不等式(有答案)

不等式

一、不等式的主要性质：

(1)对称性： a >b ⇔b b , b >c ⇒a >c

(3)加法法则：a >b ⇒a +c >b +c ； a >b , c >d ⇒a +c >b +d (4)乘法法则：a >b , c >0⇒ac >bc ； a >b , c

a >b >0, c >d >0⇒ac >bd (5)倒数法则：a >b , ab >0⇒

(6)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *且n >1) (7)开方法则：a >b >0⇒a >(n ∈N *且n >1)

二、一元二次不等式ax 2+bx +c >0和ax 2+bx +c

三、均值不等式

1. 均值不等式：如果a,b 是正数，那么

a +b

≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2

2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等

a 2+b 2a +b 2

≥≥≥3、平均不等式：（a 、b 为正数），即（当a = b 时取等）

1122

+a b

四、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x |是指数轴上点x 到原点的距离；|x 1-x 2|是指数轴上x 1, x 2两点间的距离

a >0⎧a

⎪

代数意义：|a |=⎨0 a =0

⎪-a a

2、如果a >0, 则不等式：

|x |>a |x |

x >a 或x -a

|x |≤a

x ≥a 或x ≤-a -a ≤x ≤a

4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号

五、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

⎧f (x ) g (x ) ≥0f (x ) f (x )

>0⇔f (x ) g (x ) >0； ≥0⇔⎨g (x ) g (x ) ≠0g (x ) ⎩

②指数不等式：转化为代数不等式

a f (x ) >a g (x ) (a >1) ⇔f (x ) >g (x ) ；a f (x ) >a g (x ) (0

③对数不等式：转化为代数不等式

⎧f (x ) >0⎪

log a f (x ) >log a g (x )(a >1) ⇔⎨g (x ) >0

⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) >0⎪

log a f (x ) >log a g (x )(00

⎪f (x )

六、不等式证明的常用方法

做差法、做商法

七、线性规划

1、二元一次不等式（组）表示的平面区域

直线l :Ax +By +C >0（或

注意： Ax +By +C >0(或

2. 线性规划

我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是：注意：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。

1．若-2x +5x -2>0，则4x -4x +1+2x -2等于（ c ）

A ．4x -5 B ．-3 C ．3 D ．5-4x

2．不等式

3x -1

≥1的解集是 ( b ) 2-x

≤x ≤2} B ．{x|≤x ＜2} 44

C ．{x|x＞2或x ≤} D ．{x|x＜2}

A ．{x|

3．设a ＞1＞b ＞－1, 则下列不等式中恒成立的是 ( c ) A ．

1111

C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b a b a b

4．不等式lgx 2＜lg 2x 的解集是 ( d ) A ．(

,1) B ．(100,＋∞) 1001C ． (,1) ∪(100,＋∞) D ．(0,1)∪(100,＋∞)

100

5．a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( d ) A ．a +

6．一元二次不等式ax ＋bx ＋2>0的解集是(－

112a +b a a +b 2ab c c

>b + B ． D ．>ab > a b a +2b b 2a +b a b

, ) ，则a ＋b 的值是( d ) 23

A. 10 B. －10 C. 14 D. －14

7. 已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x ∈R |1≤2x

A ．[0,2) C ．{－1,1}

B ．{1} D ．{0,1}

8. 设集合A ＝{x |x 2－1>0}，B ＝{x |log2x >0}，则A ∩B 等于( a )

A ．{x |x >1} C ．{x |x

B ．{x |x >0}

D ．{x |x >1或x

x 2+1

2-x

10. 设实数x 、y 满足x ＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________(-∞, -1] [1, +∞)

11. 求不等式4-x ＋

x x

≥0的解集

3, 0 (0, 2]

)

12．求不等式log (2x – 3)(x2－3) ＞0的解集

x ∈(, 2) (2, +∞)

x 2-8x +20

13．不等式

mx 2+2(m +1) x +9m +4

14. 求证：a +b +c ≥ab +bc +ca

y ≤x ⎧⎪

15. 已知变量x 、y 满足的约束条件⎨x ＋y ≤1

⎪⎩y ≥－1值

，分别求出z ＝3x ＋2y 和z =2x +y 的最大

[解析] 作出可行域如图，当平移直线l ：y ＝－2x 到可行域内的点B (2，－1) 时，z max ＝4. z =2

x +y 的最大值Z max =3

x －y ＋1≥0，⎧⎪

16. 若实数x ，y 满足不等式组⎨x ＋2y －2≥0，

⎪⎩y ≥0，

求z ＝2x ＋y 的最小值

[解析] 作出可行域如图，作直线y ＝－2x ，平移直线l 0，当平移到经过点A (0,1)时，z 取最小值，∴z min ＝1.

0≤x ≤4⎧⎪

17. 已知关于x ，y 的不等式组⎨x ＋y －4≥0

⎪⎩kx －y ＋4≥0值.

[解析] 作出可行域如图，故2(4k ＋4) ×4

＝16，∴k ＝1.

，所表示的平面区域的面积为16，求k 的

18. 若存在实数x ，使得x 2－4bx ＋3b

[答案] b 4[解析] 由条件知，Δ＝(－4b ) 2－4×3b >0， 3

∴b 4

19. 已知点(a ，b ) 不在直线x ＋y －2＝0的下方，求2a ＋2b 的最小值．

[答案] 4

y ≥0⎧⎪

20. 设变量x 、y 满足约束条件⎨x －y ＋1≥0

⎪⎩x ＋y －3≤0

[答案] 6

[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图，平移直线l 0：y ＝－2x ，当平移到经过可行域内点C (3,0)时，z 取最大值z max ＝2

×3＋0＝6.

，求z ＝2x ＋y 的最大值.

21. （1）已知a , b , c , d 都是正数，求证：(ab +cd )(ac +bd ) ≥4abcd

（2）已知x >0, y >0, 2x +y =1，求证：+≥3+22

x y

a , b , c , d ∈R +∴ab +cd ≥>0, ac +bd ≥>0（

）

∴(ab +cd )(ac +bd ) ≥4abcd

当且仅当⎨

⎧ab =cd

即b =c 时，取“=”号.

ac =bd ⎩

2x +y =1, x >0, y >0

（2

）11112x y

∴+=(+)(2x +y ) =3++≥3+x y x y y x

⎧2x +y =1⎪

⎪2x y

当且仅当⎨即x =1-y =1时，取“=”号 =

2y x ⎪

⎪⎩

x >0, y >

22. （1）解下列不等式：x 2-3x +2＞x ＋5

2x 2+2kx +k

4x +6x +3 2⎧x -3x +2≥0⎪

（1）原不等式同解于（Ⅰ）⎨x +5≥0

⎪x 2-3x +2≥(x +5) 2⎩

⎧x 2-3x +2≥02323

或（Ⅱ）⎨解（Ⅰ）得-5≤x

1313⎩x +5

（2） 4x +6x +3恒大于0∴原不等式同解于2x +2kx +k 0. 由已知它对于任意实数恒成立，则有(6-2k ) 2-8(3-k )

不等式