平行线下的面积问题
1、 平行线间的距离
A 如图：m ∥n D
m
n
B C
在上图中你能的出什么结论：____________________________________________________ 2、 三角形面积
（1）如图△ABC ，点D 为BC 边中点，则
S ∆ABD 与S ∆ABD 的关系怎样？
（2）如图△ABC ，点D 为BC 边上一点，且BD ：BC=2：1，则S ∆ABD 与S ∆ABD 的关系怎样？ B
C
D
总结：
①等底等高的两个三角形面积相等；
B
D
C
②底在同一直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或者在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
，E （BC 的中点除外），AE ，写例1、如图，已知△ABC ．请你在BC 边上分别取两点D ，连结AD
出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形（07北京） ．．．．．
A
B C
例2如图：梯形纸片ABCD ，AD ∥BC ，AB ≠DC ，设AD=a，BC=b
请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的两部分，画出设计的图形并简要说明理由
B
C
B
C
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例3、如图：下面有两块土地，被一条小路隔开，现在要把这条小路拉直，并且还要保证两块土地的面积
不变，请你设计一个方案
例4、如图：五边形ABCDE ，过点A 作一条直线，将五边形面积平分
A
B
C
B
D
例5、如图ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果⊿ADE 的面积为4平方厘米，求三角形CDF 的面积。
例6、如图在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若三角形ADE 的面积为1，
求三角形BEF 的面积。
B
F
B A E F D 例9图
例7、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点. 例如：如图1, 平行四边形ABCD
中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边
形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D 也是平行四边形ABCD
的一对等高点. （1）如图2，已知平行四边形ABCD , 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）； B （2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别
探究图3、图4中S 1, S 2, S 3, S 4四者之间的等量关系(S 1, S 2, S 3, S 4分别表示△ABP , △CBP , △CDP , △ADP 的面积) ：
① 如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是 ； ② 如图4，当四边形ABCD
A
S 1S 4
B D S 2
B 图2 图3 图4
例8 . 阅读下列材料：
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小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形. 他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示. 请将其分割后拼接成一个平行四边形. 要求：在
图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.
例9. 阅读下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，
S ∆ABC =S ∆A 1BC =S ∆A 2BC .
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
(1)如图2，已知△ABC ，画出一个等腰△DBC ，使其面积与△
．．
(2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 不全等) ； ．．．
(3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC，画出一个四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积相等，且．．
一组对边DE=AB，另一组对边BD ≠AE ，对角∠E =∠B .
图2 图3 图4 例10. （1）已知：如图1，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC //AB , EB //CD , 若
S ∆DEC =1，S ∆ABE =3，则S ∆BCE = ；
若S ∆DEC =S 1，S ∆ABE =S 2，S ∆BCE =S ，请直接写出S 与S 1、S 2 间的关系
式： ；
（2）如图2，△ABC 、△DCE 、△G E F 都是等边三角形，且A 、D 、G 在同一直线上，B 、C 、E 、
试利）中F 也在同一直线上，S ∆ABC =4，S ∆DCE =9，．用．（1．．的．结．论．得△GEF 的面积
为 ． A
B
图1 图2
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平行线下的面积问题
1、 平行线间的距离
A 如图：m ∥n D
m
n
B C
在上图中你能的出什么结论：____________________________________________________ 2、 三角形面积
（1）如图△ABC ，点D 为BC 边中点，则
S ∆ABD 与S ∆ABD 的关系怎样？
（2）如图△ABC ，点D 为BC 边上一点，且BD ：BC=2：1，则S ∆ABD 与S ∆ABD 的关系怎样？ B
C
D
总结：
①等底等高的两个三角形面积相等；
B
D
C
②底在同一直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或者在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
，E （BC 的中点除外），AE ，写例1、如图，已知△ABC ．请你在BC 边上分别取两点D ，连结AD
出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形（07北京） ．．．．．
A
B C
例2如图：梯形纸片ABCD ，AD ∥BC ，AB ≠DC ，设AD=a，BC=b
请你设计两种方法，只需用剪刀剪一次就将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的两部分，画出设计的图形并简要说明理由
B
C
B
C
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例3、如图：下面有两块土地，被一条小路隔开，现在要把这条小路拉直，并且还要保证两块土地的面积
不变，请你设计一个方案
例4、如图：五边形ABCDE ，过点A 作一条直线，将五边形面积平分
A
B
C
B
D
例5、如图ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果⊿ADE 的面积为4平方厘米，求三角形CDF 的面积。
例6、如图在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若三角形ADE 的面积为1，
求三角形BEF 的面积。
B
F
B A E F D 例9图
例7、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点. 例如：如图1, 平行四边形ABCD
中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边
形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D 也是平行四边形ABCD
的一对等高点. （1）如图2，已知平行四边形ABCD , 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）； B （2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别
探究图3、图4中S 1, S 2, S 3, S 4四者之间的等量关系(S 1, S 2, S 3, S 4分别表示△ABP , △CBP , △CDP , △ADP 的面积) ：
① 如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是 ； ② 如图4，当四边形ABCD
A
S 1S 4
B D S 2
B 图2 图3 图4
例8 . 阅读下列材料：
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小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形. 他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG . 请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示. 请将其分割后拼接成一个平行四边形. 要求：在
图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ 请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果）.
例9. 阅读下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时，
S ∆ABC =S ∆A 1BC =S ∆A 2BC .
请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：
(1)如图2，已知△ABC ，画出一个等腰△DBC ，使其面积与△
．．
(2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 不全等) ； ．．．
(3)如图4，已知等腰△ABC 中，AB=AC，画出一个四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积相等，且．．
一组对边DE=AB，另一组对边BD ≠AE ，对角∠E =∠B .
图2 图3 图4 例10. （1）已知：如图1，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC //AB , EB //CD , 若
S ∆DEC =1，S ∆ABE =3，则S ∆BCE = ；
若S ∆DEC =S 1，S ∆ABE =S 2，S ∆BCE =S ，请直接写出S 与S 1、S 2 间的关系
式： ；
（2）如图2，△ABC 、△DCE 、△G E F 都是等边三角形，且A 、D 、G 在同一直线上，B 、C 、E 、
试利）中F 也在同一直线上，S ∆ABC =4，S ∆DCE =9，．用．（1．．的．结．论．得△GEF 的面积
为 ． A
B
图1 图2
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