求阴影部分面积的三种方法

求阴影部分面积的三种方法

求阴影部分的面积，在近几年中考题中，形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。现举例谈谈三种主要的方法：

一. 和差法

和差法是指不改变图形的位置，而将它的面积用规则图形的面积的和或差表示，经过计算后即得所求图形面积。

例1. 如图1所示，半径OA=2cm，圆心角为90°的扇形AOB中，C为的中点，D为OB的中点，求阴影部分的面积。

解：连结OC，过点C作CE⊥OB于E。因为C为的中点，所以 ∠BOC=，所以CE=OC·sin45°=。

所以

所以

点拨：不要将图形CBD当作扇形计算，对于不规则图形的面积的计算问题，通常是经过适当的几何变换，把不规则的图形面积求解问题转化为规则图形面积的求解。

二. 移动法

移动法是指将图形的位置进行移动，以便为使用和差法提供条件。具体方法有：平移、旋转、割补、等积变换等。

例2. 如图2所示，AB是半圆的直径，AB=2R，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积。

解：连结OC、OD。

因为

所以

，所以∠CDA=∠DAB，所以CD//AB

又因为∠COD=

所以

点拨：此阴影部分为不规则图形，可应用等积方法，转化为规则图形——扇形COD。

例3. 某种商品的商标图案如图3所示（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4，，是以A为圆心，AB长为半径的弧，

是以B为圆心，BC长为半径的弧，求商标图案的面积。

解：观察题图，易知把弓形CD补到弓形BD处，恰好。故阴影部分面积等于面积。

所以

点拨：本题解法采用了“移动割补”的方法。

三. 代数法

有些阴影部分的图形面积可以借助于列方程（组），然后解方程（组）求出。

例4. 如图4所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作以AB为直径作，M是AD上一点，以DM为直径，作与，相外切，则图中阴影部分面积为___________。

图4

解：。

点拨：本题阴影部分的面积直接求，不好求解，可用代数法解决。

设以DM为直径的半圆的圆心为的圆心为，连结，则有 ，半径为r，以AB为直径的半圆

，解得：

所以

求阴影部分面积的三种方法

求阴影部分的面积，在近几年中考题中，形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。现举例谈谈三种主要的方法：

一. 和差法

和差法是指不改变图形的位置，而将它的面积用规则图形的面积的和或差表示，经过计算后即得所求图形面积。

例1. 如图1所示，半径OA=2cm，圆心角为90°的扇形AOB中，C为的中点，D为OB的中点，求阴影部分的面积。

解：连结OC，过点C作CE⊥OB于E。因为C为的中点，所以 ∠BOC=，所以CE=OC·sin45°=。

所以

所以

点拨：不要将图形CBD当作扇形计算，对于不规则图形的面积的计算问题，通常是经过适当的几何变换，把不规则的图形面积求解问题转化为规则图形面积的求解。

二. 移动法

移动法是指将图形的位置进行移动，以便为使用和差法提供条件。具体方法有：平移、旋转、割补、等积变换等。

例2. 如图2所示，AB是半圆的直径，AB=2R，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积。

解：连结OC、OD。

因为

所以

，所以∠CDA=∠DAB，所以CD//AB

又因为∠COD=

所以

点拨：此阴影部分为不规则图形，可应用等积方法，转化为规则图形——扇形COD。

例3. 某种商品的商标图案如图3所示（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4，，是以A为圆心，AB长为半径的弧，

是以B为圆心，BC长为半径的弧，求商标图案的面积。

解：观察题图，易知把弓形CD补到弓形BD处，恰好。故阴影部分面积等于面积。

所以

点拨：本题解法采用了“移动割补”的方法。

三. 代数法

有些阴影部分的图形面积可以借助于列方程（组），然后解方程（组）求出。

例4. 如图4所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作以AB为直径作，M是AD上一点，以DM为直径，作与，相外切，则图中阴影部分面积为___________。

图4

解：。

点拨：本题阴影部分的面积直接求，不好求解，可用代数法解决。

设以DM为直径的半圆的圆心为的圆心为，连结，则有 ，半径为r，以AB为直径的半圆

，解得：

所以