经典题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴
EO GO
= FG HG
∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD
GO CO
= HG CD EO CO
=∴ FG CD
∴
∵EO=CO ∴CD=GF
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD
∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN
于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
证明:连接AC ，取AC 的中点G , 连接NG 、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=
1AD 2
∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=
1BC 2
∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F
经典题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ⌒ =AB⌒ ∵AB
∴∠F=∠ACB
又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD ⊥BC ∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM ⊥BC ∴∠BOM=
1
∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2
∴BO=2OM
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．
证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF
∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ
∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF 在△AEP 和△AFQ 中 ∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP ∴∠FCQ=∠QAF AF=AE ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∠QAF=∠PAE ∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP ≌△AFQ 又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ ∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴
AB BE 2BG BG
=== AD DC 2FD DF
∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，
∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ
4、如图, 分别以△ABC 的AB 和AC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL
∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM
同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）
证明：连接BD 交AC 于O 。过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=
111BD=AC=AE 222
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）
证明：连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形
∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC
1∴ODEG 是平行四边形
∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°
又∠COD=90° 2
在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG 是矩形
=180°-∠FAC-∠GCE 111
∴EG = OD =BD=AC=CE
=180°-135°-30°=15° 222
∴∠F=∠CEA ∴∠GCE=30°
∴AE=AF ∵AC=EC
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）
证明：过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP 设AB=x ，BP=y ，CG=z ∴∠APB+∠FPG=90° z ：y=（x-y+z）：x ∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∴∠FPG=∠BAP ∵x-y ≠0 又∠FGP=∠PBA ∴y=z ∴△FGP ∽△PBA 即BP=FG ∴FG ：PB=PG：AB ∴△ABP ≌△PGF
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）
证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH
∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° ∴EM=KM 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∵EK ∥BD ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 OB AO OD
==∴ ∴∠HCO=∠HPO EM AM KM
又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD ∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴四边形ABCD 的对角∴∠ECM=∠EHM 线互相平分 又∠ECM=∠EFA ∴ABCD 是平行四边形 ∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC，BC=AD ∴HM ∥AC ∵EH=FH
经典题(四)
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求∠APB 的度数．（初二）
解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形
∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150° 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
证明：过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD
∴ADPE 是平行四边形
∴PE=AD，
又ABCD 是平行四边形
B ∴AD=BC ∴PE=BC
又PE ∥AD ，AD ∥BC 又∠ADP=∠ABP ∴PE ∥BC ∴∠AEP=∠ABP ∴BCPE 是平行四边形 ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PCB ∴∠BEP=∠PAB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠PAB=∠PCB ∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明：在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD
∴△BEC ∽△ADC
BE BC
=∴ AD AC
∴AD ·BC=BE·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD
⌒ =BC⌒ , ∴∠BAC=∠BDC ∵BC
△BAC ∽△EDC ∴
AB AC
= DE CD
∴AB ·CD=DE·AC ……………………②
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF
11
∴S △ADE AE ·DG ，S △FDC = FC ·DH
221
又S △ADE = S△FDC = S □ABCD
2∴AE ·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH
∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC
B
经典题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF 中，∠ABP=120°∴AF=3 ∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP ，AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP
∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD＞PB ……………………② CG+PG＞PC ……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2
由（1）（2）可知：3≤L ＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF ，连接PE ， 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB
B
∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA ＋PB ＋PC 最小，则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上（如图）
此时AF= PA+PE+EF
过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
G
31
∴GF=，BG=
22
2
1⎛⎫⎛3⎫
∴AF=GF 2+AG 2= ⎪+ =2+3 +1⎪ ⎪⎝2⎭⎝2⎭
2
∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是2+3
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形， ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a
∴QP 2+QC2=(22a) 2+a2=9a2=PC2 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°
∵BC 2=BQ2+CQ2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC
=PB2+PA2-2PB ·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a ×a ×(-
2
) 2
解得BC=5+22a ∴正方形的边长为5+22a
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝80°，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝30°，∠EBA ＝20°，求∠BED 的度数．
解：在AB 上取一点F ，使∠BCF=60°，CF 交BE 于G ，连接EF 、DG
∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形 ∴BG=BC
∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A ，AB=AC∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF 1
∴∠AFE=∠AEF= （180°-∠A ）=80°
2
又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60° ∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG 1
∠BGD=∠BDG= （180°-∠ABE ）=80°
2
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD ≌△EGD 11
∴∠BED=∠FED= ∠FEG= ×60°=30° 22
5、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，若AC=6，BC=8，求线段PD 的长。
⌒ =BD⌒ ∴AD=BD 解：∵∠ACD=∠BCD ∴AD
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°
∴△ABD 是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10 ∴AD=AB·cos ∠DAB=10×又AE ⊥CD ，∠ACD=45°
∴△ACE 是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos ∠CAE=6×
2
2
2
=52 2
2
=32 2
在△ADE 中，DE 2=AD2-AE 2 ∴DE 2=（52）-（2）=32 ∴DE=42 ∴CD=CE+DE=32+42=72
∵∠PDA=∠PCD ，∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴
PD PA AD 525
==== PC PD CD 727
∴PC=
757535PD ，PA=PD ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6 解得PD= 57574
经典题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴
EO GO
= FG HG
∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD
GO CO
= HG CD EO CO
=∴ FG CD
∴
∵EO=CO ∴CD=GF
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD
∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN
于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
证明:连接AC ，取AC 的中点G , 连接NG 、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=
1AD 2
∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=
1BC 2
∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F
经典题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ⌒ =AB⌒ ∵AB
∴∠F=∠ACB
又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD ⊥BC ∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM ⊥BC ∴∠BOM=
1
∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2
∴BO=2OM
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO
2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．
证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF
∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ
∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF 在△AEP 和△AFQ 中 ∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP ∴∠FCQ=∠QAF AF=AE ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∠QAF=∠PAE ∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP ≌△AFQ 又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ ∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴
AB BE 2BG BG
=== AD DC 2FD DF
∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，
∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ
4、如图, 分别以△ABC 的AB 和AC 为一边, 在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL
∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM
同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）
证明：连接BD 交AC 于O 。过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC 又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC ∴ODEG 是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG 是矩形 ∴EG=OD=
111BD=AC=AE 222
∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ． 求证：AE ＝AF ．（初二）
证明：连接BD ，过点E 作EG ⊥AC 于G ∵ABCD 是正方形
∴BD ⊥AC ，又EG ⊥AC ∴BD ∥EG 又DE ∥AC
1∴ODEG 是平行四边形
∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°
又∠COD=90° 2
在△AFC 中∠F =180°-∠FAC-∠ACF ∴ODEG 是矩形
=180°-∠FAC-∠GCE 111
∴EG = OD =BD=AC=CE
=180°-135°-30°=15° 222
∴∠F=∠CEA ∴∠GCE=30°
∴AE=AF ∵AC=EC
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）
证明：过点F 作FG ⊥CE 于G ，FH ⊥CD 于H ∵CD ⊥CG ∴HCGF 是矩形 ∵∠HCF=∠GCF ∴FH=FG ∴HCGF 是正方形 ∴CG=GF ∵AP ⊥FP 设AB=x ，BP=y ，CG=z ∴∠APB+∠FPG=90° z ：y=（x-y+z）：x ∵∠APB+∠BAP=90° 化简得（x-y ）·y =（x-y ）·z ∴∠FPG=∠BAP ∵x-y ≠0 又∠FGP=∠PBA ∴y=z ∴△FGP ∽△PBA 即BP=FG ∴FG ：PB=PG：AB ∴△ABP ≌△PGF
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ． 求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）
证明：过点E 作EK ∥BD ，分别交AC 、AF 于M 、K ，取EF 的中点H ， 连接OH 、MH 、EC ∵EH=FH
∴OH ⊥EF ，∴∠PHO=90° ∴EM=KM 又PC ⊥OC ，∴∠POC=90° ∵EK ∥BD ∴P 、C 、H 、O 四点共圆 OB AO OD
==∴ ∴∠HCO=∠HPO EM AM KM
又EK ∥BD ，∴∠HPO=∠HEK ∴OB=OD ∴∠HCM=∠HEM 又AO=CO ∴H 、C 、E 、M 四点共圆 ∴四边形ABCD 的对角∴∠ECM=∠EHM 线互相平分 又∠ECM=∠EFA ∴ABCD 是平行四边形 ∴∠EHM=∠EFA ∴AB=DC，BC=AD ∴HM ∥AC ∵EH=FH
经典题(四)
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求∠APB 的度数．（初二）
解：将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转60°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是正三角形
∴∠BQP=60°，PQ=PB=3
在△PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠PQC=90°
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150° ∴∠APB=∠BQC=150° 2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
证明：过点P 作AD 的平行线，过点A 作PD 两平行线相交于点E ，连接BE ∵PE ∥AD ，AE ∥PD
∴ADPE 是平行四边形
∴PE=AD，
又ABCD 是平行四边形
B ∴AD=BC ∴PE=BC
又PE ∥AD ，AD ∥BC 又∠ADP=∠ABP ∴PE ∥BC ∴∠AEP=∠ABP ∴BCPE 是平行四边形 ∴A 、E 、B 、P 四点共圆 ∴∠BEP=∠PCB ∴∠BEP=∠PAB ∵ADPE 是平行四边形 ∴∠PAB=∠PCB ∴∠ADP=∠AEP
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三） 证明：在BD 上去一点E ，使∠BCE=∠⌒ =CD⌒ ∴∠CAD=∠CBD ∵CD
∴△BEC ∽△ADC
BE BC
=∴ AD AC
∴AD ·BC=BE·AC ……………………① ∵∠BCE=∠ACD
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE 即∠BCA=∠ECD
⌒ =BC⌒ , ∴∠BAC=∠BDC ∵BC
△BAC ∽△EDC ∴
AB AC
= DE CD
∴AB ·CD=DE·AC ……………………②
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
证明：过点D 作DG ⊥AE 于G ，作DH ⊥FC 于H ，连接DF
11
∴S △ADE AE ·DG ，S △FDC = FC ·DH
221
又S △ADE = S△FDC = S □ABCD
2∴AE ·DG=FC·DH 又AE=CF ∴DG=DH
∴点D 在∠APC 的角平分线上 ∴∠DPA ＝∠DPC
B
经典题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ， 求证：≤L ＜2． 证明：（1）将△BPC 绕B 点顺时针旋转60°的△BEF ，连接PE ， ∵BP=BE，∠PBE=60° ∴△PBE 是正三角形。 ∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF
当PA 、PE 、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF 中，∠ABP=120°∴AF=3 ∴L=PA+PB+PC≤3
（2）过点P 作BC 的平行线分别交AB 、AC 于D 、G 则△ADG 是正三角形 ∴∠ADP=∠AGP ，AG=DG ∵∠APD ＞∠AGP ∴∠APD ＞∠ADP
∴AD ＞PA …………………………① 又BD+PD＞PB ……………………② CG+PG＞PC ……………………③
①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L ＜2
由（1）（2）可知：3≤L ＜2．
2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
解：将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°得△BEF ，连接PE ， 则△BPE 是正三角形 ∴PE=PB
B
∴PA ＋PB ＋PC=PA+PE+EF
∴要使PA ＋PB ＋PC 最小，则PA 、PE 、EF 应该在一条直线上（如图）
此时AF= PA+PE+EF
过点F 作FG ⊥AB 的延长线于G
则∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°
G
31
∴GF=，BG=
22
2
1⎛⎫⎛3⎫
∴AF=GF 2+AG 2= ⎪+ =2+3 +1⎪ ⎪⎝2⎭⎝2⎭
2
∴PA ＋PB ＋PC 的最小值是2+3
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长． 证明：将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得△BCQ ，连接PQ 则△BPQ 是等腰直角三角形， ∴PQ=2PB=2×2a=22a 又QC=AP=a
∴QP 2+QC2=(22a) 2+a2=9a2=PC2 ∴△PQC 是直角三角形 ∴∠BQC=135°
∵BC 2=BQ2+CQ2-2BQ ·CQ ·cos ∠BQC
=PB2+PA2-2PB ·PAcos135°
=4a2+a2-2×2a ×a ×(-
2
) 2
解得BC=5+22a ∴正方形的边长为5+22a
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝80°，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝30°，∠EBA ＝20°，求∠BED 的度数．
解：在AB 上取一点F ，使∠BCF=60°，CF 交BE 于G ，连接EF 、DG
∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60° ∴△BCG 是正三角形 ∴BG=BC
∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA 又∵∠A=∠A ，AB=AC∴△ABE ≌ACF ∴AE=AF 1
∴∠AFE=∠AEF= （180°-∠A ）=80°
2
又∵∠ABC=80°=∠AFE ∴EF ∥BC ∴∠EFG=∠BCG=60° ∴△EFG 是等边三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60° ∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°
∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50° ∴∠BCD=∠BDC ∴BC=BD前已证BG=BC∴BD=BG 1
∠BGD=∠BDG= （180°-∠ABE ）=80°
2
∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40° 又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°
∴∠FGD=∠DFG ∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD ≌△EGD 11
∴∠BED=∠FED= ∠FEG= ×60°=30° 22
5、如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD 交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，若AC=6，BC=8，求线段PD 的长。
⌒ =BD⌒ ∴AD=BD 解：∵∠ACD=∠BCD ∴AD
∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°
∴△ABD 是等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ∴AB=10 ∴AD=AB·cos ∠DAB=10×又AE ⊥CD ，∠ACD=45°
∴△ACE 是等腰直角三角形 ∴CE=AE=AC·cos ∠CAE=6×
2
2
2
=52 2
2
=32 2
在△ADE 中，DE 2=AD2-AE 2 ∴DE 2=（52）-（2）=32 ∴DE=42 ∴CD=CE+DE=32+42=72
∵∠PDA=∠PCD ，∠P=∠P ∴△PDA ∽△PCD ∴
PD PA AD 525
==== PC PD CD 727
∴PC=
757535PD ，PA=PD ∵PC=PA+AC∴PD=PD+6 解得PD= 57574