§4 旋转曲面的面积
教学目的与要求：
1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 理解并掌握微元法的思想及应用.
教学重点，难点：
1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 微元法的思想及应用.
教学内容：
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。
一 微元法
为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积
作法：（ｉ）分割 在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为
a=x0＜x 1＜x 2＜„＜x n －１＜x n =b,
这些点把[a,b]分割成n 个小区间[xｉ－１, xｉ],I=1,2,„n. 再用直线x= xｉ, ｉ=1,2,„，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。
（ii ）近似求和 在每个小区间[xi-1,x i ]上任取一点ξi ，作以f (ξi ) 为高，[xi-1,x i ]为底的小矩形. 当分割[a,b]的点分点较多, 又分割得较细密时, 由于f 为连续函数, 它在每个小区间上的值变化不大, 从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积. 于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值, 即
S ≈∑f (ξi ) ∆x i i =1n (∆x i =x i -x i -1).
（iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又
与所有中间点ξi （i=1,2,„，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多，
且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i
和中间点ξi 的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.
S=∑f (ξi ) ∆x i =⎰f (x ) dx . →0i =1a n b
引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？ 我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。这一步是确定∆Φi 的近似值。完成了这一步，再求和取极限，从而求得Φ的精确值。在实际应用中，为简便起见省略下标ｉ，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的窄曲边梯形的面积，这样有
Φ= ∑△Φ
不妨取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ的近似值为以点x 处的函数值f （x ）为高，△x 为底的矩形面积，即△Φ≈f （x ）△x= f（x ）dx. 由于若当△x 趋于零时，△Φ-f （x ）△x =o（△x ），从而由微分定义知
dA=f（x ）dx ，于是Φ= ∑△Φ≈∑ f （x ）dx.
然后取极限 Φ=∑f (x ) dx =⎰f (x ) dx .
T →0a b
一般地，我们可以归纳出写出所求量Φ的积分表达式的步骤。
(1) 选取积分变量及变化区间；
(2) 设想把区间[a,b]分成n 个小区间, 取其中任一小区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的部分量
△Φ的近似值 ｄΦ＝f （x ）dx ；
(3) 以ｄΦ＝f （x ）dx 作为被积表达式，得到所求量的积分表达式 Φ＝⎰b
a f (x ) dx .
用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法（或元素法），其中ｄΦ＝f （x ）dx 为所求量的元素。在实际问题中，若所求量为面积，则称ｄΦ＝f （x ）dx 为面积元素，所求量为功，则称ｄΦ＝f （x ）dx 为功元素。
显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？
1) 所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф
也相应地分成许多部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ；
2 )能把Ф的微小增量△Ф近似地表示为△x 的线性形式△Φ≈f （x ）△x ，且当△x 趋于
零时，△Φ-f （x ）△x =o（△x ），从而 ｄΦ＝f （x ）dx 。
第二点特别关键，在实际应用微元法时要检验是否满足△Φ-f （x ）△x =o（△x ）。事实上，§２导出体积公式（１）和§３导出弧长公式（２）的过程中，都验证了这一点。在一般情况下，要严格检验△Ф－f （x ）△x 是否为△x 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事。如果把弧长增量的近似表达式改取为△s ≈△x ，将导致s=⎰b
a 其根本原因就在于△s －△x 并非是△x 的高阶无穷小量。 dx =b -a 的明显错误。
对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为
△A ≈y △x ，并有dA=y dx ；
△Ｖ≈A （x ）△x ，并有dV= A（x ）dx ；
22△s ≈+y '△x ，并有ds=+y 'dx 。
二 旋转曲面的面积
这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式。在§３推导曲线弧长公式之前，首先建立了曲线弧长的概念。而关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在Ｃhapter 21 §6中介绍。
设平面光滑曲线C 的方程为y =f (x ), x ∈[a . b ]（不妨设f(x)≥0）
这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-19）。下面用微元法导出它的面积公式。
(1) 积分变量x, 变化区间[a,b];
(2) 任取[a,b]上小区间[x, x+△x], 通过x 轴上点x 与x+△x
分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条
狭带。当△x 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧
面积，即
22△ S ≈π[f (x )+f (x +∆x )∆x +∆y
⎛∆y ⎫ =π[2f (x ) +∆y + ⎪∆x ⎝∆x ⎭
其中△y=f(x+△x)-f(x)。由于
2
lim ∆y =0, lim ，
∆x →∆x →0因此由f '(x ) 的连续性可以保证
π[
2f (x ) +∆y
所以得到 x -2πf (x x =o (∆x ). dS =2πf (x )+f '2x dx , (3) 以dS =2πf (
x 为被积表达式，得旋转曲面的面积公式
S=2π⎰b
a f (x +f '2x dx . （3）
如果光滑曲线Ｃ由参数方程
x=x(t)，y=y(t), ｔ∈[α，β]
给出，且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为
S =2π⎰α
⎰
⎰βy (t . (4) f (
x f
(x 2dx 事实上，由（２）知，S=2π =
2πb a b
a
=2π
=2π
=2π⎰f (
x a b ⎰α⎰αβy (t ) ds y (t ββ
=2π⎰αy (t .
例1 计算圆x 2+y2=R2在[x1,x 2]⊂[-R , R ]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积。 解 对曲线y=R 2-x 2在区间[x1,x 2]上应用公式（3），得到
S =2π
=2πR ⎰x 2x 1 ⎰x 2
x 1dx =2πR (x 2-x 1). □
特别当x 1=-R,x2=R时，则得球的表面积S 球=4πR 。
例2 计算由内摆线x=acos3t, y=asin3t （见图10—7）绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积。 解 由曲线关于y 轴的对称性及公式（4），得
π
S=4π
π⎰20a sin 3t -3a cos 2t sin t +3a sin 22t cos t dt 2
=12πa 2⎰2
0sin 4t cos tdt =122πa 。 □ 5
课后作业题： 1. 1) 2) 2. 3. 1)
§4 旋转曲面的面积
教学目的与要求：
1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 理解并掌握微元法的思想及应用.
教学重点，难点：
1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.
2. 微元法的思想及应用.
教学内容：
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。
一 微元法
为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积
作法：（ｉ）分割 在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为
a=x0＜x 1＜x 2＜„＜x n －１＜x n =b,
这些点把[a,b]分割成n 个小区间[xｉ－１, xｉ],I=1,2,„n. 再用直线x= xｉ, ｉ=1,2,„，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。
（ii ）近似求和 在每个小区间[xi-1,x i ]上任取一点ξi ，作以f (ξi ) 为高，[xi-1,x i ]为底的小矩形. 当分割[a,b]的点分点较多, 又分割得较细密时, 由于f 为连续函数, 它在每个小区间上的值变化不大, 从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积. 于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值, 即
S ≈∑f (ξi ) ∆x i i =1n (∆x i =x i -x i -1).
（iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又
与所有中间点ξi （i=1,2,„，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多，
且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i
和中间点ξi 的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.
S=∑f (ξi ) ∆x i =⎰f (x ) dx . →0i =1a n b
引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？ 我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。这一步是确定∆Φi 的近似值。完成了这一步，再求和取极限，从而求得Φ的精确值。在实际应用中，为简便起见省略下标ｉ，用△表示[a，b]上任一小区间[x，x+△x]上的窄曲边梯形的面积，这样有
Φ= ∑△Φ
不妨取任一小区间[x，x+△x]上的左端点为ξ，这样△Φ的近似值为以点x 处的函数值f （x ）为高，△x 为底的矩形面积，即△Φ≈f （x ）△x= f（x ）dx. 由于若当△x 趋于零时，△Φ-f （x ）△x =o（△x ），从而由微分定义知
dA=f（x ）dx ，于是Φ= ∑△Φ≈∑ f （x ）dx.
然后取极限 Φ=∑f (x ) dx =⎰f (x ) dx .
T →0a b
一般地，我们可以归纳出写出所求量Φ的积分表达式的步骤。
(1) 选取积分变量及变化区间；
(2) 设想把区间[a,b]分成n 个小区间, 取其中任一小区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的部分量
△Φ的近似值 ｄΦ＝f （x ）dx ；
(3) 以ｄΦ＝f （x ）dx 作为被积表达式，得到所求量的积分表达式 Φ＝⎰b
a f (x ) dx .
用上述步骤来建立积分表达式的方法通常称为微元法（或元素法），其中ｄΦ＝f （x ）dx 为所求量的元素。在实际问题中，若所求量为面积，则称ｄΦ＝f （x ）dx 为面积元素，所求量为功，则称ｄΦ＝f （x ）dx 为功元素。
显然，微元法要比按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出定积分简便得多，那么一个实际问题的所求量满足什么条件才可以考虑用微元法求解呢？
1) 所求量Ф关于分布区间必须是代数可加的，即若把区间[a,b]分成许多部分区间，则所求量Ф
也相应地分成许多部分量，且所求量等于部分量之和Φ= ∑△Φ；
2 )能把Ф的微小增量△Ф近似地表示为△x 的线性形式△Φ≈f （x ）△x ，且当△x 趋于
零时，△Φ-f （x ）△x =o（△x ），从而 ｄΦ＝f （x ）dx 。
第二点特别关键，在实际应用微元法时要检验是否满足△Φ-f （x ）△x =o（△x ）。事实上，§２导出体积公式（１）和§３导出弧长公式（２）的过程中，都验证了这一点。在一般情况下，要严格检验△Ф－f （x ）△x 是否为△x 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事。如果把弧长增量的近似表达式改取为△s ≈△x ，将导致s=⎰b
a 其根本原因就在于△s －△x 并非是△x 的高阶无穷小量。 dx =b -a 的明显错误。
对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为
△A ≈y △x ，并有dA=y dx ；
△Ｖ≈A （x ）△x ，并有dV= A（x ）dx ；
22△s ≈+y '△x ，并有ds=+y 'dx 。
二 旋转曲面的面积
这一部分我们要利用微元法推导旋转曲面的面积公式。在§３推导曲线弧长公式之前，首先建立了曲线弧长的概念。而关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在Ｃhapter 21 §6中介绍。
设平面光滑曲线C 的方程为y =f (x ), x ∈[a . b ]（不妨设f(x)≥0）
这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-19）。下面用微元法导出它的面积公式。
(1) 积分变量x, 变化区间[a,b];
(2) 任取[a,b]上小区间[x, x+△x], 通过x 轴上点x 与x+△x
分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条
狭带。当△x 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧
面积，即
22△ S ≈π[f (x )+f (x +∆x )∆x +∆y
⎛∆y ⎫ =π[2f (x ) +∆y + ⎪∆x ⎝∆x ⎭
其中△y=f(x+△x)-f(x)。由于
2
lim ∆y =0, lim ，
∆x →∆x →0因此由f '(x ) 的连续性可以保证
π[
2f (x ) +∆y
所以得到 x -2πf (x x =o (∆x ). dS =2πf (x )+f '2x dx , (3) 以dS =2πf (
x 为被积表达式，得旋转曲面的面积公式
S=2π⎰b
a f (x +f '2x dx . （3）
如果光滑曲线Ｃ由参数方程
x=x(t)，y=y(t), ｔ∈[α，β]
给出，且y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为
S =2π⎰α
⎰
⎰βy (t . (4) f (
x f
(x 2dx 事实上，由（２）知，S=2π =
2πb a b
a
=2π
=2π
=2π⎰f (
x a b ⎰α⎰αβy (t ) ds y (t ββ
=2π⎰αy (t .
例1 计算圆x 2+y2=R2在[x1,x 2]⊂[-R , R ]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积。 解 对曲线y=R 2-x 2在区间[x1,x 2]上应用公式（3），得到
S =2π
=2πR ⎰x 2x 1 ⎰x 2
x 1dx =2πR (x 2-x 1). □
特别当x 1=-R,x2=R时，则得球的表面积S 球=4πR 。
例2 计算由内摆线x=acos3t, y=asin3t （见图10—7）绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积。 解 由曲线关于y 轴的对称性及公式（4），得
π
S=4π
π⎰20a sin 3t -3a cos 2t sin t +3a sin 22t cos t dt 2
=12πa 2⎰2
0sin 4t cos tdt =122πa 。 □ 5
课后作业题： 1. 1) 2) 2. 3. 1)