的截痕及菱形，在 xoy 面上投影图如示图，其圆周的半径为R=25/8,2R=25/4
d= - >7/10000>0
这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子四脚连线所构成的四边形不是园内接四边形，通过旋转不可能将椅子放稳。下面我们来讨论另一个问题。众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意园内接四边形的椅子是否也能在不平的平面上放稳？为解决此问题我们重新建立模型。
模型假设
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。
2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。
4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。
θθ
将椅子放在地面任何一个位置，并使至少三只脚同时着地。这时以椅子四脚共圆
θθθO 为原点，四脚连线所在的平面为θθθ坐标面，并使椅脚之一（如椅脚的圆心xoy A ）θ15．挪动仅只是旋转。 23112233
在ox 轴的正半轴上建立平面坐标系图
.
由假设4，椅子四脚A 、B 、C 、D 共圆，设其半径为R ，则这四点必在圆周x2+y2=R2上不妨设OB 、OC 、OD 分别与ox 轴的正向夹角分别为 、 、 . 这三个夹角应满足条件0
)
如果让椅子绕O 点转动，则A 、B 、C 、D 四点将同时绕O 点转动，并且转过同样的角度θ（取逆时针方向为正），则转动后A 、B 、C 、D 四点对应的点分别为A ’、B ’、C ’、D ’。
由假设2，地面可视为数学上的连续曲面, 因此，如果取过原点 O, 垂直于xoy 面向上的轴为oz 轴, 则在此空间直角坐标系下地面的方程便可写成z=f(x，y), 其中f(x，
y) 是二元连续函数。特别地，在圆周上z 必为旋转角θ的以2π为周期的单值连续函数z= R(θ) .
A (Rcos θ,Rsin θ)
B (Rcos (θ+ ),Rsin (θ+ ) )
C (Rcos (θ+ ),Rsin （θ+ ) ）
，Rsin （θ+ ) ） D (Rcos （θ+ ）
A (Rcos θ,Rsin θ, ϕ(θ))
B (Rcos (θ+ ),Rsin (θ+ ), ϕ(θ+ ) )
C (Rcos (θ+ ),Rsin （θ+ ), ϕ（θ+ ) ）
，Rsin （θ+ ), ϕ（θ+ ) ） D (Rcos （θ+ ）************
由假设3，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。这样改变椅子的位置（即让椅子绕O 点转动）能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存 ∈[0 , π/2],在使A
的数学模型.
模型求解
上面建立的数学模型的求解即证明下面的定理：
定理1 设.(θ) 是以2π为周期的连续函数，R>0，θ1 、θ2 、θ3是满足不等式0
θ四点共面。
1θ1
定理一说明对四角共圆的椅子，在不平的地面上，总可以适当的旋转把椅子θθ
放稳。 θθ放稳椅子的充要条件 2233
前面我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型。那么四脚不共圆的θ1θ1θ1
椅子是否也能在一般不平面的地面上放稳呢？回答是否定的，其反例如下：例：θθθ设椅子的四脚不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上θθθ总放不稳。 222333
证：反证法
假设在这样的地面上存在四点A 、B 、C 、D 使椅子的四脚在这四点同时着地，θ0
则四点必共面，即在同一平面上。从而，这四点必在此平面与球面的交线上，也就是着四点必共圆。这与椅子四脚不共圆矛盾。这矛盾说明假设错而例中结论真。 此例说明：当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不能在球面型θ的地面上放稳。而由前面的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共0
圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经过适当的旋转把椅子放稳。这样我们就证明了下面结论：
定理2 在不平的地面上把椅子放稳的充要条件是椅子四脚共圆。
模型的应用
椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的问题，但在上述的模型中所给出有关椅子的结论对于实践具有普遍的指导意义。通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在
任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是：必须且只需把椅子做成四脚连线呈圆内接四边形的形式。这也正好说明了我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形、矩形或等腰梯形，其原因就是他们都是圆内接四边形，这样椅
子能放稳。
当然，上述的结论不只是对制作椅子有用，而对四脚共面的所有物体，如桌子、家用电器、甚至送上月球的四脚机器和设备等，都有着设计方面的价值。
5. 参考文献
说明
1. 文件名：学号(8位)+姓名+班级.
2. 2012年12月19日下午4:30之前以班为单位将电子文档、打印文档统一交到新校区A318.
3. 纸质文档从左边装订.
4. 将你不做的题目全部删去.
5. 电子文档用Word2003排版.
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)
1．模型
模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。如地图、苯分子图。
2．数学模型
由数字、字母或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构陈伟数学模型。如概率的功利化定义。
3．抽象模型
抽象模型是指通过人们对模型的反复观察、理解、认识，从获取到的信息中抽出共同的、本质性的特征，舍弃其非本质的特征来建立一个合理的模型。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）
1．模型的分类
按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类。形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等；抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。
2．数学建模的基本步骤
（1）建模准备：确立建模课题的过程；
（2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；
（3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型；
（4）模型求解：构造数学模型之后，找出解决问题的方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；
（5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等；
（6）模型检验：模型分析符合要求后，还必须回到客观实际中去对模型进行
检验，看它是否符合客观实际；
（7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其应用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。
3．数学模型的作用
数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。
三、解答题（满分20分）
A 题 (9n, 9n+8)
小童父亲要到美国访问，授人之托希望多带点东西。中国民航的《国际旅游须知》中有关“计件免费行李额”中规定“适应于中美、中加国际航线上的行李运输……。经济和旅游折扣票价，免费交运的行李件数为两件，每件箱体三边之和不得超过62英寸，但两件之和不得超过107英寸，每件的最大重量不得超过32公斤。”试问这两件箱子的长、宽、高各为多少可达最大体积？请你到市场上看一看，商店出售的行李箱的尺寸与你的计算结果是否接近？为什么？
解：x 1 , y1 , z1 分别表示第一个箱子的长、宽、高，x 2 , y2 , z2 分别表示表示第一个箱子的长、宽、高. 于是建立数学模型为
MaxV = x1 y1 z1+ x2 y2 z2
x 1+ y1+ z1 ≤ 62,
x 2+ y2 + z2≤ 62,
max{x1 , y1 , z1} + max{x2 , y2 , z2 } ≤ 107,
x 1≥ 0, y1≥ 0, z1≥ 0, x2≥ 0, y2≥ 0, z2≥ 0.
当 x 1= y1= z2= x2= y2 = z2 =64时, 体积最大.
四、综合题（21分）
L. 跑步中的数学问题(7n+2, 7n+6, 7n+4)
跑步是基本活动技能，是人体快速移动的一种动作姿势。跑步和走路的主要区别在于两腿在交替落地过程中有一个腾空阶段。跑步是最简便而易见实效的体育健身内容。近二三十年来，跑步已成为国内外千百万人参加的群众健身运动， 是深受广大群众所欢迎的健身项目。人们普遍认为跑步是最好的健身方法。 每个正常人都经历过跑步，有人会疲惫不堪。 我们的问题是：怎样跑不能使我们消耗的能量尽可能的少？
1. 论文题目
《关于跑步能量消耗的数学模型》
2. 论文摘要
跑步时人体快速移动的一种动作姿势，是基本的活动技能。现在跑步已经被公认为是最好的健身方法，原因是它能全面的提高身体的协调性，增加体质，增加肺活量，但是跑步过程中也伴随着能量的消耗，研究其消耗能量的多少，可以帮助我们给清楚地认识跑步的作用，并且让我们达到科学训练的目的。
3. 关键词
身体 速度 能量消耗
4. 论文正文
问题提出
跑步过程中能量的消耗与哪些因素有关，如何计算跑步过程中的能量消耗。 问题分析
人体自身有重量，而且在跑动过程中，伴随步伐的交替，人的重心会上下浮动，而且双腿的向前交替运动皆存在做功过程，由功能关系可知此时存在能量的消耗。所以我们可以通过做功的角度换角度去求跑步过程中的能量损耗。 模型假设、模型设计
（1）跑步所花费的时间分成两部分:第一部分为两条腿同时离开地面的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。
根据经验不妨设
（2） 假设跑步是匀速的，速度为v 。跑步所消耗的能量为
（m 为身体的质量） W f =(h +d )mg
d a =h b
W s =1m ' v 2 （m ′为腿部的质量） 2
于是，跑步时所消耗的能量总和为
W =W f +W s =(h +d )mg +1m ' v 2 2
(3) 用 L 表示人的身高, 不妨设 m 、m ′ 与 L 3 成正比， a 与 L 成正比，即
m =C 1L 3, m ' =C 2L 3, a =C 3L
模型的解法与结果
重心离开 B 上升到最高点所需要的时间
t =b 2v
因此，最高的高度为
12gb 2 h =gt =228v
所以
(a +b )bmg 2
W =8v 2+1m ' v 2 2
又因为完成一个周期跑步的时间为(a + b)／v, 从而单位时间所消耗的能量为
W bmg 2m ' v 3 P ==+a +b 8v 2(a +b )
v
再由第二假设, 令b = ja ,于是
L 4v 3L 2 P =C 4j +C v 1+j 5再令dP =0, 有 dj
(1+j )2C 5v 4v 4 =∝2C 4L 2L
模型的优缺点及改进的方向
模型中的变量比较单一，笼统，并且没有考虑一些特殊的变量，因此存在计算方面的误差。
五、复述题（21分）
R. 椅子放稳模型(3n+2)
一、问题重述
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。我们通过建立模型分别解决以下问题：
1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；
2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？
3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。
二、模型假设
为使问题简化，便于解决，我们作如下合理假设：
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。假设1显然是合理的。否则即便放在平面上也不会是椅子放稳。
假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有j 阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。
假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
三、建模与分析
首先，根据假设1，椅脚连线呈正方形, 而正方形以中心为对称, 即正方形绕中心的旋转可以表示椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。如图1，椅脚连线为正方形ABCD ，在图1所示的坐标系下对角线AC 与ox 轴重合, 椅子绕中心o 旋转角度θ后, 正方形转至的位置，如图2所示，即对角线AC 与ox 轴的夹角表示了椅子的位置。
正方形ABCD 绕O 点旋转
其次，要把椅子着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖值距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置时，椅脚与地面的距离不尽相同，所以这个距离是变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。设A 、C 两脚与地面的距离之和为f(θ) ，B 、D 两脚与地面的距离之和为 g(θ), 显然f(θ) 、 g(θ) ≥0。由假设2知f(θ) 、 g(θ) 都是连续函数。在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f(θ) 、 g(θ) 中至少有一个为零。当θ= 0 时，不妨设f(θ) > 0、 g(θ)= 0。另一方
面，由对称性知道，旋转p/2的角度后，相当于AC 和BD 互换一个位置. 故有f(p/2)=0，g(p/2)>0，这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。
命题1已知f(θ) 和g(θ) 是θ的连续函数，对任意的θ，有f(θ). g(θ)=0 ，且f(0 )>0 、g(0)=0，g(π/2)>0 ,f(π/2 )=0,则存在θ∈[0 , (π/2 ]，使得f( )= g( ) =0 .
可以看到，引入变量θ和函数f(θ) 、g(θ) ，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单而精确的数学语言表示出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。
四、模型求解
令h(θ)= f(θ) –g(θ) ，则h(0)>0和h(π/2)
使h( )=0，即f （ ) = g( ). 因为f(θ) . g(θ)=0，所以f( ) = g( ) = 0.
五、模型的分析及推广
1. 模型分析
模型的优点在于用一元变量表示了椅子的位置，用的两个函数表示了椅子四只脚与地面的距离，充分运用了正方形关于中心的对称性，使得问题得到了极大的简化，并得到了逻辑上的求解。缺点在于运用了正方形关于中心的对称性，使模型的适应范围受到了一定的局限，如对一般四边形是否也适应，未能作出回答；而且也未能考虑到平行移动的情形。
2. 如果椅脚连线呈矩形，其结论也成立。事实上，如图3建立坐标系，A 、B 、
C 、D 表示椅子的四只脚. θ0θ0θ0θ0θ0
假设条件只需将正方形假设条件中的正方形改为矩形。设f(θ) 表示相邻两脚A 、B 与地面的距离之和，g(θ) 表示相邻两脚C 、D 两脚与地面的距离之和。由矩形对称性知道, 旋
转180°度的角后，相当于AB 和CD 互换一个位置。这样，改变椅子位置使四只脚同时着地就归结为证明如下数学命题：命题2已知f(θ) 和g(θ) 是θ的连续函数, 对任意的θ，有f(θ). g(θ)=0，且θf(0 )>0 θ、g(0) =0 ，f(π)=0 、g(π)>0，则存在θ∈[0，00
π],使得f( )= g( ) =0。
3. 模型的进一步分析与推广 θ0θ0由于正方形和矩形的任意一个顶点通过适当的旋转，可到达每一个顶点，即就是说正方形和矩形的四个顶点绕其中心旋转一周所得轨迹是同一个圆周。这也就是正方形和矩形的四个顶点共圆，可通过适当的旋转将椅子放平稳。那么，椅子四脚连线所构成的四边形是圆
内接四边形，是否一定可通过适当的旋转可将椅子放平稳？反之，通过适当的旋转可将椅子放平稳，椅子四脚连线是否一定是圆内接四边形？
我们先看一个实例，设地面为一个足够大的球面部分，其方程为：
x2 + y2 + (z . 10000)2 = 100002 (z
-(11/6) 2-(25/6) 2
椅子四只脚构成一菱形ABCD ，对角线的长度分别为 AC=8，BD=6。根据球面的特点，要使得菱形ABCD 的顶 点至少有三个在球面上，则其三个顶点必在同一个圆上。
不妨取菱形 ABCD 所在的平面与球面的截痕及菱形，在 xoy 面上投影图如示图，其圆周的半径为R=25/8,2R=25/4
d= - >7/10000>0
这说明通过旋转永远也不可能将椅子放稳。即就是说椅子四脚连线所构成的四边形不是园内接四边形，通过旋转不可能将椅子放稳。下面我们来讨论另一个问题。众所周知，我们日常生活中所遇到的椅子大都是四脚连线呈等腰梯形，那么，对这样的椅子甚至四脚连线为任意园内接四边形的椅子是否也能在不平的平面上放稳？为解决此问题我们重新建立模型。
模型假设
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点。
2．地面凹突破面世连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有向台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面。
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地。
4．椅子四脚连线所构成的四边形是圆内接四边形，即椅子四脚共圆。
θθ
将椅子放在地面任何一个位置，并使至少三只脚同时着地。这时以椅子四脚共圆
θθθO 为原点，四脚连线所在的平面为θθθ坐标面，并使椅脚之一（如椅脚的圆心xoy A ）θ15．挪动仅只是旋转。 23112233
在ox 轴的正半轴上建立平面坐标系图
.
由假设4，椅子四脚A 、B 、C 、D 共圆，设其半径为R ，则这四点必在圆周x2+y2=R2上不妨设OB 、OC 、OD 分别与ox 轴的正向夹角分别为 、 、 . 这三个夹角应满足条件0
)
如果让椅子绕O 点转动，则A 、B 、C 、D 四点将同时绕O 点转动，并且转过同样的角度θ（取逆时针方向为正），则转动后A 、B 、C 、D 四点对应的点分别为A ’、B ’、C ’、D ’。
由假设2，地面可视为数学上的连续曲面, 因此，如果取过原点 O, 垂直于xoy 面向上的轴为oz 轴, 则在此空间直角坐标系下地面的方程便可写成z=f(x，y), 其中f(x，
y) 是二元连续函数。特别地，在圆周上z 必为旋转角θ的以2π为周期的单值连续函数z= R(θ) .
A (Rcos θ,Rsin θ)
B (Rcos (θ+ ),Rsin (θ+ ) )
C (Rcos (θ+ ),Rsin （θ+ ) ）
，Rsin （θ+ ) ） D (Rcos （θ+ ）
A (Rcos θ,Rsin θ, ϕ(θ))
B (Rcos (θ+ ),Rsin (θ+ ), ϕ(θ+ ) )
C (Rcos (θ+ ),Rsin （θ+ ), ϕ（θ+ ) ）
，Rsin （θ+ ), ϕ（θ+ ) ） D (Rcos （θ+ ）************
由假设3，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。这样改变椅子的位置（即让椅子绕O 点转动）能否使四脚同时着地的问题就归结为求解是否存 ∈[0 , π/2],在使A
的数学模型.
模型求解
上面建立的数学模型的求解即证明下面的定理：
定理1 设.(θ) 是以2π为周期的连续函数，R>0，θ1 、θ2 、θ3是满足不等式0
θ四点共面。
1θ1
定理一说明对四角共圆的椅子，在不平的地面上，总可以适当的旋转把椅子θθ
放稳。 θθ放稳椅子的充要条件 2233
前面我们对四脚共圆的椅子进行了讨论，并建立了数学模型。那么四脚不共圆的θ1θ1θ1
椅子是否也能在一般不平面的地面上放稳呢？回答是否定的，其反例如下：例：θθθ设椅子的四脚不共圆，地面为半径充分大的球面，则这样的椅子在相应的地面上θθθ总放不稳。 222333
证：反证法
假设在这样的地面上存在四点A 、B 、C 、D 使椅子的四脚在这四点同时着地，θ0
则四点必共面，即在同一平面上。从而，这四点必在此平面与球面的交线上，也就是着四点必共圆。这与椅子四脚不共圆矛盾。这矛盾说明假设错而例中结论真。 此例说明：当椅子四条腿一样长但四脚不共圆时，无论怎么放，也不能在球面型θ的地面上放稳。而由前面的数学模型及讨论说明，当椅子四条腿一样长且四脚共0
圆时，对任意的连续平坦地面，无论在何处，都可以经过适当的旋转把椅子放稳。这样我们就证明了下面结论：
定理2 在不平的地面上把椅子放稳的充要条件是椅子四脚共圆。
模型的应用
椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的问题，但在上述的模型中所给出有关椅子的结论对于实践具有普遍的指导意义。通常，在制作椅子时，我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上，因此，我们无法也不可能对地面提出任何要求，但为了保证椅子将来能在
任何连续平坦的地面上放稳，我们可对椅子的设计提出一定的要求，这个要求就是：必须且只需把椅子做成四脚连线呈圆内接四边形的形式。这也正好说明了我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形、矩形或等腰梯形，其原因就是他们都是圆内接四边形，这样椅
子能放稳。
当然，上述的结论不只是对制作椅子有用，而对四脚共面的所有物体，如桌子、家用电器、甚至送上月球的四脚机器和设备等，都有着设计方面的价值。
5. 参考文献
说明
1. 文件名：学号(8位)+姓名+班级.
2. 2012年12月19日下午4:30之前以班为单位将电子文档、打印文档统一交到新校区A318.
3. 纸质文档从左边装订.
4. 将你不做的题目全部删去.
5. 电子文档用Word2003排版.