2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,5},B ={3,4,5}，则ðU (A B ) =
（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}
（2）若复数z =
（A ）1+i 2，其中i 为虚数单位，则z = 1-i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20) ， [20，22.5) ， [22.5,25)，[25，27.5) ，[27.5，30). 根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）
140
⎧x +y ≤2, ⎪（4）若变量x ，y 满足⎨2x -3y ≤9, 则x 2+y 2的最大值是
⎪x ≥0, ⎩
（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为
（A ）+121π（B
）+π 3333
（C
）+
13π（D
）1+π 66
（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）已知圆M ：x 2+y 2-2ay =0(a >0) 截直线x +y =
0所得线段的长度是，则圆M 与圆N ：
2（x -1）+(y -1) 2=1的位置关系是
（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离
（8）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =c , a 2=2b 2(1-sin A ) , 则A =
（A ）3ππππ（B ）（C ）（D ） 3464
(9)已知函数f(x ) 的定义域为R. 当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x ) ；当x ＞
—11时，f(x +)=f(x221). 则f(6)= 2
（A ）-2 （B ）-1
（C ）0 （D ）2
（10）若函数y =f (x ) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x ) 具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是
（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为_______．
（12）观察下列等式：
π2π4(sin) -2+(sin) -2=⨯1⨯2； 333
π2π3π4π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2=⨯2⨯3； 55553
π2π3π6π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+⋅⋅⋅+(sin) -2=⨯3⨯4； 77773
π2π3π8π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+⋅⋅⋅+(sin) -2=⨯4⨯5； 99993
„„ 照此规律，(sinπ-22π-23π-22n π-2) +(sin) +(sin) +⋅⋅⋅+(sin) =_________． 2n +12n +12n +12n +1
（13）已知向量a =(1,–1) ，b =(6,–4) ．若a ⊥(ta +b ) ，则实数t 的值为________．
x 2y 2
（14）已知双曲线E ：2–2=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的b a 两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．
⎧⎪x , x ≤m , （15）已知函数f (x )=⎨其中m >0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不2⎪⎩x -2mx +4m , x >m ,
同的根，则m 的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）（本小题满分12分）
某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为x ，y . 奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个；
②若xy ≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.
（I ）求小亮获得玩具的概率；
（II ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由
.
（17）（本小题满分12分）
设f (x ) =π-x )sin x -(sinx -cos x ) 2 .
（I ）求f (x ) 得单调递增区间；
（II ）把y =f (x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y =g (x ) 的图象，求g () 的值. π3π
6
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB
.
（I ）已知AB =BC ，AE =EC . 求证：AC ⊥FB ；
（II ）已知G , H 分别是EC 和FB 的中点. 求证：GH ∥平面ABC .
（19）（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ，{b n }是等差数列，且a n =b n +b n +1.
（I ）求数列{b n }的通项公式；
(a n +1) n +1
（II ）令c n =. 求数列{c n }的前n 项和T n . n (b n +2)
(20)(本小题满分13分)
设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1) x ，a ∈R .
(Ⅰ) 令g (x )=f' (x ) ，求g (x ) 的单调区间；
(Ⅱ) 已知f (x ) 在x =1处取得极大值. 求实数a 的取值范围.
(21)(本小题满分14分)
已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.
（I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限) ，且M 是线段PN 的中点. 过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .
(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k' ，证明为定值.
(ii)求直线AB 的斜率的最小值.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I 卷（共50分）
一、选择题
（1）【答案】A
（2）【答案】B
（3）【答案】D
（4）【答案】C
（5）【答案】C
（6）【答案】A
（7）【答案】B
（8）【答案】C
(9) 【答案】D
（10）【答案】A
第II 卷（共100分）
二、填空题
（11）【答案】1
（12）【答案】4⨯n ⨯(n +1) 3
（13）【答案】-5
（14）【答案】2
（15）【答案】(3, +∞)
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）
【答案】（I）
【解析】
试题分析：用数对(x , y )表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间Ω与点集5. （∏）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16
S ={(x , y )|x ∈N , y ∈N ,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应. 得到基本事件总数为n =16.
（I）事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), 计算即得.
（∏）记“xy ≥8”为事件B ，“3
知事件B 包含的基本事件共有6个，得到P (B )=
事件C 包含的基本事件共有5个，得到P (C )=
比较即知.
试题解析：用数对(x , y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集63=. 1685. 16
S ={(x , y )|x ∈N , y ∈N ,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应. 因为S 中元素个数是4⨯4=16, 所以基本事件总数为n =16.
（I）记“xy ≤3”为事件A .
则事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1),
所以，P (A )=55, 即小亮获得玩具的概率为. 1616
（∏）记“xy ≥8”为事件B ，“3
则事件B 包含的基本事件共有6个，即(2,4), (3,3), (3,4)(4,2), (4,3), (4,4),
所以，P (B )=63=. 168
则事件C 包含的基本事件共有5个，即(1,4), (2,2), (2,3), (3,2), (4,1),
所以，P (C )=
因为5. 1635>, 816
所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
考点：古典概型
（17）
【答案】（I）f (x )的单调递增区间是⎢k π-
（∏
【解析】
试题分析：（I）化简f (
x )=(π-x )sin x -(sin x -cos x )得
2⎡⎣π12, k π+π5π5π⎤(k π-, k π+) (k ∈Z )） （或k ∈Z , ()⎥121212⎦π⎫⎛f (x ) =2sin 2x -⎪+1, 3⎭⎝
由2k π-π
2≤2x -π
3≤2k π+π
2(k ∈Z ), 即得k π-π
12≤x ≤k π+5π(k ∈Z ), 12
写出f (x )的单调递增区间
（∏）由f
(x )=2sin 2x -⎛
⎝π⎫⎛π⎫平移后得进一步可得1, g g x =2sin x 1. (
)⎪ ⎪. 3⎭⎝6⎭
2试题解析：（I）由f (
x )=(π-x )sin x -(sin x -cos x )
=2x -(1-2sin x cos x )
=1-cos 2x )+sin 2x -1
=sin 2x x 1
=2sin 2x -
由2k π-⎛⎝π⎫⎪1, 3⎭π
2≤2x -π
3≤2k π+π
2(k ∈Z ), 得k π-π
12≤x ≤k π+5π(k ∈Z ), 12
所以，f (x )的单调递增区间是⎢k π-
（或(k π-⎡⎣π12, k π+5π⎤(k ∈Z ), ⎥12⎦π
12, k π+5π) (k ∈Z )） 12
（∏）由（I）知f
(x )=2sin 2x -⎛
⎝π⎫⎪+1, 3⎭
把y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y
==2sin x -⎛
⎝π⎫⎪1的图象， 3⎭
再把得到的图象向左平移π个单位，得到
y =2sin x 1的图象， 3
即g (
x )=2sin x 1.
所以
g π⎛π⎫=2sin +1= ⎪66⎝⎭
考点：1. 和差倍半的三角函数；2. 三角函数的图象和性质；3. 三角函数的图象和性质.
（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ））根据EF //BD ，知EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，得到DE ⊥AC ，BD ⊥AC ，从而AC ⊥平面BDEF ，证得AC ⊥FB .
（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连GI , HI ，在∆CEF ，∆CFB 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面GHI //平面ABC ，进一步得到GH //平面ABC .
试题解析：（Ⅰ））证明：因EF //BD ，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为AE =EC , E 为AC
的中点，所以DE ⊥AC ；同理可得BD ⊥AC ，又因为BD DE =D ，所以AC ⊥平面BDEF ，因为
FB ⊂平面BDEF ，AC ⊥FB 。
（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连GI , HI ，在∆CEF 中，G 是CE 的中点，所以GI //EF ，又EF //DB ，所
F B 以GI //DB ；在∆C
H 是FB 的中点，中，所以HI //BC ，又GI HI =I ，所以平面GHI //平面ABC ，
因为GH ⊂平面GHI ，所以GH //平面ABC 。
B
考点：1. 平行关系；2. 垂直关系. （19）
【答案】（Ⅰ）b n =3n +1; （Ⅱ）T n =3n ⋅2n +2 【解析】
⎧a 1=b 1+b 2
试题分析：（Ⅰ）由题意得⎨，解得b 1=4, d =3，得到b n =3n +1。
a =b +b 23⎩2
(6n +6) n -1n =1234n +1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n =，从而 =3(n +1) ⋅2T =3[2⨯2+3⨯2+4⨯2+⋅⋅⋅+(n +1) 2] n n
(3n +3)
利用“错位相减法”即得T n =3n ⋅2n +2
试题解析：（Ⅰ）由题意当n ≥2时，a n =S n -S n -1=6n +5，当n =1时，a 1=S 1=11；所以a n =6n +5；设数列的公差为d ，由⎨
⎧a 1=b 1+b 2⎧11=2b 1+d
，即⎨，解之得b 1=4, d =3，所以b n =3n +1。
a =b +b 23⎩2⎩17=2b 1+3d
(6n +6) n -1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n ==3(n +1) ⋅2n =1，又T n =c 1+c 2+c 3+⋅⋅⋅+c n ，即n
(3n +3)
T n =3[2⨯22+3⨯23+4⨯24+⋅⋅⋅+(n +1) 2n +1]
，所以2T n =3[2⨯23+3⨯24+4⨯25+⋅⋅⋅+(n +1) 2n +2]，以上两式两边相减得
-T n =3[2⨯2+2+2+⋅⋅⋅+2
所以T n =3n ⋅2n +2
234n +1
-(n +1) 2
n +2
4(2n -1)
]=3[4+-(n +1) 2n +2]=-3n ⋅2n +2。
2-1
考点：1. 等差数列的通项公式；2. 等比数列的求和；3. “错位相减法”. (20)
【答案】(Ⅰ) 当a ≤0时，函数g (x )单调递增区间为(0, +∞)； 当a >0时，函数g (x )单调递增区间为 0, (Ⅱ) a >.
2
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 求导数f ' (x )=ln x -2ax +2a , 可得g (x )=ln x -2ax +2a , x ∈(0, +∞)， 从而g ' (x )=
⎛⎝1⎫⎛1⎫
，单调递减区间为, +∞⎪ ⎪. 2a ⎭2a ⎝⎭
1
11-2ax
-2a =， x x
111
时，③当a =时，④当a >222
讨论当a ≤0时，当a >0时的两种情况即得.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，f ' (1)=0. 分以下情况讨论：①当a ≤0时，②当0
试题解析：(Ⅰ) 由f ' (x )=ln x -2ax +2a , 可得g (x )=ln x -2ax +2a , x ∈(0, +∞)， 则g ' (x )=
11-2ax
-2a =， x x
当a ≤0时，
x ∈(0, +∞)时，g ' (x )>0，函数g (x )单调递增； 当a >0时，
x ∈ 0,
⎛⎝1⎫
⎪时，g ' (x )>0，函数g (x )单调递增， 2a ⎭
x ∈
⎛1⎫
, +∞⎪时，g ' (x )
所以当a ≤0时，函数g (x )单调递增区间为(0, +∞)； 当a >0时，函数g (x )单调递增区间为 0, (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，f ' (1)=0.
①当a ≤0时，f ' (x )0，f (x )单调递增. 所以f (x )在x=1处取得极小值，不合题意. ②当0
⎛
⎝1⎫⎛1⎫
，单调递减区间为, +∞⎪ ⎪. 2a ⎭2a ⎝⎭
11⎛1⎫
>1，由(Ⅰ) 知f ' (x )在 0, ⎪内单调递增， 时，
22a ⎝2a ⎭
可得当当x ∈(0,1)时，f ' (x )
⎛1⎫
⎪时，f ' (x )>0， ⎝2a ⎭
所以f (x )在(0,1)内单调递减，在 1,
⎛1⎫
⎪内单调递增， 2a ⎝⎭
所以f (x )在x=1处取得极小值，不合题意. ③当a =
11
=1时，f ' (x )在(0,1)内单调递增，在 (1, +∞)内单调递减， 时，即
22a
所以当x ∈(0, +∞)时，f ' (x )≤0， f (x )单调递减，不合题意. ④当a >
11⎛1⎫
0，f (x )单调递增, 时，即0
22a ⎝2a ⎭
当x ∈(1, +∞)时，f ' (x )
1
. 2
考点：1. 应用导数研究函数的单调性、极值；2. 分类讨论思想. (21)
x 2y 2+=1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB
【答案】(Ⅰ) 42
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 分别计算a,b 即得. (Ⅱ)(i)设P (x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)， 由M(0,m)，可得P (x 0,2m ), Q (x 0, -2m ). 得到直线PM 的斜率k =
2m -m m -2m -m 3m
. 证得. = ，直线QM 的斜率k ' ==-
x 0x 0x 0x 0
(ii)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)， 直线PA 的方程为y=kx+m， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.
⎧y =kx +m
⎪
联立 ⎨x 2y 2 ，
=1⎪+
⎩42
222
整理得2k +1x +4mkx +2m -4=0.
()
应用一元二次方程根与系数的关系得到x 2-x 1=
18k
2(m 2-2)
2
+1x 0
-
2k
2
2(m 2-2)
2
+1x 0
=
18k
-32k 2(m 2-2)
2
2
+12k +1x 0
，
y 2-y 1=
-6k (m 2-2)
18k
2
+1x 0
+m -
2k
2(m 2-2)
2
+1x 0
-m =
-8k (6k 2+1)(m 2-2)
18k
2
+12k +1x 0
，
得到k AB
y 2-y 16k 2+11⎛1⎫=== 6k +⎪. x 2-x 14k 4⎝k ⎭
应用基本不等式即得.
试题解析：(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，
由题意知2a =4,2c =
所以a =2, b =
=
x 2y 2
+=1. 所以椭圆C 的方程为42
(Ⅱ)(i)设P (x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)， 由M(0,m)，可得P (x 0,2m ), Q (x 0, -2m ). 所以 直线PM 的斜率k =
2m -m m
= ， x 0x 0
直线QM 的斜率k ' =
-2m -m 3m
. =-
x 0x 0
k '
=-3， k k '
所以为定值-3.
k
此时
(ii)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)， 直线PA 的方程为y=kx+m， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.
⎧y =kx +m ⎪
联立 ⎨x 2y 2 ，
=1⎪+
⎩42
222
整理得2k +1x +4mkx +2m -4=0.
()
2(m 2-2)2m 2-4
由x 0x 1=可得x 1= ， 2
2k 2+12k +1x 0
所以y 1=kx 1+m =
2
2k +1x 2(m -2)-6k (m -2)
, y =+m . 同理x =
18k +1x 18k +1x
2(m -2)2(m -2)-32k (m -2)
-=所以x -x =，
18k +1x 2k +1x 18k +12k +1x -6k (m -2)2(m -2)-8k (6k +1)(m -2)y -y =+m --m = ，
18k +1x 2k +1x 18k +12k +1x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2k (m 2-2)
+m ，
所以k AB
y 2-y 16k 2+11⎛1⎫=== 6k +⎪. x 2-x 14k 4⎝k ⎭
由m >0, x 0>0，可知k>0，
所以6k +
1≥
，等号当且仅当k =时取得.
k
=
m =.
7所以直线AB
考点：1. 椭圆的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：
如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合U ={1,2,3,4,5,6},A ={1,3,5},B ={3,4,5}，则ðU (A B ) =
（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}
（2）若复数z =
（A ）1+i 2，其中i 为虚数单位，则z = 1-i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i
（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20) ， [20，22.5) ， [22.5,25)，[25，27.5) ，[27.5，30). 根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）
140
⎧x +y ≤2, ⎪（4）若变量x ，y 满足⎨2x -3y ≤9, 则x 2+y 2的最大值是
⎪x ≥0, ⎩
（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为
（A ）+121π（B
）+π 3333
（C
）+
13π（D
）1+π 66
（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的
（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（7）已知圆M ：x 2+y 2-2ay =0(a >0) 截直线x +y =
0所得线段的长度是，则圆M 与圆N ：
2（x -1）+(y -1) 2=1的位置关系是
（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离
（8）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =c , a 2=2b 2(1-sin A ) , 则A =
（A ）3ππππ（B ）（C ）（D ） 3464
(9)已知函数f(x ) 的定义域为R. 当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x ) ；当x ＞
—11时，f(x +)=f(x221). 则f(6)= 2
（A ）-2 （B ）-1
（C ）0 （D ）2
（10）若函数y =f (x ) 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x ) 具有T 性质. 下列函数中具有T 性质的是
（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为_______．
（12）观察下列等式：
π2π4(sin) -2+(sin) -2=⨯1⨯2； 333
π2π3π4π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2=⨯2⨯3； 55553
π2π3π6π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+⋅⋅⋅+(sin) -2=⨯3⨯4； 77773
π2π3π8π4(sin) -2+(sin) -2+(sin) -2+⋅⋅⋅+(sin) -2=⨯4⨯5； 99993
„„ 照此规律，(sinπ-22π-23π-22n π-2) +(sin) +(sin) +⋅⋅⋅+(sin) =_________． 2n +12n +12n +12n +1
（13）已知向量a =(1,–1) ，b =(6,–4) ．若a ⊥(ta +b ) ，则实数t 的值为________．
x 2y 2
（14）已知双曲线E ：2–2=1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的b a 两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．
⎧⎪x , x ≤m , （15）已知函数f (x )=⎨其中m >0．若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不2⎪⎩x -2mx +4m , x >m ,
同的根，则m 的取值范围是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）（本小题满分12分）
某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动. 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为x ，y . 奖励规则如下：
①若xy ≤3，则奖励玩具一个；
②若xy ≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.
（I ）求小亮获得玩具的概率；
（II ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由
.
（17）（本小题满分12分）
设f (x ) =π-x )sin x -(sinx -cos x ) 2 .
（I ）求f (x ) 得单调递增区间；
（II ）把y =f (x ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y =g (x ) 的图象，求g () 的值. π3π
6
（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB
.
（I ）已知AB =BC ，AE =EC . 求证：AC ⊥FB ；
（II ）已知G , H 分别是EC 和FB 的中点. 求证：GH ∥平面ABC .
（19）（本小题满分12分）
已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n ，{b n }是等差数列，且a n =b n +b n +1.
（I ）求数列{b n }的通项公式；
(a n +1) n +1
（II ）令c n =. 求数列{c n }的前n 项和T n . n (b n +2)
(20)(本小题满分13分)
设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1) x ，a ∈R .
(Ⅰ) 令g (x )=f' (x ) ，求g (x ) 的单调区间；
(Ⅱ) 已知f (x ) 在x =1处取得极大值. 求实数a 的取值范围.
(21)(本小题满分14分)
已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.
（I ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限) ，且M 是线段PN 的中点. 过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .
(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k' ，证明为定值.
(ii)求直线AB 的斜率的最小值.
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学（文科）
第I 卷（共50分）
一、选择题
（1）【答案】A
（2）【答案】B
（3）【答案】D
（4）【答案】C
（5）【答案】C
（6）【答案】A
（7）【答案】B
（8）【答案】C
(9) 【答案】D
（10）【答案】A
第II 卷（共100分）
二、填空题
（11）【答案】1
（12）【答案】4⨯n ⨯(n +1) 3
（13）【答案】-5
（14）【答案】2
（15）【答案】(3, +∞)
三、解答题：本大题共6小题，共75分
（16）
【答案】（I）
【解析】
试题分析：用数对(x , y )表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间Ω与点集5. （∏）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 16
S ={(x , y )|x ∈N , y ∈N ,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应. 得到基本事件总数为n =16.
（I）事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), 计算即得.
（∏）记“xy ≥8”为事件B ，“3
知事件B 包含的基本事件共有6个，得到P (B )=
事件C 包含的基本事件共有5个，得到P (C )=
比较即知.
试题解析：用数对(x , y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集63=. 1685. 16
S ={(x , y )|x ∈N , y ∈N ,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应. 因为S 中元素个数是4⨯4=16, 所以基本事件总数为n =16.
（I）记“xy ≤3”为事件A .
则事件A 包含的基本事件共有5个，即(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (3,1),
所以，P (A )=55, 即小亮获得玩具的概率为. 1616
（∏）记“xy ≥8”为事件B ，“3
则事件B 包含的基本事件共有6个，即(2,4), (3,3), (3,4)(4,2), (4,3), (4,4),
所以，P (B )=63=. 168
则事件C 包含的基本事件共有5个，即(1,4), (2,2), (2,3), (3,2), (4,1),
所以，P (C )=
因为5. 1635>, 816
所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
考点：古典概型
（17）
【答案】（I）f (x )的单调递增区间是⎢k π-
（∏
【解析】
试题分析：（I）化简f (
x )=(π-x )sin x -(sin x -cos x )得
2⎡⎣π12, k π+π5π5π⎤(k π-, k π+) (k ∈Z )） （或k ∈Z , ()⎥121212⎦π⎫⎛f (x ) =2sin 2x -⎪+1, 3⎭⎝
由2k π-π
2≤2x -π
3≤2k π+π
2(k ∈Z ), 即得k π-π
12≤x ≤k π+5π(k ∈Z ), 12
写出f (x )的单调递增区间
（∏）由f
(x )=2sin 2x -⎛
⎝π⎫⎛π⎫平移后得进一步可得1, g g x =2sin x 1. (
)⎪ ⎪. 3⎭⎝6⎭
2试题解析：（I）由f (
x )=(π-x )sin x -(sin x -cos x )
=2x -(1-2sin x cos x )
=1-cos 2x )+sin 2x -1
=sin 2x x 1
=2sin 2x -
由2k π-⎛⎝π⎫⎪1, 3⎭π
2≤2x -π
3≤2k π+π
2(k ∈Z ), 得k π-π
12≤x ≤k π+5π(k ∈Z ), 12
所以，f (x )的单调递增区间是⎢k π-
（或(k π-⎡⎣π12, k π+5π⎤(k ∈Z ), ⎥12⎦π
12, k π+5π) (k ∈Z )） 12
（∏）由（I）知f
(x )=2sin 2x -⎛
⎝π⎫⎪+1, 3⎭
把y =f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y
==2sin x -⎛
⎝π⎫⎪1的图象， 3⎭
再把得到的图象向左平移π个单位，得到
y =2sin x 1的图象， 3
即g (
x )=2sin x 1.
所以
g π⎛π⎫=2sin +1= ⎪66⎝⎭
考点：1. 和差倍半的三角函数；2. 三角函数的图象和性质；3. 三角函数的图象和性质.
（18）【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析：（Ⅰ））根据EF //BD ，知EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，得到DE ⊥AC ，BD ⊥AC ，从而AC ⊥平面BDEF ，证得AC ⊥FB .
（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连GI , HI ，在∆CEF ，∆CFB 中，由三角形中位线定理可得线线平行，证得平面GHI //平面ABC ，进一步得到GH //平面ABC .
试题解析：（Ⅰ））证明：因EF //BD ，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为AE =EC , E 为AC
的中点，所以DE ⊥AC ；同理可得BD ⊥AC ，又因为BD DE =D ，所以AC ⊥平面BDEF ，因为
FB ⊂平面BDEF ，AC ⊥FB 。
（Ⅱ）设FC 的中点为I ，连GI , HI ，在∆CEF 中，G 是CE 的中点，所以GI //EF ，又EF //DB ，所
F B 以GI //DB ；在∆C
H 是FB 的中点，中，所以HI //BC ，又GI HI =I ，所以平面GHI //平面ABC ，
因为GH ⊂平面GHI ，所以GH //平面ABC 。
B
考点：1. 平行关系；2. 垂直关系. （19）
【答案】（Ⅰ）b n =3n +1; （Ⅱ）T n =3n ⋅2n +2 【解析】
⎧a 1=b 1+b 2
试题分析：（Ⅰ）由题意得⎨，解得b 1=4, d =3，得到b n =3n +1。
a =b +b 23⎩2
(6n +6) n -1n =1234n +1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n =，从而 =3(n +1) ⋅2T =3[2⨯2+3⨯2+4⨯2+⋅⋅⋅+(n +1) 2] n n
(3n +3)
利用“错位相减法”即得T n =3n ⋅2n +2
试题解析：（Ⅰ）由题意当n ≥2时，a n =S n -S n -1=6n +5，当n =1时，a 1=S 1=11；所以a n =6n +5；设数列的公差为d ，由⎨
⎧a 1=b 1+b 2⎧11=2b 1+d
，即⎨，解之得b 1=4, d =3，所以b n =3n +1。
a =b +b 23⎩2⎩17=2b 1+3d
(6n +6) n -1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n ==3(n +1) ⋅2n =1，又T n =c 1+c 2+c 3+⋅⋅⋅+c n ，即n
(3n +3)
T n =3[2⨯22+3⨯23+4⨯24+⋅⋅⋅+(n +1) 2n +1]
，所以2T n =3[2⨯23+3⨯24+4⨯25+⋅⋅⋅+(n +1) 2n +2]，以上两式两边相减得
-T n =3[2⨯2+2+2+⋅⋅⋅+2
所以T n =3n ⋅2n +2
234n +1
-(n +1) 2
n +2
4(2n -1)
]=3[4+-(n +1) 2n +2]=-3n ⋅2n +2。
2-1
考点：1. 等差数列的通项公式；2. 等比数列的求和；3. “错位相减法”. (20)
【答案】(Ⅰ) 当a ≤0时，函数g (x )单调递增区间为(0, +∞)； 当a >0时，函数g (x )单调递增区间为 0, (Ⅱ) a >.
2
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 求导数f ' (x )=ln x -2ax +2a , 可得g (x )=ln x -2ax +2a , x ∈(0, +∞)， 从而g ' (x )=
⎛⎝1⎫⎛1⎫
，单调递减区间为, +∞⎪ ⎪. 2a ⎭2a ⎝⎭
1
11-2ax
-2a =， x x
111
时，③当a =时，④当a >222
讨论当a ≤0时，当a >0时的两种情况即得.
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，f ' (1)=0. 分以下情况讨论：①当a ≤0时，②当0
试题解析：(Ⅰ) 由f ' (x )=ln x -2ax +2a , 可得g (x )=ln x -2ax +2a , x ∈(0, +∞)， 则g ' (x )=
11-2ax
-2a =， x x
当a ≤0时，
x ∈(0, +∞)时，g ' (x )>0，函数g (x )单调递增； 当a >0时，
x ∈ 0,
⎛⎝1⎫
⎪时，g ' (x )>0，函数g (x )单调递增， 2a ⎭
x ∈
⎛1⎫
, +∞⎪时，g ' (x )
所以当a ≤0时，函数g (x )单调递增区间为(0, +∞)； 当a >0时，函数g (x )单调递增区间为 0, (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，f ' (1)=0.
①当a ≤0时，f ' (x )0，f (x )单调递增. 所以f (x )在x=1处取得极小值，不合题意. ②当0
⎛
⎝1⎫⎛1⎫
，单调递减区间为, +∞⎪ ⎪. 2a ⎭2a ⎝⎭
11⎛1⎫
>1，由(Ⅰ) 知f ' (x )在 0, ⎪内单调递增， 时，
22a ⎝2a ⎭
可得当当x ∈(0,1)时，f ' (x )
⎛1⎫
⎪时，f ' (x )>0， ⎝2a ⎭
所以f (x )在(0,1)内单调递减，在 1,
⎛1⎫
⎪内单调递增， 2a ⎝⎭
所以f (x )在x=1处取得极小值，不合题意. ③当a =
11
=1时，f ' (x )在(0,1)内单调递增，在 (1, +∞)内单调递减， 时，即
22a
所以当x ∈(0, +∞)时，f ' (x )≤0， f (x )单调递减，不合题意. ④当a >
11⎛1⎫
0，f (x )单调递增, 时，即0
22a ⎝2a ⎭
当x ∈(1, +∞)时，f ' (x )
1
. 2
考点：1. 应用导数研究函数的单调性、极值；2. 分类讨论思想. (21)
x 2y 2+=1.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB
【答案】(Ⅰ) 42
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 分别计算a,b 即得. (Ⅱ)(i)设P (x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)， 由M(0,m)，可得P (x 0,2m ), Q (x 0, -2m ). 得到直线PM 的斜率k =
2m -m m -2m -m 3m
. 证得. = ，直线QM 的斜率k ' ==-
x 0x 0x 0x 0
(ii)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)， 直线PA 的方程为y=kx+m， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.
⎧y =kx +m
⎪
联立 ⎨x 2y 2 ，
=1⎪+
⎩42
222
整理得2k +1x +4mkx +2m -4=0.
()
应用一元二次方程根与系数的关系得到x 2-x 1=
18k
2(m 2-2)
2
+1x 0
-
2k
2
2(m 2-2)
2
+1x 0
=
18k
-32k 2(m 2-2)
2
2
+12k +1x 0
，
y 2-y 1=
-6k (m 2-2)
18k
2
+1x 0
+m -
2k
2(m 2-2)
2
+1x 0
-m =
-8k (6k 2+1)(m 2-2)
18k
2
+12k +1x 0
，
得到k AB
y 2-y 16k 2+11⎛1⎫=== 6k +⎪. x 2-x 14k 4⎝k ⎭
应用基本不等式即得.
试题解析：(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为c ，
由题意知2a =4,2c =
所以a =2, b =
=
x 2y 2
+=1. 所以椭圆C 的方程为42
(Ⅱ)(i)设P (x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0)， 由M(0,m)，可得P (x 0,2m ), Q (x 0, -2m ). 所以 直线PM 的斜率k =
2m -m m
= ， x 0x 0
直线QM 的斜率k ' =
-2m -m 3m
. =-
x 0x 0
k '
=-3， k k '
所以为定值-3.
k
此时
(ii)设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)， 直线PA 的方程为y=kx+m， 直线QB 的方程为y=-3kx+m.
⎧y =kx +m ⎪
联立 ⎨x 2y 2 ，
=1⎪+
⎩42
222
整理得2k +1x +4mkx +2m -4=0.
()
2(m 2-2)2m 2-4
由x 0x 1=可得x 1= ， 2
2k 2+12k +1x 0
所以y 1=kx 1+m =
2
2k +1x 2(m -2)-6k (m -2)
, y =+m . 同理x =
18k +1x 18k +1x
2(m -2)2(m -2)-32k (m -2)
-=所以x -x =，
18k +1x 2k +1x 18k +12k +1x -6k (m -2)2(m -2)-8k (6k +1)(m -2)y -y =+m --m = ，
18k +1x 2k +1x 18k +12k +1x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2k (m 2-2)
+m ，
所以k AB
y 2-y 16k 2+11⎛1⎫=== 6k +⎪. x 2-x 14k 4⎝k ⎭
由m >0, x 0>0，可知k>0，
所以6k +
1≥
，等号当且仅当k =时取得.
k
=
m =.
7所以直线AB
考点：1. 椭圆的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式.