一、绝对值问题选讲
一、 基础知识：
x x≥0
︱x︱=
- x x＜0
1．从数的角度理解绝对值-------非负数。
2．从数轴的角度理解绝对值-------距离（几何意义）。
几何意义：︱x︱------数轴上点x到原点的距离。
︱x—y︱-------数轴上点x到点y的距离。
︱x+y︱-------数轴上点x到点（-y）的距离。
常用的绝对值性质：
1、 若︱a︱+︱b︱= 0 ，则 a = b =0
2、 若︱a—b︱= a—b ，则 a—b > 0
3、 若︱a—b︱= b—a ，则 a—b
二、例题：
例1：求适合︱x — 3.014159261︱+︱y + ︱= 0的有理数。
例2：求适合︱x — 1︱ + ︱x — 2︱= 4 的有理数。
分析：方法一、代数法-----分类讨论、去绝对值符号
方法二、数形结合-----从几何意义分析
例3：方程︱x-2︱+︱x-3︱= 1的有理数解的个数是 。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 多于3个
分析：从绝对值的几何意义分析入手，2、3点将数轴分成三部分看。
例4：求︱x-1︱+︱x-2︱的最小值。
分析：可用例2的两种方法
例5：求︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值是多少。
例6：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的最小值。
例7：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱+…+︱x-n︱ (n是不小于2的正整数) 的最小值。
例8：设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则︱b - a︱+︱a + c︱+︱c - b︱=
例9：（选讲） 若a1
三、作业：
2. 解方程︱2x - y - 7︱+︱x +3y︱= 0
3. 已知︱a︱= 5 ,︱b︱= 3 ，且︱a - b︱=b - a ，那么a + b = 。
4. 有理数a、b、c在数轴上的位置图
若m =︱a + b︱-︱b - 1︱-︱a - c︱-︱1 - c︱，则 1000 m =
5．已知︱x+2︱+︱1 - x︱=9 —︱y - 5︱—︱1- y︱，则x+ y的最小值为 ，最大值为 。
四、测验：
1、若a
2、适合︱2a + 7︱+︱2a - 1︱= 8 的整数a的值的个数有 个。
3、已知︱1-x︱+2- x与︱x-3︱+ x –4互为相反数，求︱x+1︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的值。
二、有理数——关于“±1”的讨论
一、常用性质：
1、 有理数概念；引入负整数后奇数偶数范围的拓展，从而由：“奇数个奇数的和一定是奇数”得“奇数个+1与－1的和一定是奇数”。
2、“+1”与“－1”的性质：
1）任何数乘以1还是它本身，乘以 -1得出它的相反数；+1与－1互为相反数；
2）+1与－1都等于自身的倒数。
3）（+1）n= ，（－1）2n = 1，（－1）2n+1 = 。
4）若（－1）n =1，则n为 ；若（－1）n = －1，则n为 ；
5）若n个+1与－1的和等于0，则n为 ，且 +1的个数与－1个数相等 。
即 n为奇数时， 。
6） +1与－1是任何整数的约数。
7） |±1| = 1； x = +1或－1，则x+ | x |为偶数； 实际 x为整数时，x+ | x |必为偶数。
8） x = +1或－1，则 = ； 反之
二、例题：
例1：字母a、b、c、d、e、f分别代表+1或－1，求证：a + 2b + 3c + 4d + 5e + 6f ≠ 0
分析：从奇数与偶数的角度看右边为0是个偶数，分析左边奇偶性质。（1）推理法，（2）计算法
例2：已知n为自然数，设 ， ，…， 都是 +1或 –1，且
+ +…+ = 0
… =1
求证：(1) n是2的倍数；
(2) n还是4的倍数。
分析：看右边的和为0，说明左边“+1”与“-1”的个数相等；
例3：
试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。
例4：圆周上有10个点，把圆周分成10段互不相交的圆弧，其中6个点染成红点，4个点染成蓝点，如果规定：相邻两端同为红色的弧写上数字2，相邻两端同为蓝点的弧写上数字-2，相邻两端异色的弧写上数字0，求证：无论怎样染点，各弧段上的数值的和为常数。
分析：从具体特例数值上观察，移动红点的位置来看结果的变化情况。（1）推理法，（2）赋值计算法。推广：m个点染成红点，n个点染成蓝点
例5：中国象棋的马，每步由1×2格的顶点跳到其对角顶点，求证：该马在棋盘上某位置跳出去再跳回原位，必须经过偶数步。
三、测验：
1）小明编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。
2）1个数的相反数与这个数的倒数的和等于零，则这个数与其相反数的乘积为 。
3）已知n为自然数，x1，x2，…，x4n+2都是+1或-1，求证：M = x1 + 2x2 + … +（4n+2）x4n+2≠ 0
4）已知a1，a2，…，an，b1，b2，……，bn都是+1或-1，且
a1+a2+…+an = b1+b2+ … +bn，
a1b1 + a2b2 + … +anbn = 0，
试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。
三、整 式 ---- 字母代表数的开始
一、整式的加减：合并同类项
例1：求证：一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，则7、11、13是这个六位数的约数。
分析：N = abcabc （a≠0）
例2：设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z 。
分析：4 (3x -7y +12z) = 11(3x -2y +3z) -3 (7x +2y -5z)
例3：将1、2、3、……、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组两个数中任一个数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式 （︱a-b︱+a+b）中进行运算，求出结果，50组都代入后可求得50个值，试求这50个值的和的最大值。
分析：当a>b时， （︱a-b︱+a+b）= a ；即式子表示的意义是两个数中取较大的数。
二、整式加减的运用：
例4：如图有3个面积都是k的圆放在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2k+2，并且重叠的两块是等面积的。直线l过两圆心A、B，如果直线l下方被圆覆盖的面积是9，试求k的值。
例5：已知（x-1）7=a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a1 +a3 +a5 +a7 = 。
例6：求证：不存在这样的整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原数的两倍。
例7：请你破解式子 “ x0yz = 9xyz ”中x，y，z的值(其中yz表示十位数字是y,个位数字是z) 。
练习题：
1°若p= a2 +3ab+b2 ，q= a2 -3ab+b2 ，则代入到p- [ q -2p- ( - p - q) ]中，化简后的结果是 。
2°已知abcd＞0，且a+b+c+d＞0 。则a、b、c、d中负数个数有 个。
3°已知a、b、c、d是正数，且满足a+b+c+d = 4，用M表示a+b+c，b+c+d，c+d+a，d+a+b中的最大者，则M的最小值为 。
四、离散最值问题选讲(一)
探求整数问题中的最大值与最小值，是数学竞赛中常见的题材，此类题型新颖，解法灵活，技巧性强。常用的方法有：枚举法分析，运用代数方法进行结构分析（其中又常要考虑整除性分析、奇偶性分析）。
例1：2004a是平方数，求自然数a的最小值。
例2：相异整数a、b、c满足abc=6，求a+2b+3c的最大值与最小值。
例3：相异质数a、b、c满足a+b+c=62，求a-2b-3c的最大值与最小值。
例4：在五个连续自然数a，a+1，a+2，a+3，a+4中，（a+1）+（a+2）+（a+3）是完全平方数，并且这五个连续自然数的和是完全立方数，则a的最小值是多少?
例5：已知平方数 是11个连续整数的平方和，则正整数 的最小值是多少？
例6：在 的每个数前添上“+”或“-”号，那么它们的代数和的绝对值最小是多少？
例7：一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中的最小的一个是多少。
例8：由0、1、2、3、4、5、6这7个数能组成的没有重复数字的7位数中，有一些是55的倍数，求出其中最大的数和最小的数。
例9：和为2004的若干个正整数，其乘积最大可以是多少？
作业：
1． 两位老师的年龄相差3岁，并且他们年龄的各位数字的和都是6的倍数，那么较年轻的老师至少多少岁？
2．在十进制中，数字为0或1，并且能被225整除的自然数，最小是多少？
3．找出由0，1，2，3，4，5，6，这7个数字组成的，没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数。
4．若a、b、c、d是互不相同的自然数，且abcd=1998，则a+b+c+d的最大值是多少？
五、图 形 问 题 选 讲
平面图形(二维图形)、立体图形 (三维图形)
一、 图形计数：
例1：如图9个点，任意把其中几个点连结起来，可得到各种图形：
问：1）能连成多少个正方形？
2）能连成多少个长方形？ ． ． ．
3）能连成多少个平行四边形？（没有直角）
4）能连成多少个正三角形？ ． ． ．
5）能连成多少个直角三角形？
6）能连成多少个等腰三角形？ ． ． ．
分析：分类讨论的思想。
例2：如图，将8个相同的正方形重叠拼合成一个方阵（要求8个正方形各有一条对角线重合在一条直线上）。问怎样拼合才能出现更多的正方形？最多有几个？
练习：三个相同的正方形可以拼凑成几个正方形？
二、 一笔画问题：一笔画成，笔不离纸，并且每条线都只画一次不准重复(顶点可重复通过)。
奇顶点 与 偶顶点
规律：1）若一个连通图的每个点都是偶顶点，那么这个图一定能一笔画，而且可以从任何一点出发，最后还回到这个点。
2）凡是只有两个奇顶点的连通图，一定能一笔画，其必以一个奇顶点为起点，另一奇顶点为终点。
3）奇顶点的个数多于2个的图形不能一笔画。
例3：如图，能否分别一笔画出各个图形？
例4：(哥尼斯堡桥问题)小河把城市分成4个区域，这4个区域由6座桥连结起来（如图）。一旅行者决定走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次，如果不要求他必须回到开始出发的那个区域，怎样才能做到这一点？
例5：在上图再增加一座桥，使得能够完成走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次且回到开始出发的那一区域。
例6：黄蜂潜入装糖的罐头，罐头为正方体形状，黄蜂能否走过正方体的全部12条棱，而沿着每条棱不走两次？(它不能从一个地方跳跃并飞到另一个地方)
例7：一笔画出图形（如图）（按你们经过的线段的次序，对它们进行编号）。
例8：图7是地下迷宫的设计图（地下室由有门相通的16个房间组成）。能否从1号房开始走遍所有房间，使得通过所有房间的各扇门有且只有1次？要走遍所有房间且使得通过所有房间的各扇门有且只有1次的行走，应从哪一个房间出发在哪一个房间结束？
提示：用点替换房间，弧线替换门，并且作出相应的路径图。
例9：图8画出了由10个房间组成迷宫设计，能否走过所有房间的所有门，而在每次经过一个门时就锁了那个门？应当从哪个门开始？
练习：请用尽量少的首尾相接的线段把9个点连起来？
． ． ．
． ． ．
． ． ．
三、练习题：
1.如图相邻两边互相垂直，若要求出其周长，那么所需
已知边长的最少边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.请画出5条直线，每条直线上都有4个点，共有10个点的图形。
参考答案：1. A 2. A 3.
六、排序在数学解题中的作用
有些数学题中涉及到多个元素，在解题时若能按照某些关系将他们排序，使他们之间的数量关系明朗化，常给解题带来很大的启示和方便，这种排序、估算、再结合枚举讨论是数学竞赛中常用的思想方法。现举例说明如下：
例1：有五个数，每两个数的和分别是2，3，4，5，6，7，8，6，5，4。求这五个数的值。
例2：将2004拆成24个不同的自然数的和，那么其中最大数减去最小数的差中最小应是多少？
例3：已知x1, x2, ……，x7为互不相等的自然数，又x1+x2+……+x6+x7=159，则最小三个数的和的最大值为多少？
例4：有20个重量都是整数的砝码，使得任一重量为整数m的物体（1≤m≤1999），都可以通过将它放在天平一盘，部分砝码放在另一盘，达到平衡。这20个砝码中最重的一个的最小值是多少？
例5： …… 是2004个不同的自然数，试比较：
…… 与1+ …… 的大小。
例6：若x、y、z为互不相等的正整数，且 ，求x、y、z的值。
练习：
1. 若x、y、z为互不相等的正整数，且 ，求x、y、z的值。
2. 如果将重量互不相同的10个砝码放在天平的一端，证明至少可以称出55种不同的重量，并举例说明“55”这个数字不能再提高了。
七、频率与机会
例1. 任意抛掷一枚均匀的硬币，会出现几种结果？每种结果出现的可能性是多少？
例2. 抛掷两枚硬币，出现“两个正面朝上”的机会是多少？出现“一正一反”的机会呢？
例3. 有一只小狗在如图所示的地板上随意走动，这只小狗最终停在黑色方砖上的机会是多少？
例4. 如图，转盘被等分成若干个扇形，转动指针，停止后，指针指向黑色阴影部分的区域的机会是多少？
例5. 老张的妻子一胎生了3个孩子，已知老大是女孩，则求另外两个也都是女孩的机会。
例6. 有一个小正方形，六个面上写有1，2，3，4，5，6，将它任意抛掷出去，数字是3的面朝上的机会是多少？
例7. 有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体投掷在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的机会是多少？
例8. 从1，2，3，……，10000中随机取一个数，求
（1） 它能被2整除的机会。
（2） 它既能被2又能被3整除的机会。
练习：
1. 袋中装有6个红球和3个蓝球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中摸出一个球，则蓝球的机会是多少？红球呢？
2. 小陈的妻子一胎生了4个孩子，求有两个男孩的机会。
综合测试题
（要求：所有解答必须列出计算算式和过程）
1. 下列各图能否一笔画？
2．已知（x+1）7 = a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a0+a2 +a4 +a6 = 。
3．某学生编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的立方与1之差，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。
4．如图，是一张城市街道图，沿着街道从A走到B的最短路径共有几条？
B
A
5．已知某一平面图有2004个顶点和2004个区域，试确定这个图有多少条边？
6．如图在一个3×3的正方形里，标有9个角，求∠1-∠2+∠3-∠4+∠5-∠6+∠7-∠8+∠9的和。
7．相异质数a、b、c满足a+b+c=53，求a-2b-3c的最大值与最小值。
8．已知︱2-x︱+3- x与︱x-4︱+ x –5互为相反数，求︱x+2︱+︱x+3︱+︱x - 4︱+︱x -5︱的值。
9．在四边形ABCD中，求证： AC+BD＞AB+CD.
10．如图，在环形运输路线上有A、B、C、D、E 5个仓库，现有货物的库存量分别为45吨，85吨，60吨，78吨和52吨。要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货相等，但每个仓库只能向相邻的仓库调运，并使调运的总量最小，求各仓库向其他仓库的调运量。
B
A C
E D
一、绝对值问题选讲
一、 基础知识：
x x≥0
︱x︱=
- x x＜0
1．从数的角度理解绝对值-------非负数。
2．从数轴的角度理解绝对值-------距离（几何意义）。
几何意义：︱x︱------数轴上点x到原点的距离。
︱x—y︱-------数轴上点x到点y的距离。
︱x+y︱-------数轴上点x到点（-y）的距离。
常用的绝对值性质：
1、 若︱a︱+︱b︱= 0 ，则 a = b =0
2、 若︱a—b︱= a—b ，则 a—b > 0
3、 若︱a—b︱= b—a ，则 a—b
二、例题：
例1：求适合︱x — 3.014159261︱+︱y + ︱= 0的有理数。
例2：求适合︱x — 1︱ + ︱x — 2︱= 4 的有理数。
分析：方法一、代数法-----分类讨论、去绝对值符号
方法二、数形结合-----从几何意义分析
例3：方程︱x-2︱+︱x-3︱= 1的有理数解的个数是 。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 多于3个
分析：从绝对值的几何意义分析入手，2、3点将数轴分成三部分看。
例4：求︱x-1︱+︱x-2︱的最小值。
分析：可用例2的两种方法
例5：求︱x+1︱+︱x-2︱+︱x-3︱的最小值是多少。
例6：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的最小值。
例7：求︱x-1︱+︱x-2︱+︱x-3︱+︱x-4︱+…+︱x-n︱ (n是不小于2的正整数) 的最小值。
例8：设数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则︱b - a︱+︱a + c︱+︱c - b︱=
例9：（选讲） 若a1
三、作业：
2. 解方程︱2x - y - 7︱+︱x +3y︱= 0
3. 已知︱a︱= 5 ,︱b︱= 3 ，且︱a - b︱=b - a ，那么a + b = 。
4. 有理数a、b、c在数轴上的位置图
若m =︱a + b︱-︱b - 1︱-︱a - c︱-︱1 - c︱，则 1000 m =
5．已知︱x+2︱+︱1 - x︱=9 —︱y - 5︱—︱1- y︱，则x+ y的最小值为 ，最大值为 。
四、测验：
1、若a
2、适合︱2a + 7︱+︱2a - 1︱= 8 的整数a的值的个数有 个。
3、已知︱1-x︱+2- x与︱x-3︱+ x –4互为相反数，求︱x+1︱+︱x+2︱+︱x-3︱+︱x-4︱的值。
二、有理数——关于“±1”的讨论
一、常用性质：
1、 有理数概念；引入负整数后奇数偶数范围的拓展，从而由：“奇数个奇数的和一定是奇数”得“奇数个+1与－1的和一定是奇数”。
2、“+1”与“－1”的性质：
1）任何数乘以1还是它本身，乘以 -1得出它的相反数；+1与－1互为相反数；
2）+1与－1都等于自身的倒数。
3）（+1）n= ，（－1）2n = 1，（－1）2n+1 = 。
4）若（－1）n =1，则n为 ；若（－1）n = －1，则n为 ；
5）若n个+1与－1的和等于0，则n为 ，且 +1的个数与－1个数相等 。
即 n为奇数时， 。
6） +1与－1是任何整数的约数。
7） |±1| = 1； x = +1或－1，则x+ | x |为偶数； 实际 x为整数时，x+ | x |必为偶数。
8） x = +1或－1，则 = ； 反之
二、例题：
例1：字母a、b、c、d、e、f分别代表+1或－1，求证：a + 2b + 3c + 4d + 5e + 6f ≠ 0
分析：从奇数与偶数的角度看右边为0是个偶数，分析左边奇偶性质。（1）推理法，（2）计算法
例2：已知n为自然数，设 ， ，…， 都是 +1或 –1，且
+ +…+ = 0
… =1
求证：(1) n是2的倍数；
(2) n还是4的倍数。
分析：看右边的和为0，说明左边“+1”与“-1”的个数相等；
例3：
试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。
例4：圆周上有10个点，把圆周分成10段互不相交的圆弧，其中6个点染成红点，4个点染成蓝点，如果规定：相邻两端同为红色的弧写上数字2，相邻两端同为蓝点的弧写上数字-2，相邻两端异色的弧写上数字0，求证：无论怎样染点，各弧段上的数值的和为常数。
分析：从具体特例数值上观察，移动红点的位置来看结果的变化情况。（1）推理法，（2）赋值计算法。推广：m个点染成红点，n个点染成蓝点
例5：中国象棋的马，每步由1×2格的顶点跳到其对角顶点，求证：该马在棋盘上某位置跳出去再跳回原位，必须经过偶数步。
三、测验：
1）小明编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。
2）1个数的相反数与这个数的倒数的和等于零，则这个数与其相反数的乘积为 。
3）已知n为自然数，x1，x2，…，x4n+2都是+1或-1，求证：M = x1 + 2x2 + … +（4n+2）x4n+2≠ 0
4）已知a1，a2，…，an，b1，b2，……，bn都是+1或-1，且
a1+a2+…+an = b1+b2+ … +bn，
a1b1 + a2b2 + … +anbn = 0，
试证 (1) n是2的倍数；(2) n还是4的倍数。
三、整 式 ---- 字母代表数的开始
一、整式的加减：合并同类项
例1：求证：一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，则7、11、13是这个六位数的约数。
分析：N = abcabc （a≠0）
例2：设x、y、z都是整数，且11整除7x+2y-5z，求证：11整除3x-7y+12z 。
分析：4 (3x -7y +12z) = 11(3x -2y +3z) -3 (7x +2y -5z)
例3：将1、2、3、……、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组两个数中任一个数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式 （︱a-b︱+a+b）中进行运算，求出结果，50组都代入后可求得50个值，试求这50个值的和的最大值。
分析：当a>b时， （︱a-b︱+a+b）= a ；即式子表示的意义是两个数中取较大的数。
二、整式加减的运用：
例4：如图有3个面积都是k的圆放在桌面上，桌面被圆覆盖的面积是2k+2，并且重叠的两块是等面积的。直线l过两圆心A、B，如果直线l下方被圆覆盖的面积是9，试求k的值。
例5：已知（x-1）7=a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a1 +a3 +a5 +a7 = 。
例6：求证：不存在这样的整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原数的两倍。
例7：请你破解式子 “ x0yz = 9xyz ”中x，y，z的值(其中yz表示十位数字是y,个位数字是z) 。
练习题：
1°若p= a2 +3ab+b2 ，q= a2 -3ab+b2 ，则代入到p- [ q -2p- ( - p - q) ]中，化简后的结果是 。
2°已知abcd＞0，且a+b+c+d＞0 。则a、b、c、d中负数个数有 个。
3°已知a、b、c、d是正数，且满足a+b+c+d = 4，用M表示a+b+c，b+c+d，c+d+a，d+a+b中的最大者，则M的最小值为 。
四、离散最值问题选讲(一)
探求整数问题中的最大值与最小值，是数学竞赛中常见的题材，此类题型新颖，解法灵活，技巧性强。常用的方法有：枚举法分析，运用代数方法进行结构分析（其中又常要考虑整除性分析、奇偶性分析）。
例1：2004a是平方数，求自然数a的最小值。
例2：相异整数a、b、c满足abc=6，求a+2b+3c的最大值与最小值。
例3：相异质数a、b、c满足a+b+c=62，求a-2b-3c的最大值与最小值。
例4：在五个连续自然数a，a+1，a+2，a+3，a+4中，（a+1）+（a+2）+（a+3）是完全平方数，并且这五个连续自然数的和是完全立方数，则a的最小值是多少?
例5：已知平方数 是11个连续整数的平方和，则正整数 的最小值是多少？
例6：在 的每个数前添上“+”或“-”号，那么它们的代数和的绝对值最小是多少？
例7：一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中的最小的一个是多少。
例8：由0、1、2、3、4、5、6这7个数能组成的没有重复数字的7位数中，有一些是55的倍数，求出其中最大的数和最小的数。
例9：和为2004的若干个正整数，其乘积最大可以是多少？
作业：
1． 两位老师的年龄相差3岁，并且他们年龄的各位数字的和都是6的倍数，那么较年轻的老师至少多少岁？
2．在十进制中，数字为0或1，并且能被225整除的自然数，最小是多少？
3．找出由0，1，2，3，4，5，6，这7个数字组成的，没有重复数字的七位数中，能被165整除的最大数和最小数。
4．若a、b、c、d是互不相同的自然数，且abcd=1998，则a+b+c+d的最大值是多少？
五、图 形 问 题 选 讲
平面图形(二维图形)、立体图形 (三维图形)
一、 图形计数：
例1：如图9个点，任意把其中几个点连结起来，可得到各种图形：
问：1）能连成多少个正方形？
2）能连成多少个长方形？ ． ． ．
3）能连成多少个平行四边形？（没有直角）
4）能连成多少个正三角形？ ． ． ．
5）能连成多少个直角三角形？
6）能连成多少个等腰三角形？ ． ． ．
分析：分类讨论的思想。
例2：如图，将8个相同的正方形重叠拼合成一个方阵（要求8个正方形各有一条对角线重合在一条直线上）。问怎样拼合才能出现更多的正方形？最多有几个？
练习：三个相同的正方形可以拼凑成几个正方形？
二、 一笔画问题：一笔画成，笔不离纸，并且每条线都只画一次不准重复(顶点可重复通过)。
奇顶点 与 偶顶点
规律：1）若一个连通图的每个点都是偶顶点，那么这个图一定能一笔画，而且可以从任何一点出发，最后还回到这个点。
2）凡是只有两个奇顶点的连通图，一定能一笔画，其必以一个奇顶点为起点，另一奇顶点为终点。
3）奇顶点的个数多于2个的图形不能一笔画。
例3：如图，能否分别一笔画出各个图形？
例4：(哥尼斯堡桥问题)小河把城市分成4个区域，这4个区域由6座桥连结起来（如图）。一旅行者决定走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次，如果不要求他必须回到开始出发的那个区域，怎样才能做到这一点？
例5：在上图再增加一座桥，使得能够完成走过所有的桥，而在每座桥上只经过一次且回到开始出发的那一区域。
例6：黄蜂潜入装糖的罐头，罐头为正方体形状，黄蜂能否走过正方体的全部12条棱，而沿着每条棱不走两次？(它不能从一个地方跳跃并飞到另一个地方)
例7：一笔画出图形（如图）（按你们经过的线段的次序，对它们进行编号）。
例8：图7是地下迷宫的设计图（地下室由有门相通的16个房间组成）。能否从1号房开始走遍所有房间，使得通过所有房间的各扇门有且只有1次？要走遍所有房间且使得通过所有房间的各扇门有且只有1次的行走，应从哪一个房间出发在哪一个房间结束？
提示：用点替换房间，弧线替换门，并且作出相应的路径图。
例9：图8画出了由10个房间组成迷宫设计，能否走过所有房间的所有门，而在每次经过一个门时就锁了那个门？应当从哪个门开始？
练习：请用尽量少的首尾相接的线段把9个点连起来？
． ． ．
． ． ．
． ． ．
三、练习题：
1.如图相邻两边互相垂直，若要求出其周长，那么所需
已知边长的最少边数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.请画出5条直线，每条直线上都有4个点，共有10个点的图形。
参考答案：1. A 2. A 3.
六、排序在数学解题中的作用
有些数学题中涉及到多个元素，在解题时若能按照某些关系将他们排序，使他们之间的数量关系明朗化，常给解题带来很大的启示和方便，这种排序、估算、再结合枚举讨论是数学竞赛中常用的思想方法。现举例说明如下：
例1：有五个数，每两个数的和分别是2，3，4，5，6，7，8，6，5，4。求这五个数的值。
例2：将2004拆成24个不同的自然数的和，那么其中最大数减去最小数的差中最小应是多少？
例3：已知x1, x2, ……，x7为互不相等的自然数，又x1+x2+……+x6+x7=159，则最小三个数的和的最大值为多少？
例4：有20个重量都是整数的砝码，使得任一重量为整数m的物体（1≤m≤1999），都可以通过将它放在天平一盘，部分砝码放在另一盘，达到平衡。这20个砝码中最重的一个的最小值是多少？
例5： …… 是2004个不同的自然数，试比较：
…… 与1+ …… 的大小。
例6：若x、y、z为互不相等的正整数，且 ，求x、y、z的值。
练习：
1. 若x、y、z为互不相等的正整数，且 ，求x、y、z的值。
2. 如果将重量互不相同的10个砝码放在天平的一端，证明至少可以称出55种不同的重量，并举例说明“55”这个数字不能再提高了。
七、频率与机会
例1. 任意抛掷一枚均匀的硬币，会出现几种结果？每种结果出现的可能性是多少？
例2. 抛掷两枚硬币，出现“两个正面朝上”的机会是多少？出现“一正一反”的机会呢？
例3. 有一只小狗在如图所示的地板上随意走动，这只小狗最终停在黑色方砖上的机会是多少？
例4. 如图，转盘被等分成若干个扇形，转动指针，停止后，指针指向黑色阴影部分的区域的机会是多少？
例5. 老张的妻子一胎生了3个孩子，已知老大是女孩，则求另外两个也都是女孩的机会。
例6. 有一个小正方形，六个面上写有1，2，3，4，5，6，将它任意抛掷出去，数字是3的面朝上的机会是多少？
例7. 有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将两个正方体投掷在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的机会是多少？
例8. 从1，2，3，……，10000中随机取一个数，求
（1） 它能被2整除的机会。
（2） 它既能被2又能被3整除的机会。
练习：
1. 袋中装有6个红球和3个蓝球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中摸出一个球，则蓝球的机会是多少？红球呢？
2. 小陈的妻子一胎生了4个孩子，求有两个男孩的机会。
综合测试题
（要求：所有解答必须列出计算算式和过程）
1. 下列各图能否一笔画？
2．已知（x+1）7 = a0 + a1x + a2x2 +…+ a7x7 ，则a0+a2 +a4 +a6 = 。
3．某学生编制了一个计算程序，当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的立方与1之差，若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是 。
4．如图，是一张城市街道图，沿着街道从A走到B的最短路径共有几条？
B
A
5．已知某一平面图有2004个顶点和2004个区域，试确定这个图有多少条边？
6．如图在一个3×3的正方形里，标有9个角，求∠1-∠2+∠3-∠4+∠5-∠6+∠7-∠8+∠9的和。
7．相异质数a、b、c满足a+b+c=53，求a-2b-3c的最大值与最小值。
8．已知︱2-x︱+3- x与︱x-4︱+ x –5互为相反数，求︱x+2︱+︱x+3︱+︱x - 4︱+︱x -5︱的值。
9．在四边形ABCD中，求证： AC+BD＞AB+CD.
10．如图，在环形运输路线上有A、B、C、D、E 5个仓库，现有货物的库存量分别为45吨，85吨，60吨，78吨和52吨。要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货相等，但每个仓库只能向相邻的仓库调运，并使调运的总量最小，求各仓库向其他仓库的调运量。
B
A C
E D