线性规划中整点最优解的求解策略
在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .
1．平移找解法
作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么
0.18x0.09y720.08x0.28y56 而z=6x+10y. x0
y0
如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l:6x+10y=0,即l:3
x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。
0.18x0.09y72解方程组,得M点坐标(350,100). 0.08x0.28y56
答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.
点评：本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种1毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？ 3
解：设截500mm的钢管x根，600mm
的y根，总数为z根。根据题意，得
，目标函数为
，
作出如图所示的可行域内的整点，
作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的
点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）
的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知
（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，
4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．
答：略．
点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。
二、整点调整法
先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解． y l
2xy30例3．已知x,y满足不等式组2x3y60，求使xy
3x5y150
取最大值的整数x,y．
解：不等式组的解集为三直线l1：2xy30，l2：
2x3y60，l3：3x5y150所围成的三角形内部（不1A O l3 C x l
2
l1与l3，含边界），设l1与l2，则A,B,C坐标分别为A(l2与l3交点分别为A,B,C，
C(7512,)， 1919
作一组平行线l：xyt平行于l0：xy0，
当l往l0右上方移动时，t随之增大，
∴当l过C点时xy最大为153,)，B(0,3)，8463，但不是整数解， 19
75知x可取1,2,3， 19
当x1时，代入原不等式组得y2， ∴xy1；
当x2时，得y0或1， ∴xy2或1；
当x3时，y1， ∴xy2，
x2x3故xy的最大整数解为或．
y0y1又由0x
3.逐一检验法
由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．
例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．
解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材
的利用率为 P ，则
①，目
标函数为
②，线性约束条
件①表示的可行域是图中阴影部分的整点．②表示与
直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P取得
最大值的最优解是阴影内最靠近直线
518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，
4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，
0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行
校验，可知当x=5,y=2时，
．
答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．
解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.
线性规划中整点最优解的求解策略
在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .
1．平移找解法
作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?
解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么
0.18x0.09y720.08x0.28y56 而z=6x+10y. x0
y0
如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线l:6x+10y=0,即l:3
x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。
0.18x0.09y72解方程组,得M点坐标(350,100). 0.08x0.28y56
答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.
点评：本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种1毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？ 3
解：设截500mm的钢管x根，600mm
的y根，总数为z根。根据题意，得
，目标函数为
，
作出如图所示的可行域内的整点，
作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的
点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）
的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知
（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，
4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．
答：略．
点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。
二、整点调整法
先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解． y l
2xy30例3．已知x,y满足不等式组2x3y60，求使xy
3x5y150
取最大值的整数x,y．
解：不等式组的解集为三直线l1：2xy30，l2：
2x3y60，l3：3x5y150所围成的三角形内部（不1A O l3 C x l
2
l1与l3，含边界），设l1与l2，则A,B,C坐标分别为A(l2与l3交点分别为A,B,C，
C(7512,)， 1919
作一组平行线l：xyt平行于l0：xy0，
当l往l0右上方移动时，t随之增大，
∴当l过C点时xy最大为153,)，B(0,3)，8463，但不是整数解， 19
75知x可取1,2,3， 19
当x1时，代入原不等式组得y2， ∴xy1；
当x2时，得y0或1， ∴xy2或1；
当x3时，y1， ∴xy2，
x2x3故xy的最大整数解为或．
y0y1又由0x
3.逐一检验法
由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．
例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．
解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材
的利用率为 P ，则
①，目
标函数为
②，线性约束条
件①表示的可行域是图中阴影部分的整点．②表示与
直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P取得
最大值的最优解是阴影内最靠近直线
518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，
4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，
0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行
校验，可知当x=5,y=2时，
．
答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．
解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.