气动第2章流体运动学和动力学基础

第章流2运体动学和动力学础

§2.基描1流述运动的方法体2§2 流体微.运团的动析分§2. 理3想体运流动微分方程组2.

.1 3.3.2 2.323.2 .34 .连续方程拉欧（Eleru）动运分微程组方伯努利（erBnuloli积）及其分理意物义伯努（利eBrnulloi）方程的应

用

体力流研究所学

张

华

§2.

1描述流体运动的方

法

流力学研体究所

张

§华.2.11拉格朗日法方与欧拉法方据连续介根质假设，的体流由是点组质成，无空地隙充满所据的占空。间对无数多于流的体质，当点发其生动时运如，正何确述描区和各流体质分点的运动为，行是将流体动运必须学回的答题。描问流述运动体方法有的种。 1、两aLganreg法（方格朗拉方法，日点质）法在该方法，观察中着眼于者别个流质点的流动行为，体通跟过每踪质个点运的动历程，而获从得个整流场的运动规律（引。迹线的出念概

）/118 2/1800

.24 流体运积分动方程组2.

.41拉格日（朗aLgrnag）e积型方分程2..24雷诺（Reynlods）输方程运2..3 4欧拉Eul（re型积）方程

分

2.5§ 环与涡

EX量T

EXII

§2.T.1 拉格1日朗方与欧拉法法方

用下方如描程质点（述,a,cb所经）历轨迹的：x( a,,cbt,) ,(ay,,b,t)c,z a(b,,,t)

tco

体力流研学所

究张

华

§2

..11拉朗格日方法欧拉与方 ·

法

t体流学研究所力

张华

(x, y, z)

因为质点的标坐置位是时 t 的函间数对于，定的流体质点给a（，b，）c 速度，表达式：是

=u ∂(x,ab, c , )t, ∂ t y∂(a b,, ,ct ) ,v= ∂ ∂tz( a b, c,,t w)= t

∂· (a

, b ,c)

中其a，,b, c为流体点质的识标，用符区分于识别和各质点，一可用质点的初始般坐表示;标t 示表时间。 ab...c t为拉格称日变朗数。 ab..c给定表示，指质点的轨定。迹给定，表t示给定时在不刻同点的空质位间置。式就上质点（a,b是c,）轨迹的参数方程三，消去得式轨迹警察(抓偷小的法)方3/1

0流体点质的速加为度

∂ 2： (xa, b,c ,t ) , ∂ t 2 2 y (∂a ,b, c, t)a y =, t∂ 22∂ z( a ,b,c, t ) az =t 2 ax∂ =

这

使用里偏导数因为坐是同时标时间和是点质号的函数标，求导时要 a,求,cb固定变，即不求导是针同对一流体点的。质

/418

0XIE

EXITT

2.1.1 §格朗拉方日法与拉欧法

流方力学体究研

张华所

§2.1.

1拉格日方朗与法欧拉法方

u ( x,y ,z ,t ) v( x, y ,,zt ) w( x, y, , z ) t rr r r V = u i+ v + wk

j流力学体研所究

张

华流体质点的

其它物量理都也是a, ,bct 的函数。例,流如体质点a,（bc）的,度可表温T(为,a,c,bt)2 、Eleur法方欧拉（方法，间空点法，场流）法拉方法的欧眼着点不是流体质而是空点点。考间察不同体流点通质过间固定点的流动空为，行过通记不同空录间点体流质点经的运动情

过况，从而获整个得流场运动的规。律固定空间在看点的是不同流体到质的点动变化运无，法拉格朗像方日那样直法记录同一质接点的时间历。在程固空间定很点易记录容流的不过质同点速的：度5

/810

其

，中xy,z,为间点的坐标。t空表时间示。x.y .z.t 称欧为变数拉是四个，互独相的变立。 x.量y.z 定给t 变化，，示表不时刻同同不体质流通点同一空过间的速点。

t度给，定.yx. z化，表示给定时变，刻同不体质点通流过不

同间空点的度速给，速度场。 (定株守兔，看待房式门的工作方)法6/

180

XIE

ETXI

§.12.1拉格日朗方与法欧拉方

法体流力学究研

张华

所§2

1.1. 格拉日方法朗欧与方法

拉流体力学

研究

所

华

张

即使没有析表达解式，但要有离散只数据的点，也上可既式描了述某瞬一间各的点流情动，也况描了不同述瞬的流动间参数在各点分布的情。这种描述法况称为欧拉法。描以绘流场出例，下图如就用某时是刻下度的空速分间描绘的布个速一度场:

注请意，x,y,,zt 四是个独立变。数如果不外另以赋意，义则不有能dx td 、 2dx dt

这的表类式达

。一速度个场

应该

指，出速度场的表达质本指上是该瞬的时恰通过好空该间点流体质的点所具的有速度。

一个布满了某

物理量的种空称间为。场除速场之度外，有还强压。场高速在动流时气，流的密度温度也和随动流变化有那就还，有个密度场一温和场。度都这包在括场的流概之念内

7/。10

8818/0

EXIT

X§

2..1 1拉朗日格方法欧拉方与法p

=p ( x ,,yz, t ,)

流力学体研所

究张

§ 2.1.华2欧拉的加法度表速达

流体力式学究所

张研华

ρ = (ρx ,y , ,z t ),

T =T x(, y,z ,t )

欧

拉观下如点何表达加度？我速用如们4图来下定描性述起引各处度变化的原速因第1：图表示流体质点A从到B流速不变度第2图表示；A点与点因B水位降下引速度同时减小起第3；图示流表质体从点流AB点到，因管道缩引起收度速增；第加图表示4体流质点从A到流B点因，位水降下管和道收缩引起速度变的。化

如

场只是空间坐标的函果而与时数间无关则称定为场，常否为则非定场常，如，定例速度常场表的为：达

=u (x ,,yz ) , = v v(x, y , z ), w=w (x, y, )

9/z81

非0大的常器容

非

大的容器常

小容

器

容器小

01/801

XET

EIIX

§T .12.2 欧拉法加的度表达式

流体力速研学所究

华张

2§..1 欧拉2法的加度速达表

式流力学研究体所

张

水华位下表示降流场的定非性常，管道收表示流缩的不均匀场。由性可见此一般，况情下引流体起质点速度的化变来自于方两的面贡献：一是流其场的不均匀，性其是二场的非定常性流。欧用

拉

法来描一述的般定常非场流，关时于加速度强调要点。两第一A（，，xyz），点上 t 时的瞬体流微的团速度是时间的数，所以速函度以随时可变间化。二第原在，A 的点微团Δt经后到了B ，若点B 点速的度与A 点不同的，那由么迁于，移它会有速也的度化变。11

1/80

设

在 t 时，瞬位于A（x，yz）点，的个一团微有速具度u，v ，w。Δ经t 时间后该，团微移到

(x + ∆ut ,y v+ ∆ t , z+ w ∆ )t

令：

u= u (x ,y , z, t

)经Δt之后， u变 u成Δu:+

u +

∆ = uu( x +u∆ t , y +∆ v , z t w + t ,∆t + t∆)

= u( x,y ,,z t )+

EXIT(

u∂∂ u ∂u∂ u ut∆+ vt∆ +w t ∆+ ∆t )+ 0 ∆t( )∂x ∂y ∂ zt∂

2/181

E0XIT

§21.. 2拉欧的加法速表达度

流体力学式究研

张所

§华2 1.2.欧拉法加的度表达式

算速子：∂ ∂ ∂

∂ +u + v w ∂+t∂x ∂ ∂y

z体流力学研所

究张华

变将前化后的度速达表相减，去高阶略，仅保项留一阶项得，

∆ u∂u∂ ∂uu∂ u = u++ v+ w∆t ∂ t x ∂∂y z

∂式右侧第一此项微是在团（，x，yz处）其速度随间时的变化，即率当地加速。度三项是由后微于流向速度团不同相的邻点而现出的速度化率变即，迁加移速度。注上式并非全导意数的达表在《（高》数当复合函中数只一是个变自 t量的函数才有全时数），导因在为拉观点下欧、yx、等与z时间t 无关不能写出，x/dtd的达表。13/

往0往用 D /D t这样个符一号来表示这个导数。为称流体运动随导的，或称数随体导数实、质数导物或质导。数从而上述速加可以度成写

Du ∂：u ∂u u∂ ∂ +uv+w =+ uD tt∂ x ∂y ∂z∂

理：同

∂

v vD v∂ ∂ ∂v =v u ++v+w Dt∂ t x∂∂y ∂

Dwz∂ w w ∂w∂ w +∂v w + =u+ Dt ∂ xy ∂z ∂t

14/∂801

EXT

IEITX

.1.2 2拉欧法加速度的达表式

流体力研究所

学张华

2. .12欧拉的加法速表度式达随

体数算子导：D ∂ ∂ ∂

∂ =+ +uv + w Dt∂ t ∂x ∂y ∂

流力体研究所学

张

华需要指出，

述加速上度然是仍间坐空标时和坐间四标个独立变量（,y,z,x）的函数t

： xa( x, y, z, t ) = u∂ ∂u ∂uDu ∂ uw ++ vu+ = ∂ ∂yz x Dt ∂∂ ∂t vv ∂v ∂Dv∂v + uv ++w ay x( ,y ,z ,t ) = = ∂ zy ∂x ∂t D∂t ∂ w∂ ∂wwDw ∂w w +v ++u za( x, y , z ,t) = = ∂z y ∂∂ Dx t∂

可除作用速于外，对度场中流其它量也成变立。如对于压强p，：

D有 ∂pp∂ p∂ p ∂p= +u v++w Dt ∂t ∂x ∂ y∂

虽然，由于在z欧拉点下观x，y,z,t ,四个是立变量，独一不般写能 d出/dx t表达，因此上的述达表非并数上的学导数。全在但物上上理仍然式示质点压表强在运过动中的时间程变率化，只是场的观在点下将个这化变写率为当变化地率和移变迁化率称为

随

体导数 16。1/0

E8XIT

rr r 将三式上分乘 (别i, j k, 再相)加可加得速度表达向量的：式r

rr DV ∂Vr r rr a(x, y ,z , t ) =ax i + a j + a z ky = += V( •∇ )V D tt ∂∂r ∂ r ∂r 其中，哈顿密子：算∇ =∂x i +∂ jy ∂z k+

/5108

EXI

§ 21..2欧拉法加的度速表式

达

体力学研究流所

张华

§.2.12 欧拉法的速度加表式达

于拉由格朗法日欧拉法与下速度关系为：的d

x =u ( , y x, , z t ) 欧 ,t d 拉yd = (v , x ,yz ,t )欧 , td拉 dz d

流体t力学研究所

张

华

欧拉法

表的流场示速度加和速度质上显实然是指瞬时该好恰过该点的流体质通所具有的速点度和加度：速

xd= u( x,y z , t,) 欧拉 ,dt 拉朗日 d格2 x= a x ( x, y ,z , )t 欧拉 dt2 格拉朗日

拉

= w

( , x, yz t,) 欧

因此欧法拉与格朗日方拉法示的表速度实加质上一是致的，此我据也们以利用拉格朗可观点下日对流体点质求全数导到质得的点速度后加再，转为欧化法拉的加度速达表例。在拉格如日朗点下观沿迹轨对线质速点求全度数得导体质流的点速度为：加d 2 x u du ∂∂ ∂ux∂u y ∂u ∂z∂ ++ = +=dt 2 d t∂t ∂x ∂t ∂y t∂∂z ∂ t

1/178

0入即代欧得拉下的加法度速表达a x

(x , y,z ,t ) =∂u u∂∂u ∂u + wv++ u∂ z∂ ∂x y∂

D Dt

t在引不起会误的条下，也有将随体导件数

表

为

的。d

随导数体与全导实数质是上时统瞬的，一者前用采场的表示法方，后采用者质点运动的表学方法示。

1818/0

IEXTI

§21.2. 欧法拉的加度表达式速

流

体学力研所究

张华

§2. .21欧拉法的加速度达式表

流体力学研究所

华张

移加迁度速的任何一中项都速度分量与同一方向的是导数乘之，积或称沿速度方的导数。因向只有此述两项上都不零才可为能存迁移在加度速，因此将也为对称导流数。譬如像直圆中的管定常层（流如图下）那样种一实际动流u，=（uy。）当地加速度和迁加移速都是度零。r

∂∂∂ V • ∇= + vu+ w ∂ ∂x yz∂

根上述据分可得析出下各图以中欧法拉的加速表达度。式

=0 Dt

uuD∂ ∂ u u ==uu xxD Dt t ∂

∂uD∂u = D ∂t

tu∂ D ∂u = uu ∂t +tD x∂

91/80

02/810

IXIET

2.1 .2 拉法的欧速加表达式

流体度学研究力所

张

§华 21.2.欧拉的加法度速达式

表体流学力究研所

张

华

场是流x、yz、、t个四独坐标立的数，函不有速度仅，也场压强有、密度场差等：

前

已说，明导数D D/t也可用速度以于外其的他物量理以达该物表量在理动过流程中随时的间化变因此也，称随体导为数物质导、或数实质导，其数意义用可下例进一说步：明：为测量例污某染标 s 随指时的间化率变用采了种方三：法1.将探头安装一高在

塔上 2. 将；探头装安在速以U平飞的直度升机上飞； . 将3探头装在安随气流浮漂动的运气上球，流与气气球速的度为； u试用数公式学达表上述种三法方测量的果。结解：1 . 2. 3.

12/801

V (x ,,y ,z t, p) x,( ,y , t )z,ρ ( x y,, z,t )

当场流是只个一间空坐标的函数时为称维一场流V s,(t ) 与时当间无关时称为常定场流 V(x, , zy 。 )

，例

某：流中测得场各速处度均持保为其初始大小和方向，该则流场为（：）一维流场1 （）2（）常定流场（（）3）速加处处度为零（（））无旋4场流（）EXIT

∂

∂st

∂ ∂s s+U∂t ∂ x∂ s∂ su+ ∂ ∂x

t此随体导即

数2/210

E8IXT

§.21.3 迹线与流，流线、管面流流量

流体与学力究研

所

张

§2.1.3华迹线与线，流管、流流面与量流r

r r r流线设位上向量：移d r=d i x+ dj + yzk drr r r 又设速向量度：V = ui+ jv+ w

k体流学力研所究

张

华人

们望希用一些曲将流线上场的动流况表现情来出迹线。拉格是朗观日点描述流下动的线曲是，给定质在点间走过的空轨迹。当速场度uv,,给定w，迹时微分线方可写程为

：d dxy zd= u, = ,v =,w其 t是中自变量 tddt d

t流

与线度方速向切相即

上式：时间 t对分积可得后迹线的表。达流线是拉欧点下描述流动观曲的线是，瞬时某的一空条间何曲线，其几切都和线点的流该体点速质方向一致。度线是由流同一刻时不质点同成的组这，样线可以的画数无条

时间。t 固

23定1/08

rr dr / / V

,或

r dr ×V＝

或流0线上切的切线方向线数速与度向方对数应比例，表为成分的关系则有

微x ddy zd= = v wu

式称此流线微为方分程。24/

810

XEIT

EXIT

2.1§.3迹线与线流流管、流，面流量与

流力体研究所

学华

§张2.13.迹与线流线，管流流面与、流

量体力流学究所

张华

研流

是反映线流场瞬时流速方某的向曲。线是同一其时，由刻不流同质点体成的。与迹组相线，迹比是同一线质点同不时的轨刻迹线根据。流的线定，义知流线可有具以下性：质（1）在常定流中动流体质，的迹点线流与重合。在非定常线动流，中线流和线迹般是不重一合。的（）2定常流在中，动流是线流不体跨越可曲的。

线

（3流）线能不交、相叉、分汇交转折，流线只、能是一光条滑曲的线也。就，在同一时刻，是一点处能通只一条流过。线（4 在）点和奇速零度例外点。

/180

56/180

EXI

TEX

§.1.2 迹线与流3线，管流流面与流、

量前所如迹述线分微方程写可为：

xdd y dz= , u =, v w=, 其t是中变自 dt量 t dd

t流体力研究学所

张华

§.1.32 迹与流线，流线、管面与流流量

.例有设一个二维定常非流其速度分场布是：u

= 2x a ,+1t v=

−2y, a≠0

流体a学力研所究

张

还华改写可：

为t求=0时（过，1）的1线和迹流线

。

d dxydz = == dt u v w这

流线与微分程在形方式相上同但是二，有者很大区。别流线在分微方中程t 是固不变的参数，积分定时t 常当数，看而在线微分方程中迹t 是自量，变积时 t分为量变仅在定常，流情下况述二微分方程的积分上相等，才此时线流迹线与合。

重72/810

：解1 .求流，由线流线方（其程中t 固定常数看当）： 1 (+ )tx dd = y2x a 2a−y 积得分任时刻一 t线族流：为

(+t1) y c

=t0=时刻流线族为：

x = yc

28/18

0EX

EIT

X§

2..13迹与线流，线流管流、面与量流过（1，1）

线：

流流力体研学究所

张

华§.1.2 3线与迹线流，管、流面与流流量

当流动定常时为 u =a2x, v −2ay =由流线程由迹方方程：线积分：得

体力流研究学所

张华

yx= 1

dy =−2ay d

再t流线与迹线。

2求 .迹求线，由迹线方程其（中为t变自量）

：x dd = y积分定常并数得2a x −2ay

x d =ax2 ,t dd = y2−ya d

= 1

dx ya2 = x,dt +1 t

分积迹得线数方参程

x：= c e1 2a t

y = ,c2 −e 2ta

x= c1( 1+ t ) 2a ,

=c 2 e−2 ta

21a

由初始

件定得条1=cc21=,故求所为：

由始条初件定c1=c2=得1 ,故所的求线迹数方参为程

x ： e= 2t ,

= −2 eat

消去

t ：

得yx= 1

03/810

= x(1 + ) 2t a ,

y= e− 2 t a,

：即 = y − 2 ae ( x

−1

)可见非定时迹线常流与线重合。不

可

见常定时线迹与流重合线。

2/1908

XIE

EIXT

21..3 线与流线迹，管、流面与流量流

迹：线一流同质体走过的轨迹点线：流某瞬时不由同流体质点成并与当组速度地相切一的条空间线曲线（脉染线）：色对同一空间点续染连色形成的后染色线间时线：横对的向续空连间点按等间间隔时进染行形成的色色线联染合时线－脉间：对横向的线隔间间点按等时空间隔进间染行形成的染色色

线体流学研究力

所华

张§.2.13迹线流线与流管、，面与流量

与流线流密切关的，相还流管和流有这面样两概念个。管流是一系列由邻相流线的成围。的过一经有流条穿量的封闭围过的线有所流，如图，经过线围A线BCD A（流非）的各条线线便流围一条流成管。

体力流研学所

究张

华图2-6

流管a）（线组成流管流侧；（b壁）有流量由没管流侧流壁出

流线由围成的流所也正像一根具有管物管壁一实的样一根子管，管的内体不会越过流流管流来出管，的外流也不会体过管越流壁去。

进实录像验：迹、线线、脉间线时流与的线系关

31/80 123/108

XIET

EITX

.12.3迹线与线流，流管、流面与量流

流力体学究所

研张华

2 2 流体.团运微的动分

§ 析22..1 流微团体的基本运动形式

流体

力

学研究所

张华

流面

由是许多相邻流的连成线一个的面，曲这个曲面不定一合成一根流拢管当。流然的管表面也是侧个一流面不管合拢。合拢不流，面是流也动会穿越不一的面个。流量是单时间内位过穿指定面截流体量，的如例过上穿述流管中任意截面S的积流体量Q 、质量流 m量 &和重流量量 G分可别表:为

在理论

力学中，究对象是质研点和体刚它们的，本运动基式可形示表：为• 质点: 动平刚•: 体动，平整体转动的

rr r r r &r= ∫ ∫ (Vρ ⋅n ) dS , G=∫ ∫ρ g( ⋅V n dS) Q =∫ (V∫ ⋅n d) S, m

r 是密ρ，度n 是微面积S的d线向法量其中 V，速度是向量

3，/138034/1 0

EXI

TEXI

2§2.1 流.微体的基本团运形动

式

体力学研流所

究华

张§

.22. 1流微体团基的运本动形式

流体力学

究研所

张

在流体华力中学研，究象对流是体点质和断变不形化与状大的变形体，小就形体变言，而其运动形式包除了括体的刚运形式外，还动变有运动。形形变动运包括两种其，一是引起体积大小变的边长化伸缩线变形运，动二是其引起积形状变体化角变形的动。运此由可变形体的得本基动形运包式括（1：）平；动2（）动；（转）线3形变运动；4）（变形运角动平动变线运动

形动转（角平线转分）动35/18

角变形运

（动平角线分不动

3）/160

8EXI

XEI

.221. 体微团的基流本动运形式

体力学流研究

所张华

2 2.. 1流体微团基本运动形的式

流体力学研究所

华张

便为分于析在，场流中任一平取微面ABC团D析分。根据台劳级数展，开分微四个顶面的点度可速示表下如。

+ v∂ ∆y ∂yv

+v∂v ∂v ∆ x + ∆y ∂ xy

∂（

）1各点速度顶同相的部，为微分的平动团速度u（v,w）,。（）线变形2速率线变形运动是微元指各体边发生伸长缩的

u∂∆ ∂yy

u∂ ∂u∆ x + ∆ ∂xy y

运∂。动线变形率速定义为位单时单间长度位线的形量变如对。于AB长，边微在时段内分长的增边加为量

：u  ∂∂u ∆( A B) =u+ ∆x −u  ∆ t =x∆t∆∂ x ∂ x

∂v

∆x∂ ∂ux + ∆ux∂x

由得到此x 方向线变的速形为率：

θ x

lim=

∆t→

073/80

∆1 AB()∂u =∆t ∆x x∂

83180

/EXT

X§

2 2.1. 流体微的团基运动形本式

理同在 y，方向线的变形速率：为

流

力体研学究所

华张

§ 22..1流体微团基本的动运式形（

）角变3速形率旋转与速角度

流体

学研究力所

张

华

y θ li=

mt∆ 0

∆→ A( C)∂v = t∆∆y y

∂

微在分时内，A段与ABC两交正夹角边变化的与分微面的平变角和转动有关形在。分微时内段，B边的A转角偏度（为时逆为正针：）∂v

  + v∆x− v t∆B B ′

∂x = v ∆t∂θ1 = = x ∆x∂∆x

平微团面面积变的化率：

 ∂v为 u∂   ∆x + ∆x t∆   −∆∆xy ∆ y+ y ∂y∆t  r ∆x∂∆ (B A× C )A  div = lVm i=l mi∆ ∆xy∆ t∆x∆∆ty∆t → 0t ∆0

→CA的偏转边度为（角顺针时为）负

： ∂u ∂v  u ∂∂ v+ x∆∆yt + ∆∆∆xyt ∆  ∂2x ∂y  x∂∂ y∂ ∂u v l=mi + == xθ θy +∆xy∆t∆ x∂ y ∂∆t →03

/1980

θ 2 −=

 ∂u   ∆t u+∂y ∆ y −u CC ′ = − u∂ t∆ −=∆y y ∆∂

y4018/

XITE

EXT

2§2.1 .流体团的微基本动运式形

流

力体研究学所

张华

2.2 1.流体团的微基本运形式动

流体力学研

究所

华张

平

微面团角的总变夹量可化解为分像刚一体角平样分的线动转分和角平分部线不两边相对动偏转同大样小角度纯的角变部形。如图分所：示在微设分时段内，面平团角微分线转平角度动为，α线的边纯变形量为β角则，几由何系可关得

：定义平面

团微的转旋速角度单位（时的旋间角转度）为：

z =iml

∆t

∆

t0→

1  ∂v ∂

u =  −  2∂ ∂yx

上定述义实是质平面团微上相两互直线垂旋转速角的平度均值即，平角分线的旋转角速度

。

1 = θ +αβ

出解可得

：θ

2 = α β

−

义定面平团微的角形速变（单率时间位单角边形量变）：为

α=

θ1

+θ 2 2

θ= 1 −θ

214/80

1γ

z = l mi

∆t

→ 0

1 ∂v ∂u  =  + 2 x∂ y∂

42/80

1上

述定实义质是面平团微上单位间内时角变化直量平的均值或边垂单相对线角于分线的转平。角

XIE

§I2 ..2 1流体团的微基运本形式动

流力体研学究所

张

华

.22. 流1微体的团基运动形本

式微角变团速率形（剪变形切速）：率+

γ = x   2 ∂ ∂z y 1  ∂w v ∂

流

力体研究学所

张

华对

三于六面体微团而维，言运其动形同样可式为分：动平转动和变、形动运类，似面微团平容很易出导相关公式。处不此再导，推下以直接给。出微平团动速：度

( x, y z, ,t) ,v (x, y z, , )t w(,x , y, , t )z

=y

1∂u ∂ w + 2 ∂z x∂ u∂

 + γz=  2 ∂ x∂y 

 v

∂微团

变线形率速

∂u： ,∂ xv∂θ = y ,y∂ ∂wθ z ∂z=

流体团旋转微角度速

：

ωx=  −   2∂ ∂yz

 ∂w

v∂

ωy=

1

 u ∂∂w − 2 ∂z ∂ x∂ u 

44180

/ωz=  − 2  x∂∂y



4/180

31 

∂

EvXT

EXIIT

2§..22 体流微团速度解分理

定体力学流究所

研张华

2..22流体团微速度分定解理将相

点邻速分度台劳展开：量

体力学研究所流

张华

国德理学家物 Hemhlltzo18（121-84）1858年提9出的流场度速的解分理，正定确分了区流体微团运的动形式。在设流场中，考虑相微距量任意的点两M 0 M和1，

M在0 ( , yx z ,,t ) 速度为：

u( x, y, , tz) ( xv, , yz, t ) ( w, x y , ,z t)

(u + ∆x, xy ∆y, +z+ ∆ z t) =,u (,xy ,z ,t )+

∂

u (∆)x + u∂ ∆y()+ ∂ u(∆ z )x ∂y∂∂

右侧z按变形率可及角度的形速改写式：

为

Mu1 =u M0

+u∂ v∂ u ∂   (∆+y) (∆ x)+ 1 x ∂ 2∂y x 

∂在 1(xM + ∆x ,y +y∆ , + zz∆t), 点处，速度为： u (

x ∆+x, y+ y, z ∆ ∆z ,+ t) (v x+ x∆ y,+ ∆, yz ∆+,z t) ( wx+ ∆,x y+ ∆, yz+ z∆ , t)45

1/80

1 ∂ u∂w 1∂u ∂w   + +(z ∆) + − (∆z ) 2 ∂z ∂ x 2 z∂ ∂ x1 

∂ ∂vu −  − ∆y() 2  x ∂y ∂

46/180

XITE

EXI

§ 2.T2. 2体微团速流分度定理解

流体力学

究研所

华

§张2 2.. 2体流团速度微解定分理

流

体学力研所

究

张

华u1 M= u0 + θ xM ∆x( + )γ z(∆ )y +γ y(z∆) + ω (∆y ) z− zω (y∆) 同

理：

1 = Mv M 0 θ y +∆( y + ) xγ (z∆) + zγ ∆(x) + ωz (∆x −)ωx ∆( )z

＝微

运动团平动

＋

＋角

形变

＋

角速度

（转动

）线

形变拉伸）（

1=wM 0 θ+ z(z ∆)+ γy(∆x +)γ (∆y)x+ ωx (∆ y ) −ωy( x)∆

应

指该，实际出流体团微的动可运以是一或种种几动的组合运。：如 1（对）于均速线运动，直体微团只流有动，无平动转和变运形动

。式第一项各和M点速度0同是相团微整体移的动度。第二速项是线形率变第三，四、项角变形是率第；五六项、是速度。角说明，微运动团含移动包，动转和形变。 47/180

（2

）旋无流动流，微团存在平体、动变形运，但动无转。动（3旋转容器内的流）运体，流体动微存在团动转但无平动，无变形、运动。4

/180

EIIT

.2.22 流体微速团分解度定

刚理体与流微体团速的度分解定理重的要别:差

体力学研究所

流

张

§ 2.华23 .散度其意及

义流力体学究所

研

张

•华刚体解为分动平与转动；体除平动流与动转之外有还线变形与变形角• 刚速体分度解定理是体性定整，理对整刚个体都立成刚体，的速角在度体上任刚意点一不变都；流而速体度分解理定局是性部理，定是只对体流团成立，微在同不处点团微的转角速度可旋能不。

同三个方向

的变线率之形在和量分向中析称为速向度r r 量 V 的散度符，号 di为Vv，即r

∂u v∂ ∂ widV = v++ x ∂y∂ z∂

度在散动流题问的中义意微是团相对体积膨胀率（的单体位积单位在间时的内长增）量。说明此为点取一可简单矩的微形元六面体来看设，六面的体三边原长别是

分

Δx, yΔ Δ,，原z体积是来Δx（ΔΔy），z过经Δt时间三后个边分别长为：

变9/418 500/810

换

言，刚之体点一质无般旋转角速概念，度而体质点流则能可旋有转速度角

。EXT

XIT

22.. 3度散其及意

义∂ u ∂ u∆ → xx + ∆x∆t∆= 1 + ∆t x∆ x  ∂∂ x



流体力学究研所

张华

22..3散及其意度

义

流体学力究所研

张

华

可以证明何形任微团状的对体积膨相率胀均为式。上



∂ v∂v ∆y →∆ y+ ∆y∆t=  1+ y∂ ∆  t∆ ∂yy

∆z →∆ +z

∂w

 w  ∆∂∆zt = + ∆t1 z∆ ∂z  ∂ z

流体团微运在动不论中它形的状么变怎体积怎，变，么的它质量总是不变的而。量质于体等乘积密，度所以密度在不变不可的流里压，其度的散速必为度零：

则对相积体膨胀（率单位积体单在位间时内的增长）量：为

∂u  v∂  w ∂  1 t ∆∆ − ∆xz∆yz∆  1+ ∆ t∆1x + ∆ t ∆y1  +x∆∆∆z∆t y∂x   ∂  y z∂  

u ∂v ∂∂ +w+ =0 diV =v x ∂∂ yz

∂果是如密有度化变流动，的那么度一般散不地于等零。51/1

805 2/81

0略

次高后＝

项u∂ v∂∂w ++ ∂ x∂ y∂z E

EXTI

§ 2

..2 旋度和速度势4数函r

体力学流究研所

华张

2§..2 4旋和速度势函数

度流

力体学究研所

张华

微的瞬团时速角度ω 是上述三个向方角度速分量 r之 r1 1 ∇ × ，称和，这V个在值向量分里析为记rtoV 或 r， 22为 V 的度旋

：这样

的分在划理作研究论有很大时意的。义无流旋多了 r 一个 ω = 的0条件这。个条就件：

r是 r1 rr r r rot1V =∇ × V ω== xω i + y ω +j ωz 2 k

2= ∇∂ ∂ rr ∂ r+ij+ k ∂x∂ ∂zyωz

yωx = ,0ω y =0 ,ω z= 0

yω

ω x

xu ∂∂ = ;v∂ y∂x

∂

∂wv = ;∂z ∂y

∂

w∂u= x ∂z

∂

个流场，如一各处的

果r

本上基不于零等这种，流

场在数

分析里学，上式是

式

称有旋为流，其流场称为有动流旋。一流个场如果，各r 处的 ω等于零都，这种场流称无为旋场，流流动称其无旋流。

3/5801

dx +uv yd +wdz

成全微为分必的要和分充条

件4/1805

EXIT

§ 2

.24.旋度和速度势函

数

流体力研学究所

张华

2§2..4 旋和速度度势函

数

流体力学究所研

华张

现在既

无是流，旋们我令 d可代φ表个全这分微

：φ = udxd v+y + wdzd

个一旋流无一旦场知了它的速道度势函 φ数( x ,y ,z 的)体函具，按这数个式就可以子算流出上场任一何的点速来。流速势度数的绝对值函有没太大义意但其值差有意义对于无旋。存流在度位速，φ则沿条连一A、B两接点曲的线行进度的线积分速结只与果二端点φ的值之有差而与

关

积分径路关：无

Svs x

55/180u56 /810

φ= φ(x ,y,z 名为)速位度或称(位)函势，为数标量；

,,wv与的φ系是关：

；

∂

∂φ φ∂ uφ ,=v =, = wx ∂z ∂∂

y就这是，速说度函势在数某方个向偏的数导便等于度速在那y个方向分的，例如量

v s =： u cos x( ,s) +vcos( y , )s +w co( z ,s )s = ∂φdx ∂φd y∂ φ d ∂z φ++ =∂ x d s∂y d ∂s zsd∂s

v V

∫ ud(x +vy d +dw) =z∫ dφ φ

= AA

−

φA

wXIE

TEX

I 2§.24. 度旋和度速函势数例

.有一个设维流二场其速度布是分u= a2x,

体力流研学究

所华张

§ 22.. 旋4度和速度势数

2函. 求φ：

流

体力学研所

张华究

v =2−y ,a问

个流动是有这旋还是无旋的？的有有速没度存势？流线在方程是什么微？元何变如？形解: .1计算 z：

ωdφ

= a2dxx− 2 yay

d积

分得

：u ∂ =0,∂

y∂v

=0 x

φ∂ a=( x 2− y2 ) 此处积（分常取数零为） 3.

流线求由流线方：

程∴

ωz = 0可

流动见是旋的，应该无有度速函势φ数在。

存751/80

d xdy= u

dxv d y =ax − 22y

a58/810

XIT

EXTI

§ 22..4 度旋速和度函势

积数得

分

体力流研学所

究张

华§2 ..42旋和速度度势函数

流体力学

研所究

张

华yx= C

考察矩

微形A团BC，D在图如流中场从左上将方向右下方流，由流动无于微旋不转动团x方；向段线拉有，y伸方线段缩向；尽管微团有线短变，形但团微角无变形；此由外散度为于，流动零过中矩程微形团积保面持变。不y

B A

常

C取数系一的值列，流得线是系一双列线。曲4 .变形线：由率

θx =

∂u∂x

及θ =y

∂

v 得：，∂y

=x2 a,

5. 变角率：形γ z = ( 6 散.：度

y =− a

B’2 C 0 ’A’ D’B ’’C ’ ’’’AD’

’

1∂ ∂uv+ )= 20∂ ∂x

iv V=θ x+ yθ =

09/5810

需指出，一要般并不先是有速度后了φ，求而是恰恰相反先，求φ出然后再，定确度速分布。的6

0/10

8EX

ITX

§2 3.理流体运动微想方程组分

.231.连续程方

流体

力研学究所

华

§张 23.1.连方续

假程六面设微元制体控的三边宽度为d：x,y,ddz中心坐点标为x：，yz，中心三点个分速：，uv，w 心中点密度ρ： t瞬时过通直于垂轴x位单面积的流体流为ρ量u, 称流;

z y

密B A

体力学流究所研

张华

’ BA C ’C ’’

续方连是质程守量恒定律流体在力学具体中表达形。式由连于方续仅是运程的动行，与为力无关，因此受既适用理想流于体适也用于粘性流体。以下针对一个微分元（）面体推六导分形式微的连续程方现在流场中。划一个边长分别为定d，dx，dy 的z矩形六体，面这体的个间位置相空于坐对系是固标的定，随不时变间，化流被体通过所，们我称为控制体之如下图

将

密流一当标

个

量看，则面中各的点流密可由心点台劳级数中开展达表。 dt 时在段内从，ACBD进面的流入体量为质

：∂ ( ρu )dx  1 = m ρ u  d−dydtz∂x 2 

6/180 16/2810

EIX

ETIXT

§ 2..13 连方续

程d在时t内段，从’AB’CD’’面出的流体流量质为：∂ (

ρu ) xd  2m=  ρu + dyzdd t∂x 2

流

力学研究所

体张

华

§ .32. 1续方程

流连力学研体所

究张

华理同可，得在d t时段内，由y, 方z向流入微净分六体的面流质量为：体

在td时段内，方向净流入x分微面体六的流质体为量：∆

xm m1= − 2 m∂ ( ρu ) xd  ∂ (ρu )xd  = ρ − u ydzdtd −  ρ +u d dzdy ∂x t  2∂x 2  ∂ ρu () −= xdyddzd ∂t

x3/168

0 (∂ ρ)vd xydddtz∂ ∂y( wρ)∆m z = − xddyddz tz ∂此由得可在 dt，时段由所内有侧流面到入分微六面体净的流总质量体：为 m ∆y −=

∆m = m∆x + m∆ y ∆+ zm ∂( ρu )∂ ( v)ρ ∂( wρ) = − + +ddxdyztd y ∂z∂  ∂ x

4/10

XEIT

T§2 3.1. 续方程

度连变化起微引六面体质量分增加量为的：

流体

学力究所研

张华

§2.3.1 续连方程程，即：

∂

ρ ∂( ρu ) (∂ ρv ) ( ρw∂) ++ +0=∂t ∂x ∂y∂z

体流力学究研

所

华

由于张是空间ρ置和位间时的函，数在td 段内时由于，密

上式边同除以两ddxdyzd，t整理得微分形式的连续到方

ρ∂ ρ∂ dt ddyxzd − dxdρdy z=dxd ydzdt m∆t = ρ +t∂  t ∂ 

据根质量恒守律定在 d， t段时从内面净流侧微分六面入的总质体量，等应于六面体流内体量因质密度时随变间化的引起增：

量∆m= ∆mt  ∂ ρ(u ) ∂ ρv ) ∂ ( ρ(w ) ∂ 即ρ：−  xddydztd= dx dyzdt + + d∂ ∂t ∂zy   ∂x

65/108

r ∂

ρ + • ( ∇Vρ) = 0∂ t ∂u ∂v∂w  ∂ρ ∂ρ ∂ρ ρ∂ = 0 ++ +u v++w + ρ ∂ t∂ xy∂∂ z ∂ x∂ ∂yz r ∂ρ r +V •∇ρ+ ρ∇ • V 0= ∂ rtD + ρρ ∇•V =0 D

t66/80

XIET

EITX

§2.3 .1连续程

流体力学方研所究

张华

2. .13 连续方

程续方程连

Dρ r+ ∇•V = ρDt

0流体力

研究所

学华张

连续程方 ρ ∂+∇ • ( ρV ) = 0物的理义意是流：微体控制元∂t ∂

的物意义是：理体流微的元对密相

度体密

的局度部长增 ∂t 与率微控制体元单体位流出的积质流量量∇ • ( ρ V)之等于零。和r

∇• ( ρV) 等于微控制元体上单体积流位的出质流量量

增

加率相与体对膨胀率之和积为。零对于可压缩不流，体连方续程为变：

的

原因在，因为于高斯有公式

：r∇ •( Vρ ) =lmi

r ∫∫ρV(• )dsn

D = ρ0 Dt,

r • ∇ V= ,

0∂

u∂ ∂w +v +=0 ∂ x y ∂∂z

τ0→

r显（然当度密不时变，可

将散度 diVv =∇ V •看成单位

体积流的体积出量流

67/）81

可不压续连方程 ∇ •V = 0物的理意义：是可不压流动流缩体微的相对元积膨胀率体保为零，持或从微控元制流体出的单位体流积量为零。68

/18

EXIT

2..3 1连续程方

连方程是流动首先续应该满足基本关的系。例，如度场速

： u=x + ,yv = x − ,

yw=0

流

体学力研所究

华张

2.3.§ 1续方连

程

体力学流究研所

华张

：设例不压可缩体流在 xoy平面内流动速度， x 沿方轴的向分量 =Au (A x常为)数求，度速 y在轴方向的量分。解v对：不于压可缩流动密度的随体，数导形连续方式：程D

=0 Dρt

微分由

满不足可连压续程方，够代能一个表维不可压三流缩动。而度场：速

u= ,xv = −y , w =

zu∂∂v + = ∂0 x∂

yu∂∂A ∂xv −= −== −A ∂ ∂xy∂

x则能够不代一表三个维不可缩压流动。此，还可外根以某方据的向速度分布连和方程续确，定出其方向的他速度分。布6

9/180

7018/0

EXIT

XEIT

2§3..1 续方程连

流体学研力究

张华

所§

.23.1连方程续

可压、均不与值密为度数的常关系这几个*念之概是有间差的别不可压

D ρ=0Dt

流

体力研学究

张所

华 v= ∫ A−y + fd( x ) −=A y+ f ( x)如

流果动定常非，式中上数函fx)( 则应为 f(x，)t而函数 f(。) 的式形可取。任因此有无v穷多解个。果如设在 vx轴上的布为0 分即 (fx)＝ 0，则：

指的是每个质点密度在的动过流程不变，中但是个

这流体质点

那个和流体点的质度可密不同，以即流体可以非是均的，值因不可压缩流此体的度并密不一处处定都是数，例如常常变定密度行流动：平均而值定义的▽是ρ＝0即密度，空在上处间处均，但匀不能证随保时间变不，▽是化哈密顿子算 ∇：

∂= ∂ rr ∂r +i +jk ∂z∂y ∂x

−=Ay 71

180/

只既为不可压有流缩，同时又体均值是密度才时处都处是同常数：由一Dρ 可压：不= ，均值： 0▽＝0ρ，而从 ∂有ρ= 0 ，于是＝cρ即密，度不随时既间变化也有迁没移化变。反过，ρ来c 的流＝必体然满不足压可条件

EXIT

∂t

D ρ=0 ，不可压流是体 D。t

/18

EXIT0

§ 2.3.2

ulEre动运分微程组方

流

力学体究研所

张华

§.23.2Eu ler运动分微程方组

体流力研学所究

张华

欧拉动微分方运程组是在计不体粘性流前提推下导出来的，该方程质实上是微分式形的量方动。程流场中在出一划三块边分别的为dxdy，，dz微的元矩六形面体的流体来看不计，性粘力，面力就表没切向力，有仅只向法力压（）一力，而种彻体力可以有的是

d。x zyd ydz x

假： y 设六体体面：d积=dτxyddz 中点心坐标：x ,y ,z ∂ dxpdy p 中−点心速

度：u ,v ,w∂ 2x · PuD w dz Dv 中D心点速度：加, , d Dtx D Dt 中t心点强压：p z中心密点度ρ：中点心沿处三个方向单位质的彻量力体：fx ,f y, f

zp+

∂ pdx∂x 2

微元六面

的表面力可以体中心用处压强的点一台阶展劳开表示如,图为 x向方体彻力其，方他向理同得可。7

31/807 4/801

EXIT

§X2 ..3 Eu2erl动运分微程方组

流力学研究所体

张华

§ 2.3.2

Euer运动l微方分程

的表组达，

得f −x

流

力体研学所究

张华

由于没有应剪力，且其他面并上压的力在 x方均向投无影，从x方而的向表面力为：

p∂ ∂ dx p∂p d x  p− ddyz−  p + dydz  =− ddyxz ∂x d  2∂x 2 ∂x 

两同边除微元体以积 dxydd，z令其于零，趋并入代速度加

∂p

ρ ∂

∂

∂uu∂ uu∂+ u+ v +w∂ tx ∂∂y z∂

x 方

的向彻力体：为

xρdx ydzd

据牛顿根定：律x 方向外力等于合量质乘x方以向加速度，得

1∂p v∂ ∂ vv∂∂v 同理以可写出y fy − = +u +v +w yρt x y∂z ∂ ∂∂ ∂ 和 z方向的表达：

f z −1∂p = ∂ w∂w ∂ ∂w +u +vw +w z ∂t ∂x∂∂ y

p∂Du − dxdy z + f d xρdxydz = d( ρxddyz d ∂x)D t

5/781

ρ0 ∂z

这就

笛是卡坐尔系下理想标流体欧的方程拉

。76180/

IXT

XTI

.23. E2lure运微分方程组

欧动拉方的向程形式量为

r： r D1Vf −∇ p ρ =Dt

流

力学体研所究

张华

2. 32 .ulEe运r动微分方程

流组体学力究所研

张

华理流欧拉想程还方以可另一有表种达形式。加速度把的迁移部改写分下一，把速角度成配显：式

uu∂ ∂ uu∂∂u ∂v ∂ ∂wu ∂w ∂v∂u v+ +w =(u v ++ w) − v (− ) + w ( −) ∂x ∂y∂ ∂z x∂ xx∂∂x y∂∂z ∂x =∂ V 2    − 2(v ω z w− ω y ∂) x  2 

欧方拉程定规理想了流的强压变与化度变化和彻体速之力间关系的。我不们妨速把度的变化彻和力体的在看存作是压之强以所变化的原因有，两个这使压起强变化的因素彼是此立独，的对压于的强作是用开来分计的算。对于如图的维理一想动，流利用顿定牛很律易容证s 明一流欧拉方维程为：

中 V 是合式，另两速个迁加速度也可移以改类似的式为：子

u v∂ ∂ ∂vv∂ V2 +v + w=  − 2 wω (x −u ω z ∂) ∂yx ∂z∂ y  

f2 s−

∂p1

∂

∂V V∂+ ∂V t∂

s77/108

uEX

w∂ ∂w w ∂∂ V 2  +v w+=   −2(ω y − vuω x) ∂x ∂ ∂zy∂ z 2

78180

/EIXT

2 3.2 .uleE运r微分方程组动

流力学研体究所

张华

2 3.. Be3noulril分方积及其程理物义意该方的程量形向式为：r r

1D ∇Vp= f ρ−Dt

流体

学研究力

所

张

华如下得形的理式流欧拉方想程称为“罗米格－兰姆方程”：

柯 1∂ p∂u ∂ V 2 = ( + − )(2vω −z ωy w f)x− ρ ∂x ∂t∂ x 2  ∂p1 v ∂ V∂ 2 = + ( )− 2(wω − xωzu) fy − ρ y∂ ∂ ∂ty 2 1 ∂p ∂w ∂V 2 = + )( −(uωy2 vωx− ) f z− ρ ∂ z t∂ ∂ 2z

该形好式是处在方程中显示旋转角速了，便度分析无于流旋动

7。/981

其中：VD

rr r r∂V rr ∂VV2 + V( •)V ∇= ∇+( −)2V × ω∂ 2 ∂tt

设假流体正压为流(体压强只密是单值度函)数

:Π 设

= ∫ρ dp, 有

则1

Π∇=

p∇

假设

量力有质势：设假流动定常：

EXI

rf =−∇ Ω r∂ V 0= t

8∂/0108

XET

§I 23.. 3Breoullni积分程及其物理意方义从格而米罗柯方程变：

流为力学研究体所

张华

2 3.3 .Brneoulli分积方程其物及理义意

流体学力究研所

华张

V2  rr∇ Ω +∇ Π+ ∇  =V × 2ω()  2 

理想、在常、正压、彻体定力有和不势可压条缩下件格罗，米方程可柯为写

：1

或

：

∇

Ω+

 V 2 r r  =V (×2 ω ∇) +p∇  

2ρ

r r∇ p 0= V × 2( ω)

∇ 0

p Vr

在不可条压件下式还上写可：为

1 ∇ ( ρΩ+ p +

这

方程个深反刻了总映梯度压速度与量向和涡量之向的关间。其系中总压

ρV

rr )= V× ( 2 )

p0 = pω+ ρ Ω+

V 2 ρ, 重力在下场 = gy 2Ω

1 2

令 p = 0 + ρΩ p+ ρV，为称压，总则： 2

上

式明在所给条说件，下压总梯与度线流和线均垂直涡

81，1/0

8总或沿流线和压线不涡变如上图所示。

。

82/180

I 2§..3 3Benroulli分方积程其及理意义物即流线或沿沿涡线有：

流体力研学所

张华

§究 23.3.B ernoulli分方积程及物其理意

义rr 对于罗格柯方米：程 ∇ ( +Ω Π + V) 2V=×

体流学力研究所

张

华 10p= p+ Ω +ρ Vρ 2 c=not 沿流s或线涡线沿2 r r 1 此在外以三下个条件总下压度等梯零：于∇ 0p= ×V (2 ) ω=0 ρ r (a )止流静:场 V 0

在现场流中任取，条光一滑曲线d ，S将并上投式影曲到 r 线上（点乘即曲该切线线单的位量向 ds /d ），s可得：r

r ∂  Vr2   Ω+ +Π d = sV2× ω ⋅ds ∂  s 2 

b)(无旋场流，势流动有:ω =

(c0) 流与线线重涡，即螺合旋动流 :V //

r r r果上如右边式为项零 : × ωV⋅ d s=0

说明在

上三述个条下总件在压个流场保持不整：

p变 0 p=+ ρ Ω+ ρV 2 = co1nts全流场2

83/180

则可

曲在线有上

：V

2 ∂ = 0 + ΩΠ + 2 ∂ s  ΩΠ+ V2+= C ( ) 2

84/s81

上0述个二式就公是伯努利方或伯程努利积分

。这就

B是renuloli积（分7183年，）或努伯利方程。

XEIT

EXI

T 2§3..3B eroulnil分方程及其物积理意义

流体

力研究所

学张华

2. .3 3Breounll积分i程及其物理方

意义

流

体学力究研所

华张

Ber

noulil分积立成条的是:件r r V r× ω⋅ ds= 0（）沿1任着意条一流，Bern线uloil积成分立这是。因，为此情况下:在 r r r rr rr r sd // VV × ⊥ωV V × ω ⋅d s= 0 2（）沿着意一条涡任线B，rnoelul积分成立。 i是这因，为此情在况: r下r rr r rr rds //ω V ×ω ⊥ω V× ω ⋅ s d=0

58/801

（3）在

下以条件下B，enourlli分与积所的曲取无关，在整线个场流积中分常数变不，等同于个一数常 (a)。静止流: 场 =V0

r (r)c流线涡与线重，即螺旋流动合 V :/ / ω rr 可：得 V × = 0ω从

：而即: ∇

(Ω+ Π+ V 2＝) 0

2681/80

r(b)无旋流场，有势流动 ω: =

Ω+Π+

EXIT

V 2 =C (流全)场2

EXI

2.33 .erBonulli分方积及程物理其义

意流

力体研学究

张所

华 2.3§3.B ernouli积l分程及其物方意义理

流体

学力究研

张所

华对于

不可压流体缩

:Π∫=

ρdp

在

计不体彻力情况下的(如例力重函数 Ω势 =g y ，气空时近似计不重力，) Brneolli积u变分:

p+为1 ρ V2= C

1如

质量力只果有重力

:Ω= gy

erBnoulli积变为分:

g +y

伯利努程方项具各能有量的量纲例，如2 Vρ2代表单位 ρy g表单代体位质积量体的势流能 p，代体积流体的动能

，2V C =

ρ+

单位表积体体流的压势力能

。2伯努利程方p + gρy+ ρV C

在不计质力情量下，B况ernolul积i分为变

pρ

V= C

278/810

21 2

物的意义理：沿一维流

是

流线的动体、能势及压能能可互转相换，但总量保持能不变。

88/108

IXT

2§.3. 3Brenuloi积分l方及其程理物义意

流力学体究研

所张华

§.2.3 3ernBollui分方积程其物及意理义

体流力研究学

所张

华

如

将一维果流的伯努方利程写高成度量的，并且应用于纲力不重能略忽的液体，可下式用及图下表示一维伯流努利方的程何意义：几y

p V+2 (H= ) 2gs

从

→1有：2y1 +

gρ

V+ p 1V= 2 y 2++ 2 , g ρg22

g水头总线

：或 H1 =H = H2

21 Vg

2静

力头水

线

2V g2

γH

1y1

γ1

Hy：

代所论表体流质点高的称度为度高水头p /γ: 表代论流所沿真空体管升上高的度称压为水力，上2项头合

静称力水

头V/22g :代表所论流体直上抛垂能所到达度高称为速度，水头H 代:表一维流管静沿力头与速水水度头之，和总水称。

头981/80

表

明：理想定常、不可压、重力场中、沿，一流管的高维水头度压、力头和速度水水可以互相头转，总水化保头不持变（注意力静学中静水力头线水为平）线。此上述外关系常用水力于学中因，空为动气力学中忽常略空势能气的贡。 9献01/0

E8ITX

§2 .34.Be rnoull方i程用应

流力体学究研

所张

华§

2. .43 Brenulloi方程应用

流体

学力研究所

张华

努伯利程的实方际子例：

例

.求图光如滑器容中孔小的流出度速V，假小孔中设距自心由面为深h假设不。粘计性损失。.解小孔出流流，可假设为动定常沿如图线流伯列利方努程

：g +h a

pp haV a

收缩渠道其及压管结测

构

收使流速增缩加，而流速加处压增降低强(由渠于道下游上高度同相故静，压的高管直度反接静压头映)9

1/180

+0ρ= 0

pa+

而：

V 从=2 gh

9/180

XEI

XIE

2.§3.4B enrollui程应方用

体流学力究研

所华

张§

2 ..34 Bernollui程方应用

流体力学

研所究

张华

测

量速低气的速流用的风速管度就根据是述上原理计设并由上式去算风计的速风。管的速造很构单简，下图见：

,p Vp0

例

.海平面在，直上匀流流一过机翼，远前方直个流的匀静压pp∞＝1＝1200牛0/米，2速=流100米/秒。已知，BAC，三点速的度分是V别=0A，BV =501/米秒V，C=05米/，秒空在气海平面的ρ=12.55千/克3米。假设动流旋，无求AB、、 C点的三强。

p+压

Vρ 2

=2 p

0气氢泡显的来示在流风管速头部滞止情况

速风的管构

结速度

V用努伯方程利算计：

=2( p0 − p) / ρ

93 180/

直

流匀机对翼的流

绕941/08

EIT

§ X23..4 Benrollu方i应程

用

流体力学研究所

张华

2.34 B.ernoluil方程用

应流体力研究所

张学

华: 解流无动旋，伯努利常全流场数通。由远前方条用件得：p

=010120 +0 .122 × 51(00 2 ) =017352牛/ 2米

例有一:种维二绕其的定固轴线旋的流动，转其V 正比θ半径于 r即Vθ=，k，如r图。试伯证利努常 C数是 r 的函。证: 数先沿着流线写出努利方程伯

= C+

于p是

： pA= 0p− p B p0= −C =pp0 −

ρ ρ

AV2= 17025牛 3 米 / V22 B =07132 −5 06125. ×2205 0 =9832牛5 /米2 V 1=0732 −51 513 =105 947牛 / 米

C22

θ种旋转一动流

对2径取导半：

∂V数θ∂ ∂ p C+ Vθ ρ=∂r ∂ r∂r95

/180

6/1809

TXIT

§2 .34. Beronull方i应程

用流体学力研所究

张

华

§ 2.

3. 4Benruolil方应用程

流体

力研学所

张华

由于究法压力差向必须平微衡的离心团力故，

∂p有V2 ρ θ=∂r r

P d∂r r∂

Vθkr=的速度分布就像刚转动一样，可以体证这个流明是动旋有流（=kω）这个结果，说在明有流旋场上伯努利常数，流跨线要是的变。

上式

及θV =r 代k入

∂

Cr∂

得：

C∂ = 2ρ 2k ∂rr

一

旋种流动

转此C是因r的函数

9。71/8

涡0量显表示角等速旋度转器容中流的是动旋有

E的XI

等速角旋转容器中的度流是有旋的动跨，线总能量改流变98

/801

EXIT

2.34.B enourlli方程应

用流

力体研究所学

张

华

2§3.4 B.rneuolil程方应用旋涡可以分像刚体为样一动转的涡

θV＝ r

流体ω学研究所

力张

华果如速度是：

v场

θ= K

θVk＝ r/

容易明证量方程能积分的数对常个整流场不变

∂C： p∂∂v = + ρ θvθ = ∂r0 ∂r∂r

核

被涡和诱导核的速场，度从涡旋至外核中涡，压心是强路一降的低旋涡，的度分速布压与分力布关系如图：的

该流场

际实上是个一无（无旋）涡流，场努伯利方程积常数分不。因变：为v

θ =Kr = −Ku yx 2 +y 2v = K x2x+ 2y涡

内为核旋流有跨流线不满足伯，努涡核外无为流旋，流跨也线满伯努足利利方，沿径程速度越向压力越大方程，从而大沿径速度向越小力压大

越99/80

ωz1= 

1 v ∂u  ∂K  2y −2 y2x − x 2 = −2 2 2 0= − 22 2   2 ∂ xy∂  2(x + y ) (x +y)  

边的例右子同还时说明，转弯的了流体一不必定是然有旋

流

10/081

ITX

§ 2

..34Berno uli方l程应

用

体力学流究研所

张

华

.42流体动运的分积程

方流体力学研

究

所张

有旋流时华跨线伯努流利数常（总能）量发改生的变其例子：他

§ 2

4.1 基.概本念流体动学是力研产究流生体动的原因运。为，我此们必解决三个方须的问题：（面1）体的流运学动问题如（前）述；（）2用作于体流各种力的特上（如前征述；）3（控制流体）动的运普规遍；流体动力学律本方基程是将就经典顿牛力学述描质物运动的普遍律规，用于流体应运动的理物现中，象而从到联系得体运动流物理各之间的关系式量

。01/1108 10/1820

行渠道中平流动由于的在向法在速存度梯度而是因有的，说明有旋流不旋定要一弯转

行渠平中道股两速度同的流动是不有的旋，跨流线能量改总

变V 2g2

上右图

，中静压管的总构及结总其、静压和动压之间的压关如系图所右示：压静的管高表示度力静水头p/+γy 总,管压的度高表总示水头 0 /γ,p二者差之为压动头2/V2

EXIT

EIXT

2.4.1 基概念本、系统1Sy(stm)

流体e学研究力所

华张

§2.4 1 基.概本 2念、制体控C（onrtolV lumoe）

流体力学研究所

张

华

义：定统是指系含包确着定不变质物的任集何合体，为称系。统流在体学中力，统系是指由何任 y确定流质点体成的组团。体t ’

t系统的本特点：基（1系统边）界流随体一运动起；z （）2在系的边统上界有没量的交质；（3换）在系的边界上统到外受的界面力表； 4（）在系统边的上界存能量在交换。 x

定义的：被流体所流过相对，某个于标系坐而，固定不言的任何体积变称为控体制控制。的边界，称体为控面制。控体制是不变，的占据控但体制流体质的点随间时变是的化控。体的制形状根据可要而需。定 y

103x/108

01/480

E1IX

XTI

.4.1 2本基念概控制体的基

本特点

:流力学体究研

所

张

§ 华.422 .Largnag型e分方积程

流

力学体研究所

华

针对张质 m量定确封的系闭τ，统述上本物基定理可以律分别表为：

述1）（量质程方：

（

）1控体的边界制相于坐标对而系是固定言；的 2（）控在面上制以可发质生交换，即流体量以可进、流出流制控面；3（在）制面控上到受外作用界于制体内流体控的上力；（）在控4面制上在能量的交换存。

m c(常数= )

,或：

d m =ρ τd= 0 dtdt ∫ ∫ τ∫

表

示：统τ 系的质中 m 不随时间变量化。（ 2）动方程：量

ΣF =

d K dt

或： , ΣF=

d Vρτ dt d∫∫∫τ

表示：系统外受界作的合外用力等于系统的动对量时的间变化。

1率5/180 006/181

0EXIT

§2.4. 2L agraneg型积方分程（3）动

量方程

Σ r矩i Fi ×=r dM r ,t

体力学流研所究

张华

§2 ..42Lagran eg型积方程分

流体

学力究所

张华研

上

述积分方程称拉为朗格型日积分方程，特点是其研：或

：Σ ri ×F i= d r ρ V×dτ d ∫∫∫t

τ示：外表界作于系统上用所外力对有某点力矩和等于之系对同统一的点动量矩对间的时变率。化（）能4方量程&

W &+ d= , EQ d t或: V 2&+W &= d Q (ρ +u )dτdt ∫ ∫∫ 2τ

究

对象质量确定的封是闭系τ统，程中均方含封有系闭中统某理物对量时间变的率化由。流于系体统τ 的小和形大状随时间而改均，长时变追踪系间有统难。困此外确切表达要统系物中理随时量间变化率的也不容。易有许流体多学问题往力往只心关体物近附定区确内域速的度、作力等，用并关不心具体体流统的系时间历，拉程格日型朗程对方分于析、研究场来说并流不便方因，实用此是的以制体控为究研对象的Euer型l积方分。程

示：表单位间内由外时传入系统的界量热与Q界外系统对之和&于等系统该总的量能E对时的变间化。所率的做 W 其功中端括号内右单为质位量体所含内能和动能流。107/

08/1810

XIE

EXITT

24.3 Reyno.ds输运l程方流

力学研究所体华张

§2.4 3 .Renoyld输运方s程流体

力学研所究张华

对

系于τ中统物理量N的假设每单，质位量所谓控体制分析方法，是要把上就述用适于流体系统的各物理律定用于控关体的制述描法表方达来，而出系连着统分析方系法和制体控法方间之的梁就桥是诺输运雷方程下。面们我察如何考系统中将的物理量N 可（以质是、动量量动、量矩、量等等能理量物）随 Nd时间的化率变，用于关制体控的描述法表方达出来

d。t

含有物中量为σ：理

σ=

d = Nm ρdd

τ系则统中的物理量τN可用下以述体积（三分重积）分表示，其τ是系统占据的空中：

N =间 ∫∫∫σρτ

d显

，当然 σ =1

时，Nm =表代统系质的；量r r 当σ= V 时N，= 代K表系统动量的； rr r 当 σ = r V× 时， N M r =表代系的统量矩；动 2 σ 当 = u V+时， N E=代表系统的能量

。109/108

EXIT

110/180

§T2 .4.3R ynoelds运方程输

体流力学研究所张华

§ .2.4 3Ryenldo输s方程

流体运力学究研所张

设华时刻系统t位于如位置（图虚）线，t+t Δ时刻系运统动了新到位（置线实，在这）过程系中中统的理量物N随时间的化率变以可写：

为+ NB ,t + t ∆−N B, t − N , C t NN− Nt d N=li Am t +,∆ t l=imt +∆t∆t td→ 0 t∆dt td→ 0

注意到当t 趋0于，时系统动而未动将，好刚于虚处线表示的空间中将，个这间设为空制体控τ 0，其表外面积S。从为而述上表达第一项的以可写：

第为项一＝l m

dti 0→B → τ0

NB ,t +∆ t −NB ,t∆ t

lmi

N B ,t

+∆ t −N B ,t∆ t

t＋Δ t

Bt C

t→0

+ im

A ,t + ∆ t∆t

dt →

−li m

N C

, ∆tt

峊＝懱惂拞暔揑検悘棟时间的化率变

从而，x

t →d0

= （第项）一 + （二第项）− 第（三）项

第一z＝

11项1/108

∂ σ

ρτ τd ∂t0∫ ∫∫112

180

/EXI

XIE

§T2.4 . 3Ryenlds输运方o程

体力流研学究所华张

§ 2.

.3 4eynolRds运方程

输流体学力究研所华

张

如图虚线用将制体控τ 的外0表面 S划分为上游表 tΔt ＋y面 S 1和下游表 S2面

。 ANt ,+∆ ∆tt ＝单位时间穿控过体制下游表面2流S出的理物量第二项 = li

mt → 0dz

y t

t B AC

第三

=项 li

NmC ,

tBC

Δt＋A

td 0 → ∆t t= 单位时间穿过控体上游表制 S1流面入控体的制物量理

：

故

三第 =项 li

B , ∆t

tt d→ 0

r r ∫=∫σ ρ(V ⋅ n ）内 S

从而第二可项写为以：第二

= li项 NmA t , ∆t ∆+t

dt→ 0

nτ 0s2 s

rr = − ∫∫ ρ (Vσ⋅ 外n dS

）S

S11

τ s2 s1

x＝∫∫

r σ ρV (⋅ n外）dsz

(以下我

将外法向的们标略去，均下指外法向

)

从而：zdN = （第一项 +（）第二）项− （第三）

dt项

131/18011 /410

EXIT

E8ITX

§ 2

4.3. Ryenols输运方d

程体流力学究所研张

§华 .2.3 4Ryenldos运输程

流方体学力研所究张华

rrr d N∂ ＝ ∫∫ σρ∫τd ∫+ ∫ρσ V ⋅(n d)S (− ∫∫−σ ρ( V n⋅ dS) )dt ∂ t τ S02 S1r

∂ ＝r∫∫ σρd∫ +τ ∫∫ ρσ V (⋅n ) dS ∂ tτ0 1s+ s

r2 dNr ＝∂σρd τ+ ∫∫ σ ρ V ⋅( )nSd t d∂t ∫∫ ∫τS

雷

诺运方输将程针对系的表达转统为化对针控制体的表，达在研究流动这问时带题了极来大方。便后者的表达往往易容出，尤写是在其定常况情下，只写出需流控制面过上物的量流量理

：－诺雷输方程

运∫

∫σ ρ ( V⋅ n )SdS

（

以下将0 τ的下中标0掉，去τ用示表控制体体）意义积：流是系体统物量理 N时间随

的增加率等，于控体制τ内物的理随量时的变间率化上净流加出控制面S 物的理量流。量1

15/81

0当

σ =1 时，表质量代量流； r当 σ = 时V代，表量流动；量r r 当σ = r ×V 时，代表量矩流动；当量 σ= u + 时V，代表量能流量

2。

6/1180

XET

IXITE

§.2.44 ulerE型分方程积

流力体研学所究

华张

§2.44 .Euelr积型分方程

流

体力学究研所

张

华

ulerE积分方程型对控是制建立的体积分程。利方用Reyolnds运方输，程很可容易得获（。1质）方量程由雷诺运方程输取σ，1＝有

r r ，dm∂ ＝∫ ∫∫ ρτ d ∫+ ρ ∫(V⋅ n) dS d tt τ∂S

2）动量（方程由雷诺运输程，取方σ =V ，有：

rr r r r K ∂ d＝∫ ∫∫ρdV τ ∫+∫ ρV (V ⋅n )dS dt ∂ t S

n τ2 s1s

由质量守：恒

由动量守恒原得理：

rr ∂ dρ +τ∫ ∫ (ρ ⋅ V )dS =n 0t ∂∫∫ ∫τS

∑

＝F∂t ∫∫∫Vdρ + ∫τ∫V ρV ⋅ n()dS －积分形动式方量

程

τS

∂r

rrr

这

是积就形式的分质量程方。其义意：为控体制中量的增加率等质净于流控制面入的质量流量

1。7/1810

义意为：制体控所受合外等于力控制体动中量的增率加加净上出流制控面动量的流。量1

18/80

EXIT

EIX

T§

2.4.4 uleEr型积方程分

流

体力学究所研

张华

2 4.4 E.uerl积分型方

流体程力学研究

所张华

（3

）动矩量程方r

r 雷诺输运方由，程取σ= r × ，V有：r

r r r rrr dM r ＝ ∫∂∫ (∫ × Vr ) ρτ d ∫∫ (r+ V × )ρ V ⋅(n dS) d ∂t τt

（4）能S方量由雷程输诺方运，程取σ

=+u

rd E∂ ＝ ∫∫∫ eρτd + ∫∫ ρ eV( n⋅)d Sd t t∂τ

由S能量守原理得恒：

2V =e 有， 2

：

τ pnd s

轴由

量矩动守恒原理：得

rr r r ∂ r r r r∑ r × Fi＝i∂ t∫∫∫ r( V × ρd) +τ∫ ∫(r × V ) ρV(⋅ )nS τ Sd

－积分形式量动矩方程

r r +&W& = eρ∂τd + ∫∫ eρ V ⋅ ()dn Q S∫∫ ∫∂ τ tS－积分式能量形方程

义意是外：对控界体的传制率热和净输功率等于入控体中能制的增量率加上加净出流控制面的能流量。量

20/180

意义是：制体控所受外力合等于矩制控中动体矩量增的加率上净加流出制面的控动矩量量。流1

91/180

EITX

§.42.4 uElre积分型程

流体方学力研所究

张华

§24.4 E.lure积型分方程

体流学力研所究

张华

其中

，界对系统外功还可以细做为分：流机体械过轴通动转递传功率称为轴的率功（正有）负表面力对系，统做功及彻体力对以统做功系 n &。 =W& ＋ W& ＋W& pW

轴表彻

轴τ

表力面做还可以功为法分应力做向功和向切应做功力法。向力应功（做）为率：r r r −r ∫∫ pn ⋅Vd S=− ∫ ∫(pV n⋅ dS)S

们将系统我初始时刻占据在空间的

设 W 为控&制，因体在此初瞬始间述对系上& 统输入的热率加做和的率功可以都 Q 看成是对控制的体热加率和功率。输设入功为正，出功输负，则为泵水风机、

& =W &W &−等输正入，功轮涡输负入功：W p t 轴

11/2801

=− ∫∫

ρ(V ⋅ n dS

)

为制体的外控表面

积

向切力应做功率）（：为

∫∫

⋅τdSV

上中式的表剪面力应功做（）率一可以分项下以四种情况考来：虑

221/108

TXEIT

§ .24.4 Eulr型e积分方程

流

体力学研所究

张华

§24..4 Eleur型分方程

流体力积研学所

究张

华

（1）

果控如制的面分表面部为旋轴转表，面则这分部表面上的剪应力做的功率归已入轴率之功；中（2）部分控制可面能为止固体表面静，因为 V = ，0而上从剪切应述做力功零为；（ 3控制面表面）流是体进的通出道此，可以通时适过选当控择面制位和形方使控状面制流和速体度垂相，即直应力剪速度与相垂直，而上述从剪应力做功切为；零（）4控制将面得取尽量离远面或流动壁中剪切力无；处总，可之以当适选择控面制剪使力应控在面上做制的（功）为零率

：彻

体力功做率）（：为(

ρfd τ)• V = ∫∫ ( f • ∫V) ρd τ∫∫ τ∫τ

r rr

控为体的体制

积r设彻力体势：有 =f − grda Ω =−Ω∇ ，：

f 有 Vρ•τd −=∫∫ ∫ρV • (Ω∇d)τ ∫∫∫τ

ττ

=r −∫∫∫ ∇• ( Ωρ )dτ +V ∫∫ Ω∫∇• (ρV )dτ

τ∫∫τ

⋅V dS 0

123/18S0

于对定常流动第二项，连由续程为零方。第项一由 rr高斯公式 = −：∫∫ Ω (ρV n ⋅)SdS

214180/

EIXT

XTI

.2.44 Eleu型积分r方程

体力学流究所研

华张

2.4.5§Eul r型积分方程e应用积的形分质式量程的方用应

流力学研究体所

张

华

& W+ &+ W&=Q &+W & +W &从而：Q 彻表

轴 &+W& −W & =Q ∫−∫p t S

r rρ (V⋅ )dSn

r − ∫∫r ρΩ V ( ⋅n) S

S值得指出：

• 量方质程描流体述的量质守恒条件，流体是否与受力无，与流关属性是否体有性也无粘。关积•分式质形方量不描述单独点程的节细，它

用代入

：r rV &V +W& = ∂ u( )+ρd τ ∫+ ∫( +u ) (ρV ⋅n)dS Q ∫∫∫ t τ 2 2 ∂

S 222

理得：

r r V整 Vp& + W &− W & ∂ Q (u= ) ρ+τ d +∫ (∫ + + u + Ω)ρ ( ⋅Vn )d Spt ∂t ∫ ∫ ∫ 2 2ρ τ S

在制体上控甚，允至控制体包许含流不连续动地方，的如例后以介绍要激波的处。

上等式就常用是的积分式的能量方形程。12

/581 102/6108

EXI

I§2 4..5 Eler型积分u程的方应

用流体力

学研所究

华张

§ 2..5 E4uelr积型方分程的用应

流力学体究所研

张

华

：例一段气管输直径道10m5，m相距在8的两m个面截上时量同数据，流取入

、流的重量出流分量为别N2/s和18N./，s这问段管内道体的平气密均随度时的间变率有化多大解：？这是一非定常个题，流入与问流出量不相等流必然成控造体内制量增质加。取段管这内空道间为控制体，由积形式质量分程方：

∂ρ d τ+∫∫ Vn dρS 0=∂t ∫ ∫∫τ S

例：

一容固积为 τ 定的容装满器盐水初始，时刻度为 ρi密，水纯（水设密为ρ度 w）入容流并器其与盐中充分水合混设，动定流常，容器液位内恒定，流入与流的体出流积量变Q不1＝2＝Q。求Q（1）容器内液体合物混的密变化率；度（2）度密变ρ为（ρ时>ρiρw）>所的时间。需（解）：1容划器部内为控制。由积区形分式质量方：程

rr ∂ ρd +τ∫∫ (V ρ ⋅ )dS = n ∂t 0∫∫∫ τS

dρ 2 &m−& = 01 +mτ td

ρτ

常=

数

ρ ∂=∂t

−

∫∫ρ Vng sd

mρw

21－8.＝ 01.44（ kg/ m 3 s） 2 98 . 3.×41 × 01. 5 4×8

1 82/81

217/10

EXT

XETI

§24.5.E lure积型方程分的应用

流体力

研究学所

张华

§ .42.5 uEle型r分方积程应的

流体力用学研所究

张华

& −m

2& d ρm = 1 dτt=

关积分于式形质方量程步讨论：由式上：得

∂ ρd τ+∫∫ ρV nSd = 的进0 ∫一∫ τ ∂∫ tS

w 1 Q ρ−2QQ = ρ( w ρ − )τ

τ（1

）密度等于常数当时ρ＝c，(必然为可不压)

，∫V∫ Sd=

n 0

SQ 1S S1

2Q2

解

2）（：由式上

dρ： Q Q= ∫ dt = t ∫ ττ0 i (ρ ρ − wρ )

上述

积分用可流入流出的体与积量Q表流为：

−Q1+ 2 Q =

0或

1 =QQ 2,

τ=Q

w ρi− ρw ρ−

291/81

明说：当密度于常数等时，入流制控的体积流量体流与出的积体量流等

相130/801

EXTI

EITX

.24.5 Eleu型积r方分程应的用

流

力体研究学

所

张

华§

24.5.E uerl积型方分的应用程

体流学研究所

张力

华

（2）当流动定为常可压时，有

：（3）对一维流动于，控体制图如• 一流动中维，当度密等于数常时流，入的体流量等积流于的体出流量积，表可为ρ1

1V A

ρ21s V2

∫ ∫ρ dSV= 0

&S表示得到设，质流量量用m

=m 2 &m

或

=& m

V1CA1 V= 22A

V, A c

说=明当动流定常，流时控制体的入量流量质与流的质量出流相量。等

注后一式表意示经流控制任一截面面流量的为数常

1。311/8

0说

：在明密度变不一维流的动中流，管的细粗将反映速小流。大132/

EIXT

EXT

.4.2 E5ulr型e分积程方应用的

体力流学研所究

张华

2§4.5. uEerl型分方积的程用应

流体

学研究力

张华所

•

一流维中动当定常，可压，流入时质的量量流于流等的出质量流，量可表：为

积分

形式量方动程与量矩动程的应方用积形式动分量方中的合外力指流程受到的体所有式的外形力之，和以可包

含彻体力、向表法面力和向切表力面控，体制中物的对体于流的作用力也体以可独考单虑。一般说有来类控两体可供制择：选一类物体是包括不在取所控制体内之而物体的，分壁部构面成控制面一的部，例分管道如中的动；流一另类是制体将流过的控体也包物在括，内例如绕机翼的流动

13。/180 13341/0

ρ811VA 1= ρ2 V2A 2 ,

Vρ = cA'

明说在：定一常可压流动中维密度，ρ速、度 V 截面积与A 的乘积为常数。• 对 ρV A c= 取微式分，以可到得定常一维流质量方动的微程形式：分

dρd V dA += 0VA

XET

Iρ

+EXI

2.§.54 uEle型积r方程的分应用

流体

力学究所研

张华

§2. 45.E ulre型积分方的应用程

流体力研究所学

华张

对于物体

不括在包内的第一控类体制，如例管，道应用分积形动量式程的目的主要是方管道求受流到的反体用作力x、RR (y控制则体受力-为Rx、-y R如图示所积分)形式的动量方用于程定、一维管流控常制时 A体 y（如），图得可

：

设2端的压强两分别为p1、2p管，对壁体的作用流分量为力

－R、－ xyR（如上图），计不彻力，体而动量方从可程为写

（方x向）

p1 ：1 Aocθs1− p2A c2oθs 2 R−x= ρ 2 AV22 cos2 θ −2 ρ 1A1V21 coθ1s

即

：2θ

∑

F =∫ ∫ ρVudS =Q(u

x nρ

2 −u 1)

R－xA

R1x= ( p 1+ρ1V12 ) 1Ac soθ1 −(p2 + ρ V222 ) 2A coθ2s

R y (=p + ρ111V2 )A1 sni1 −θ (p2 ρ2+V22) A s2inθ2

2pρ2、V2

、y

向理同

：－yRx

∑

F= ∫ ∫ρVv Sd =Qρ(v

y nS

v1−

)θ

11、ρp1、1

方左端程控制体内是体所流合力受在相应标系的投坐,可影含管璧对包流作用力体、力重和两压力端

。

13518/0

如此

到得的是就壁管受力。求管当壁所受由流动引纯的起作反力用例如定管道的固栓受力时，由于螺大气压合力无可不考，虑上式中压强表用压。

361/8

EIT

XIT

§ E.2.5 4uEler型积分方的应程

流体力用学研所

究张

§ 华24.. 5uElre型分方程的积用

应

体流力研学所究

张华

对于

图如第的类控二体制（机翼包被在控制体之含），内要目主的是物求体（翼机）受力我们将动量。方程些作换变和明说得，到常更的形式用。机设翼受在三个力方向的分为Fx量、yF和 F 。则z制体控力受的个三量为F分x-F、和yF- 。z将控制外体部得离机翼足取够远这，样即使面附近有粘翼性，力到了S 上也没面有性粘力了，只压有力作的用，而x从向方表面力：

为

控制体n内的 x向彻方力为：体

fdτρ∫ ∫∫τ

x而从控体制内 x方所受的合向外力：为−

∫ ∫ cpos(n ,)dSx +∫∫∫ fxρ dτ− x

控体制

注：连接

S和S1双面上层面的积为分0。控体制内方向x的量动随时间变率化净流及出控

制p(n, )

x−

∫∫ p cos

(n,x d)

S的面动流量量为：∂

13/170

8∂t∫∫ ∫τ

uρ τd + ∫ u∫ρn dS

1V8/381

0EXIT

ITX

§.425 E.leur型积方程分的用

应

流体学力究研

所张

华§2 4.5.E lur型积e方分程应用的

体力学研究所

流

张华

由

动守量恒，得：−

∫ ∫ cps(n, xo)d S+∫ ∫∫f ρxdτ F− x

=．有例一种尾详迹法测可以来测用一个二量物

维

τ ρud∂ τ+ ∫∫ ρVu dS ∂nt ∫∫∫τ S ∂ ρvτd+ ∫∫v Vρ dSn t ∂∫∫∫τ S ρ∂wd +τ∫∫ wρ n dVS t∂ ∫∫ τ∫S

同理：

的体阻型（型是阻由粘性直和间接接造成物的体阻，力如例摩阻擦和压差力力）阻。们我来看一要测看些哪量并怎样使用积，分形的式量方程。

动动量法测型阻

−

∫ p ∫cosn( y,)dS + ∫∫∫f y ρdτ− F y

− τ∫∫p c os(, nz d) S ∫∫+∫ f z dρ τ− zF

1、1u

2、u

述上方常程用常于定常流的动气体，时式中的当地此化变一项率于等，零且彻体力以可忽。积略形式动分量

程方的个一重要面方在人们于需要知不道制体中的控流细节，只动要需道知控制边界面的流动特处来求作用性力，个这作力用可包含以擦力摩影的在响内例，如用述方程来上求体受到物阻的力。等

39/118

0：解控制面S取图如在。游上够足远气体流处本基上没还受有物体的到响还是影匀直。流下游一定在离处气流的距静已经压来和的静流没有什压区么别了，但迹尾区度速分布然仍到受响如图。影

140/810

EXI

TXET

§ 2.4I. 5ulerE积分型方的应程

流体力学研究用所

张华

§ .4.52E lue型积分方程的r用应

体力学流究研所

张

华

上两下流线根取在远物离体地的方那，流里速静压都和和来原的来流一样值。在个S 这上作用面静压的既然都是一同个，那值压力末面做分积结的必是零果上。下根两流线处没摩擦有。力设定常，不计体力，彻则计翼型算受到阻的 F力只x计算需过控制越的面量动量：流

Fx= − ∫ u∫ρnVdS = 1 ρuu1y1 −d 2 ρuu d22

例

求宽：度b为二维不的压可常射流定对定斜板固b,V （与水成θ角）的 b平, （1V）用力（作2射）宽流度比 b/b12 （3）的力用点作 Rθ 不计设重力流和动损。失b, V

11 2

2y1

∫

考

到虑续方连程ρu1：dy = ρu12dy 2

则 :F x =∫ u ρ 2(1u − u 2)d

yσ

测

出尾区迹中σ度速分即可求出阻力布

。411/80

1解由：是于自射流，射流由始开及1处、2截面处强均压大气为。压分别沿上两下流根线列计不重的力伯努利方程可得：V1=2VV=或（认流动均匀为无旋，伯利努常全场数成）立由量方质可程：Q知Q＝1Q2 或＋b=1bb2+

412/810

EXI

TEX

T§ .424.Eule 型r分积方程的用应

体流力学究研所

华张

2.4. E5uel型r分积程方应的

用

体流力学

研

究所

张华

（1）求

作用如力图建坐立系，取控制体标图如，设控制体假力为R受由 y 向，动方程：量 ,Vby 1

（ 2求）射宽度比 b流/1b 2由向动x方量：程x

y b

, V

b, V1 1

0=∫∫ ρVu dSnS

R = ∫

vρ∫Vnd SS

, V

b0 =

(V osc ) θρ −V()b +V1ρ 1V1b+ (− 2 V )ρ2Vb

2θ

, 22V

（注

控意面上大制气无合压）

考虑力到V：=V2=1，有V

b,2 2V

=R −( siVnθ )ρ −(Vb)R

= ρV b insθ

bcs oθ= b1 −2b

可见＝9θ0时受力0最大1

3/480

上与 b 式= 1bb2+故射流得度比宽：1b

XIT

E联

得：立1b =b2

= 1 +oc θ ,s1 − oscθ

1 + ocs bθ 2,

=1 −

os cθ b 2

斜板

受力此与小大等相方向相反。

这也

是量流Q1比Q/

124/1408

XIT

§2 ..4 5ulEe型r积方程的分用

应

体力流研学所究

张华

.2.4 5Euerl型分积程方的应用

流体学力研究所

张

华（）3求的力作用点e 力设的作点用y轴的距离为e距设，时针方向为顺矩的正方，向动量由矩方

r 程 r rr∑ Fi ×ir= ∫ (∫V× r )ρVn Sd

积分形式的能量方程

应的用1 一维.定流常量方能程

x 22 rr &+W & W− &= ∂∫∫ ∫u + V () ρd τ+∫∫ ( u p+ +Ω +V ) ρ V ( n ⋅)S d Qpt t∂τ 2 ρ2 S

b V,

b1,

R ⋅ e = V0+ ( V

1 12

b1b ) ρV1b1 + ( −2V 2) V 2ρ b2 22

bθ2,V2

RVρ 2(1b 2− 22b) 1 (b1 +b 2)( b −1b2 ) 1 b(b oc θs) e= = = ρ 2V sbin θ2 bis θ 2 b nin s

e= θb cgtθ 2

仅当＝θ09 0时力合作用点的通过才流中心

射14518/

将0积形式的能量分程方用在进应口出处动参流均数匀分且只有布一个进口一和个口出控制体的上，流动常：

p2定

2p, ρ 2 ,V 2, 2

&W轴

p ,1 1 ,ρV 1,s 1

2 V pV 2& W & +− W & (u= + 2 +Ω +22 ) m & −2 u1 +( 1+ 1Ω 1+ ) m& 1 pQ 2t 22 ρ1ρ

146/80

1EIX

TEX

I§

.4.25E uel型r分积方的程用

应流体力学研所

究张华

2§4.5.Eu el型r分方程积应的用

流

力学研体究所

张

华意到质注流量不变，量式除上以质量量化流为单质量位形：式

V p2 V2 q+wp − w =t( 2 +u+ Ω 2 2 ) −+(u + 1 1 Ω1 ++ 1 )2 2ρ2 1 p2

ρ注意到在重力下：

场

Ω =dgdy

+qd = wd u+d

g d +yV d

与静止气V的体热学力一定律

dq 第=d u pd

1该式

意义：对为维一控制加热体做功和等，流于与出流入制面控能量的差。成写分微形，有式

V2： dq+ d = dwu + + d dΩ +dρ 2 p

41/7108

对，上式可以称比为动运流在体有加和有输入热功时的力学第一热律定，表它明对流：微体团热和做加，功于微等内能增团、加势增加能、动增能加、对膨胀做功外及压以强功（即做流动压强做时简称流动功功。）

14/180

8EIXT

EIXT

.2.54 uEelr型分方程积的应用

流体学力研所

究

华

§ 2张..5 4uElre型分方积程应的

用流

力学研体所究

张华

2. 一维定流能量方常在各程

种条下件的表现式形（1）对于理想、定常不、可压、维一、重力场、机无械输功入出的输动流由加热不会于使不可流压体膨胀做功也不，会有摩使擦械机能化为热转（能能），内内能的则变化仅仅由是外于加部热引起的，即 d = qdu从，而0

ρd

+g y1+

V Vp =2 g+2 + 2y 2ρ2

122

因此伯利方努程能量是方在理想程不可压、定常、、维一重力、、场无机械功入输出条输下件特例。的 2）（理在想定、、常可不压、维一重力、、有场机械功输输入的条出件下则能量方程，为：

化1ρ

p +1 gy +1 V2 1 pV +2 pw = 2 g+y +2 2 w+tρ2 2

+ ρgdy +VdV

这而是就维一欧方拉程可积分得伯，努方利程

149：/108

用这个程可方方的便初估算风步对扇动流功做功的率，利用水高库发电差使轮涡产生的功机率问题。等

10/518

E0XIT

EXTI

2 4.5.E leru积型分程的方应用例1：已管道（知洞）体积流风Q量30m3/s,=压力升为 p2-p 15=0pa 0 求风,的功扇N率扇

1 2

体流力研学究所

张

华

§2. .45 uler型积E分方程的用应

流

体学研究力所

张

华得测风两端

扇（3

在）热绝有粘、性损失不可、压定、、常一维、重场、力机械功无输输出入条件，下机械能由于粘将损失转性为热化或能内，能能量则程方为化：ρ

11p+ gy 1+ 1V2 p2 2 V + g=2 + 2y ∆+E2 1 22ρ2

解

：设想理、定、常维一不可、压由1-，2面断量能方程

：1 p12 pVV2 + w p =2 +y2g+ 22 ρ2

p = w2p

gy1+

得

扇对每单风质位流量体功做为：则风扇率功：

为

−

ρp1

其

ΔE中1＝22-uu1是1从动流到每单2位质流量体的能量失损摩（擦热生）用这方程个可便的初方步算一维管道估流的动失损率等功问题

15。1/81 1025/108

&N扇 = wp

mN =扇p −2 1

ρρ

Q (= p2− p 1)Q =15 k(w)EX

EXI

§T .4.2 5Euel型r分积程方的应用

流

力体研学究

所华张

.425. ulEr型积分e程方的用应

流

体力研学所

究张

华

例：进出面积相等口度高相的同道管,体积流量=3Qm30/s,测两得端压降为p1 p2-500=ap, 求流动的粘损性功失N率解损设流：定常、动一，维由

：1

2 1

（4 ）在热绝有、擦（摩等熵）、可压不、缩定

、一维常、计不重力能、无机械功输入势输出条件下内，将能与参械能之间的机可转换逆，则能量程方为化：u1 +

g1 +y

V p

V = 2+ yg2 ++ E1− 22ρ 2

1E−2 = p

V12p V2 = 2u+ 2+ 2 2 ρ22

得从12每单-质量流体位损的失量为能：

−

即：

V2h=c 2

其

中h，焓为 h： u +

pρ

−p 2 & 1= ρQ ( =p −1p2 )Q= 1 5k() w则-2的损1功失为： N率损= E 1−2m ρ (注上：管述围道起可来看成洞风的一，因此1-段压差可看

2上能量方程述微分形的式： d为 h+ dV = 0V 这

个方在程维定常可一流中压有重要应用。将这是我们在6章第重点介要的内容绍

。成由

扇风供用于克服管道提损，失故所即求风功率扇，由可153/180 风两端扇有的械功输入的能机方量验证。) E程XIT

154

1/08

EXIT

§2 .5 环量涡与§ 2.51. 量与环的涡念概

体流学研究力

所

张华

.5.1 环2量与涡的念概

流体

学研究所

力华

张研

流究动问题的，还有面个两重要的极概念，一个环叫，量一个叫做。涡环量定的义：在流场任取中一条封闭线曲，度速沿该闭曲线的线封积分称为该闭曲线的封度环速。量速环量度的号不仅符定于流决的场速方度，而向且与封闭线曲的行方绕向有，关定积分规时时逆针绕方向为行，即封正曲线所闭包的区域总在行进围方向左的。

155侧1/08

rr Γ ∫=V ⋅ d s = ∫ V os α dcsL

如把果一速度向量个成三分个标轴坐方的三向个量分,u,vw ,把线ds段也解成分d, xd, dy z

三

a) (沿曲线B作A速的线积度分

(b)

闭曲沿速线度线积分的个方的向三线段，有个：r r V ⋅ ds =udx +dyv+ dw

是环量于表达式：

Γ = ∫ ( 为ud +x dvy + wd z

15618/0

ETIXT

2 .5. 1环与量的涡概

流体念学研究所

力

华张

2. .15 环与量的概涡念

流体学研力所究

张华

果如动是无旋的流，存速在势度函数，Φ那末上式中 u ,v 的w,都可以用Φ 偏的数导达：

u=表∂φ x ∂=v ∂φ∂y w= ∂φ ∂ z

涡量概念

指是流场任何中一微点角团度速之二倍，如平面问题中的2ω ，z称为涡量，量是涡个纯动学运概念的在三。维流里，流体微团以有可三方向的个速度角 ωx,ωy ωz ,三,者合为个合角一度是：速 rr r r r2 ω = =ω ωx2 + ωy ω+z2 ω =ωx + ω y ji + zω kr r

r量可写涡为：ro t V =ω2= ∇ V

×r

∂φ ∂φ rφ ∂ = ∫ ΓV ⋅ d(s ) = ( ∫xd +dy+ dz ) =∫ φd= 0 ∂ x y ∂∂zL L

L说明在无旋动中，流沿着意任条一封闭曲的线度环速量均等零。于是对但有流动，上旋述结论并成不立，绕意一任封闭曲线条的度速环量般不等于一。

15零/781

旋0轴转线都按手右定则确定。合角速度是向量个，它的个三方向余是弦x/ωωωy/ω ,,ωz/ω。

5818/

0EIT

EXITX

§ 2.

.5 1环与量的概涡念

流

体学力研所

究华

张

§.251 环.量与涡概的

念流

体学力研所

究张华

流线像样一在同一瞬时，如，流场中有一在条线，曲线该上一点的涡轴线每都与线曲切相，条这线曲叫线涡涡。的线分微程是方（定时刻给t 为参量，：

）xdω

r涡线是截积面趋零于的管涡。线和涡管涡强度的都义为绕定涡线或管的涡条一封围闭的环量线。涡在一量个面上的截积面称分为涡量通在平面，问ω中，题通量就涡：

是z

ωx

ωy

dγ

ωd

n r

zω

线

涡

∫∫2

zdS

定瞬间，给过某一通曲（本身不是线涡线）的所涡有构线的曲成面称涡面为。封由闭涡组成面的状管面称为涡管涡。

平面问题涡通的量

间问空题的通涡量

涡面

在维空三问间题中涡，量通是就：

r r∫ ∫ω2⋅ d S

∫∫2ω cso dγ

6011/8

0涡

15管91/08

式中的

S是任意形状空间曲面，γ 是面上微面曲积 S d法的线ω的和线之轴的夹间角

EXIT

。EXI

2.5.2§环量涡与的量系关

流体力

研究学

所张

华§

2.5.2环量与量涡关的系

流力体研究学

所张华

有旋在动中流，度环量与涡量存速着在十密分切的联系为。说明这个系，联先考察首二流场维。

Γd

=ABDC

A V ⋅∫ s

在二流场维，中任封取曲闭，线然后该封闭曲线把所围的面积用两组坐成的平标线分割行成系列一微小积，面做一块微小面每的积速环度并求量，和到总的速度环量得。对于元AB微CD，速环度为

量161/81

0 u∂ dx ∂ ∂vv y d  = u+ x +d  +v ∂ dxx +y∂  dy ∂2 2x     ∂ ∂uudx  ∂ v y d− u +∂ y yd+ x∂ 2 x −   vd +∂y  d2y   ∂v u∂ = ∂x −∂y ddx y 2ω = zxdy d

162/80

XTI

§I2.5 .2环量涡与的量系关

流体

学研力所究

张

华

25.. 2环与涡量量的关

系

流体力学究所

研

华

张绕个封闭整曲的速度线量环（上图为中元矩微形块的重部合分做线分时积因负号相正反相消）

r 而r∂ ∂v Γu =∫ V ⋅ ds= ∫ (u dx+ v y d) ∫∫=( − ) dS= ∫∫ 2ω zdS L∂x ∂yL s s

如围线果内没涡有量，那末沿围通线环的量必是零。如把果线放围一大，尽管些面积放了大但只要包，去的进积面没里涡通量，有么环那量值并会改变不沿。何任围线要速只环量等于度零，说就围明内无线通涡。量推广三维空到间中封闭的线L曲上，计的算度环速仍等于量二角倍速度乘围线包所面的积但，这积面应其在与涡线相取垂直的面平上投影的。沿一块值有大的限面曲S 的围线 L 的量环等仍 r于S 面上各点二的倍速角与面度点积积：dS 1

4/6810

上

即式为二问维题的格中公林。式表明：沿面上平封闭围线 L一做速度的积线分，得所环量的于曲线等所面围积每个上微团速度角的倍乘2以团面积之和，微即等于过通面积的涡S通量。1

6318/0

EITX

ITX

.2.5 2量环与量的关系

涡 r rrr r r = Γ ∫ V⋅ s d ∫=∫ 2 ω⋅ d S ∫=∫ roVt⋅ S

d S SL

流

力学研究体

所张华

§ 2.5.2

量环与量涡关的系

体力学流研所究

张华

表明：沿间封闭空线曲 L 的量环，于等过穿在L张上意任面曲S的上通量涡涡通量的，数与值张所的曲面形

状无，关跟围线只所包的涡量含关，有无时旋通涡为量从而零封沿闭曲的速度线量也环n为零。 r γω 对于无旋流动有：

r 还

α开展：

即 ∫u(dx +dy +v wdz )

L

w∂∂v ∂u ∂ w ∂v∂u =∫∫ ( − ) cs(on ,x + ) −() osc(,n y) (+− ) cson, z() d Sy∂ z ∂∂z x∂ ∂ xy ∂ s

= ∫∫(

w ∂∂v∂u ∂w∂ v∂u −)ddz + ( −y)dzdx + ( −)xdyd∂y ∂z z∂∂x ∂x ∂ y

实这其就是是托斯斯克式，描述曲公线分积与面曲分之间的积关系。1

6/1850

说

速度势函数明差的意义是沿段的速线线积分。

度66/118

∫ u(dx + vy d+wd ) =z

φA

− φA

三维中流环量与的关涡

EXI系

XETI

.2.25环与量涡的量关系

体流学力究研所

张华

2.5§.2 量环涡与量关的系或

：流力学研体所

究

张华

一

强条为Γ 的涡度的一线段 Sd对线的一点外P会生一个诱产导速度情，况像正电会产生磁力流一的样表达涡段。产所生的导诱度速公式是：的r rr dΓ × S dVr =4 r 3π

V =

sds ni θ4 πr 2

涡与诱

速导

1度7/681

0个这dV是一个垂直于线段 Sd与受扰点所组P 的平面成速度（的如图，其值正比）涡强 Γ和涡于长段d度S但，比反于距离r 的平方，外还要另乘上 r 与 s d的夹的 θ角正弦。这个公式在的式上和电形磁学的电感应的比奥—萨瓦公磁式一样，仍叫比奥—萨瓦公式。1

68180/

XEI

TEX

25.2. 量与环量涡关系

的流体力

学究所研

张

华

2.52. 环量涡与的关系量

流体

学力研所究

张

华

现在把条一强度Γ为的直线对线涡外点一产所生的诱导度写一下速参。下图。看BA涡是线P，为线外一，点PA到的B离是h距令。意微段 ds 与P任连的线和BA线垂NP之夹角间为，γ则

再

令PAA与的夹角为α；PBBBA的与夹为角。 πβ   π −α 到 + − β 得：式上分积γ 由，− 2 2



V

ds= d( h ⋅tg γ) =h ⋅ sec γ ⋅ γ

Γ(co αs+ cos β) 4 hπ

niθ =isn(π− θ) = co s γ

r =S = P hco γsα

β个诱这速度是垂直导纸于面，的按示Γ的方图向它向，指外如果涡线。头一是无长限的，那有就：

1V69/180

Γ Vd =c so γd γ4 π

h直线

涡的导诱度

速 Γ1( co+ s )α 4π

1h7/1800

TEX

§I2 .5. 环2与量量的关涡

系

体流力研究学所

华张

2§5..3理想流的涡定中理定理沿1涡线或涡涡强管不变。

流力体学研究所

张华

如

涡线果是半限长，无且点P涡线之垂至足直N 涡与的线一重端合，：

则V=Γ 4 hπ

描述理

想体流的中线涡涡管有如或下定：

理图，见涡管上两在条线围QR和PPQ’R’作’条两重合的连P线P和’R ’,R沿’PPRRQ’’PQ’ 样一这条线围计环量，算于由张曲所就面是原来涡管一的部，分有涡线没

穿

过，总的故量为环：

零如

涡线果头两都伸到无限展远，则

：V= Γ πh2

ΓP

'PQR 'Q 'PR' = PΓ ' + PΓQRP ΓR+ R '+Γ R Q''P ' = 0

’

P P ' =−RΓ '

R：

得ΓR

Q' P ' ' −ΓP= Q' R '

'ΓQPR =ΓP Q'' R

涡线'环和量的概念在空动力气中十学重要分凡。是力升的题问都涡及环量有和关

。11/710

8这就

是说沿涡管任地方何算计的它量（环涡强其值）是都相同的。这条理称定海为霍姆第兹一定，理简或称第涡一理定。E

IXT由于环

量于等涡量通，此沿同因一涡管涡，管细转处速然快反之涡管必处粗转必速慢。

1然2/7801

XETI

§25.. 3想理流中的涡定理

体力流研学所

究华张

2§..53 理流想的中涡理定

流体力

研学所

究张华

理1的定推：广一根涡在管体里不可能流断，中以伸可展到限无远，可以去相连接自一个涡环成（一定是圆不），环也以可于边止，界固的体边界自由边界（或自由液如面）。这

条定可以用理一第定理的论推演而得到结证明第一定理。说，强涡沿管涡不变如果。涡到某处管然中突止了那，末涡也强应该就随变之为零而这，违是第反一理的，定以所是不可能。

的管涡度守恒（强图左和涡）可管存在能的式形（右）图

述上涡的管种存三形式在都，有际的实子例。香吸烟人的吐出烟会来，圈烟圈一种是相连接自的环涡。维机翼上三的线（与翼涡同向的）展在右左端折两向转后成为尾，，涡后伸向展无到限的远方去。后在维二洞中风做机的翼实验时，机翼的上线涡翼展（向的方）止两于侧洞壁。的

管涡于水面和止壁，面涡的管伸使涡拉管面积变，从而涡量或小速度角大（但是涡的强加或环量度保不变）持

此

理定为称海霍姆第兹二理，定或称简第涡二理定

。71/1830174 /108

XIE

ETITX

2.53 .理想中的流涡定理

体力学研究所流

张

华

2.§53.理想中的流涡理定

流体力学究研所

华张

定

理2开尔ke文linv定(律量不变定律环：在理想)流中，的涡强不度随间时化，变不既增会强，也会削不弱或消。失

际实体都是流粘性有，的涡强是随时间变会的。化不空气的过性粘很，小翼机上的涡着气随流下流去，离翼机很远后它对之机的作翼用趋于零了就而，在离翼机不远的太围范内，性粘涡使强衰减的并很不显，所著计算涡以机翼对的作时，用可以不考虑必粘的性减衰用，当作它在作理流想中强不度减衰处去理行就。

实际飞了的机涡

175/180尾

陆

龙

卷71/6801

ITX

XIT

2.§.3 理5想中流的定理涡

流体力学研所

究华

张

章本本基求

流要体学力究所研

张

华

定3理拉格日朗Lgranag定律e涡（量不生不灭定）律：理在流想中，流若动是无的旋流则场始终旋，无之

反若流场在某时一有刻旋永则有旋远。理定亥4霍兹姆Hlmeolhtz律定涡（涡线保持管定理：）在想理体中，构成涡线流涡和管流的体点质在以，后运动程过仍将构中成线和涡管。

涡• 了两种描述流场解方法的的区与特别，重点掌握点拉法下加速度的表欧和意义 •达掌流体握团微的几变形种运动和其数及学达，表握流掌体微的团动分解与刚运体运的动异同；• 了解统分系析法与控制方体析方分的区法别与联，系握雷掌诺输方程的表达及意义； • 空运气动力基学方本是本章程点，积分形式重程要方握质量方掌程动、量方和能程方量程的表和达义意，会并它们用决解际工实程问；微分题形式程方重要掌点连握方续、欧拉程程和能量方方程的表达意和义掌；握元控微体制析分法方掌；握努利伯程方的达表意义、条、和应件用；• 点需要重掌握概念：流的线、流量散度、、旋、度度势速数、函 187/81 0流函、环量与数涡表达、的意义及相互之间的关其；

系XETI

7/7108

XTI

小

测（10验分）钟

流

体学力研究

所

华

张流

体学力究研所

华

张1写出欧.法中拉三个方加向速度的达表并，明各说的意项。义2.别写出分分积形式质的方量和程动量方程并，明方说的物理意义程应用条和。 3.写出件努利伯程方并说明其应用件。 4条问.下的面动能流代否表平一定常不面压缩流可？

动u= y, v=x

答：解1.

∂u∂u ∂ u∂ u= u+ v++w D, t∂t∂ x∂y∂z

...

右.第端项一当为加速度，由地流场不定常性的引，起二项为第移加迁速，度由场流空间不的均性引起匀迁，加移度中的任何一项都速速是度分量与同方向的导一数之积，乘因此只上有述两都不项零才为能可在迁存加移度。速. 2分形式的积质方量程为：

r ∂ ρdr +τ∫ ρ( V ⋅ )nsd = 0∂ ∫ t τ

如够代表能，求该试流的动变形率：和角速度，流动该是有否速度势数函如？则求出有又。函流数何为？

197/18

其0义是：意控体中质制的量增率等加净流于控入制的质量面流量。用应条：件积形式分的量方程质述流描体满应足运动学关系的与，流体是否受，是力否粘性有是否，可压无关，均描述控制它中及体控其制面的关系上，并且许控制允包体流动不含续连的域。

区8011/08

XEIT

XIT

E流体力

学究所研

张华

流

体学力究所

研张

华积形式分的量方动为：程

3 .理想定、常、不压可重力场、，沿下线流一维或流管伯的利努方为

程

r ∂r r∑ F＝ ∂ t∫ Vdτρ + ∫ρVV dsn sτ其意义为

控制体：中体所受合外力等流控于制体中流动体量增的加率加上流出净制控的动量面流量。上述形式的动方量程常运用常于第一类

控制体即内（流管道、流中动等）。应当用第二类于控体制时，积分形动量方程常式写常为：

+ g +y

2 VC= 2

式各上分项代表别单质位流量体的力能、压能势动和能，常数表代单位质量流体的能总。量上式沿线流一或维流管成立，明表流线沿械能机恒。守流当无旋时动，上述数常在全场流成立，明理想表、常、不定压可、无、旋力场重下流场全机能械恒。守4 .所速给度布分满不可压连续足程：方能代表够个一二维不压可动流。∂

∂uv =,0 θ y = 0 ∂=x y∂1 ∂ ∂v u +变角形率：γ z=( ) 1=2 ∂x ∂ 1y ∂ ∂u v角速：度ω z = － () 0＝ ∂y ∂2x线变率形：θ x=

−

∫ pc o(sn, xds) ∫+ x fρd τ −xF =s

∂ suρdτ+ ∫ ρVu nd s∂ t∫τ s

∂

u∂ v =0 +x ∂y

∂该

程方的意同上义不，不过该方程变将求待内边的界受力上－Fx等，与外界边上表面力控制和中体体力彻作用的分表别达并，且常用常于常定和不彻体力计情的况，而从要只道控知面上的动制量流和表量面力即求出物可体受，物力的体受允许力包粘含力性

。18/1108

2/180

XITE

流I体学研力究

所华张

习2练

流体力研究学

所张华

∂ φu==y因为无，旋以有所速势函数。由度： x∂积分得

：：由

φ = x y+ (f y)v

=∂ φ, ∂y 得 x= +x f' () f y y)( C= 略,去

出欧拉法写三中个方向速度加表达，的说明各项并的义意。.分2写别出分形式的质量方程积动和方程，并量明方程说的物理义意应和条用件。3. 出伯写努方利并说明其应程用条。件 4.下面问的动流否代能一表面定常不可压缩流动平？

u= , yvx

f' ( y ) = 0 ∴

= φy

x求流函数

∂ψ 1： = y , ψ= y2 +F ( x) ∂y ∂2ψv −=, x得= − F ('x ) ∂x1 F (x )= − x 2+ C', C ' 去略 2 ∴1ψ = ( 2 −yx )2 2u=

如

够能表，代求试该流动：的变率和形角速，该流动是否度位函数？有有如求则出又求。流。线

138/180 81418/

EXIT

EX0IT

第章流2运体动学和动力学础

§2.基描1流述运动的方法体2§2 流体微.运团的动析分§2. 理3想体运流动微分方程组2.

.1 3.3.2 2.323.2 .34 .连续方程拉欧（Eleru）动运分微程组方伯努利（erBnuloli积）及其分理意物义伯努（利eBrnulloi）方程的应

用

体力流研究所学

张

华

§2.

1描述流体运动的方

法

流力学研体究所

张

）/118 2/1800

.24 流体运积分动方程组2.

.41拉格日（朗aLgrnag）e积型方分程2..24雷诺（Reynlods）输方程运2..3 4欧拉Eul（re型积）方程

分

2.5§ 环与涡

EX量T

EXII

§2.T.1 拉格1日朗方与欧拉法法方

用下方如描程质点（述,a,cb所经）历轨迹的：x( a,,cbt,) ,(ay,,b,t)c,z a(b,,,t)

tco

体力流研学所

究张

华

§2

..11拉朗格日方法欧拉与方 ·

法

t体流学研究所力

张华

(x, y, z)

因为质点的标坐置位是时 t 的函间数对于，定的流体质点给a（，b，）c 速度，表达式：是

=u ∂(x,ab, c , )t, ∂ t y∂(a b,, ,ct ) ,v= ∂ ∂tz( a b, c,,t w)= t

∂· (a

, b ,c)

0流体点质的速加为度

∂ 2： (xa, b,c ,t ) , ∂ t 2 2 y (∂a ,b, c, t)a y =, t∂ 22∂ z( a ,b,c, t ) az =t 2 ax∂ =

这

使用里偏导数因为坐是同时标时间和是点质号的函数标，求导时要 a,求,cb固定变，即不求导是针同对一流体点的。质

/418

0XIE

EXITT

2.1.1 §格朗拉方日法与拉欧法

流方力学体究研

张华所

§2.1.

1拉格日方朗与法欧拉法方

u ( x,y ,z ,t ) v( x, y ,,zt ) w( x, y, , z ) t rr r r V = u i+ v + wk

j流力学体研所究

张

华流体质点的

/810

其

t度给，定.yx. z化，表示给定时变，刻同不体质点通流过不

同间空点的度速给，速度场。 (定株守兔，看待房式门的工作方)法6/

180

XIE

ETXI

§.12.1拉格日朗方与法欧拉方

法体流力学究研

张华

所§2

1.1. 格拉日方法朗欧与方法

拉流体力学

研究

所

华

张

注请意，x,y,,zt 四是个独立变。数如果不外另以赋意，义则不有能dx td 、 2dx dt

这的表类式达

。一速度个场

应该

指，出速度场的表达质本指上是该瞬的时恰通过好空该间点流体质的点所具的有速度。

一个布满了某

7/。10

8818/0

EXIT

X§

2..1 1拉朗日格方法欧拉方与法p

=p ( x ,,yz, t ,)

流力学体研所

究张

§ 2.1.华2欧拉的加法度表速达

流体力式学究所

张研华

ρ = (ρx ,y , ,z t ),

T =T x(, y,z ,t )

欧

如

场只是空间坐标的函果而与时数间无关则称定为场，常否为则非定场常，如，定例速度常场表的为：达

=u (x ,,yz ) , = v v(x, y , z ), w=w (x, y, )

9/z81

非0大的常器容

非

大的容器常

小容

器

容器小

01/801

XET

EIIX

§T .12.2 欧拉法加的度表达式

流体力速研学所究

华张

2§..1 欧拉2法的加度速达表

式流力学研究体所

张

拉

1/80

设

在 t 时，瞬位于A（x，yz）点，的个一团微有速具度u，v ，w。Δ经t 时间后该，团微移到

(x + ∆ut ,y v+ ∆ t , z+ w ∆ )t

令：

u= u (x ,y , z, t

)经Δt之后， u变 u成Δu:+

u +

∆ = uu( x +u∆ t , y +∆ v , z t w + t ,∆t + t∆)

= u( x,y ,,z t )+

EXIT(

u∂∂ u ∂u∂ u ut∆+ vt∆ +w t ∆+ ∆t )+ 0 ∆t( )∂x ∂y ∂ zt∂

2/181

E0XIT

§21.. 2拉欧的加法速表达度

流体力学式究研

张所

§华2 1.2.欧拉法加的度表达式

算速子：∂ ∂ ∂

∂ +u + v w ∂+t∂x ∂ ∂y

z体流力学研所

究张华

变将前化后的度速达表相减，去高阶略，仅保项留一阶项得，

∆ u∂u∂ ∂uu∂ u = u++ v+ w∆t ∂ t x ∂∂y z

往0往用 D /D t这样个符一号来表示这个导数。为称流体运动随导的，或称数随体导数实、质数导物或质导。数从而上述速加可以度成写

Du ∂：u ∂u u∂ ∂ +uv+w =+ uD tt∂ x ∂y ∂z∂

理：同

∂

v vD v∂ ∂ ∂v =v u ++v+w Dt∂ t x∂∂y ∂

Dwz∂ w w ∂w∂ w +∂v w + =u+ Dt ∂ xy ∂z ∂t

14/∂801

EXT

IEITX

.1.2 2拉欧法加速度的达表式

流体力研究所

学张华

2. .12欧拉的加法速表度式达随

体数算子导：D ∂ ∂ ∂

∂ =+ +uv + w Dt∂ t ∂x ∂y ∂

流力体研究所学

张

华需要指出，

述加速上度然是仍间坐空标时和坐间四标个独立变量（,y,z,x）的函数t

可除作用速于外，对度场中流其它量也成变立。如对于压强p，：

D有 ∂pp∂ p∂ p ∂p= +u v++w Dt ∂t ∂x ∂ y∂

随

体导数 16。1/0

E8XIT

rr r 将三式上分乘 (别i, j k, 再相)加可加得速度表达向量的：式r

rr DV ∂Vr r rr a(x, y ,z , t ) =ax i + a j + a z ky = += V( •∇ )V D tt ∂∂r ∂ r ∂r 其中，哈顿密子：算∇ =∂x i +∂ jy ∂z k+

/5108

EXI

§ 21..2欧拉法加的度速表式

达

体力学研究流所

张华

§.2.12 欧拉法的速度加表式达

于拉由格朗法日欧拉法与下速度关系为：的d

x =u ( , y x, , z t ) 欧 ,t d 拉yd = (v , x ,yz ,t )欧 , td拉 dz d

流体t力学研究所

张

华

欧拉法

表的流场示速度加和速度质上显实然是指瞬时该好恰过该点的流体质通所具有的速点度和加度：速

xd= u( x,y z , t,) 欧拉 ,dt 拉朗日 d格2 x= a x ( x, y ,z , )t 欧拉 dt2 格拉朗日

拉

= w

( , x, yz t,) 欧

1/178

0入即代欧得拉下的加法度速表达a x

(x , y,z ,t ) =∂u u∂∂u ∂u + wv++ u∂ z∂ ∂x y∂

D Dt

t在引不起会误的条下，也有将随体导件数

表

为

的。d

随导数体与全导实数质是上时统瞬的，一者前用采场的表示法方，后采用者质点运动的表学方法示。

1818/0

IEXTI

§21.2. 欧法拉的加度表达式速

流

体学力研所究

张华

§2. .21欧拉法的加速度达式表

流体力学研究所

华张

∂∂∂ V • ∇= + vu+ w ∂ ∂x yz∂

根上述据分可得析出下各图以中欧法拉的加速表达度。式

=0 Dt

uuD∂ ∂ u u ==uu xxD Dt t ∂

∂uD∂u = D ∂t

tu∂ D ∂u = uu ∂t +tD x∂

91/80

02/810

IXIET

2.1 .2 拉法的欧速加表达式

流体度学研究力所

张

§华 21.2.欧拉的加法度速达式

表体流学力究研所

张

华

场是流x、yz、、t个四独坐标立的数，函不有速度仅，也场压强有、密度场差等：

前

12/801

V (x ,,y ,z t, p) x,( ,y , t )z,ρ ( x y,, z,t )

当场流是只个一间空坐标的函数时为称维一场流V s,(t ) 与时当间无关时称为常定场流 V(x, , zy 。 )

，例

∂

∂st

∂ ∂s s+U∂t ∂ x∂ s∂ su+ ∂ ∂x

t此随体导即

数2/210

E8IXT

§.21.3 迹线与流，流线、管面流流量

流体与学力究研

所

张

§2.1.3华迹线与线，流管、流流面与量流r

r r r流线设位上向量：移d r=d i x+ dj + yzk drr r r 又设速向量度：V = ui+ jv+ w

k体流学力研所究

张

华人

：d dxy zd= u, = ,v =,w其 t是中自变量 tddt d

t流

与线度方速向切相即

时间。t 固

23定1/08

rr dr / / V

,或

r dr ×V＝

或流0线上切的切线方向线数速与度向方对数应比例，表为成分的关系则有

微x ddy zd= = v wu

式称此流线微为方分程。24/

810

XEIT

EXIT

2.1§.3迹线与线流流管、流，面流量与

流力体研究所

学华

§张2.13.迹与线流线，管流流面与、流

量体力流学究所

张华

研流

线

/180

56/180

EXI

TEX

§.1.2 迹线与流3线，管流流面与流、

量前所如迹述线分微方程写可为：

xdd y dz= , u =, v w=, 其t是中变自 dt量 t dd

t流体力研究学所

张华

§.1.32 迹与流线，流线、管面与流流量

.例有设一个二维定常非流其速度分场布是：u

= 2x a ,+1t v=

−2y, a≠0

流体a学力研所究

张

还华改写可：

为t求=0时（过，1）的1线和迹流线

。

d dxydz = == dt u v w这

重72/810

：解1 .求流，由线流线方（其程中t 固定常数看当）： 1 (+ )tx dd = y2x a 2a−y 积得分任时刻一 t线族流：为

(+t1) y c

=t0=时刻流线族为：

x = yc

28/18

0EX

EIT

X§

2..13迹与线流，线流管流、面与量流过（1，1）

线：

流流力体研学究所

张

华§.1.2 3线与迹线流，管、流面与流流量

当流动定常时为 u =a2x, v −2ay =由流线程由迹方方程：线积分：得

体力流研究学所

张华

yx= 1

dy =−2ay d

再t流线与迹线。

2求 .迹求线，由迹线方程其（中为t变自量）

：x dd = y积分定常并数得2a x −2ay

x d =ax2 ,t dd = y2−ya d

= 1

dx ya2 = x,dt +1 t

分积迹得线数方参程

x：= c e1 2a t

y = ,c2 −e 2ta

x= c1( 1+ t ) 2a ,

=c 2 e−2 ta

21a

由初始

件定得条1=cc21=,故求所为：

由始条初件定c1=c2=得1 ,故所的求线迹数方参为程

x ： e= 2t ,

= −2 eat

消去

t ：

得yx= 1

03/810

= x(1 + ) 2t a ,

y= e− 2 t a,

：即 = y − 2 ae ( x

−1

)可见非定时迹线常流与线重合。不

可

见常定时线迹与流重合线。

2/1908

XIE

EIXT

21..3 线与流线迹，管、流面与流量流

线体流学研究力

所华

张§.2.13迹线流线与流管、，面与流量

体力流研学所

究张

华图2-6

流管a）（线组成流管流侧；（b壁）有流量由没管流侧流壁出

流线由围成的流所也正像一根具有管物管壁一实的样一根子管，管的内体不会越过流流管流来出管，的外流也不会体过管越流壁去。

进实录像验：迹、线线、脉间线时流与的线系关

31/80 123/108

XIET

EITX

.12.3迹线与线流，流管、流面与量流

流力体学究所

研张华

2 2 流体.团运微的动分

§ 析22..1 流微团体的基本运动形式

流体

力

学研究所

张华

流面

在理论

力学中，究对象是质研点和体刚它们的，本运动基式可形示表：为• 质点: 动平刚•: 体动，平整体转动的

rr r r r &r= ∫ ∫ (Vρ ⋅n ) dS , G=∫ ∫ρ g( ⋅V n dS) Q =∫ (V∫ ⋅n d) S, m

r 是密ρ，度n 是微面积S的d线向法量其中 V，速度是向量

3，/138034/1 0

EXI

TEXI

2§2.1 流.微体的基本团运形动

式

体力学研流所

究华

张§

.22. 1流微体团基的运本动形式

流体力学

究研所

张

形动转（角平线转分）动35/18

角变形运

（动平角线分不动

3）/160

8EXI

XEI

.221. 体微团的基流本动运形式

体力学流研究

所张华

2 2.. 1流体微团基本运动形的式

流体力学研究所

华张

便为分于析在，场流中任一平取微面ABC团D析分。根据台劳级数展，开分微四个顶面的点度可速示表下如。

+ v∂ ∆y ∂yv

+v∂v ∂v ∆ x + ∆y ∂ xy

∂（

）1各点速度顶同相的部，为微分的平动团速度u（v,w）,。（）线变形2速率线变形运动是微元指各体边发生伸长缩的

u∂∆ ∂yy

u∂ ∂u∆ x + ∆ ∂xy y

运∂。动线变形率速定义为位单时单间长度位线的形量变如对。于AB长，边微在时段内分长的增边加为量

：u  ∂∂u ∆( A B) =u+ ∆x −u  ∆ t =x∆t∆∂ x ∂ x

∂v

∆x∂ ∂ux + ∆ux∂x

由得到此x 方向线变的速形为率：

θ x

lim=

∆t→

073/80

∆1 AB()∂u =∆t ∆x x∂

83180

/EXT

X§

2 2.1. 流体微的团基运动形本式

理同在 y，方向线的变形速率：为

流

力体研学究所

华张

§ 22..1流体微团基本的动运式形（

）角变3速形率旋转与速角度

流体

学研究力所

张

华

y θ li=

mt∆ 0

∆→ A( C)∂v = t∆∆y y

∂

微在分时内，A段与ABC两交正夹角边变化的与分微面的平变角和转动有关形在。分微时内段，B边的A转角偏度（为时逆为正针：）∂v

  + v∆x− v t∆B B ′

∂x = v ∆t∂θ1 = = x ∆x∂∆x

平微团面面积变的化率：

 ∂v为 u∂   ∆x + ∆x t∆   −∆∆xy ∆ y+ y ∂y∆t  r ∆x∂∆ (B A× C )A  div = lVm i=l mi∆ ∆xy∆ t∆x∆∆ty∆t → 0t ∆0

→CA的偏转边度为（角顺针时为）负

： ∂u ∂v  u ∂∂ v+ x∆∆yt + ∆∆∆xyt ∆  ∂2x ∂y  x∂∂ y∂ ∂u v l=mi + == xθ θy +∆xy∆t∆ x∂ y ∂∆t →03

/1980

θ 2 −=

 ∂u   ∆t u+∂y ∆ y −u CC ′ = − u∂ t∆ −=∆y y ∆∂

y4018/

XITE

EXT

2§2.1 .流体团的微基本动运式形

流

力体研究学所

张华

2.2 1.流体团的微基本运形式动

流体力学研

究所

华张

平

：定义平面

团微的转旋速角度单位（时的旋间角转度）为：

z =iml

∆t

∆

t0→

1  ∂v ∂

u =  −  2∂ ∂yx

上定述义实是质平面团微上相两互直线垂旋转速角的平度均值即，平角分线的旋转角速度

。

1 = θ +αβ

出解可得

：θ

2 = α β

−

义定面平团微的角形速变（单率时间位单角边形量变）：为

α=

θ1

+θ 2 2

θ= 1 −θ

214/80

1γ

z = l mi

∆t

→ 0

1 ∂v ∂u  =  + 2 x∂ y∂

42/80

1上

述定实义质是面平团微上单位间内时角变化直量平的均值或边垂单相对线角于分线的转平。角

XIE

§I2 ..2 1流体团的微基运本形式动

流力体研学究所

张

华

.22. 流1微体的团基运动形本

式微角变团速率形（剪变形切速）：率+

γ = x   2 ∂ ∂z y 1  ∂w v ∂

流

力体研究学所

张

华对

( x, y z, ,t) ,v (x, y z, , )t w(,x , y, , t )z

=y

1∂u ∂ w + 2 ∂z x∂ u∂

 + γz=  2 ∂ x∂y 

 v

∂微团

变线形率速

∂u： ,∂ xv∂θ = y ,y∂ ∂wθ z ∂z=

流体团旋转微角度速

：

ωx=  −   2∂ ∂yz

 ∂w

v∂

ωy=

1

 u ∂∂w − 2 ∂z ∂ x∂ u 

44180

/ωz=  − 2  x∂∂y



4/180

31 

∂

EvXT

EXIIT

2§..22 体流微团速度解分理

定体力学流究所

研张华

2..22流体团微速度分定解理将相

点邻速分度台劳展开：量

体力学研究所流

张华

国德理学家物 Hemhlltzo18（121-84）1858年提9出的流场度速的解分理，正定确分了区流体微团运的动形式。在设流场中，考虑相微距量任意的点两M 0 M和1，

M在0 ( , yx z ,,t ) 速度为：

u( x, y, , tz) ( xv, , yz, t ) ( w, x y , ,z t)

(u + ∆x, xy ∆y, +z+ ∆ z t) =,u (,xy ,z ,t )+

∂

u (∆)x + u∂ ∆y()+ ∂ u(∆ z )x ∂y∂∂

右侧z按变形率可及角度的形速改写式：

为

Mu1 =u M0

+u∂ v∂ u ∂   (∆+y) (∆ x)+ 1 x ∂ 2∂y x 

∂在 1(xM + ∆x ,y +y∆ , + zz∆t), 点处，速度为： u (

x ∆+x, y+ y, z ∆ ∆z ,+ t) (v x+ x∆ y,+ ∆, yz ∆+,z t) ( wx+ ∆,x y+ ∆, yz+ z∆ , t)45

1/80

1 ∂ u∂w 1∂u ∂w   + +(z ∆) + − (∆z ) 2 ∂z ∂ x 2 z∂ ∂ x1 

∂ ∂vu −  − ∆y() 2  x ∂y ∂

46/180

XITE

EXI

§ 2.T2. 2体微团速流分度定理解

流体力学

究研所

华

§张2 2.. 2体流团速度微解定分理

流

体学力研所

究

张

华u1 M= u0 + θ xM ∆x( + )γ z(∆ )y +γ y(z∆) + ω (∆y ) z− zω (y∆) 同

理：

1 = Mv M 0 θ y +∆( y + ) xγ (z∆) + zγ ∆(x) + ωz (∆x −)ωx ∆( )z

＝微

运动团平动

＋

＋角

形变

＋

角速度

（转动

）线

形变拉伸）（

1=wM 0 θ+ z(z ∆)+ γy(∆x +)γ (∆y)x+ ωx (∆ y ) −ωy( x)∆

应

指该，实际出流体团微的动可运以是一或种种几动的组合运。：如 1（对）于均速线运动，直体微团只流有动，无平动转和变运形动

（2

）旋无流动流，微团存在平体、动变形运，但动无转。动（3旋转容器内的流）运体，流体动微存在团动转但无平动，无变形、运动。4

/180

EIIT

.2.22 流体微速团分解度定

刚理体与流微体团速的度分解定理重的要别:差

体力学研究所

流

张

§ 2.华23 .散度其意及

义流力体学究所

研

张

同三个方向

的变线率之形在和量分向中析称为速向度r r 量 V 的散度符，号 di为Vv，即r

∂u v∂ ∂ widV = v++ x ∂y∂ z∂

分

Δx, yΔ Δ,，原z体积是来Δx（ΔΔy），z过经Δt时间三后个边分别长为：

变9/418 500/810

换

言，刚之体点一质无般旋转角速概念，度而体质点流则能可旋有转速度角

。EXT

XIT

22.. 3度散其及意

义∂ u ∂ u∆ → xx + ∆x∆t∆= 1 + ∆t x∆ x  ∂∂ x



流体力学究研所

张华

22..3散及其意度

义

流体学力究所研

张

华

可以证明何形任微团状的对体积膨相率胀均为式。上



∂ v∂v ∆y →∆ y+ ∆y∆t=  1+ y∂ ∆  t∆ ∂yy

∆z →∆ +z

∂w

 w  ∆∂∆zt = + ∆t1 z∆ ∂z  ∂ z

则对相积体膨胀（率单位积体单在位间时内的增长）量：为

∂u  v∂  w ∂  1 t ∆∆ − ∆xz∆yz∆  1+ ∆ t∆1x + ∆ t ∆y1  +x∆∆∆z∆t y∂x   ∂  y z∂  

u ∂v ∂∂ +w+ =0 diV =v x ∂∂ yz

∂果是如密有度化变流动，的那么度一般散不地于等零。51/1

805 2/81

0略

次高后＝

项u∂ v∂∂w ++ ∂ x∂ y∂z E

EXTI

§ 2

..2 旋度和速度势4数函r

体力学流究研所

华张

2§..2 4旋和速度势函数

度流

力体学究研所

张华

微的瞬团时速角度ω 是上述三个向方角度速分量 r之 r1 1 ∇ × ，称和，这V个在值向量分里析为记rtoV 或 r， 22为 V 的度旋

：这样

的分在划理作研究论有很大时意的。义无流旋多了 r 一个 ω = 的0条件这。个条就件：

r是 r1 rr r r rot1V =∇ × V ω== xω i + y ω +j ωz 2 k

2= ∇∂ ∂ rr ∂ r+ij+ k ∂x∂ ∂zyωz

yωx = ,0ω y =0 ,ω z= 0

yω

ω x

xu ∂∂ = ;v∂ y∂x

∂

∂wv = ;∂z ∂y

∂

w∂u= x ∂z

∂

个流场，如一各处的

果r

本上基不于零等这种，流

场在数

分析里学，上式是

式

称有旋为流，其流场称为有动流旋。一流个场如果，各r 处的 ω等于零都，这种场流称无为旋场，流流动称其无旋流。

3/5801

dx +uv yd +wdz

成全微为分必的要和分充条

件4/1805

EXIT

§ 2

.24.旋度和速度势函

数

流体力研学究所

张华

2§2..4 旋和速度度势函

数

流体力学究所研

华张

现在既

无是流，旋们我令 d可代φ表个全这分微

：φ = udxd v+y + wdzd

关

积分径路关：无

Svs x

55/180u56 /810

φ= φ(x ,y,z 名为)速位度或称(位)函势，为数标量；

,,wv与的φ系是关：

；

∂

∂φ φ∂ uφ ,=v =, = wx ∂z ∂∂

y就这是，速说度函势在数某方个向偏的数导便等于度速在那y个方向分的，例如量

v s =： u cos x( ,s) +vcos( y , )s +w co( z ,s )s = ∂φdx ∂φd y∂ φ d ∂z φ++ =∂ x d s∂y d ∂s zsd∂s

v V

∫ ud(x +vy d +dw) =z∫ dφ φ

= AA

−

φA

wXIE

TEX

I 2§.24. 度旋和度速函势数例

.有一个设维流二场其速度布是分u= a2x,

体力流研学究

所华张

§ 22.. 旋4度和速度势数

2函. 求φ：

流

体力学研所

张华究

v =2−y ,a问

个流动是有这旋还是无旋的？的有有速没度存势？流线在方程是什么微？元何变如？形解: .1计算 z：

ωdφ

= a2dxx− 2 yay

d积

分得

：u ∂ =0,∂

y∂v

=0 x

φ∂ a=( x 2− y2 ) 此处积（分常取数零为） 3.

流线求由流线方：

程∴

ωz = 0可

流动见是旋的，应该无有度速函势φ数在。

存751/80

d xdy= u

dxv d y =ax − 22y

a58/810

XIT

EXTI

§ 22..4 度旋速和度函势

积数得

分

体力流研学所

究张

华§2 ..42旋和速度度势函数

流体力学

研所究

张

华yx= C

考察矩

B A

常

C取数系一的值列，流得线是系一双列线。曲4 .变形线：由率

θx =

∂u∂x

及θ =y

∂

v 得：，∂y

=x2 a,

5. 变角率：形γ z = ( 6 散.：度

y =− a

B’2 C 0 ’A’ D’B ’’C ’ ’’’AD’

’

1∂ ∂uv+ )= 20∂ ∂x

iv V=θ x+ yθ =

09/5810

需指出，一要般并不先是有速度后了φ，求而是恰恰相反先，求φ出然后再，定确度速分布。的6

0/10

8EX

ITX

§2 3.理流体运动微想方程组分

.231.连续程方

流体

力研学究所

华

§张 23.1.连方续

z y

密B A

体力学流究所研

张华

’ BA C ’C ’’

将

密流一当标

个

量看，则面中各的点流密可由心点台劳级数中开展达表。 dt 时在段内从，ACBD进面的流入体量为质

：∂ ( ρu )dx  1 = m ρ u  d−dydtz∂x 2 

6/180 16/2810

EIX

ETIXT

§ 2..13 连方续

程d在时t内段，从’AB’CD’’面出的流体流量质为：∂ (

ρu ) xd  2m=  ρu + dyzdd t∂x 2

流

力学研究所

体张

华

§ .32. 1续方程

流连力学研体所

究张

华理同可，得在d t时段内，由y, 方z向流入微净分六体的面流质量为：体

在td时段内，方向净流入x分微面体六的流质体为量：∆

xm m1= − 2 m∂ ( ρu ) xd  ∂ (ρu )xd  = ρ − u ydzdtd −  ρ +u d dzdy ∂x t  2∂x 2  ∂ ρu () −= xdyddzd ∂t

x3/168

0 (∂ ρ)vd xydddtz∂ ∂y( wρ)∆m z = − xddyddz tz ∂此由得可在 dt，时段由所内有侧流面到入分微六面体净的流总质量体：为 m ∆y −=

∆m = m∆x + m∆ y ∆+ zm ∂( ρu )∂ ( v)ρ ∂( wρ) = − + +ddxdyztd y ∂z∂  ∂ x

4/10

XEIT

T§2 3.1. 续方程

度连变化起微引六面体质量分增加量为的：

流体

学力究所研

张华

§2.3.1 续连方程程，即：

∂

ρ ∂( ρu ) (∂ ρv ) ( ρw∂) ++ +0=∂t ∂x ∂y∂z

体流力学究研

所

华

由于张是空间ρ置和位间时的函，数在td 段内时由于，密

上式边同除以两ddxdyzd，t整理得微分形式的连续到方

ρ∂ ρ∂ dt ddyxzd − dxdρdy z=dxd ydzdt m∆t = ρ +t∂  t ∂ 

据根质量恒守律定在 d， t段时从内面净流侧微分六面入的总质体量，等应于六面体流内体量因质密度时随变间化的引起增：

量∆m= ∆mt  ∂ ρ(u ) ∂ ρv ) ∂ ( ρ(w ) ∂ 即ρ：−  xddydztd= dx dyzdt + + d∂ ∂t ∂zy   ∂x

65/108

r ∂

t66/80

XIET

EITX

§2.3 .1连续程

流体力学方研所究

张华

2. .13 连续方

程续方程连

Dρ r+ ∇•V = ρDt

0流体力

研究所

学华张

连续程方 ρ ∂+∇ • ( ρV ) = 0物的理义意是流：微体控制元∂t ∂

的物意义是：理体流微的元对密相

度体密

的局度部长增 ∂t 与率微控制体元单体位流出的积质流量量∇ • ( ρ V)之等于零。和r

∇• ( ρV) 等于微控制元体上单体积流位的出质流量量

增

加率相与体对膨胀率之和积为。零对于可压缩不流，体连方续程为变：

的

原因在，因为于高斯有公式

：r∇ •( Vρ ) =lmi

r ∫∫ρV(• )dsn

D = ρ0 Dt,

r • ∇ V= ,

0∂

u∂ ∂w +v +=0 ∂ x y ∂∂z

τ0→

r显（然当度密不时变，可

将散度 diVv =∇ V •看成单位

体积流的体积出量流

67/）81

可不压续连方程 ∇ •V = 0物的理意义：是可不压流动流缩体微的相对元积膨胀率体保为零，持或从微控元制流体出的单位体流积量为零。68

/18

EXIT

2..3 1连续程方

连方程是流动首先续应该满足基本关的系。例，如度场速

： u=x + ,yv = x − ,

yw=0

流

体学力研所究

华张

2.3.§ 1续方连

程

体力学流究研所

华张

=0 Dρt

微分由

满不足可连压续程方，够代能一个表维不可压三流缩动。而度场：速

u= ,xv = −y , w =

zu∂∂v + = ∂0 x∂

yu∂∂A ∂xv −= −== −A ∂ ∂xy∂

x则能够不代一表三个维不可缩压流动。此，还可外根以某方据的向速度分布连和方程续确，定出其方向的他速度分。布6

9/180

7018/0

EXIT

XEIT

2§3..1 续方程连

流体学研力究

张华

所§

.23.1连方程续

可压、均不与值密为度数的常关系这几个*念之概是有间差的别不可压

D ρ=0Dt

流

体力研学究

张所

华 v= ∫ A−y + fd( x ) −=A y+ f ( x)如

流果动定常非，式中上数函fx)( 则应为 f(x，)t而函数 f(。) 的式形可取。任因此有无v穷多解个。果如设在 vx轴上的布为0 分即 (fx)＝ 0，则：

指的是每个质点密度在的动过流程不变，中但是个

这流体质点

∂= ∂ rr ∂r +i +jk ∂z∂y ∂x

−=Ay 71

180/

EXIT

∂t

D ρ=0 ，不可压流是体 D。t

/18

EXIT0

§ 2.3.2

ulEre动运分微程组方

流

力学体究研所

张华

§.23.2Eu ler运动分微程方组

体流力研学所究

张华

d。x zyd ydz x

假： y 设六体体面：d积=dτxyddz 中点心坐标：x ,y ,z ∂ dxpdy p 中−点心速

度：u ,v ,w∂ 2x · PuD w dz Dv 中D心点速度：加, , d Dtx D Dt 中t心点强压：p z中心密点度ρ：中点心沿处三个方向单位质的彻量力体：fx ,f y, f

zp+

∂ pdx∂x 2

微元六面

的表面力可以体中心用处压强的点一台阶展劳开表示如,图为 x向方体彻力其，方他向理同得可。7

31/807 4/801

EXIT

§X2 ..3 Eu2erl动运分微程方组

流力学研究所体

张华

§ 2.3.2

Euer运动l微方分程

的表组达，

得f −x

流

力体研学所究

张华

由于没有应剪力，且其他面并上压的力在 x方均向投无影，从x方而的向表面力为：

p∂ ∂ dx p∂p d x  p− ddyz−  p + dydz  =− ddyxz ∂x d  2∂x 2 ∂x 

两同边除微元体以积 dxydd，z令其于零，趋并入代速度加

∂p

ρ ∂

∂

∂uu∂ uu∂+ u+ v +w∂ tx ∂∂y z∂

x 方

的向彻力体：为

xρdx ydzd

据牛顿根定：律x 方向外力等于合量质乘x方以向加速度，得

1∂p v∂ ∂ vv∂∂v 同理以可写出y fy − = +u +v +w yρt x y∂z ∂ ∂∂ ∂ 和 z方向的表达：

f z −1∂p = ∂ w∂w ∂ ∂w +u +vw +w z ∂t ∂x∂∂ y

p∂Du − dxdy z + f d xρdxydz = d( ρxddyz d ∂x)D t

5/781

ρ0 ∂z

这就

笛是卡坐尔系下理想标流体欧的方程拉

。76180/

IXT

XTI

.23. E2lure运微分方程组

欧动拉方的向程形式量为

r： r D1Vf −∇ p ρ =Dt

流

力学体研所究

张华

2. 32 .ulEe运r动微分方程

流组体学力究所研

张

华理流欧拉想程还方以可另一有表种达形式。加速度把的迁移部改写分下一，把速角度成配显：式

中 V 是合式，另两速个迁加速度也可移以改类似的式为：子

u v∂ ∂ ∂vv∂ V2 +v + w=  − 2 wω (x −u ω z ∂) ∂yx ∂z∂ y  

f2 s−

∂p1

∂

∂V V∂+ ∂V t∂

s77/108

uEX

w∂ ∂w w ∂∂ V 2  +v w+=   −2(ω y − vuω x) ∂x ∂ ∂zy∂ z 2

78180

/EIXT

2 3.2 .uleE运r微分方程组动

流力学研体究所

张华

2 3.. Be3noulril分方积及其程理物义意该方的程量形向式为：r r

1D ∇Vp= f ρ−Dt

流体

学研究力

所

张

华如下得形的理式流欧拉方想程称为“罗米格－兰姆方程”：

该形好式是处在方程中显示旋转角速了，便度分析无于流旋动

7。/981

其中：VD

rr r r∂V rr ∂VV2 + V( •)V ∇= ∇+( −)2V × ω∂ 2 ∂tt

设假流体正压为流(体压强只密是单值度函)数

:Π 设

= ∫ρ dp, 有

则1

Π∇=

p∇

假设

量力有质势：设假流动定常：

EXI

rf =−∇ Ω r∂ V 0= t

8∂/0108

XET

§I 23.. 3Breoullni积分程及其物理意方义从格而米罗柯方程变：

流为力学研究体所

张华

2 3.3 .Brneoulli分积方程其物及理义意

流体学力究研所

华张

V2  rr∇ Ω +∇ Π+ ∇  =V × 2ω()  2 

理想、在常、正压、彻体定力有和不势可压条缩下件格罗，米方程可柯为写

：1

或

：

∇

Ω+

 V 2 r r  =V (×2 ω ∇) +p∇  

2ρ

r r∇ p 0= V × 2( ω)

∇ 0

p Vr

在不可条压件下式还上写可：为

1 ∇ ( ρΩ+ p +

这

方程个深反刻了总映梯度压速度与量向和涡量之向的关间。其系中总压

ρV

rr )= V× ( 2 )

p0 = pω+ ρ Ω+

V 2 ρ, 重力在下场 = gy 2Ω

1 2

令 p = 0 + ρΩ p+ ρV，为称压，总则： 2

上

式明在所给条说件，下压总梯与度线流和线均垂直涡

81，1/0

8总或沿流线和压线不涡变如上图所示。

。

82/180

I 2§..3 3Benroulli分方积程其及理意义物即流线或沿沿涡线有：

流体力研学所

张华

§究 23.3.B ernoulli分方积程及物其理意

义rr 对于罗格柯方米：程 ∇ ( +Ω Π + V) 2V=×

体流学力研究所

张

华 10p= p+ Ω +ρ Vρ 2 c=not 沿流s或线涡线沿2 r r 1 此在外以三下个条件总下压度等梯零：于∇ 0p= ×V (2 ) ω=0 ρ r (a )止流静:场 V 0

在现场流中任取，条光一滑曲线d ，S将并上投式影曲到 r 线上（点乘即曲该切线线单的位量向 ds /d ），s可得：r

r ∂  Vr2   Ω+ +Π d = sV2× ω ⋅ds ∂  s 2 

b)(无旋场流，势流动有:ω =

(c0) 流与线线重涡，即螺合旋动流 :V //

r r r果上如右边式为项零 : × ωV⋅ d s=0

说明在

上三述个条下总件在压个流场保持不整：

p变 0 p=+ ρ Ω+ ρV 2 = co1nts全流场2

83/180

则可

曲在线有上

：V

2 ∂ = 0 + ΩΠ + 2 ∂ s  ΩΠ+ V2+= C ( ) 2

84/s81

上0述个二式就公是伯努利方或伯程努利积分

。这就

B是renuloli积（分7183年，）或努伯利方程。

XEIT

EXI

T 2§3..3B eroulnil分方程及其物积理意义

流体

力研究所

学张华

2. .3 3Breounll积分i程及其物理方

意义

流

体学力究研所

华张

Ber

58/801

（3）在

下以条件下B，enourlli分与积所的曲取无关，在整线个场流积中分常数变不，等同于个一数常 (a)。静止流: 场 =V0

r (r)c流线涡与线重，即螺旋流动合 V :/ / ω rr 可：得 V × = 0ω从

：而即: ∇

(Ω+ Π+ V 2＝) 0

2681/80

r(b)无旋流场，有势流动 ω: =

Ω+Π+

EXIT

V 2 =C (流全)场2

EXI

2.33 .erBonulli分方积及程物理其义

意流

力体研学究

张所

华 2.3§3.B ernouli积l分程及其物方意义理

流体

学力究研

张所

华对于

不可压流体缩

:Π∫=

ρdp

在

计不体彻力情况下的(如例力重函数 Ω势 =g y ，气空时近似计不重力，) Brneolli积u变分:

p+为1 ρ V2= C

1如

质量力只果有重力

:Ω= gy

erBnoulli积变为分:

g +y

伯利努程方项具各能有量的量纲例，如2 Vρ2代表单位 ρy g表单代体位质积量体的势流能 p，代体积流体的动能

，2V C =

ρ+

单位表积体体流的压势力能

。2伯努利程方p + gρy+ ρV C

在不计质力情量下，B况ernolul积i分为变

pρ

V= C

278/810

21 2

物的意义理：沿一维流

是

流线的动体、能势及压能能可互转相换，但总量保持能不变。

88/108

IXT

2§.3. 3Brenuloi积分l方及其程理物义意

流力学体究研

所张华

§.2.3 3ernBollui分方积程其物及意理义

体流力研究学

所张

华

如

将一维果流的伯努方利程写高成度量的，并且应用于纲力不重能略忽的液体，可下式用及图下表示一维伯流努利方的程何意义：几y

p V+2 (H= ) 2gs

从

→1有：2y1 +

gρ

V+ p 1V= 2 y 2++ 2 , g ρg22

g水头总线

：或 H1 =H = H2

21 Vg

2静

力头水

线

2V g2

γH

1y1

γ1

Hy：

代所论表体流质点高的称度为度高水头p /γ: 表代论流所沿真空体管升上高的度称压为水力，上2项头合

静称力水

头V/22g :代表所论流体直上抛垂能所到达度高称为速度，水头H 代:表一维流管静沿力头与速水水度头之，和总水称。

头981/80

表

E8ITX

§2 .34.Be rnoull方i程用应

流力体学究研

所张

华§

2. .43 Brenulloi方程应用

流体

学力研究所

张华

努伯利程的实方际子例：

例

.求图光如滑器容中孔小的流出度速V，假小孔中设距自心由面为深h假设不。粘计性损失。.解小孔出流流，可假设为动定常沿如图线流伯列利方努程

：g +h a

pp haV a

收缩渠道其及压管结测

构

收使流速增缩加，而流速加处压增降低强(由渠于道下游上高度同相故静，压的高管直度反接静压头映)9

1/180

+0ρ= 0

pa+

而：

V 从=2 gh

9/180

XEI

XIE

2.§3.4B enrollui程应方用

体流学力究研

所华

张§

2 ..34 Bernollui程方应用

流体力学

研所究

张华

测

量速低气的速流用的风速管度就根据是述上原理计设并由上式去算风计的速风。管的速造很构单简，下图见：

,p Vp0

例

p+压

Vρ 2

=2 p

0气氢泡显的来示在流风管速头部滞止情况

速风的管构

结速度

V用努伯方程利算计：

=2( p0 − p) / ρ

93 180/

直

流匀机对翼的流

绕941/08

EIT

§ X23..4 Benrollu方i应程

用

流体力学研究所

张华

2.34 B.ernoluil方程用

应流体力研究所

张学

华: 解流无动旋，伯努利常全流场数通。由远前方条用件得：p

=010120 +0 .122 × 51(00 2 ) =017352牛/ 2米

例有一:种维二绕其的定固轴线旋的流动，转其V 正比θ半径于 r即Vθ=，k，如r图。试伯证利努常 C数是 r 的函。证: 数先沿着流线写出努利方程伯

= C+

于p是

： pA= 0p− p B p0= −C =pp0 −

ρ ρ

AV2= 17025牛 3 米 / V22 B =07132 −5 06125. ×2205 0 =9832牛5 /米2 V 1=0732 −51 513 =105 947牛 / 米

C22

θ种旋转一动流

对2径取导半：

∂V数θ∂ ∂ p C+ Vθ ρ=∂r ∂ r∂r95

/180

6/1809

TXIT

§2 .34. Beronull方i应程

用流体学力研所究

张

华

§ 2.

3. 4Benruolil方应用程

流体

力研学所

张华

由于究法压力差向必须平微衡的离心团力故，

∂p有V2 ρ θ=∂r r

P d∂r r∂

Vθkr=的速度分布就像刚转动一样，可以体证这个流明是动旋有流（=kω）这个结果，说在明有流旋场上伯努利常数，流跨线要是的变。

上式

及θV =r 代k入

∂

Cr∂

得：

C∂ = 2ρ 2k ∂rr

一

旋种流动

转此C是因r的函数

9。71/8

涡0量显表示角等速旋度转器容中流的是动旋有

E的XI

等速角旋转容器中的度流是有旋的动跨，线总能量改流变98

/801

EXIT

2.34.B enourlli方程应

用流

力体研究所学

张

华

2§3.4 B.rneuolil程方应用旋涡可以分像刚体为样一动转的涡

θV＝ r

流体ω学研究所

力张

华果如速度是：

v场

θ= K

θVk＝ r/

容易明证量方程能积分的数对常个整流场不变

∂C： p∂∂v = + ρ θvθ = ∂r0 ∂r∂r

核

被涡和诱导核的速场，度从涡旋至外核中涡，压心是强路一降的低旋涡，的度分速布压与分力布关系如图：的

该流场

际实上是个一无（无旋）涡流，场努伯利方程积常数分不。因变：为v

θ =Kr = −Ku yx 2 +y 2v = K x2x+ 2y涡

内为核旋流有跨流线不满足伯，努涡核外无为流旋，流跨也线满伯努足利利方，沿径程速度越向压力越大方程，从而大沿径速度向越小力压大

越99/80

ωz1= 

1 v ∂u  ∂K  2y −2 y2x − x 2 = −2 2 2 0= − 22 2   2 ∂ xy∂  2(x + y ) (x +y)  

边的例右子同还时说明，转弯的了流体一不必定是然有旋

流

10/081

ITX

§ 2

..34Berno uli方l程应

用

体力学流究研所

张

华

.42流体动运的分积程

方流体力学研

究

所张

有旋流时华跨线伯努流利数常（总能）量发改生的变其例子：他

§ 2

。01/1108 10/1820

行渠道中平流动由于的在向法在速存度梯度而是因有的，说明有旋流不旋定要一弯转

行渠平中道股两速度同的流动是不有的旋，跨流线能量改总

变V 2g2

上右图

EXIT

EIXT

2.4.1 基概念本、系统1Sy(stm)

流体e学研究力所

华张

§2.4 1 基.概本 2念、制体控C（onrtolV lumoe）

流体力学研究所

张

华

义：定统是指系含包确着定不变质物的任集何合体，为称系。统流在体学中力，统系是指由何任 y确定流质点体成的组团。体t ’

103x/108

01/480

E1IX

XTI

.4.1 2本基念概控制体的基

本特点

:流力学体究研

所

张

§ 华.422 .Largnag型e分方积程

流

力学体研究所

华

针对张质 m量定确封的系闭τ，统述上本物基定理可以律分别表为：

述1）（量质程方：

（

m c(常数= )

,或：

d m =ρ τd= 0 dtdt ∫ ∫ τ∫

表

示：统τ 系的质中 m 不随时间变量化。（ 2）动方程：量

ΣF =

d K dt

或： , ΣF=

d Vρτ dt d∫∫∫τ

表示：系统外受界作的合外用力等于系统的动对量时的间变化。

1率5/180 006/181

0EXIT

§2.4. 2L agraneg型积方分程（3）动

量方程

Σ r矩i Fi ×=r dM r ,t

体力学流研所究

张华

§2 ..42Lagran eg型积方程分

流体

学力究所

张华研

上

述积分方程称拉为朗格型日积分方程，特点是其研：或

：Σ ri ×F i= d r ρ V×dτ d ∫∫∫t

τ示：外表界作于系统上用所外力对有某点力矩和等于之系对同统一的点动量矩对间的时变率。化（）能4方量程&

W &+ d= , EQ d t或: V 2&+W &= d Q (ρ +u )dτdt ∫ ∫∫ 2τ

究

08/1810

XIE

EXITT

24.3 Reyno.ds输运l程方流

力学研究所体华张

§2.4 3 .Renoyld输运方s程流体

力学研所究张华

对

d。t

含有物中量为σ：理

σ=

d = Nm ρdd

τ系则统中的物理量τN可用下以述体积（三分重积）分表示，其τ是系统占据的空中：

N =间 ∫∫∫σρτ

d显

，当然 σ =1

时，Nm =表代统系质的；量r r 当σ= V 时N，= 代K表系统动量的； rr r 当 σ = r V× 时， N M r =表代系的统量矩；动 2 σ 当 = u V+时， N E=代表系统的能量

。109/108

EXIT

110/180

§T2 .4.3R ynoelds运方程输

体流力学研究所张华

§ .2.4 3Ryenldo输s方程

流体运力学究研所张

设华时刻系统t位于如位置（图虚）线，t+t Δ时刻系运统动了新到位（置线实，在这）过程系中中统的理量物N随时间的化率变以可写：

为+ NB ,t + t ∆−N B, t − N , C t NN− Nt d N=li Am t +,∆ t l=imt +∆t∆t td→ 0 t∆dt td→ 0

注意到当t 趋0于，时系统动而未动将，好刚于虚处线表示的空间中将，个这间设为空制体控τ 0，其表外面积S。从为而述上表达第一项的以可写：

第为项一＝l m

dti 0→B → τ0

NB ,t +∆ t −NB ,t∆ t

lmi

N B ,t

+∆ t −N B ,t∆ t

t＋Δ t

Bt C

t→0

+ im

A ,t + ∆ t∆t

dt →

−li m

N C

, ∆tt

峊＝懱惂拞暔揑検悘棟时间的化率变

从而，x

t →d0

= （第项）一 + （二第项）− 第（三）项

第一z＝

11项1/108

∂ σ

ρτ τd ∂t0∫ ∫∫112

180

/EXI

XIE

§T2.4 . 3Ryenlds输运方o程

体力流研学究所华张

§ 2.

.3 4eynolRds运方程

输流体学力究研所华

张

如图虚线用将制体控τ 的外0表面 S划分为上游表 tΔt ＋y面 S 1和下游表 S2面

。 ANt ,+∆ ∆tt ＝单位时间穿控过体制下游表面2流S出的理物量第二项 = li

mt → 0dz

y t

t B AC

第三

=项 li

NmC ,

tBC

Δt＋A

td 0 → ∆t t= 单位时间穿过控体上游表制 S1流面入控体的制物量理

：

故

三第 =项 li

B , ∆t

tt d→ 0

r r ∫=∫σ ρ(V ⋅ n ）内 S

从而第二可项写为以：第二

= li项 NmA t , ∆t ∆+t

dt→ 0

nτ 0s2 s

rr = − ∫∫ ρ (Vσ⋅ 外n dS

）S

S11

τ s2 s1

x＝∫∫

r σ ρV (⋅ n外）dsz

(以下我

将外法向的们标略去，均下指外法向

)

从而：zdN = （第一项 +（）第二）项− （第三）

dt项

131/18011 /410

EXIT

E8ITX

§ 2

4.3. Ryenols输运方d

程体流力学究所研张

§华 .2.3 4Ryenldos运输程

流方体学力研所究张华

rrr d N∂ ＝ ∫∫ σρ∫τd ∫+ ∫ρσ V ⋅(n d)S (− ∫∫−σ ρ( V n⋅ dS) )dt ∂ t τ S02 S1r

∂ ＝r∫∫ σρd∫ +τ ∫∫ ρσ V (⋅n ) dS ∂ tτ0 1s+ s

r2 dNr ＝∂σρd τ+ ∫∫ σ ρ V ⋅( )nSd t d∂t ∫∫ ∫τS

雷

：－诺雷输方程

运∫

∫σ ρ ( V⋅ n )SdS

（

以下将0 τ的下中标0掉，去τ用示表控制体体）意义积：流是系体统物量理 N时间随

的增加率等，于控体制τ内物的理随量时的变间率化上净流加出控制面S 物的理量流。量1

15/81

0当

σ =1 时，表质量代量流； r当 σ = 时V代，表量流动；量r r 当σ = r ×V 时，代表量矩流动；当量 σ= u + 时V，代表量能流量

2。

6/1180

XET

IXITE

§.2.44 ulerE型分方程积

流力体研学所究

华张

§2.44 .Euelr积型分方程

流

体力学究研所

张

华

ulerE积分方程型对控是制建立的体积分程。利方用Reyolnds运方输，程很可容易得获（。1质）方量程由雷诺运方程输取σ，1＝有

r r ，dm∂ ＝∫ ∫∫ ρτ d ∫+ ρ ∫(V⋅ n) dS d tt τ∂S

2）动量（方程由雷诺运输程，取方σ =V ，有：

rr r r r K ∂ d＝∫ ∫∫ρdV τ ∫+∫ ρV (V ⋅n )dS dt ∂ t S

n τ2 s1s

由质量守：恒

由动量守恒原得理：

rr ∂ dρ +τ∫ ∫ (ρ ⋅ V )dS =n 0t ∂∫∫ ∫τS

∑

＝F∂t ∫∫∫Vdρ + ∫τ∫V ρV ⋅ n()dS －积分形动式方量

程

τS

∂r

rrr

这

是积就形式的分质量程方。其义意：为控体制中量的增加率等质净于流控制面入的质量流量

1。7/1810

义意为：制体控所受合外等于力控制体动中量的增率加加净上出流制控面动量的流。量1

18/80

EXIT

EIX

T§

2.4.4 uleEr型积方程分

流

体力学究所研

张华

2 4.4 E.uerl积分型方

流体程力学研究

所张华

（3

）动矩量程方r

r 雷诺输运方由，程取σ= r × ，V有：r

r r r rrr dM r ＝ ∫∂∫ (∫ × Vr ) ρτ d ∫∫ (r+ V × )ρ V ⋅(n dS) d ∂t τt

（4）能S方量由雷程输诺方运，程取σ

=+u

rd E∂ ＝ ∫∫∫ eρτd + ∫∫ ρ eV( n⋅)d Sd t t∂τ

由S能量守原理得恒：

2V =e 有， 2

：

τ pnd s

轴由

量矩动守恒原理：得

rr r r ∂ r r r r∑ r × Fi＝i∂ t∫∫∫ r( V × ρd) +τ∫ ∫(r × V ) ρV(⋅ )nS τ Sd

－积分形式量动矩方程

r r +&W& = eρ∂τd + ∫∫ eρ V ⋅ ()dn Q S∫∫ ∫∂ τ tS－积分式能量形方程

义意是外：对控界体的传制率热和净输功率等于入控体中能制的增量率加上加净出流控制面的能流量。量

20/180

意义是：制体控所受外力合等于矩制控中动体矩量增的加率上净加流出制面的控动矩量量。流1

91/180

EITX

§.42.4 uElre积分型程

流体方学力研所究

张华

§24.4 E.lure积型分方程

体流学力研所究

张华

其中

轴表彻

轴τ

表力面做还可以功为法分应力做向功和向切应做功力法。向力应功（做）为率：r r r −r ∫∫ pn ⋅Vd S=− ∫ ∫(pV n⋅ dS)S

们将系统我初始时刻占据在空间的

& =W &W &−等输正入，功轮涡输负入功：W p t 轴

11/2801

=− ∫∫

ρ(V ⋅ n dS

)

为制体的外控表面

积

向切力应做功率）（：为

∫∫

⋅τdSV

上中式的表剪面力应功做（）率一可以分项下以四种情况考来：虑

221/108

TXEIT

§ .24.4 Eulr型e积分方程

流

体力学研所究

张华

§24..4 Eleur型分方程

流体力积研学所

究张

华

（1）

：彻

体力功做率）（：为(

ρfd τ)• V = ∫∫ ( f • ∫V) ρd τ∫∫ τ∫τ

r rr

控为体的体制

积r设彻力体势：有 =f − grda Ω =−Ω∇ ，：

f 有 Vρ•τd −=∫∫ ∫ρV • (Ω∇d)τ ∫∫∫τ

ττ

=r −∫∫∫ ∇• ( Ωρ )dτ +V ∫∫ Ω∫∇• (ρV )dτ

τ∫∫τ

⋅V dS 0

123/18S0

于对定常流动第二项，连由续程为零方。第项一由 rr高斯公式 = −：∫∫ Ω (ρV n ⋅)SdS

214180/

EIXT

XTI

.2.44 Eleu型积分r方程

体力学流究所研

华张

2.4.5§Eul r型积分方程e应用积的形分质式量程的方用应

流力学研究体所

张

华

& W+ &+ W&=Q &+W & +W &从而：Q 彻表

轴 &+W& −W & =Q ∫−∫p t S

r rρ (V⋅ )dSn

r − ∫∫r ρΩ V ( ⋅n) S

S值得指出：

• 量方质程描流体述的量质守恒条件，流体是否与受力无，与流关属性是否体有性也无粘。关积•分式质形方量不描述单独点程的节细，它

用代入

：r rV &V +W& = ∂ u( )+ρd τ ∫+ ∫( +u ) (ρV ⋅n)dS Q ∫∫∫ t τ 2 2 ∂

S 222

理得：

r r V整 Vp& + W &− W & ∂ Q (u= ) ρ+τ d +∫ (∫ + + u + Ω)ρ ( ⋅Vn )d Spt ∂t ∫ ∫ ∫ 2 2ρ τ S

在制体上控甚，允至控制体包许含流不连续动地方，的如例后以介绍要激波的处。

上等式就常用是的积分式的能量方形程。12

/581 102/6108

EXI

I§2 4..5 Eler型积分u程的方应

用流体力

学研所究

华张

§ 2..5 E4uelr积型方分程的用应

流力学体究所研

张

华

：例一段气管输直径道10m5，m相距在8的两m个面截上时量同数据，流取入

∂ρ d τ+∫∫ Vn dρS 0=∂t ∫ ∫∫τ S

例：

rr ∂ ρd +τ∫∫ (V ρ ⋅ )dS = n ∂t 0∫∫∫ τS

dρ 2 &m−& = 01 +mτ td

ρτ

常=

数

ρ ∂=∂t

−

∫∫ρ Vng sd

mρw

21－8.＝ 01.44（ kg/ m 3 s） 2 98 . 3.×41 × 01. 5 4×8

1 82/81

217/10

EXT

XETI

§24.5.E lure积型方程分的应用

流体力

研究学所

张华

§ .42.5 uEle型r分方积程应的

流体力用学研所究

张华

& −m

2& d ρm = 1 dτt=

关积分于式形质方量程步讨论：由式上：得

∂ ρd τ+∫∫ ρV nSd = 的进0 ∫一∫ τ ∂∫ tS

w 1 Q ρ−2QQ = ρ( w ρ − )τ

τ（1

）密度等于常数当时ρ＝c，(必然为可不压)

，∫V∫ Sd=

n 0

SQ 1S S1

2Q2

解

2）（：由式上

dρ： Q Q= ∫ dt = t ∫ ττ0 i (ρ ρ − wρ )

上述

积分用可流入流出的体与积量Q表流为：

−Q1+ 2 Q =

0或

1 =QQ 2,

τ=Q

w ρi− ρw ρ−

291/81

明说：当密度于常数等时，入流制控的体积流量体流与出的积体量流等

相130/801

EXTI

EITX

.24.5 Eleu型积r方分程应的用

流

力体研究学

所

张

华§

24.5.E uerl积型方分的应用程

体流学研究所

张力

华

（2）当流动定为常可压时，有

：（3）对一维流动于，控体制图如• 一流动中维，当度密等于数常时流，入的体流量等积流于的体出流量积，表可为ρ1

1V A

ρ21s V2

∫ ∫ρ dSV= 0

&S表示得到设，质流量量用m

=m 2 &m

或

=& m

V1CA1 V= 22A

V, A c

说=明当动流定常，流时控制体的入量流量质与流的质量出流相量。等

注后一式表意示经流控制任一截面面流量的为数常

1。311/8

0说

：在明密度变不一维流的动中流，管的细粗将反映速小流。大132/

EIXT

EXT

.4.2 E5ulr型e分积程方应用的

体力流学研所究

张华

2§4.5. uEerl型分方积的程用应

流体

学研究力

张华所

•

一流维中动当定常，可压，流入时质的量量流于流等的出质量流，量可表：为

积分

形式量方动程与量矩动程的应方用积形式动分量方中的合外力指流程受到的体所有式的外形力之，和以可包

13。/180 13341/0

ρ811VA 1= ρ2 V2A 2 ,

Vρ = cA'

明说在：定一常可压流动中维密度，ρ速、度 V 截面积与A 的乘积为常数。• 对 ρV A c= 取微式分，以可到得定常一维流质量方动的微程形式：分

dρd V dA += 0VA

XET

Iρ

+EXI

2.§.54 uEle型积r方程的分应用

流体

力学究所研

张华

§2. 45.E ulre型积分方的应用程

流体力研究所学

华张

对于物体

：

设2端的压强两分别为p1、2p管，对壁体的作用流分量为力

－R、－ xyR（如上图），计不彻力，体而动量方从可程为写

（方x向）

p1 ：1 Aocθs1− p2A c2oθs 2 R−x= ρ 2 AV22 cos2 θ −2 ρ 1A1V21 coθ1s

即

：2θ

∑

F =∫ ∫ ρVudS =Q(u

x nρ

2 −u 1)

R－xA

R1x= ( p 1+ρ1V12 ) 1Ac soθ1 −(p2 + ρ V222 ) 2A coθ2s

R y (=p + ρ111V2 )A1 sni1 −θ (p2 ρ2+V22) A s2inθ2

2pρ2、V2

、y

向理同

：－yRx

∑

F= ∫ ∫ρVv Sd =Qρ(v

y nS

v1−

)θ

11、ρp1、1

方左端程控制体内是体所流合力受在相应标系的投坐,可影含管璧对包流作用力体、力重和两压力端

。

13518/0

如此

到得的是就壁管受力。求管当壁所受由流动引纯的起作反力用例如定管道的固栓受力时，由于螺大气压合力无可不考，虑上式中压强表用压。

361/8

EIT

XIT

§ E.2.5 4uEler型积分方的应程

流体力用学研所

究张

§ 华24.. 5uElre型分方程的积用

应

体流力研学所究

张华

对于

为

控制体n内的 x向彻方力为：体

fdτρ∫ ∫∫τ

x而从控体制内 x方所受的合向外力：为−

∫ ∫ cpos(n ,)dSx +∫∫∫ fxρ dτ− x

控体制

注：连接

S和S1双面上层面的积为分0。控体制内方向x的量动随时间变率化净流及出控

制p(n, )

x−

∫∫ p cos

(n,x d)

S的面动流量量为：∂

13/170

8∂t∫∫ ∫τ

uρ τd + ∫ u∫ρn dS

1V8/381

0EXIT

ITX

§.425 E.leur型积方程分的用

应

流体学力究研

所张

华§2 4.5.E lur型积e方分程应用的

体力学研究所

流

张华

由

动守量恒，得：−

∫ ∫ cps(n, xo)d S+∫ ∫∫f ρxdτ F− x

=．有例一种尾详迹法测可以来测用一个二量物

维

τ ρud∂ τ+ ∫∫ ρVu dS ∂nt ∫∫∫τ S ∂ ρvτd+ ∫∫v Vρ dSn t ∂∫∫∫τ S ρ∂wd +τ∫∫ wρ n dVS t∂ ∫∫ τ∫S

同理：

的体阻型（型是阻由粘性直和间接接造成物的体阻，力如例摩阻擦和压差力力）阻。们我来看一要测看些哪量并怎样使用积，分形的式量方程。

动动量法测型阻

−

∫ p ∫cosn( y,)dS + ∫∫∫f y ρdτ− F y

− τ∫∫p c os(, nz d) S ∫∫+∫ f z dρ τ− zF

1、1u

2、u

述上方常程用常于定常流的动气体，时式中的当地此化变一项率于等，零且彻体力以可忽。积略形式动分量

39/118

140/810

EXI

TXET

§ 2.4I. 5ulerE积分型方的应程

流体力学研究用所

张华

§ .4.52E lue型积分方程的r用应

体力学流究研所

张

华

Fx= − ∫ u∫ρnVdS = 1 ρuu1y1 −d 2 ρuu d22

例

11 2

2y1

∫

考

到虑续方连程ρu1：dy = ρu12dy 2

则 :F x =∫ u ρ 2(1u − u 2)d

yσ

测

出尾区迹中σ度速分即可求出阻力布

。411/80

412/810

EXI

TEX

T§ .424.Eule 型r分积方程的用应

体流力学究研所

华张

2.4. E5uel型r分积程方应的

用

体流力学

研

究所

张华

（1）求

作用如力图建坐立系，取控制体标图如，设控制体假力为R受由 y 向，动方程：量 ,Vby 1

（ 2求）射宽度比 b流/1b 2由向动x方量：程x

y b

, V

b, V1 1

0=∫∫ ρVu dSnS

R = ∫

vρ∫Vnd SS

, V

b0 =

(V osc ) θρ −V()b +V1ρ 1V1b+ (− 2 V )ρ2Vb

2θ

, 22V

（注

控意面上大制气无合压）

考虑力到V：=V2=1，有V

b,2 2V

=R −( siVnθ )ρ −(Vb)R

= ρV b insθ

bcs oθ= b1 −2b

可见＝9θ0时受力0最大1

3/480

上与 b 式= 1bb2+故射流得度比宽：1b

XIT

E联

得：立1b =b2

= 1 +oc θ ,s1 − oscθ

1 + ocs bθ 2,

=1 −

os cθ b 2

斜板

受力此与小大等相方向相反。

这也

是量流Q1比Q/

124/1408

XIT

§2 ..4 5ulEe型r积方程的分用

应

体力流研学所究

张华

.2.4 5Euerl型分积程方的应用

流体学力研究所

张

华（）3求的力作用点e 力设的作点用y轴的距离为e距设，时针方向为顺矩的正方，向动量由矩方

r 程 r rr∑ Fi ×ir= ∫ (∫V× r )ρVn Sd

积分形式的能量方程

应的用1 一维.定流常量方能程

x 22 rr &+W & W− &= ∂∫∫ ∫u + V () ρd τ+∫∫ ( u p+ +Ω +V ) ρ V ( n ⋅)S d Qpt t∂τ 2 ρ2 S

b V,

b1,

R ⋅ e = V0+ ( V

1 12

b1b ) ρV1b1 + ( −2V 2) V 2ρ b2 22

bθ2,V2

RVρ 2(1b 2− 22b) 1 (b1 +b 2)( b −1b2 ) 1 b(b oc θs) e= = = ρ 2V sbin θ2 bis θ 2 b nin s

e= θb cgtθ 2

仅当＝θ09 0时力合作用点的通过才流中心

射14518/

将0积形式的能量分程方用在进应口出处动参流均数匀分且只有布一个进口一和个口出控制体的上，流动常：

p2定

2p, ρ 2 ,V 2, 2

&W轴

p ,1 1 ,ρV 1,s 1

2 V pV 2& W & +− W & (u= + 2 +Ω +22 ) m & −2 u1 +( 1+ 1Ω 1+ ) m& 1 pQ 2t 22 ρ1ρ

146/80

1EIX

TEX

I§

.4.25E uel型r分积方的程用

应流体力学研所

究张华

2§4.5.Eu el型r分方程积应的用

流

力学研体究所

张

华意到质注流量不变，量式除上以质量量化流为单质量位形：式

V p2 V2 q+wp − w =t( 2 +u+ Ω 2 2 ) −+(u + 1 1 Ω1 ++ 1 )2 2ρ2 1 p2

ρ注意到在重力下：

场

Ω =dgdy

+qd = wd u+d

g d +yV d

与静止气V的体热学力一定律

dq 第=d u pd

1该式

意义：对为维一控制加热体做功和等，流于与出流入制面控能量的差。成写分微形，有式

V2： dq+ d = dwu + + d dΩ +dρ 2 p

41/7108

14/180

8EIXT

EIXT

.2.54 uEelr型分方程积的应用

流体学力研所

究

华

§ 2张..5 4uElre型分方积程应的

用流

力学研体所究

张华

2. 一维定流能量方常在各程

ρd

+g y1+

V Vp =2 g+2 + 2y 2ρ2

122

化1ρ

p +1 gy +1 V2 1 pV +2 pw = 2 g+y +2 2 w+tρ2 2

+ ρgdy +VdV

这而是就维一欧方拉程可积分得伯，努方利程

149：/108

用这个程可方方的便初估算风步对扇动流功做功的率，利用水高库发电差使轮涡产生的功机率问题。等

10/518

E0XIT

EXTI

2 4.5.E leru积型分程的方应用例1：已管道（知洞）体积流风Q量30m3/s,=压力升为 p2-p 15=0pa 0 求风,的功扇N率扇

1 2

体流力研学究所

张

华

§2. .45 uler型积E分方程的用应

流

体学研究力所

张

华得测风两端

扇（3

在）热绝有粘、性损失不可、压定、、常一维、重场、力机械功无输输出入条件，下机械能由于粘将损失转性为热化或能内，能能量则程方为化：ρ

11p+ gy 1+ 1V2 p2 2 V + g=2 + 2y ∆+E2 1 22ρ2

解

：设想理、定、常维一不可、压由1-，2面断量能方程

：1 p12 pVV2 + w p =2 +y2g+ 22 ρ2

p = w2p

gy1+

得

扇对每单风质位流量体功做为：则风扇率功：

为

−

ρp1

其

ΔE中1＝22-uu1是1从动流到每单2位质流量体的能量失损摩（擦热生）用这方程个可便的初方步算一维管道估流的动失损率等功问题

15。1/81 1025/108

&N扇 = wp

mN =扇p −2 1

ρρ

Q (= p2− p 1)Q =15 k(w)EX

EXI

§T .4.2 5Euel型r分积程方的应用

流

力体研学究

所华张

.425. ulEr型积分e程方的用应

流

体力研学所

究张

华

例：进出面积相等口度高相的同道管,体积流量=3Qm30/s,测两得端压降为p1 p2-500=ap, 求流动的粘损性功失N率解损设流：定常、动一，维由

：1

2 1

（4 ）在热绝有、擦（摩等熵）、可压不、缩定

、一维常、计不重力能、无机械功输入势输出条件下内，将能与参械能之间的机可转换逆，则能量程方为化：u1 +

g1 +y

V p

V = 2+ yg2 ++ E1− 22ρ 2

1E−2 = p

V12p V2 = 2u+ 2+ 2 2 ρ22

得从12每单-质量流体位损的失量为能：

−

即：

V2h=c 2

其

中h，焓为 h： u +

pρ

−p 2 & 1= ρQ ( =p −1p2 )Q= 1 5k() w则-2的损1功失为： N率损= E 1−2m ρ (注上：管述围道起可来看成洞风的一，因此1-段压差可看

2上能量方程述微分形的式： d为 h+ dV = 0V 这

个方在程维定常可一流中压有重要应用。将这是我们在6章第重点介要的内容绍

。成由

扇风供用于克服管道提损，失故所即求风功率扇，由可153/180 风两端扇有的械功输入的能机方量验证。) E程XIT

154

1/08

EXIT

§2 .5 环量涡与§ 2.51. 量与环的涡念概

体流学研究力

所

张华

.5.1 环2量与涡的念概

流体

学研究所

力华

张研

155侧1/08

rr Γ ∫=V ⋅ d s = ∫ V os α dcsL

如把果一速度向量个成三分个标轴坐方的三向个量分,u,vw ,把线ds段也解成分d, xd, dy z

三

a) (沿曲线B作A速的线积度分

(b)

闭曲沿速线度线积分的个方的向三线段，有个：r r V ⋅ ds =udx +dyv+ dw

是环量于表达式：

Γ = ∫ ( 为ud +x dvy + wd z

15618/0

ETIXT

2 .5. 1环与量的涡概

流体念学研究所

力

华张

2. .15 环与量的概涡念

流体学研力所究

张华

果如动是无旋的流，存速在势度函数，Φ那末上式中 u ,v 的w,都可以用Φ 偏的数导达：

u=表∂φ x ∂=v ∂φ∂y w= ∂φ ∂ z

涡量概念

r量可写涡为：ro t V =ω2= ∇ V

×r

∂φ ∂φ rφ ∂ = ∫ ΓV ⋅ d(s ) = ( ∫xd +dy+ dz ) =∫ φd= 0 ∂ x y ∂∂zL L

L说明在无旋动中，流沿着意任条一封闭曲的线度环速量均等零。于是对但有流动，上旋述结论并成不立，绕意一任封闭曲线条的度速环量般不等于一。

15零/781

旋0轴转线都按手右定则确定。合角速度是向量个，它的个三方向余是弦x/ωωωy/ω ,,ωz/ω。

5818/

0EIT

EXITX

§ 2.

.5 1环与量的概涡念

流

体学力研所

究华

张

§.251 环.量与涡概的

念流

体学力研所

究张华

）xdω

是z

ωx

ωy

dγ

ωd

n r

zω

线

涡

∫∫2

zdS

定瞬间，给过某一通曲（本身不是线涡线）的所涡有构线的曲成面称涡面为。封由闭涡组成面的状管面称为涡管涡。

平面问题涡通的量

间问空题的通涡量

涡面

在维空三问间题中涡，量通是就：

r r∫ ∫ω2⋅ d S

∫∫2ω cso dγ

6011/8

0涡

15管91/08

式中的

S是任意形状空间曲面，γ 是面上微面曲积 S d法的线ω的和线之轴的夹间角

EXIT

。EXI

2.5.2§环量涡与的量系关

流体力

研究学

所张

华§

2.5.2环量与量涡关的系

流力体研究学

所张华

有旋在动中流，度环量与涡量存速着在十密分切的联系为。说明这个系，联先考察首二流场维。

Γd

=ABDC

A V ⋅∫ s

量161/81

162/80

XTI

§I2.5 .2环量涡与的量系关

流体

学研力所究

张

华

25.. 2环与涡量量的关

系

流体力学究所

研

华

张绕个封闭整曲的速度线量环（上图为中元矩微形块的重部合分做线分时积因负号相正反相消）

r 而r∂ ∂v Γu =∫ V ⋅ ds= ∫ (u dx+ v y d) ∫∫=( − ) dS= ∫∫ 2ω zdS L∂x ∂yL s s

4/6810

上

6318/0

EITX

ITX

.2.5 2量环与量的关系

涡 r rrr r r = Γ ∫ V⋅ s d ∫=∫ 2 ω⋅ d S ∫=∫ roVt⋅ S

d S SL

流

力学研究体

所张华

§ 2.5.2

量环与量涡关的系

体力学流研所究

张华

表明：沿间封闭空线曲 L 的量环，于等过穿在L张上意任面曲S的上通量涡涡通量的，数与值张所的曲面形

状无，关跟围线只所包的涡量含关，有无时旋通涡为量从而零封沿闭曲的速度线量也环n为零。 r γω 对于无旋流动有：

r 还

α开展：

即 ∫u(dx +dy +v wdz )

L

w∂∂v ∂u ∂ w ∂v∂u =∫∫ ( − ) cs(on ,x + ) −() osc(,n y) (+− ) cson, z() d Sy∂ z ∂∂z x∂ ∂ xy ∂ s

= ∫∫(

w ∂∂v∂u ∂w∂ v∂u −)ddz + ( −y)dzdx + ( −)xdyd∂y ∂z z∂∂x ∂x ∂ y

实这其就是是托斯斯克式，描述曲公线分积与面曲分之间的积关系。1

6/1850

说

速度势函数明差的意义是沿段的速线线积分。

度66/118

∫ u(dx + vy d+wd ) =z

φA

− φA

三维中流环量与的关涡

EXI系

XETI

.2.25环与量涡的量关系

体流学力究研所

张华

2.5§.2 量环涡与量关的系或

：流力学研体所

究

张华

一

V =

sds ni θ4 πr 2

涡与诱

速导

1度7/681

68180/

XEI

TEX

25.2. 量与环量涡关系

的流体力

学究所研

张

华

2.52. 环量涡与的关系量

流体

学力研所究

张

华

再

令PAA与的夹角为α；PBBBA的与夹为角。 πβ   π −α 到 + − β 得：式上分积γ 由，− 2 2



V

ds= d( h ⋅tg γ) =h ⋅ sec γ ⋅ γ

Γ(co αs+ cos β) 4 hπ

niθ =isn(π− θ) = co s γ

r =S = P hco γsα

β个诱这速度是垂直导纸于面，的按示Γ的方图向它向，指外如果涡线。头一是无长限的，那有就：

1V69/180

Γ Vd =c so γd γ4 π

h直线

涡的导诱度

速 Γ1( co+ s )α 4π

1h7/1800

TEX

§I2 .5. 环2与量量的关涡

系

体流力研究学所

华张

2§5..3理想流的涡定中理定理沿1涡线或涡涡强管不变。

流力体学研究所

张华

如

涡线果是半限长，无且点P涡线之垂至足直N 涡与的线一重端合，：

则V=Γ 4 hπ

描述理

想体流的中线涡涡管有如或下定：

穿

过，总的故量为环：

零如

涡线果头两都伸到无限展远，则

：V= Γ πh2

ΓP

'PQR 'Q 'PR' = PΓ ' + PΓQRP ΓR+ R '+Γ R Q''P ' = 0

’

P P ' =−RΓ '

R：

得ΓR

Q' P ' ' −ΓP= Q' R '

'ΓQPR =ΓP Q'' R

涡线'环和量的概念在空动力气中十学重要分凡。是力升的题问都涡及环量有和关

。11/710

8这就

是说沿涡管任地方何算计的它量（环涡强其值）是都相同的。这条理称定海为霍姆第兹一定，理简或称第涡一理定。E

IXT由于环

量于等涡量通，此沿同因一涡管涡，管细转处速然快反之涡管必处粗转必速慢。

1然2/7801

XETI

§25.. 3想理流中的涡定理

体力流研学所

究华张

2§..53 理流想的中涡理定

流体力

研学所

究张华

的管涡度守恒（强图左和涡）可管存在能的式形（右）图

管涡于水面和止壁，面涡的管伸使涡拉管面积变，从而涡量或小速度角大（但是涡的强加或环量度保不变）持

此

理定为称海霍姆第兹二理，定或称简第涡二理定

。71/1830174 /108

XIE

ETITX

2.53 .理想中的流涡定理

体力学研究所流

张

华

2.§53.理想中的流涡理定

流体力学究研所

华张

定

理2开尔ke文linv定(律量不变定律环：在理想)流中，的涡强不度随间时化，变不既增会强，也会削不弱或消。失

实际飞了的机涡

175/180尾

陆

龙

卷71/6801

ITX

XIT

2.§.3 理5想中流的定理涡

流体力学研所

究华

张

章本本基求

流要体学力究所研

张

华

定3理拉格日朗Lgranag定律e涡（量不生不灭定）律：理在流想中，流若动是无的旋流则场始终旋，无之

系XETI

7/7108

XTI

小

测（10验分）钟

流

体学力研究

所

华

张流

体学力究研所

华

动u= y, v=x

答：解1.

∂u∂u ∂ u∂ u= u+ v++w D, t∂t∂ x∂y∂z

...

r ∂ ρdr +τ∫ ρ( V ⋅ )nsd = 0∂ ∫ t τ

如够代表能，求该试流的动变形率：和角速度，流动该是有否速度势数函如？则求出有又。函流数何为？

197/18

区8011/08

XEIT

XIT

E流体力

学究所研

张华

流

体学力究所

研张

华积形式分的量方动为：程

3 .理想定、常、不压可重力场、，沿下线流一维或流管伯的利努方为

程

r ∂r r∑ F＝ ∂ t∫ Vdτρ + ∫ρVV dsn sτ其意义为

控制体：中体所受合外力等流控于制体中流动体量增的加率加上流出净制控的动量面流量。上述形式的动方量程常运用常于第一类

控制体即内（流管道、流中动等）。应当用第二类于控体制时，积分形动量方程常式写常为：

+ g +y

2 VC= 2

∂uv =,0 θ y = 0 ∂=x y∂1 ∂ ∂v u +变角形率：γ z=( ) 1=2 ∂x ∂ 1y ∂ ∂u v角速：度ω z = － () 0＝ ∂y ∂2x线变率形：θ x=

−

∫ pc o(sn, xds) ∫+ x fρd τ −xF =s

∂ suρdτ+ ∫ ρVu nd s∂ t∫τ s

∂

u∂ v =0 +x ∂y

∂该

。18/1108

2/180

XITE

流I体学研力究

所华张

习2练

流体力研究学

所张华

∂ φu==y因为无，旋以有所速势函数。由度： x∂积分得

：：由

φ = x y+ (f y)v

=∂ φ, ∂y 得 x= +x f' () f y y)( C= 略,去

u= , yvx

f' ( y ) = 0 ∴

= φy

x求流函数

∂ψ 1： = y , ψ= y2 +F ( x) ∂y ∂2ψv −=, x得= − F ('x ) ∂x1 F (x )= − x 2+ C', C ' 去略 2 ∴1ψ = ( 2 −yx )2 2u=

如

够能表，代求试该流动：的变率和形角速，该流动是否度位函数？有有如求则出又求。流。线

138/180 81418/

EXIT

EX0IT

气动第2章流体运动学和动力学基础

相关内容

热门内容

标签