1.1.1正弦定理公式及练习题

一、引入

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。

二、新授

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc2R（注：为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC

2、正弦定理常见变形：

（1）边化角公式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

abc，sinB，sinC 2R2R2R

（3）a:b:csinA:sinB:sinC

abcabc2R （4）sinAsinBsinCsinAsinBsinC

abacbc(5) sinAsinBsinAsinCsinBsinC（2）角化边公式：sinA（6）asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB

3、三角形中的隐含条件：

（1）在△ABC中，abc,abc(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边)

（2）在△ABC中，ABsinAsinB；ABcosAcosB；abAB

cos(AB)cosC, （3）在△ABC中，ABCsin(AB)sinC，

sinABCcos 22

考试·题型与方法

题型一：解三角形

例1：（1）在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；

（2）在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1,求b的值及三角形外接圆的半径。

变式训练：在△ABC中，已知下列条件，解三角形：

（1）a10，b20，A60；

（2）b10 ，c6，C60；

（3）a 2，b3，A45；

例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（）

A.a8,b16,A30有两解

B. b18,c20,B60有一解

C. a15,b2,A90无解

D. a30,b25,A150有一解

题型二：判断三角形的形状

例3：若sinAcosBcosC,则△ABC为（） abc

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.有一个内角为30°的直角三角形

D. 有一个内角为30°的等腰三角形

变式训练：

在△ABC中，若sinA2sinBcosC,且sin2Asin2Bsin2C,试判断△ABC的形状。

题型三：范围与最值问题

例4：设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2bsinA

（1）求B得大小；

（2）求cosAsinC的取值范围。

题型四：正弦定理与三角恒等变换

例5：设函数f(x)13sinxcosx,xR. 22

（1）求函数f(x)的最小正周期和值域；

（2）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)

求C得值。 ,且ab, 22