立体几何复习之夹角计算
求空间中各种角步骤为：“作、证、求”三步曲。 一、异面直线所成的角的范围是(0, π
2
]。求两条
异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，最终通过解三角形求角。
1. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中．求AC 与A 1D 所成角的大小。
2如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦
值为 ( ) A D
C
(A).
6
(B).64
3
B
A (C).2
D 1
6
(D).6
B 1
C 1
3. 已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条.
4. 异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是
二、直线与平面所成的角的范围是[0, π
2
]。求直
线和平面所成的角用的是射影转化法。
要点：确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a. 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心) ；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
练习
5. 平面α与直线a 所成的角为π
3
, 则直线a 与平
面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．
6．PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）
1
2A. 2 B. 2
6 C. 3 D. 3
三、二面角的范围是指(0, π]。 作二面角的平面角常有三种方法
①如图，棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②如图，面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平9. 四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E , F 分别为AC 和
PB 的中点。
(1) 求EF 与平面ABCD 所成角的大小； (2) 求二面角B -PA -C 的大小； (3) 求异面直线AC 与PD 所成的角。
P
F A
D
面角；
B
③如图，空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角
练习
7. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a，求二面角B-PC-D 的大小。
P H
A
D
8. ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°. 求二面角P —BC —A 的大小；
C
立体几何复习之夹角计算
求空间中各种角步骤为：“作、证、求”三步曲。 一、异面直线所成的角的范围是(0, π
2
]。求两条
异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决，最终通过解三角形求角。
1. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中．求AC 与A 1D 所成角的大小。
2如图, 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦
值为 ( ) A D
C
(A).
6
(B).64
3
B
A (C).2
D 1
6
(D).6
B 1
C 1
3. 已知a 、b 是一对异面直线，且a 、b 成60o 角，则在过空间任意点P 的所有直线中，与a 、b 均成60o 角的直线有 条.
4. 异面直线a 、b 互相垂直，c 与a 成30o 角，则c 与b 所成角的范围是
二、直线与平面所成的角的范围是[0, π
2
]。求直
线和平面所成的角用的是射影转化法。
要点：确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；
②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；
④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a. 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；
b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心) ；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
练习
5. 平面α与直线a 所成的角为π
3
, 则直线a 与平
面α内所有直线所成的角的取值范围是 ．
6．PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）
1
2A. 2 B. 2
6 C. 3 D. 3
三、二面角的范围是指(0, π]。 作二面角的平面角常有三种方法
①如图，棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②如图，面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平9. 四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E , F 分别为AC 和
PB 的中点。
(1) 求EF 与平面ABCD 所成角的大小； (2) 求二面角B -PA -C 的大小； (3) 求异面直线AC 与PD 所成的角。
P
F A
D
面角；
B
③如图，空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角
练习
7. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a，求二面角B-PC-D 的大小。
P H
A
D
8. ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°. 求二面角P —BC —A 的大小；
C