圆的有关概念与性质
例题
题一：在半径为5的圆中，AB 为直径，AC 和AD
为圆的两条弦，其长度分别为
CAD 的度数。
题二：CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是（ ） A.8 B.2 C.2或8 D.3或7 金题精讲
题一：如图，⊙O 直径AB ＝8， ∠CBD ＝30°，则CD ＝________．
A
B
题二：在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 . 满分冲刺
题一：如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A 、B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为______________．
y
l
x
题二：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB =α，
∠C =β．
（1）当α=35时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
1
圆的有关概念与性质2课后练习详解
例题 题一：
答案：∠CAD =15°或者75°
解析：本题要根据条件画出图形。如图：
A
B
A
B
图1
图2
连结CB 、BD . ∵AB 为直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°
AC 图1中，在Rt △ABC 中，AC =AB =10，则cos ∠CAB CAB ＝45°
AB 同理在Rt △ADB 中，∠DAB ＝30°. ∴∠CAD =45°－30°＝15°
同样根据图2，我们可得: ∠CAD =45°+30°＝75°
题二：答案：C
解析：如图(1), ∵AB ＝10
∴OA ＝OC ＝OB ＝5 ∵直径AB ，AB ⊥CD ∴CE ＝ED .
∵CD ＝8，∴CE ＝4
连结OC ，在Rt △COE 中，
由勾股定理得，OE ＝OC 2-CE 2=52-42=3
∵OB ＝5 ∴BE ＝5－3＝2 ∴BE ＝2 如图(2),
∵AB ＝10, ∴OA ＝OC ＝OB ＝5
O O
∵直径AB ，AB ⊥CD
E D E D ∴CE ＝ED .
∵CD ＝8，∴CE ＝4
B Rt △COE 中， A 连结OC ，在(1) 由勾股定理得， OE ＝OC 2-CE 2=52-42=3 ∵OB ＝5 ∴BE ＝OE+OB＝3+5＝8 答案是C 金题精讲
2
题一：答案：4 解析：连接OC 、OD
∵∠CBD ＝30° ∴∠COD ＝60° ∵OC ＝OD
∴△COD 是等边三角形
∴CD ＝OC ＝OB ＝4 A
B
题二：答案：24.
解析：∵直线y=kx ﹣3k+4必过点D （3，4），
∴最短的弦CD 是过点D 且与该圆直径垂直的弦， ∵点
D 的坐标是（3，4）， ∴OD ，
∵以原点O 为圆心的圆过点A （13，0）， ∴圆的半径为13， ∴OB =13，
∴BD 2-52=12， ∵OD ⊥BC ，∴BC =2BD =12×2=24， ∴弦BC 的长的最小值为24. 满分冲刺
题一：答案：(22, 0) 或(-22, 0) 解析：过点M 作MC ⊥l 垂足为C
∵△MAB 是等腰直角三角形
∴MA ＝MB ∴∠BAM ＝∠ABM ＝45° ∵
MC ⊥直线l
∴∠BAM ＝∠CMA ＝45° ∴AC ＝CM
Rt △ACM 中
∵AC 2＋CM 2＝AM 2 ∵2 CM 2＝4即CM
Rt △OCM 中 ∠COM ＝30°
∴CM ＝
1
2
OC ∴OM ＝2CM ＝ ∴M 根据对称性，在负半轴的点M （－0）也满足条件，故答案是(22, 0) 或(-22, 0) 题二：答案：（1）β=55；（2）α+β=90
3
0）（
解析：（1）解：连结OB ，则OA =OB ，
∴∠OBA =∠OAB =35．
∴∠AOB =180-∠OAB -∠OBA =110． ∴β=∠C =1
2
∠AOB =55．
（2）答：α与β之间的关系是α+β=90． 证一：连结OB ，则OA =OB ． ∴∠OBA =∠OAB =α．
∴∠AOB =180-2α． ∴β=∠C =
12∠AOB =1
2
(180-2α) =90-α．∴α+β=90．
证二：连结OB ，则OA =OB ．
∴∠AOB =2∠C =2β．
过O 作OD ⊥AB 于点D ，则OD 平分∠AOB ． ∴∠AOD =
1
2
∠AOB =β． 在Rt △AOD 中，∠OAD +∠AOD =90，
∴α+β=90．
证三：延长AO 交⊙O 于E ，连结BE ， 则∠E
=∠C =β．
AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE =90．
∴∠BAE +∠E =90，
∴α+β=90．
4
圆的有关概念与性质
例题
题一：在半径为5的圆中，AB 为直径，AC 和AD
为圆的两条弦，其长度分别为
CAD 的度数。
题二：CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB ＝10，CD ＝8，则BE 的长是（ ） A.8 B.2 C.2或8 D.3或7 金题精讲
题一：如图，⊙O 直径AB ＝8， ∠CBD ＝30°，则CD ＝________．
A
B
题二：在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y =kx -3k +4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 . 满分冲刺
题一：如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A 、B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为______________．
y
l
x
题二：如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A ，B 重合），设∠OAB =α，
∠C =β．
（1）当α=35时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
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圆的有关概念与性质2课后练习详解
例题 题一：
答案：∠CAD =15°或者75°
解析：本题要根据条件画出图形。如图：
A
B
A
B
图1
图2
连结CB 、BD . ∵AB 为直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°
AC 图1中，在Rt △ABC 中，AC =AB =10，则cos ∠CAB CAB ＝45°
AB 同理在Rt △ADB 中，∠DAB ＝30°. ∴∠CAD =45°－30°＝15°
同样根据图2，我们可得: ∠CAD =45°+30°＝75°
题二：答案：C
解析：如图(1), ∵AB ＝10
∴OA ＝OC ＝OB ＝5 ∵直径AB ，AB ⊥CD ∴CE ＝ED .
∵CD ＝8，∴CE ＝4
连结OC ，在Rt △COE 中，
由勾股定理得，OE ＝OC 2-CE 2=52-42=3
∵OB ＝5 ∴BE ＝5－3＝2 ∴BE ＝2 如图(2),
∵AB ＝10, ∴OA ＝OC ＝OB ＝5
O O
∵直径AB ，AB ⊥CD
E D E D ∴CE ＝ED .
∵CD ＝8，∴CE ＝4
B Rt △COE 中， A 连结OC ，在(1) 由勾股定理得， OE ＝OC 2-CE 2=52-42=3 ∵OB ＝5 ∴BE ＝OE+OB＝3+5＝8 答案是C 金题精讲
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题一：答案：4 解析：连接OC 、OD
∵∠CBD ＝30° ∴∠COD ＝60° ∵OC ＝OD
∴△COD 是等边三角形
∴CD ＝OC ＝OB ＝4 A
B
题二：答案：24.
解析：∵直线y=kx ﹣3k+4必过点D （3，4），
∴最短的弦CD 是过点D 且与该圆直径垂直的弦， ∵点
D 的坐标是（3，4）， ∴OD ，
∵以原点O 为圆心的圆过点A （13，0）， ∴圆的半径为13， ∴OB =13，
∴BD 2-52=12， ∵OD ⊥BC ，∴BC =2BD =12×2=24， ∴弦BC 的长的最小值为24. 满分冲刺
题一：答案：(22, 0) 或(-22, 0) 解析：过点M 作MC ⊥l 垂足为C
∵△MAB 是等腰直角三角形
∴MA ＝MB ∴∠BAM ＝∠ABM ＝45° ∵
MC ⊥直线l
∴∠BAM ＝∠CMA ＝45° ∴AC ＝CM
Rt △ACM 中
∵AC 2＋CM 2＝AM 2 ∵2 CM 2＝4即CM
Rt △OCM 中 ∠COM ＝30°
∴CM ＝
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OC ∴OM ＝2CM ＝ ∴M 根据对称性，在负半轴的点M （－0）也满足条件，故答案是(22, 0) 或(-22, 0) 题二：答案：（1）β=55；（2）α+β=90
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0）（
解析：（1）解：连结OB ，则OA =OB ，
∴∠OBA =∠OAB =35．
∴∠AOB =180-∠OAB -∠OBA =110． ∴β=∠C =1
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∠AOB =55．
（2）答：α与β之间的关系是α+β=90． 证一：连结OB ，则OA =OB ． ∴∠OBA =∠OAB =α．
∴∠AOB =180-2α． ∴β=∠C =
12∠AOB =1
2
(180-2α) =90-α．∴α+β=90．
证二：连结OB ，则OA =OB ．
∴∠AOB =2∠C =2β．
过O 作OD ⊥AB 于点D ，则OD 平分∠AOB ． ∴∠AOD =
1
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∠AOB =β． 在Rt △AOD 中，∠OAD +∠AOD =90，
∴α+β=90．
证三：延长AO 交⊙O 于E ，连结BE ， 则∠E
=∠C =β．
AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE =90．
∴∠BAE +∠E =90，
∴α+β=90．
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