n 阶第一类贝塞尔函数J n (x )
第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数Y n (x ) 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel ）函数，H n (1)(x ) 第一类变形的贝塞尔函数I n (x )
开尔文函数（或称汤姆孙函数）n 阶第一类开尔文（Kelvin ）
第五章 贝塞尔函数
在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所
以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出
下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：
2
⎧∂u ∂2u 22∂u 22
⎪∂t =a (∂x 2+∂y 2), x +y 0, (5.1)⎪⎪222
⎨u t =0=ϕ(x , y ), x +y ≤R , (5.2) ⎪
⎪u x 2+y 2=R 2=0, (5.3)⎪⎩
用分离变量法解这个问题，先令
u (x , y , t ) =V (x , y ) T (t )
代入方程（5.1）得
∂2V ∂2V
VT '=a (2+2) T
∂x ∂y
2
或
∂2V ∂2V
+
T '∂x 2∂y 2
==-λ (λ>0) a 2T V
由此得到下面关于函数T (t ) 和V (x , y ) 的方程
（5.4） T '+a 2λT =0
∂2V ∂2V
+2+λV =0 （5.5）2
∂x ∂y
从（5.4）得
T (t ) =Ae -a λt
2
方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件
V
x 2+y 2=R 2
=0 （5.6）
的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得
⎧∂2V 1∂v 1∂2V
⎪∂ρ2+ρ∂ρ+ρ2∂θ2+λV =0, ρ
⎨
⎪V
⎩ρ=R =0,0≤θ≤2π, (5.8)
再令 V (ρ, θ) =P (ρ) Θ(θ) ， 代入（5.7）并分离变量可得
Θ''(θ) +μΘ(θ) =0
（5.9）
ρ2P ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ2-μ) P (ρ) =0 （5.10）
由于u (x , y , t ) 是单值函数，所以V (x , y ) 也必是单值得，因此Θ(θ) 应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：
0,12,22, , n 2,
对应于μn =n 2，有
Θ0(θ) =
a 0
（为常数） 2
Θn (θ) =a n cos n θ+b n sin n θ,(n =1,2, )
以μn =n 2代入（5.10）得
ρ2P ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ2-n 2) P (ρ) =0 （5.11）
这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换
r =，
并记
F (r ) =P ，
则得
r 2F ''(r ) +rF '(r ) +(r 2-n 2) F (r ) =0.
这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。
由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得
⎧⎪P (R ) =0
（5.12） ⎨
P (0)
因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在ρ=R 处的第一类边界条件，第二个条件是在ρ=0处的自然边界条件，由于。在下一k (ρ) =ρ2在ρ=0处为零，所以在这一点应加自然边界条件）节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5.2 贝塞尔方程的求解
在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为
d 2y dy
x +x +(x 2-n 2) y =0 （5.13） 2
dx dx
2
其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现n 2的项，所以在讨论时，不妨先假定n ≥0。
设方程（5.13）有一个级数解，其形式为
y =x (a 0+a 1x +a 2x + +a k x + ) =∑a k x c +k ，a 0≠0 （5.14）
c
2
k
k =0∞
其中常数c 和a k (k =0,1,2, ) 可以通过把y 和它的导数y ', y ''代入（5.13）来确定。
将（5.14）及其导数代入（5.13）后得
∑{[(c +k )(c +k -1) +(c +k ) +(x
k =0
∞
2
-n 2)]a k x c +k }=0
化简后写成
(c -n ) a 0x +[(c +1) -n ]a 1x
2
2
c
2
2
c +1
+∑{[(c +k ) 2-n 2]a k +a k -2}x c +k =0
k =2
∞
要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°a 0(c 2-n 2) =0； 2°a 1[(c +1) 2-n 2]=0；
3°[(c +k ) 2-n 2]a k +a k -2=0(k =2,3, ) 。
由1°得c =±n ，代入2°得a 1=0。先暂取c =n ，代入3°得
4°a k =
-a k -2
。
k (2n +k )
因为a 1=0，由4°知a 1=a 3=a 5=a 7= =0，而a 2, a 4, a 6, 都可以用a 0表示，即
a 2=
-a 0
，
2(2n +2)
a 0
，
2 4(2n +2)(2n +4)
-a 0
，
2 4 6(2n +2)(2n +4)(2n +6)
a 4=
a 6=
„
a 2m =(-1) m =
a 0
2 4 6 2m (2n +2)(2n +4) (2n +2m )
m
(-1) a 0
22m m !(n +1)(n +2) (n +m )
.
由此知（5.14）的一般项为
(-1) m a 0x n +2m
22m m !(n +1)(n +2) (n +m )
让a 0取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。a 0是一个任意常数，把a 0取作
a 0=
1
n
2Γ(n +1)
这样选取a 0可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：
(n +m )(n +m -1) (n +2)(n +1) Γ(n +1) =Γ(n +m +1)
使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成
a 2m =(-1) m
1
（5.15） n +2m
2m ! Γ(n +m +1)
这样就比较整齐、简单了。
以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解
x n +2m
y 1=∑(-1) n +2m (n ≥0)
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作
x n +2m
J n (x ) =∑(-1) n +2m (n ≥0) （5.16）
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解J n (x ) 。
当n 为正整数或零时，Γ(n +m +1) =(n +m )! ，故有
x n +2m
J n (x ) =∑(-1) n +2m (n =0,1,2, ) （5.17）
2m !(n +m )! m =0
∞
m
取c =-n 时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解
x -n +2m
J -n (x ) =∑(-1) -n +2m (n ≠1,2, ) （5.18）
2m ! Γ(-n +m +1)! m =0
∞
m
比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n 换成-n ，即可得到（5.18）式。因此不论n 式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解J n (x ) 与J -n (x ) 是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为
y =AJ n (x ) +BJ -n (x ) （5.19）
其中A , B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与J n (x ) 线性无关的特解，它与J n (x ) 就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取A =cot n π, B =-csc n π，则得到（5.13）的一个特解
Y n (x ) =cot n πJ n (x ) -csc n πJ -n (x )
（5.20） J n (x )cos n π-J -n (x )
=(n ≠整数)
sin n π
显然，Y n (x ) 与J n (x ) 是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成
y =AJ n (x ) +BY n (x ) （5.21）
由（5.20）式所确定的函数Y n (x ) 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n 为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当n 为整数时，J n (x ) 与J -n (x ) 是线性相关的。事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，
1
当m =0,1,2, ,(N -1) 时
Γ(-N +m +1)
均为零，这时级数从m =N 起才开始出现非零项。于是（5.18）可以写成
x -N +2m
J -N (x ) =∑(-1) -n +2m
2m ! Γ(-N +m +1)! m =N
∞
m
x N x N +2x N +4
=(-1) {N -N +2+N +4+ }
2N ! 2(N +1)! 2(N +2)!2!
N
=(-1) N J N (x )
即J N (x ) 与J -N (x ) 线性相关，这时J N (x ) 与J -N (x ) 已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与J N (x ) 线性无关的特解。
取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为
Y n (x ) =lim
J α(x ) cos απ-J -α(x )
(n 为整数) （5.22） α→n sin απ
由于当n 为整数时，J -n (x ) =(-1) n J n (x ) =cos n πJ n (x ) ，所以上式右端的极限为“”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得
x
(-1) m () 2m m -1
2x 21Y 0(x ) =J 0(x )(ln+c ) -∑∑ π2πm =0(m !) 2k =0k +1
∞
x 1n -1(n -m -1)! ⎛x ⎫
Y n (x ) =J n (x )(ln+c ) -∑ ⎪
π2πm =0m ! ⎝2⎭
（5.23） m x n +2m
(-1) () n +m -1m -1
1∞11 -∑(∑+∑),(n =1, 2,3, ) πm =0m !(n +m )! k =0k +1k =0k +1
2
+++ +-ln) =0.5572 ，称为欧拉常数。 其中c =lim(1n →∞
12
13
1n
-n +2m
根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与
J n (x ) 是线性无关的（因为当x =0时，J n (x ) 为有限值，而Y n (x ) 为无穷
大）。
综上所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可表示为
y =AJ n (x ) +BY n (x )
其中A , B 为任意常数，n 为任意实数。 §5.4贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。
先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。 在（5.17）中令n =0及n =1得
x 2x 4x 6x 2k k
J 0(x ) =1-2+4-6+ +(-1) 2k + 222
22(2!)2(3!)2(k !) x x 3x 5x 7x 2k +1k
J 1(x ) =-3+5-7+ +(-1) 2k +1+
22 2! 2 2! 3! 2 3! 4! 2 k ! (k +1)!
取出第一个级数的第k +2项求导数，得
2k +1
d x 2k +2x 2k +1k +1k (2k +2) x k
(-1) =-(-1) 2k +2=-(-1) 2k +1
2k +222
dx 2[(k +1)!]2[(k +1)!]2k !(k +1)!
这个式子正好是J 1(x ) 中含x 2k +1这一项的负值，且知J 0(x ) 的第一项导数为零，故得关系式
d
J 0(x ) =-J 1(x ) （5.24） dx
将J 1(x ) 乘以x 并求导数，又得
d d x 2x 4x 2k +2k
[xJ 1(x )]=[-3+ +(-1) 2k +1+ ]dx dx 22 2! 2k ! (k +1)! x 3x 2k +1k
=x -2+ +(-1) 2k + 2
22(k !) x 2x 2k k
=x [1-2+ +(-1) 2k + ]
22(k !) 2
即
d
[xJ 1(x )]=xJ 0(x ) （5.25） dx
以上结果可以推广，现将J n (x ) 乘以x n 求导数，得
d n d ∞x 2n +2m m
[x J n (x )]=∑(-1) 2n +2m m ! Γ(n +m +1) dx dx m =0x n +2m -1=x ∑(-1) n +2m -1
2m ! Γ(n +m ) m =0
n ∞
m
=x n J n -1(x )
即
d n
[x J n (x )]=x n J n -1(x ) （5.26） dx
同理可得
d -n
[x J n (x )]=-x -n J n +1(x ) （5.27） dx
将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得
'(x ) +nJ n (x ) =xJ n -1(x ) xJ n
'(x ) -nJ n (x ) =-xJ n +1(x ) . 及 xJ n
将这两式相减及相加，分别得到
J n -1(x ) +J n +1(x ) =
2
nJ n (x ) （5.28） x
'(x ) （5.29） J n -1(x ) -J n +1(x ) =2J n
以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（5.28）式可以用
较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（5.28），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。
第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式
⎧d n n
[x Y (x )]=x Y n -1(x ) n ⎪dx ⎪
⎪d [x -n Y (x )]=-x -n Y (x ) ⎪n n +1
（5.30） ⎨dx
⎪2n
⎪Y n -1(x ) +Y n +1(x ) =Y n (x )
x ⎪
⎪⎩Y n -1(x ) -Y n +1(x ) =2Y n '(x )
作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算
J 2(x ) ，J -2(x ) 。由（5.16）可得
+2m (-1) m x 1
J 2(x ) =∑() 2
3m =0
m ! Γ(+m ) 2
2
∞
而
31 3 5 (2m +1) 1Γ(+m ) =Γ() = 22m +12从而
∞(-1) m 2m +1 J 2(x ) =x =x （5.31）=0(2m +1)! 同理，可求得
J -2(x ) =
x （5.32） 利用递推公式（5.28）得到
J 2(x ) = =
1
J 2(x ) -J -2(x ) x
1
-cos x +sin x ) x 1d sin x () x dx x 3
2
= =(
32
1d sin x
)() x dx x
同理可得
131d cos x
J -32(x ) =J 2(x ) -J -2(x ) =2()()
x x dx x
一般而言，有
J
1(x ) =(-
1) 2
n +
n +
1
2
n +
12
(
1d n sin x
) () x dx x
J
1
-(n +)
2
(x ) =
(
1d cos x
)() （5.33）
x dx x
这里为了方便起见，采用了微分算子(
1d 1d n
) ，它是算子连续作用
x dx x dx
1d n 1d 2sin x 1d 1d sin x
) () =[()]，例如(千万不能把它与n n n 次的缩写，
x dx x x dx x dx x x dx
混为一谈。
从（5.33）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。 §5.5函数展成贝塞尔函数的级数
利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个正交系。
5.5.1 贝塞尔函数的零点
在§5.1中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：
⎧r 2P ''(r ) +rP '(r ) +(λr 2-n 2) P (r ) =0,0
⎨P (r ) r =R =0, (5.35) ⎪
⎩P (0)
方程（5.34）的通解为
P (r ) =AJ n ) +BY n ) ，
由条件（5.36）可得B =0，即
P (r ) =AJ n )
利用条件（5.35）得
J n ) =0 （5.37）
这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值λ必须要计算J n (x ) 的零点。J n (x ) 有没有实的零点？若存在实的零点，一共有多少个？关于这些问题，有以下结论：
1°J n (x ) 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x 轴上关于原点实对称分布的，因而J n (x ) 必有无穷多个正的零点。
2°J n (x ) 的零点与J n +1(x ) 的零点是彼此相间分布的，即J n (x ) 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个J n +1(x ) 的零点。
(n ) (n ) (n )
3°以μm 表示J n (x ) 的非负零点（m =1, 2, ），则μm -μ+1m 当m →∞
时无限地接近于π，即J n (x ) 几乎是以2π为周期的函数。J 0(x ) 与J 1(x ) 的图形见图5.1。
为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详
细计算出来，并列成表格。下表给出了J n (x ) (n =0,1, 2, ,5) 的前9个正
(n )
零点μm (m =1,2, ,9) 的近似值：
利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（5.37）的解为
(n )
（m =1, 2, ） =μm
即
λn =(
(n )
μm
R
) 2（m =1, 2, ） （5.38）
与这些特征值相对应的特征函数为
P m (r ) =J n (
(n ) μm
R
r ) （m =1, 2, ） （5.39）
5.5.2 贝塞尔函数的正交性
(n )
⎧μm ⎫
现在来讨论特征函数系⎨J n (我们将r ) ⎬ (m =1,2, ) 的正交性，
R ⎭⎩
要证明
⎰
R
⎧0, 当m ≠k ,
μμ⎪
（5.40） rJ n (r ) J n (r ) dr =⎨R 22R 22(n ) (n )
R R J n +1(μm ), 当m =k , ⎪J n -1(μm ) =
⎩22
(n )
m
(n ) k
(n )
⎧μm ⎫
由于贝塞尔函数系⎨J n (r ) ⎬ (m =1,2, ) 是特征值问题（5.34～
R ⎭⎩
5.36）的特征函数系，所以它的正交性由§2.6中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个
结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明§2.6中的结论3。下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆－刘维尔理论的另一个具体例子。
下面就来证明（5.40）。为了书写方便，令
F 1(r ) =J n (
(n )
μm
R
r ) ，
F 2(r ) =J n (αr )(α为任意参数) ，
按定义，F 1(r ) ，F 2(r ) 分别满足
(n ) μm d dF 1(r ) n 22
[r ]+[() r -]F 1(r ) =0 dr dr R r
d dF 2(r ) n 22
[r ]+[αr -]F 2(r ) =0 dr dr r
以F 2(r ) 乘第一个方程减去以F 1(r ) 乘第二个方程，然后对r 从0到R 积分得
[(
(n )
μm
R
R 0
) -α]⎰rF 1(r ) F 2(r ) dr +⎰F 2(r )
22
R R
-⎰F 1(r )
d dF 2(r ) [r ]dr =0dr dr
d dF 1(r )
[r ]dr dr dr
即
[(
(n )
μm
R
) -α]⎰rF 1(r ) F 2(r ) dr +{r [F 2(r ) F 1'(r ) -F 1(r ) F 2'(r )]}0=0 2
2
0R
R
由此可得
⎰
R
rF 1(r ) F 2(r ) dr =-
R [F 2(R ) F 1'(R ) -F 1(R ) F 2'(R )]
(
(n )
μm
R
) 2-α2
(n )
因F 1(R ) =J n (μm ) =0，故上式可写成
⎰
R
(n ) (n )
'(μm μm J n (αR ) J n )
（5.41） rJ n (r ) J n (αr ) dr =-=-(n ) (n )
μm μR
() 2-α2(m ) 2-α2
(n )
μm RF 2(R ) F 1'(R ) R
R
若取α=
μk (n )
R
, k ≠m ，则
(n )
J n (αR ) =J n (μk ) =0，
从而（5.41）的右端为零，即（5.40）中第一个式子已得证。
为了证明（5.40）中第二个式子，在（5.41）两端令α→
(n ) μm
R
，
此时（5.41）右端的极限是“”形式的不定型的极限，利用洛必达法则计算这个极限得
⎰
R
(n ) (n )
'(μm '(αR ) R R 2-μm J n ) J n (n ) 2
'(μm rJ (r ) dr =lim =[J n )] (n )
μm R -2α2α→
2
n
R
(n ) μm
由递推公式
'(x ) +nJ n (x ) =xJ n -1(x ) xJ n
'(x ) -nJ n (x ) =-xJ n +1(x ) xJ n
(n )
及J n (μm ) =0可知
(n ) (n ) (n )
'(μm J n ) =J n -1(μm ) =-J n +1(μm )
从而⎰0
R
R 22R 22(n ) (n )
rJ (r ) dr =J n -1(μm ) =J n +1(μm ) ，这就是（5.40）中第二
R 22
2n
(n ) μm
个式子。通常把定积分
⎰
R
rJ (
2n
(n ) μm
R
r ) dr
的正平方根，称为贝塞尔函数J n (
(n ) μm
R
r ) 的模。
利用§2.6中关于特征函数系的完备性可知，任意在[0,R ]上具有
一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f (r ) ，只要它在r =0处有界，在r =R 处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数
f (r ) =∑A m J n (
m =1∞
(n )
μm
R
r ) （5.42）
μk (n )
R r ) ，并
为了确定这个展开式的系数A m ，在（5.42）两端同乘以rJ n (对r 从0到R 积分，由正交关系式（5.40）得
⎰
即
R
rf (r ) J n (
μk (n )
R
r ) dr =A k ⎰rJ (
R
2
n
μk (n )
R
r ) dr
A k =
⎰0
R 22(n )
J n -1(μk ) 2
1
R
rf (r ) J n (
μk (n )
R
（5.43） r ) dr
下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时的用法。 §5.6贝塞尔函数应用举例
下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程。 例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为1-r 2，其中r 是圆盘内任一点的极半径，求圆盘内温度分布规律。
解 由于是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与θ无关，所以温度分布只能是r , t 的函数，于是根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：
2
⎧∂u 1∂u 2∂u =a (+),0≤r 0, (5.44)⎪∂t 2
∂r r ∂r ⎪⎪
⎨u r =1=0, t >0, (5.45) ⎪2u =1-r ,0≤r ≤1, (5.46)t =0⎪⎪⎩
此外，由物理意义，还有条件u
u (r , t ) =F (r ) T (t )
代入方程（5.44）得
1
FT '=a 2(F ''+F ') T
r
或
1''+F 'F
T '==-λ 2a T F
由此得
r 2F ''+rF '+λr 2F =0 （5.47） T '+a 2λT =0 （5.48）
方程（5.48）得解为
T (t ) =Ce -a λt
2
因为t →+∞时，u →0。所以λ只能大于零，令λ=β2，则
T (t ) =Ce
-a 2β2t
此时方程（5.47）的通解为
F (r ) =C 1J 0(βr ) +C 2Y 0(βr )
由u (r , t ) 的有界性，可知C 2=0，再由（5.45）得J 0(β) =0，即β是J 0(x ) 的零点。以μn (0)表示J 0(x ) 的正零点，则
(0)β=μn (n =1,2,3, )
综合以上结果可得
(0)
F (r ) =J 0(μn r )
T (t ) =Ce -a
2
(0)2
(μn ) t
从而
u n (r , t ) =∑C n e
n =1∞
(0)2
-a 2(μn ) t
(0)
J 0(μn r )
由条件（5.46）得
(0)
1-r =∑C n J 0(μn r )
2
n =1∞
从而
C n ==
2'(μ)][J 0
2
(0)
J 12(μn )
(0)
n
2
⎰
10
1
(0)
(1-r 2) rJ 0(μn r ) dr
1
(0)(0)
[⎰rJ 0(μn r ) dr -⎰r 3J 0(μn r ) dr ]
(0)(0)(0)(0)(0)
因d [(μn r ) J 1(μn r )]=(μn r )[J 0(μn r ) d (μn r )]，即
d [
(0)
rJ 1(μn r ) (0)
μn
(0)
]=rJ 0(μn r ) dr
故得
(0)(0)rJ 1(μn r ) J 1(μn )
rJ (μr ) dr ==(0)(0)⎰00
0μn μn 1
(0)
n
另外
⎰
1
r J 0(μr ) dr =⎰r d [
3
(0)n
1
2
(0)
rJ 1(μn r ) (0)
μn (0)
J 1(μn r ) 2]=r -(0)(0)
0μn μn
3
⎰
1
(0)
r 2J 1(μn r ) dr
=
J 1(μ)
μ
(0)
n (0)n
-
2
(0)2(μn )
(0)
r 2J 2(μn r )
=
J 1(μ)
μ
(0)
n (0)n
-
2J (μ) (μ)
(0)2n (0)2n
从而
(0)
4J 2(μn )
C n =(0)22(0)
(μn ) J 1(μn )
所以，所求定解问题的解为
(0)
2(0)24J 2(μn ) (0)
u (r , t ) =∑(0)22(0)J 0(μn r ) e -a (μn ) t (5.49)
n =1(μn ) J 1(μn )
∞
其中μn (0)是J 0(r ) 的正零点。
例2 求下列定解问题：
2
⎧∂2u 1∂u 2∂u =a (+),0≤r 0, (5.50)⎪∂t 22
∂r r ∂r ⎪
⎪∂u ⎨r =R =0, u r =00, (5.51) ⎪∂r ⎪∂u r 2
,0≤r ≤R , (5.52)⎪u t =0=0, t =0=1-2
∂t R ⎩
解 用分离变量法来解，令u (r , t ) =F (r ) T (t ) ，采用例1类似的运算，可以得到
F (r ) =C 1J 0(βr ) +C 2Y 0(βr ) （5.53） T (t ) =C 3cos a βt +C 4sin a βt （5.54）
由u (r , t ) 在r =0处的有界性，可知C 2=0，即
F (r ) =C 1J 0(βr ) （5.55）
再根据边界条件（5.51）中第一式，得
'(βR ) =0 F '(R ) =C 1βJ 0
因C 1β不能为零，故有
'(βR ) =0 J 0
利用贝塞尔函数的递推公式（5.24）可得
J 1(βR ) =0
(1)(1)
即βR 是J 1(x ) =0的非负零点，以μ1(1), μ2, , μn , 表示J 1(x ) 的所有正零
点，又因J 1(0)=0，所以
(1)
β=0及βR =μn (n =1,2, ) （5.56）
当β=0时，由（5.47），（5.48）及（5.51）中第二个条件可知，方程（5.50）有一个特解
u 0(r , t ) =C 0+D 0t
其中C 0, D 0是待定常数。
当β=
(1)
μn
R
,(n =1, 2, ) 时，由方程（5.55）及（5.54）得
(1)μn
F n (r ) =J 0(
R
r )
(1)(1)a μn a μn
T (t ) =C n cos t +D n sin t
R R
即（5.50）由特解
(1)(1)(1)
a μn a μn μn
u n (r , t ) =(C n cos t +D n sin t ) J 0(r )
R R R
其中C n , D n 是待定常数。
利用叠加原理可得原定解问题的解为
(1)(1)(1)
a μn a μn μn
u (r , t ) =C 0+D 0t +∑(C n cos t +D n sin t ) J 0(r )
R R R n =1
∞
代入条件（5.52）得
C 0+∑C n J 0(
n =1∞
(1)
μn
R
r ) =0 （5.57）
(1)
μn a ∞r 2(1)
D 0+∑D n μn J 0(r ) =1-2 （5.58）
R n =1R R
由（5.57）得C n =0(n =0,1,2, ) ，在（5.58）两端同乘以r 并对r 在[0,R ]上积分得
D 0=
1
⎰
R
rdr
⎰
R
r 21
(1-2) rdr = R 2
由（5.58）并利用下面的结果（见习题五第14题）：如果μn (1)是J 1(x ) 的正零点，则
⎰
得到
R
R 2R 22(1)(1)(1)
rJ (r ) dr =J 0(μn ) J 1'(μn ) =J 0(μn )
R 22
20
(1)μn
(1)
R μn 2r 2
D n =(1)2(1)⎰(1-2) rJ 0(r ) dr
0a μn RJ 0(μn ) R R
=
4RJ 2(μ) 4R =-(1)32(1)(1)3(1)
a (μn ) J 0(μn ) a (μn ) J 2(μn )
(1)
n
所以最后得到定解问题的解为
(1)(1)a μn μn t 4R ∞1
u (r , t ) =-sin tJ 0(r ) 。 ∑(1)3(1)
2a n =1(μn ) J 2(μn ) R R
§5.7贝塞尔函数的其他类型
由于解决某些工程问题的需要，本节引入另外三种形式的贝塞尔函数。
5.7.1 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数有名汉克尔（Hankel ）函数，它是由下列公式来定义的：
(1)
H n (x ) =J n (x ) +jY n (x ) (2)H n (x ) =J n (x ) -jY n (x )
其中j ，由于汉克尔函数是J n (x ) 与Y n (x ) 的线性组合，所以，同样也具有第一类贝塞尔函数相同的递推形式：
d n (i ) (i ) [x H n (x )]=x n H n -1(x ) ， dx
d -n (i ) (i )
[x H n (x )]=-x -n H n +1(x ) ， (i =1,2) dx
2n (i ) (i ) (i )
H n H n (x ) ， -1(x ) +H n +1(x ) =
x
d (i ) (i ) (i )
H n (x ) -H (x ) =2H n (x ) . -1n +1
dx
在下一节将看到这种函数当x 很大时有比较简单的渐近公式。
5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数
当我们在圆柱形域内求解定解问题，如果圆柱上下两底的边界条件都是齐次的，侧面的边界条件是非齐次时，就会遇到形如
1n 2
y ''+y '-(1-2) y =0 （5.60）
x x
的方程，它和贝塞尔方程只有一项的符号有差别，若令x =-jt 就可将这个方程化成贝塞尔方程，因为
x =-jt , dx =-jdt
dy -1dy d 2y d 2y =, 2=-2 dx j dt dx dt
代入（5.60）得到
d 2y 1dy n 2
++(1-2) y =0 dt 2t dt t
因此方程（5.60）的通解为
y =AJ n (jx ) +BY n (jx )
这里
x n +2m
J n (jx ) =j ∑n +2m
2m ! Γ(n +m +1) m =0
n ∞
将上式乘以j -n 后，我们就定义它为第一类虚宗量的贝塞尔函数或称
第一类变形的贝塞尔函数，并记作
x n +2m
（5.61） I n (x ) =j J n (jx ) =∑n +2m
m ! Γ(n +m +1) m =02
-n
∞
特别，
x 2x 4x 6
I 0(x ) =1+2+4++
22(2!)226(3!)2
关于第二类虚宗量贝塞尔函数K n (x ) 定义如下：
当n 是非整数时
1
π[I -n (x ) -I n (x )]
； K n (x ) =sin n π
当n 是整数时
1
π[I -α(x ) -I α(x )]
. （5.62） K n (x ) =lim α→n sin απ
所以方程（5.60）的通解又可写为
y =AI n (x ) +BK n (x )
其中A , B 为任意常数。
I n (x ) 与K n (x ) 不存在实的零点，所以它们的图形不是振荡型曲线，
这一点与J n (x ) 及Y n (x ) 不同。
5.7.3 开尔文函数（或称汤姆孙函数）
n 阶第一类开尔文（Kelvin ）函数有两种形式，它们分别被定义
为J n (的实部与虚部，记作ber n x 和bei n x 。在应用这种函数时，主要是用零阶和一阶的。由于
J 0(=J 0(=∑(-1) m
m =0∞∞
1(m !) 22m
=∑
∞
m =0
x
j m () 2m
(m !) 2
x x j 2k () 4k ∞j 2k +1() 4k +2
+=∑∑22
k =0[(2k )!]k =0[(2k +1)!]
k x 4k k x 4k +2
∞(-1) () ∞(-1) ()
+j =∑∑22
k =0[(2k )!]k =0[(2k +1)!]
所以ber 0x 和bei 0x 分别为
x
(-1) k () 4k
（5.63）
ber 0x =Re[=∑ 2
[(2k )!]k =0
∞
k x 4k +2(-1) () ∞
bei 0x =Im[=∑ （5.64） 2
k =0[(2k +1)!]
用类似的方法可以得到一阶开尔文函数：
x x x () 3() 5() 7
x
ber 1(x ) =+--+ ] （5.65）
21!2! 2!3! 3!4! x x x () 3() 5() 7
x
bei 1(x ) =-++-- ] （5.67）
21!2! 2!3! 3!4!
§5.8 贝塞尔函数的渐近公式
在应用贝塞尔函数解决工程技术问题时，常常需要求出这些函数当自变量x 取很大值时的函数值，如果按照级数展开式来计算这些特定值，就要求计算级数很多项的和，这样作非常麻烦，因此想到要用另外的函数来代替收敛很慢的贝塞尔函数的级数表达式，这个函数既要能逼近贝塞尔函数，又要能节约计算的时间。
我们为寻找一些便于计算的公式，引入所谓贝塞尔函数的渐近公式，在这里我们不打算讨论这些公式是如何引出的，因为这些公式的引出是比较复杂的。下面只举处在应用最常见的渐近公式。
当x 的值很大时，
J n (x ) ≈
1111
ζn (x )cos(x -π-n π) -ξn (x )sin(x -π-n π)] （5.67）
42421111
ζn (x )sin(x -π-n π) +ξn (x )cos(x -π-n π)] （5.68）
4242
Y n (x ) =
1
-n π) j (x -π
H (x ) ≈42[ζn (x ) +j ξn x ] （5.69）
(1)n
1-n π) -j (x -π42
H (x ) ≈[ζn (x ) -j ξn x ] （5.70）
(2)n
其中
(4n 2-12)(4n 2-32) (4n 2-12)(4n 2-32)(4n 2-52)(4n 2-72)
ζn (x ) =1-+- 24
2!(8x ) 4!(8x )
4n 2-12(4n 2-12)(4n 2-32)(4n 2-52) ξn (x ) =-+ 3
1!(8x ) 3!(8x )
只要x 的值很大，用这些渐近展开式右端的前面几项来计算左端函数的近似值，就能达到比较满意的精确度，例如，我们常取
J n (x ) ≈
1111
x -π-
n π) ，Y n (x ) ≈x -π-
n π) 4242
H
(1)
n
n n
π-) π-π) j (x -1-j (x -1(2)4242
≈
，H n ≈ （5.71） 来作近似计算。
n 阶第一类贝塞尔函数J n (x )
第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数Y n (x ) 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel ）函数，H n (1)(x ) 第一类变形的贝塞尔函数I n (x )
开尔文函数（或称汤姆孙函数）n 阶第一类开尔文（Kelvin ）
第五章 贝塞尔函数
在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所
以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出
下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：
2
⎧∂u ∂2u 22∂u 22
⎪∂t =a (∂x 2+∂y 2), x +y 0, (5.1)⎪⎪222
⎨u t =0=ϕ(x , y ), x +y ≤R , (5.2) ⎪
⎪u x 2+y 2=R 2=0, (5.3)⎪⎩
用分离变量法解这个问题，先令
u (x , y , t ) =V (x , y ) T (t )
代入方程（5.1）得
∂2V ∂2V
VT '=a (2+2) T
∂x ∂y
2
或
∂2V ∂2V
+
T '∂x 2∂y 2
==-λ (λ>0) a 2T V
由此得到下面关于函数T (t ) 和V (x , y ) 的方程
（5.4） T '+a 2λT =0
∂2V ∂2V
+2+λV =0 （5.5）2
∂x ∂y
从（5.4）得
T (t ) =Ae -a λt
2
方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件
V
x 2+y 2=R 2
=0 （5.6）
的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得
⎧∂2V 1∂v 1∂2V
⎪∂ρ2+ρ∂ρ+ρ2∂θ2+λV =0, ρ
⎨
⎪V
⎩ρ=R =0,0≤θ≤2π, (5.8)
再令 V (ρ, θ) =P (ρ) Θ(θ) ， 代入（5.7）并分离变量可得
Θ''(θ) +μΘ(θ) =0
（5.9）
ρ2P ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ2-μ) P (ρ) =0 （5.10）
由于u (x , y , t ) 是单值函数，所以V (x , y ) 也必是单值得，因此Θ(θ) 应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：
0,12,22, , n 2,
对应于μn =n 2，有
Θ0(θ) =
a 0
（为常数） 2
Θn (θ) =a n cos n θ+b n sin n θ,(n =1,2, )
以μn =n 2代入（5.10）得
ρ2P ''(ρ) +ρP '(ρ) +(λρ2-n 2) P (ρ) =0 （5.11）
这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
若再作代换
r =，
并记
F (r ) =P ，
则得
r 2F ''(r ) +rF '(r ) +(r 2-n 2) F (r ) =0.
这是n 阶贝塞尔方程最常见的形式。
由条件（5.8）及温度u 是有限的，分别可得
⎧⎪P (R ) =0
（5.12） ⎨
P (0)
因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12中第一个条件是在ρ=R 处的第一类边界条件，第二个条件是在ρ=0处的自然边界条件，由于。在下一k (ρ) =ρ2在ρ=0处为零，所以在这一点应加自然边界条件）节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5.2 贝塞尔方程的求解
在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以x 表示自变量，以y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为
d 2y dy
x +x +(x 2-n 2) y =0 （5.13） 2
dx dx
2
其中n 为任意实数或复数。我们仅限于n 为任意实数，且由于方程中的系数出现n 2的项，所以在讨论时，不妨先假定n ≥0。
设方程（5.13）有一个级数解，其形式为
y =x (a 0+a 1x +a 2x + +a k x + ) =∑a k x c +k ，a 0≠0 （5.14）
c
2
k
k =0∞
其中常数c 和a k (k =0,1,2, ) 可以通过把y 和它的导数y ', y ''代入（5.13）来确定。
将（5.14）及其导数代入（5.13）后得
∑{[(c +k )(c +k -1) +(c +k ) +(x
k =0
∞
2
-n 2)]a k x c +k }=0
化简后写成
(c -n ) a 0x +[(c +1) -n ]a 1x
2
2
c
2
2
c +1
+∑{[(c +k ) 2-n 2]a k +a k -2}x c +k =0
k =2
∞
要上式为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得到下列各式： 1°a 0(c 2-n 2) =0； 2°a 1[(c +1) 2-n 2]=0；
3°[(c +k ) 2-n 2]a k +a k -2=0(k =2,3, ) 。
由1°得c =±n ，代入2°得a 1=0。先暂取c =n ，代入3°得
4°a k =
-a k -2
。
k (2n +k )
因为a 1=0，由4°知a 1=a 3=a 5=a 7= =0，而a 2, a 4, a 6, 都可以用a 0表示，即
a 2=
-a 0
，
2(2n +2)
a 0
，
2 4(2n +2)(2n +4)
-a 0
，
2 4 6(2n +2)(2n +4)(2n +6)
a 4=
a 6=
„
a 2m =(-1) m =
a 0
2 4 6 2m (2n +2)(2n +4) (2n +2m )
m
(-1) a 0
22m m !(n +1)(n +2) (n +m )
.
由此知（5.14）的一般项为
(-1) m a 0x n +2m
22m m !(n +1)(n +2) (n +m )
让a 0取一个确定的值，就得（5.13）得一个特解。a 0是一个任意常数，把a 0取作
a 0=
1
n
2Γ(n +1)
这样选取a 0可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式：
(n +m )(n +m -1) (n +2)(n +1) Γ(n +1) =Γ(n +m +1)
使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成
a 2m =(-1) m
1
（5.15） n +2m
2m ! Γ(n +m +1)
这样就比较整齐、简单了。
以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解
x n +2m
y 1=∑(-1) n +2m (n ≥0)
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数。记作
x n +2m
J n (x ) =∑(-1) n +2m (n ≥0) （5.16）
2m ! Γ(n +m +1) m =0
∞
m
至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解J n (x ) 。
当n 为正整数或零时，Γ(n +m +1) =(n +m )! ，故有
x n +2m
J n (x ) =∑(-1) n +2m (n =0,1,2, ) （5.17）
2m !(n +m )! m =0
∞
m
取c =-n 时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解
x -n +2m
J -n (x ) =∑(-1) -n +2m (n ≠1,2, ) （5.18）
2m ! Γ(-n +m +1)! m =0
∞
m
比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把n 换成-n ，即可得到（5.18）式。因此不论n 式正数还是负数，总可以用（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当n 不为整数时，这两个特解J n (x ) 与J -n (x ) 是线性无关的，由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道，（5.13）的通解为
y =AJ n (x ) +BJ -n (x ) （5.19）
其中A , B 为两个任意常数。
当然，在n 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与J n (x ) 线性无关的特解，它与J n (x ) 就可构成（5.13）的通解，这样的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取A =cot n π, B =-csc n π，则得到（5.13）的一个特解
Y n (x ) =cot n πJ n (x ) -csc n πJ -n (x )
（5.20） J n (x )cos n π-J -n (x )
=(n ≠整数)
sin n π
显然，Y n (x ) 与J n (x ) 是线性无关的，因此，（5.13）的通解可以写成
y =AJ n (x ) +BY n (x ) （5.21）
由（5.20）式所确定的函数Y n (x ) 称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann 函数。
§5.3 当n 为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由（5.19）或（5.21）式确定，当n 为整数时，（5.13）的通解应该是什么样子呢？ 首先，我们证明当n 为整数时，J n (x ) 与J -n (x ) 是线性相关的。事实上，不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），这在（5.18）中，
1
当m =0,1,2, ,(N -1) 时
Γ(-N +m +1)
均为零，这时级数从m =N 起才开始出现非零项。于是（5.18）可以写成
x -N +2m
J -N (x ) =∑(-1) -n +2m
2m ! Γ(-N +m +1)! m =N
∞
m
x N x N +2x N +4
=(-1) {N -N +2+N +4+ }
2N ! 2(N +1)! 2(N +2)!2!
N
=(-1) N J N (x )
即J N (x ) 与J -N (x ) 线性相关，这时J N (x ) 与J -N (x ) 已不能构成贝塞尔方程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与J N (x ) 线性无关的特解。
取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当n 为整数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为
Y n (x ) =lim
J α(x ) cos απ-J -α(x )
(n 为整数) （5.22） α→n sin απ
由于当n 为整数时，J -n (x ) =(-1) n J n (x ) =cos n πJ n (x ) ，所以上式右端的极限为“”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推导，最后得
x
(-1) m () 2m m -1
2x 21Y 0(x ) =J 0(x )(ln+c ) -∑∑ π2πm =0(m !) 2k =0k +1
∞
x 1n -1(n -m -1)! ⎛x ⎫
Y n (x ) =J n (x )(ln+c ) -∑ ⎪
π2πm =0m ! ⎝2⎭
（5.23） m x n +2m
(-1) () n +m -1m -1
1∞11 -∑(∑+∑),(n =1, 2,3, ) πm =0m !(n +m )! k =0k +1k =0k +1
2
+++ +-ln) =0.5572 ，称为欧拉常数。 其中c =lim(1n →∞
12
13
1n
-n +2m
根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与
J n (x ) 是线性无关的（因为当x =0时，J n (x ) 为有限值，而Y n (x ) 为无穷
大）。
综上所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可表示为
y =AJ n (x ) +BY n (x )
其中A , B 为任意常数，n 为任意实数。 §5.4贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。
先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。 在（5.17）中令n =0及n =1得
x 2x 4x 6x 2k k
J 0(x ) =1-2+4-6+ +(-1) 2k + 222
22(2!)2(3!)2(k !) x x 3x 5x 7x 2k +1k
J 1(x ) =-3+5-7+ +(-1) 2k +1+
22 2! 2 2! 3! 2 3! 4! 2 k ! (k +1)!
取出第一个级数的第k +2项求导数，得
2k +1
d x 2k +2x 2k +1k +1k (2k +2) x k
(-1) =-(-1) 2k +2=-(-1) 2k +1
2k +222
dx 2[(k +1)!]2[(k +1)!]2k !(k +1)!
这个式子正好是J 1(x ) 中含x 2k +1这一项的负值，且知J 0(x ) 的第一项导数为零，故得关系式
d
J 0(x ) =-J 1(x ) （5.24） dx
将J 1(x ) 乘以x 并求导数，又得
d d x 2x 4x 2k +2k
[xJ 1(x )]=[-3+ +(-1) 2k +1+ ]dx dx 22 2! 2k ! (k +1)! x 3x 2k +1k
=x -2+ +(-1) 2k + 2
22(k !) x 2x 2k k
=x [1-2+ +(-1) 2k + ]
22(k !) 2
即
d
[xJ 1(x )]=xJ 0(x ) （5.25） dx
以上结果可以推广，现将J n (x ) 乘以x n 求导数，得
d n d ∞x 2n +2m m
[x J n (x )]=∑(-1) 2n +2m m ! Γ(n +m +1) dx dx m =0x n +2m -1=x ∑(-1) n +2m -1
2m ! Γ(n +m ) m =0
n ∞
m
=x n J n -1(x )
即
d n
[x J n (x )]=x n J n -1(x ) （5.26） dx
同理可得
d -n
[x J n (x )]=-x -n J n +1(x ) （5.27） dx
将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得
'(x ) +nJ n (x ) =xJ n -1(x ) xJ n
'(x ) -nJ n (x ) =-xJ n +1(x ) . 及 xJ n
将这两式相减及相加，分别得到
J n -1(x ) +J n +1(x ) =
2
nJ n (x ) （5.28） x
'(x ) （5.29） J n -1(x ) -J n +1(x ) =2J n
以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（5.28）式可以用
较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（5.28），即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。
第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式
⎧d n n
[x Y (x )]=x Y n -1(x ) n ⎪dx ⎪
⎪d [x -n Y (x )]=-x -n Y (x ) ⎪n n +1
（5.30） ⎨dx
⎪2n
⎪Y n -1(x ) +Y n +1(x ) =Y n (x )
x ⎪
⎪⎩Y n -1(x ) -Y n +1(x ) =2Y n '(x )
作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算
J 2(x ) ，J -2(x ) 。由（5.16）可得
+2m (-1) m x 1
J 2(x ) =∑() 2
3m =0
m ! Γ(+m ) 2
2
∞
而
31 3 5 (2m +1) 1Γ(+m ) =Γ() = 22m +12从而
∞(-1) m 2m +1 J 2(x ) =x =x （5.31）=0(2m +1)! 同理，可求得
J -2(x ) =
x （5.32） 利用递推公式（5.28）得到
J 2(x ) = =
1
J 2(x ) -J -2(x ) x
1
-cos x +sin x ) x 1d sin x () x dx x 3
2
= =(
32
1d sin x
)() x dx x
同理可得
131d cos x
J -32(x ) =J 2(x ) -J -2(x ) =2()()
x x dx x
一般而言，有
J
1(x ) =(-
1) 2
n +
n +
1
2
n +
12
(
1d n sin x
) () x dx x
J
1
-(n +)
2
(x ) =
(
1d cos x
)() （5.33）
x dx x
这里为了方便起见，采用了微分算子(
1d 1d n
) ，它是算子连续作用
x dx x dx
1d n 1d 2sin x 1d 1d sin x
) () =[()]，例如(千万不能把它与n n n 次的缩写，
x dx x x dx x dx x x dx
混为一谈。
从（5.33）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。 §5.5函数展成贝塞尔函数的级数
利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个正交系。
5.5.1 贝塞尔函数的零点
在§5.1中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题：
⎧r 2P ''(r ) +rP '(r ) +(λr 2-n 2) P (r ) =0,0
⎨P (r ) r =R =0, (5.35) ⎪
⎩P (0)
方程（5.34）的通解为
P (r ) =AJ n ) +BY n ) ，
由条件（5.36）可得B =0，即
P (r ) =AJ n )
利用条件（5.35）得
J n ) =0 （5.37）
这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值λ必须要计算J n (x ) 的零点。J n (x ) 有没有实的零点？若存在实的零点，一共有多少个？关于这些问题，有以下结论：
1°J n (x ) 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x 轴上关于原点实对称分布的，因而J n (x ) 必有无穷多个正的零点。
2°J n (x ) 的零点与J n +1(x ) 的零点是彼此相间分布的，即J n (x ) 的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个J n +1(x ) 的零点。
(n ) (n ) (n )
3°以μm 表示J n (x ) 的非负零点（m =1, 2, ），则μm -μ+1m 当m →∞
时无限地接近于π，即J n (x ) 几乎是以2π为周期的函数。J 0(x ) 与J 1(x ) 的图形见图5.1。
为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详
细计算出来，并列成表格。下表给出了J n (x ) (n =0,1, 2, ,5) 的前9个正
(n )
零点μm (m =1,2, ,9) 的近似值：
利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（5.37）的解为
(n )
（m =1, 2, ） =μm
即
λn =(
(n )
μm
R
) 2（m =1, 2, ） （5.38）
与这些特征值相对应的特征函数为
P m (r ) =J n (
(n ) μm
R
r ) （m =1, 2, ） （5.39）
5.5.2 贝塞尔函数的正交性
(n )
⎧μm ⎫
现在来讨论特征函数系⎨J n (我们将r ) ⎬ (m =1,2, ) 的正交性，
R ⎭⎩
要证明
⎰
R
⎧0, 当m ≠k ,
μμ⎪
（5.40） rJ n (r ) J n (r ) dr =⎨R 22R 22(n ) (n )
R R J n +1(μm ), 当m =k , ⎪J n -1(μm ) =
⎩22
(n )
m
(n ) k
(n )
⎧μm ⎫
由于贝塞尔函数系⎨J n (r ) ⎬ (m =1,2, ) 是特征值问题（5.34～
R ⎭⎩
5.36）的特征函数系，所以它的正交性由§2.6中的施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个
结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明§2.6中的结论3。下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆－刘维尔理论的另一个具体例子。
下面就来证明（5.40）。为了书写方便，令
F 1(r ) =J n (
(n )
μm
R
r ) ，
F 2(r ) =J n (αr )(α为任意参数) ，
按定义，F 1(r ) ，F 2(r ) 分别满足
(n ) μm d dF 1(r ) n 22
[r ]+[() r -]F 1(r ) =0 dr dr R r
d dF 2(r ) n 22
[r ]+[αr -]F 2(r ) =0 dr dr r
以F 2(r ) 乘第一个方程减去以F 1(r ) 乘第二个方程，然后对r 从0到R 积分得
[(
(n )
μm
R
R 0
) -α]⎰rF 1(r ) F 2(r ) dr +⎰F 2(r )
22
R R
-⎰F 1(r )
d dF 2(r ) [r ]dr =0dr dr
d dF 1(r )
[r ]dr dr dr
即
[(
(n )
μm
R
) -α]⎰rF 1(r ) F 2(r ) dr +{r [F 2(r ) F 1'(r ) -F 1(r ) F 2'(r )]}0=0 2
2
0R
R
由此可得
⎰
R
rF 1(r ) F 2(r ) dr =-
R [F 2(R ) F 1'(R ) -F 1(R ) F 2'(R )]
(
(n )
μm
R
) 2-α2
(n )
因F 1(R ) =J n (μm ) =0，故上式可写成
⎰
R
(n ) (n )
'(μm μm J n (αR ) J n )
（5.41） rJ n (r ) J n (αr ) dr =-=-(n ) (n )
μm μR
() 2-α2(m ) 2-α2
(n )
μm RF 2(R ) F 1'(R ) R
R
若取α=
μk (n )
R
, k ≠m ，则
(n )
J n (αR ) =J n (μk ) =0，
从而（5.41）的右端为零，即（5.40）中第一个式子已得证。
为了证明（5.40）中第二个式子，在（5.41）两端令α→
(n ) μm
R
，
此时（5.41）右端的极限是“”形式的不定型的极限，利用洛必达法则计算这个极限得
⎰
R
(n ) (n )
'(μm '(αR ) R R 2-μm J n ) J n (n ) 2
'(μm rJ (r ) dr =lim =[J n )] (n )
μm R -2α2α→
2
n
R
(n ) μm
由递推公式
'(x ) +nJ n (x ) =xJ n -1(x ) xJ n
'(x ) -nJ n (x ) =-xJ n +1(x ) xJ n
(n )
及J n (μm ) =0可知
(n ) (n ) (n )
'(μm J n ) =J n -1(μm ) =-J n +1(μm )
从而⎰0
R
R 22R 22(n ) (n )
rJ (r ) dr =J n -1(μm ) =J n +1(μm ) ，这就是（5.40）中第二
R 22
2n
(n ) μm
个式子。通常把定积分
⎰
R
rJ (
2n
(n ) μm
R
r ) dr
的正平方根，称为贝塞尔函数J n (
(n ) μm
R
r ) 的模。
利用§2.6中关于特征函数系的完备性可知，任意在[0,R ]上具有
一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f (r ) ，只要它在r =0处有界，在r =R 处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数
f (r ) =∑A m J n (
m =1∞
(n )
μm
R
r ) （5.42）
μk (n )
R r ) ，并
为了确定这个展开式的系数A m ，在（5.42）两端同乘以rJ n (对r 从0到R 积分，由正交关系式（5.40）得
⎰
即
R
rf (r ) J n (
μk (n )
R
r ) dr =A k ⎰rJ (
R
2
n
μk (n )
R
r ) dr
A k =
⎰0
R 22(n )
J n -1(μk ) 2
1
R
rf (r ) J n (
μk (n )
R
（5.43） r ) dr
下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时的用法。 §5.6贝塞尔函数应用举例
下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程。 例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为1-r 2，其中r 是圆盘内任一点的极半径，求圆盘内温度分布规律。
解 由于是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与θ无关，所以温度分布只能是r , t 的函数，于是根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：
2
⎧∂u 1∂u 2∂u =a (+),0≤r 0, (5.44)⎪∂t 2
∂r r ∂r ⎪⎪
⎨u r =1=0, t >0, (5.45) ⎪2u =1-r ,0≤r ≤1, (5.46)t =0⎪⎪⎩
此外，由物理意义，还有条件u
u (r , t ) =F (r ) T (t )
代入方程（5.44）得
1
FT '=a 2(F ''+F ') T
r
或
1''+F 'F
T '==-λ 2a T F
由此得
r 2F ''+rF '+λr 2F =0 （5.47） T '+a 2λT =0 （5.48）
方程（5.48）得解为
T (t ) =Ce -a λt
2
因为t →+∞时，u →0。所以λ只能大于零，令λ=β2，则
T (t ) =Ce
-a 2β2t
此时方程（5.47）的通解为
F (r ) =C 1J 0(βr ) +C 2Y 0(βr )
由u (r , t ) 的有界性，可知C 2=0，再由（5.45）得J 0(β) =0，即β是J 0(x ) 的零点。以μn (0)表示J 0(x ) 的正零点，则
(0)β=μn (n =1,2,3, )
综合以上结果可得
(0)
F (r ) =J 0(μn r )
T (t ) =Ce -a
2
(0)2
(μn ) t
从而
u n (r , t ) =∑C n e
n =1∞
(0)2
-a 2(μn ) t
(0)
J 0(μn r )
由条件（5.46）得
(0)
1-r =∑C n J 0(μn r )
2
n =1∞
从而
C n ==
2'(μ)][J 0
2
(0)
J 12(μn )
(0)
n
2
⎰
10
1
(0)
(1-r 2) rJ 0(μn r ) dr
1
(0)(0)
[⎰rJ 0(μn r ) dr -⎰r 3J 0(μn r ) dr ]
(0)(0)(0)(0)(0)
因d [(μn r ) J 1(μn r )]=(μn r )[J 0(μn r ) d (μn r )]，即
d [
(0)
rJ 1(μn r ) (0)
μn
(0)
]=rJ 0(μn r ) dr
故得
(0)(0)rJ 1(μn r ) J 1(μn )
rJ (μr ) dr ==(0)(0)⎰00
0μn μn 1
(0)
n
另外
⎰
1
r J 0(μr ) dr =⎰r d [
3
(0)n
1
2
(0)
rJ 1(μn r ) (0)
μn (0)
J 1(μn r ) 2]=r -(0)(0)
0μn μn
3
⎰
1
(0)
r 2J 1(μn r ) dr
=
J 1(μ)
μ
(0)
n (0)n
-
2
(0)2(μn )
(0)
r 2J 2(μn r )
=
J 1(μ)
μ
(0)
n (0)n
-
2J (μ) (μ)
(0)2n (0)2n
从而
(0)
4J 2(μn )
C n =(0)22(0)
(μn ) J 1(μn )
所以，所求定解问题的解为
(0)
2(0)24J 2(μn ) (0)
u (r , t ) =∑(0)22(0)J 0(μn r ) e -a (μn ) t (5.49)
n =1(μn ) J 1(μn )
∞
其中μn (0)是J 0(r ) 的正零点。
例2 求下列定解问题：
2
⎧∂2u 1∂u 2∂u =a (+),0≤r 0, (5.50)⎪∂t 22
∂r r ∂r ⎪
⎪∂u ⎨r =R =0, u r =00, (5.51) ⎪∂r ⎪∂u r 2
,0≤r ≤R , (5.52)⎪u t =0=0, t =0=1-2
∂t R ⎩
解 用分离变量法来解，令u (r , t ) =F (r ) T (t ) ，采用例1类似的运算，可以得到
F (r ) =C 1J 0(βr ) +C 2Y 0(βr ) （5.53） T (t ) =C 3cos a βt +C 4sin a βt （5.54）
由u (r , t ) 在r =0处的有界性，可知C 2=0，即
F (r ) =C 1J 0(βr ) （5.55）
再根据边界条件（5.51）中第一式，得
'(βR ) =0 F '(R ) =C 1βJ 0
因C 1β不能为零，故有
'(βR ) =0 J 0
利用贝塞尔函数的递推公式（5.24）可得
J 1(βR ) =0
(1)(1)
即βR 是J 1(x ) =0的非负零点，以μ1(1), μ2, , μn , 表示J 1(x ) 的所有正零
点，又因J 1(0)=0，所以
(1)
β=0及βR =μn (n =1,2, ) （5.56）
当β=0时，由（5.47），（5.48）及（5.51）中第二个条件可知，方程（5.50）有一个特解
u 0(r , t ) =C 0+D 0t
其中C 0, D 0是待定常数。
当β=
(1)
μn
R
,(n =1, 2, ) 时，由方程（5.55）及（5.54）得
(1)μn
F n (r ) =J 0(
R
r )
(1)(1)a μn a μn
T (t ) =C n cos t +D n sin t
R R
即（5.50）由特解
(1)(1)(1)
a μn a μn μn
u n (r , t ) =(C n cos t +D n sin t ) J 0(r )
R R R
其中C n , D n 是待定常数。
利用叠加原理可得原定解问题的解为
(1)(1)(1)
a μn a μn μn
u (r , t ) =C 0+D 0t +∑(C n cos t +D n sin t ) J 0(r )
R R R n =1
∞
代入条件（5.52）得
C 0+∑C n J 0(
n =1∞
(1)
μn
R
r ) =0 （5.57）
(1)
μn a ∞r 2(1)
D 0+∑D n μn J 0(r ) =1-2 （5.58）
R n =1R R
由（5.57）得C n =0(n =0,1,2, ) ，在（5.58）两端同乘以r 并对r 在[0,R ]上积分得
D 0=
1
⎰
R
rdr
⎰
R
r 21
(1-2) rdr = R 2
由（5.58）并利用下面的结果（见习题五第14题）：如果μn (1)是J 1(x ) 的正零点，则
⎰
得到
R
R 2R 22(1)(1)(1)
rJ (r ) dr =J 0(μn ) J 1'(μn ) =J 0(μn )
R 22
20
(1)μn
(1)
R μn 2r 2
D n =(1)2(1)⎰(1-2) rJ 0(r ) dr
0a μn RJ 0(μn ) R R
=
4RJ 2(μ) 4R =-(1)32(1)(1)3(1)
a (μn ) J 0(μn ) a (μn ) J 2(μn )
(1)
n
所以最后得到定解问题的解为
(1)(1)a μn μn t 4R ∞1
u (r , t ) =-sin tJ 0(r ) 。 ∑(1)3(1)
2a n =1(μn ) J 2(μn ) R R
§5.7贝塞尔函数的其他类型
由于解决某些工程问题的需要，本节引入另外三种形式的贝塞尔函数。
5.7.1 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数有名汉克尔（Hankel ）函数，它是由下列公式来定义的：
(1)
H n (x ) =J n (x ) +jY n (x ) (2)H n (x ) =J n (x ) -jY n (x )
其中j ，由于汉克尔函数是J n (x ) 与Y n (x ) 的线性组合，所以，同样也具有第一类贝塞尔函数相同的递推形式：
d n (i ) (i ) [x H n (x )]=x n H n -1(x ) ， dx
d -n (i ) (i )
[x H n (x )]=-x -n H n +1(x ) ， (i =1,2) dx
2n (i ) (i ) (i )
H n H n (x ) ， -1(x ) +H n +1(x ) =
x
d (i ) (i ) (i )
H n (x ) -H (x ) =2H n (x ) . -1n +1
dx
在下一节将看到这种函数当x 很大时有比较简单的渐近公式。
5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数
当我们在圆柱形域内求解定解问题，如果圆柱上下两底的边界条件都是齐次的，侧面的边界条件是非齐次时，就会遇到形如
1n 2
y ''+y '-(1-2) y =0 （5.60）
x x
的方程，它和贝塞尔方程只有一项的符号有差别，若令x =-jt 就可将这个方程化成贝塞尔方程，因为
x =-jt , dx =-jdt
dy -1dy d 2y d 2y =, 2=-2 dx j dt dx dt
代入（5.60）得到
d 2y 1dy n 2
++(1-2) y =0 dt 2t dt t
因此方程（5.60）的通解为
y =AJ n (jx ) +BY n (jx )
这里
x n +2m
J n (jx ) =j ∑n +2m
2m ! Γ(n +m +1) m =0
n ∞
将上式乘以j -n 后，我们就定义它为第一类虚宗量的贝塞尔函数或称
第一类变形的贝塞尔函数，并记作
x n +2m
（5.61） I n (x ) =j J n (jx ) =∑n +2m
m ! Γ(n +m +1) m =02
-n
∞
特别，
x 2x 4x 6
I 0(x ) =1+2+4++
22(2!)226(3!)2
关于第二类虚宗量贝塞尔函数K n (x ) 定义如下：
当n 是非整数时
1
π[I -n (x ) -I n (x )]
； K n (x ) =sin n π
当n 是整数时
1
π[I -α(x ) -I α(x )]
. （5.62） K n (x ) =lim α→n sin απ
所以方程（5.60）的通解又可写为
y =AI n (x ) +BK n (x )
其中A , B 为任意常数。
I n (x ) 与K n (x ) 不存在实的零点，所以它们的图形不是振荡型曲线，
这一点与J n (x ) 及Y n (x ) 不同。
5.7.3 开尔文函数（或称汤姆孙函数）
n 阶第一类开尔文（Kelvin ）函数有两种形式，它们分别被定义
为J n (的实部与虚部，记作ber n x 和bei n x 。在应用这种函数时，主要是用零阶和一阶的。由于
J 0(=J 0(=∑(-1) m
m =0∞∞
1(m !) 22m
=∑
∞
m =0
x
j m () 2m
(m !) 2
x x j 2k () 4k ∞j 2k +1() 4k +2
+=∑∑22
k =0[(2k )!]k =0[(2k +1)!]
k x 4k k x 4k +2
∞(-1) () ∞(-1) ()
+j =∑∑22
k =0[(2k )!]k =0[(2k +1)!]
所以ber 0x 和bei 0x 分别为
x
(-1) k () 4k
（5.63）
ber 0x =Re[=∑ 2
[(2k )!]k =0
∞
k x 4k +2(-1) () ∞
bei 0x =Im[=∑ （5.64） 2
k =0[(2k +1)!]
用类似的方法可以得到一阶开尔文函数：
x x x () 3() 5() 7
x
ber 1(x ) =+--+ ] （5.65）
21!2! 2!3! 3!4! x x x () 3() 5() 7
x
bei 1(x ) =-++-- ] （5.67）
21!2! 2!3! 3!4!
§5.8 贝塞尔函数的渐近公式
在应用贝塞尔函数解决工程技术问题时，常常需要求出这些函数当自变量x 取很大值时的函数值，如果按照级数展开式来计算这些特定值，就要求计算级数很多项的和，这样作非常麻烦，因此想到要用另外的函数来代替收敛很慢的贝塞尔函数的级数表达式，这个函数既要能逼近贝塞尔函数，又要能节约计算的时间。
我们为寻找一些便于计算的公式，引入所谓贝塞尔函数的渐近公式，在这里我们不打算讨论这些公式是如何引出的，因为这些公式的引出是比较复杂的。下面只举处在应用最常见的渐近公式。
当x 的值很大时，
J n (x ) ≈
1111
ζn (x )cos(x -π-n π) -ξn (x )sin(x -π-n π)] （5.67）
42421111
ζn (x )sin(x -π-n π) +ξn (x )cos(x -π-n π)] （5.68）
4242
Y n (x ) =
1
-n π) j (x -π
H (x ) ≈42[ζn (x ) +j ξn x ] （5.69）
(1)n
1-n π) -j (x -π42
H (x ) ≈[ζn (x ) -j ξn x ] （5.70）
(2)n
其中
(4n 2-12)(4n 2-32) (4n 2-12)(4n 2-32)(4n 2-52)(4n 2-72)
ζn (x ) =1-+- 24
2!(8x ) 4!(8x )
4n 2-12(4n 2-12)(4n 2-32)(4n 2-52) ξn (x ) =-+ 3
1!(8x ) 3!(8x )
只要x 的值很大，用这些渐近展开式右端的前面几项来计算左端函数的近似值，就能达到比较满意的精确度，例如，我们常取
J n (x ) ≈
1111
x -π-
n π) ，Y n (x ) ≈x -π-
n π) 4242
H
(1)
n
n n
π-) π-π) j (x -1-j (x -1(2)4242
≈
，H n ≈ （5.71） 来作近似计算。