第二节
不等式的证明
1．已知x 2
＋y 2
＝10，求3x ＋4y 的最大值． 解：∵(32
＋42
)(x 2
＋y 2
)≥(3x ＋4y ) 2
， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立，
∴25×10≥(3x ＋4y ) 2
，∴(3x ＋4y ) max ＝10.
2．已知a ，b ，c ∈R 111111
＋a b c
ab bc ＋ac
的大小．
解：2⎛ 122⎝a ＋1b ＋1⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫12c ⎪⎭＝ ⎝a ＋b ⎪⎭＋ ⎝b ＋c ⎪⎭＋ ⎝c ＋a ⎪⎭＋ab bc ＋ca .
1a ＋1b 1c
1ab 1bc ＋1
ac
.
[练一练]
设M ＝12＋111
10210＋1210＋2＋„＋211－1，试比较M 与1的大小．
解：∵210
＋1>210, 210
＋2>210
，„，211
－1>210
， ∴M 1111210＋210＋1210＋2＋„＋211－1
12 10＋1 210„＋1
2＝1.
10
210个
即M
1. 设t ＝a ＋解：∵s －t ＝a ＋b 2
＋1－a －2b ＝b 2
－2b ＋1＝(b －1) 2
≥0，∴s ≥t . 2．已知c >b >a ，求证：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a
＋bc 2
＋ca 2
. 证明：ab 2
＋bc 2
＋ca 2
－(a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a )
＝a (b 2－c 2) ＋b (c 2－a 2) ＋c (a 2－b 2
)
＝a (b 2－c 2) ＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2) ＋c (a 2－b 2
) ＝a (b 2
－c 2
) ＋b (c 2
－b 2
) ＋b (b 2
－a 2
) ＋c (a 2
－b 2
) ＝(c 2
－b 2
)(b －a ) ＋(b 2
－a 2
)(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a ) ．
∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2
＋bc 2
＋ca 2
>a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a . 即a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a
＋bc 2
＋ca 2
.
a ＋b
3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b
≥(ab ) 2
.
证明：
a a b b a －b b －a a －b 2
a ＋b ＝a
b
2
＝⎛ a (ab )
2
⎝b ⎭
2
，
a －b 当a ＝b 时，⎛ a ⎝b ⎭
2
＝1.
当a >b >0a b
b
，
a －2
，
a －b 则⎛ a ⎝b ⎭
2
>1.
当b >a >0时，0
，
a －b
b
2
，
⎛a a －b 则 ⎝b ⎭
2
>1.
综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b
≥(ab )
a ＋b
2
成立
[典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a b c
1
(2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0b 2
－ac 3a .
[证明] (1)法一 11
1
⎛11331a ＋b ＋c (a ＋b ＋c ) ⎝a ＋b ＋1⎫
c ⎪⎭
≥3·abc ·3·abc ＝9(当且仅
当a ＝b ＝c ＝1
3
时等号成立) ．
法二
1
a 11＝a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c b c
a b c
3＋⎛ b a ⎝a ＋b ⎭＋⎛ c a ⎝a ＋c ⎭＋⎛ c b ⎝b c ⎫⎪⎭
≥3＋2＋2＋2
＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
)
(2)要证b 2
－ac
－ac
. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2
＋a (a ＋b )
， 只需证2a 2
－ab －b 2
>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.
∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．
证明：⎛ ⎝a ＋a ⎫⎪2⎭＋⎛ ⎝b ＋b 2⎭＋⎛ ⎝c ＋c 2
⎭
＝1⎡⎛1⎫2⎛1⎫2⎛1⎫2
⎤3(12＋12＋12
)·⎢⎢⎣ ⎝
a ＋a ⎪⎭＋ ⎝b ＋b ⎪⎭＋ ⎝c ＋c ⎪⎭⎥ ⎥⎦
≥1⎡3⎢⎣1×⎛ ⎝a ＋1a ⎫⎪⎭＋1×⎛ 1⎝b ＋b ⎫⎪⎭＋1×⎛ 1⎝c ＋c ⎭⎤⎥2⎦ ＝1⎡⎛113⎢⎣1＋ a ＋b ＋c 1⎝a ＋b c ⎭⎤⎥2⎦
2
＝1⎡3⎢⎣1＋⎛ ⎝3＋b a a c b c a b b ＋c a c ⎫⎪⎭⎤⎥2⎦ ≥1⎡b a c ⎫⎤3⎢⎣1＋⎛
⎝
3＋·a ＋2 c a b b ·b c
2 c a ⎪⎭⎥2⎦
＝13×(1＋9) 2
＝1003
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，等号成立．
[针对训练]
已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －－ab
证明：法一(分析法)
要证c －c －ab
－ab
－ab ， 即证|a －c c －ab ， 即证(a －c ) 2
－2ac
因为a >0，所以只要证a －2c
由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 法二(综合法)
因为a ＋b 0，所以a 2
－2ac
－ab ， 所以|a －c c 2
－ab ，
所以－c 2
－ab
－c c 2
－ab ， 所以c －c 2
－ab
－ab .
[典例] (2014·洛阳模拟) 有小于1的n (n ≥2)个正数x 1，x 2，x 3，„，x n ，且x 1＋x 2＋x 3
＋„＋x n ＝1.
求证：
1111
x －x ＋1－x 1x 22x 3－x 3x n －x n
[证明] ∵0
i
x 3>，其中i ＝1,2,3，„，n ， i －x i x i
∴11111111n 1
x 3＋3＋3＋„＋3＋≥n 1－x 1x 2－x 2x 3－x 3x n －x n x 1x 2x 3x n x 1x 2x 3„x n
∵ n
x ＋x 2＋x 3＋„＋x n 1x 2x 3„x x 1n ≤
n ＝1
n
n
∴1
x ≥n ，
1x 2x 3„x n
∴111122
x 3＋3＋3＋„＋x 3>n ≥2＝4， 1－x 1x 2－x 2x 3－x 3x n －n ∴
1111
x －x 3＋x ＋3＋„＋>4. 112－x 32x 3－x 3x n －x 3n
[针对训练]
设n 121n ＋1＋1n ＋21
2n
证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，„，n ) ，得111
2n n ＋k n 当k ＝112n 1n ＋1
n ；
当k ＝2111
2n n ＋2
„
当k ＝n 111
2n n ＋n
，
∴1n 22n 1n ＋1＋1n ＋2＋„＋12n
＝1.
[典例] (2014·南通模拟) 若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，3a ＋211
3b ＋2＋3c ＋2小值．
[解] 由柯西不等式知：
⎛ 1⎝3a ＋213b ＋213c ＋2⎭
[(3a ＋2) ＋(3b ＋2) ＋(3c ＋2)]≥
⎛ 1⎝3a ＋23a ＋2＋13b ＋23b ＋2＋13c ＋2×3c ＋2⎫⎪22⎭
＝3＝9.
∴
⎛111⎝3a ＋23b ＋23c ＋2⎭[3(a ＋b ＋c ) ＋6]≥9，
即⎛ 1⎝3a ＋213b ＋213c ＋2⎭
×9≥9.
∴
13a ＋211
3b ＋23c ＋2
≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝1
3时，取到最小值1.
[针对训练]
已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2
＋2b 2
＋3c 2
＋6d 2
＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2) ⎛ 1⎝21316⎭≥(b ＋c ＋d ) 2
，
即2b 2
＋3c 2
＋6d 2
≥(b ＋c ＋d ) 2
，
由已知可得2b 2
＋3c 2
＋6d 2
＝5－a 2
，b ＋c ＋d ＝3－a ， ∴5－a 2
≥(3－a ) 2，即1≤a ≤2. 当且仅当
2b 1＝3c 1＝6d 1，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 236
[课堂练通考点]
1．(2013·陕西高考改编) 已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn )(bm
3
＋an ) 的最小值．
ab ＋bc ＋ca ≤.
1
解：(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝ab (m 2
＋n 2
) ＋mn (a 2
＋b 2
)≥2abmn ＋mn (a 2
＋b 2
) ＝4ab ＋2(a 2
＋b 2
) ＝2(2ab ＋a 2
＋b 2
) ＝2(a ＋b ) 2
＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号) ．
即所求最小值为2.
2．已知x 2y 2a b a >b >0)，试利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y ) 2
2＋2＝1(的大小关系．
x 2y 2
解：∵a 2b
21，
2
2
∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2) ⎛ x y ⎝a 2＋b 2⎭≥⎡⎢⎣⎛ ⎝a ·x a ⎫⎪⎭＋⎛ y ⎝b ·b ⎫⎪⎭⎤⎥2⎦
＝(x ＋y ) 2
. 故a 2
＋b 2
≥(x ＋y ) 2
. 3．设x ，y ，z 均为实数，求
2x ＋y －z
x 2＋2y 2＋z 2
的最大值．
解：由柯西不等式知(x 2
＋2y 2
＋z 2
) ⎡⎢⎢22＋⎣2＋(－1) 2
⎤⎥≥(2x ＋y －z ) 2⇒ 2x ＋y －z ⎥⎦
x 2＋2y 2＋z 2≤
222
. 当且仅当x
2＝2y ＝－z >0时等号成立．
即所求最大值为
222
. 4．(2013·全国卷Ⅱ) 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；
a 2b 2c 2
b c ＋a
证明：(1)由a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ca 得a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c ) 2
＝1，即a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即
4
3
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
a 2b 2故b ＋c ＋c 2
a (a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c ) ， a 2b 2c 2a 2b 2c 2
即b ＋c ＋a a ＋b ＋c . b c ＋a
≥1. [课下提升考能]
1．已知x ，y ，z ∈R ，若x 4＋y 4＋z 4＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2
3. 证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4
＋y 4
＋z 4
＝1为定值，利用柯西不等式得到(x 2＋y 2＋z 2) 2≤(12＋12＋12)[(x 2) 2＋(y 2) 2＋(z 2) 2
]． 从而(x 2
＋y 2
＋z 2) 2
≤3⇒x 2
＋y 2
＋z 2
3.
当且仅当x 2y 2z 2
1＝11时取“＝”号，
又x 4
＋y 4
＋z 4
＝1，所以x 2
＝y 2
＝z 2
＝
3
3
2．(2014·大连模拟) 已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .
求证：
a b c
1＋a 1＋b >1＋c
证明：∵a >0，b >0， ∴a a b b
1＋a 1＋a ＋b 1＋b 1＋a ＋b
∴
a
1＋a b 1＋b a ＋b 1＋a ＋b
而函数f (x ) x 1
1＋x ＝1－1＋x
在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c ) ， 则
a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c
所以，
1＋a 1＋b 1＋c 故原不等式成立．
3．已知a ≥b >0，求证：2a －b ≥2ab －a b .
证明：2a －b －(2ab －a b ) ＝2a (a －b ) ＋b (a －b ) ＝(a －b )(2a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(2a 3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
a b c
1⎛11⎫11∴ ⎪≥，当且仅当a ＝b 时等号成立； 2⎝2a 2b ⎭2ab a ＋b
1⎛1111
＋≥≥b ＝c 时等号成立； 2⎝2b 2c ⎭2bc b ＋c
1⎛1111＋b ) ．
因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0， 即2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b .
．已知a ，b ，c ∈R ，求证：b 2c 2a 2
4b ＋a b ＋c ≥c ＋a c a a b ＋b c
. b 2c 2
证明：∵a ，b ，c ∈R b b ＋，∴a b ≥2
a ·c b 2c a
， c 2a 2
同理，c a 2b 2
a b c
b ，c a
≥2b c b 2c 2b c a a ＋b a 2
c
c
a
a b
b c
5．已知f (x ) 1＋x 2
，a ≠b ，求证|f (a ) －f (b )|
|a 2
－b 2
|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b
2
|1＋a 2
＋1＋b
2
又|a ＋b |≤|a |＋|b |a ＋1＋a 1＋b . ∴
|a ＋b |1＋a 2
＋1＋b
2
∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a ) －f (b )|
6．设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1
a ＋b 证明：∵a ，b ，c 均为正实数，
2 ⎝2c ＋2a ⎭≥2ca ≥c ＋a
c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b 12c ≥1b ＋c 11c ＋a a ＋b ，
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
2014高考一卷
. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a >0, b >0，且
1a +1
b
=. (Ⅰ) 求a 3
+b 3
的最小值；
（Ⅱ）是否存在
a , b ，使得2a
+3b =6？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)
=
1a +
1b ≥，得ab ≥
2，且当a =b 时等号成立，故a 3+b 3≥
=a =b =
∴a 3
+
b 3
的最小值为„„„5分
（Ⅱ）由6=2a +3b ≥ab ≤
3
2
，又由(Ⅰ) 知ab ≥2，二者矛盾， 所以不存在a , b ，使得2a +3b =6成立. „„„„„10分 2014高考二卷 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )=x ++x -a (a >0)
（Ⅰ）证明：f (x )≥2；
5
（Ⅱ）若f (3)
1 ．（2013
年高考大纲卷（文））不等式
x 2-2
（ ） A ．(-1,1)
B ．(-2,2)
C ．(-1,0) (0,1) D ．(-2,0) (0,2)
【答案】D
2．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲
已知函数f (x ) =|2x -1|+|2x +a |, g (x ) =x +3. (Ⅰ)当a =-2时, 求不等式f (x ) -1, 且当x ∈[-
a 2, 1
2
) 时, f (x ) ≤g (x ) , 求a 的取值范围 【答案】解:(I)当a =-2时，不等式f (x )
⎧
⎪-5x , x
2y ⎪
⎨-x -2, 1≤x ≤1,
⎪
2其图像如图所示
⎪⎪3x -6, x >1. ⎩
从图像可知, 当且仅当x ∈(0,2) 时,y
x 0
};
(II)当x ∈⎢⎡-
a 1
⎣
2, 2), f (x ) =1+a . 不等式f (x ) ≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x ∈⎡a 1⎫
a 4⎣⎢-
2, 2⎪⎭
都成立, 故-2≥a -2, 即a ≤3,
从而a 的取值范围是 ⎛-1, 4⎥⎤⎝
3
⎦
.
3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5; 不等式选讲
设a , b , c 均为正数, 且a +b +c =1, 证明:
ca ≤1a 2b 2c 2
(Ⅰ)ab +bc +3; (Ⅱ)b +c +a
≥1.
6
3．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲
已知函数f (x )=x -a , 其中a >1.
(I)当a =2时, 求不等式f (x )≥4=x -4的解集;
(II)已知关于x 的不等式{f (2x +a )-2f (x )}
≤2的解集为{x |1≤x ≤2}, 求a 的值
7
第二节
不等式的证明
1．已知x 2
＋y 2
＝10，求3x ＋4y 的最大值． 解：∵(32
＋42
)(x 2
＋y 2
)≥(3x ＋4y ) 2
， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立，
∴25×10≥(3x ＋4y ) 2
，∴(3x ＋4y ) max ＝10.
2．已知a ，b ，c ∈R 111111
＋a b c
ab bc ＋ac
的大小．
解：2⎛ 122⎝a ＋1b ＋1⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫12c ⎪⎭＝ ⎝a ＋b ⎪⎭＋ ⎝b ＋c ⎪⎭＋ ⎝c ＋a ⎪⎭＋ab bc ＋ca .
1a ＋1b 1c
1ab 1bc ＋1
ac
.
[练一练]
设M ＝12＋111
10210＋1210＋2＋„＋211－1，试比较M 与1的大小．
解：∵210
＋1>210, 210
＋2>210
，„，211
－1>210
， ∴M 1111210＋210＋1210＋2＋„＋211－1
12 10＋1 210„＋1
2＝1.
10
210个
即M
1. 设t ＝a ＋解：∵s －t ＝a ＋b 2
＋1－a －2b ＝b 2
－2b ＋1＝(b －1) 2
≥0，∴s ≥t . 2．已知c >b >a ，求证：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a
＋bc 2
＋ca 2
. 证明：ab 2
＋bc 2
＋ca 2
－(a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a )
＝a (b 2－c 2) ＋b (c 2－a 2) ＋c (a 2－b 2
)
＝a (b 2－c 2) ＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2) ＋c (a 2－b 2
) ＝a (b 2
－c 2
) ＋b (c 2
－b 2
) ＋b (b 2
－a 2
) ＋c (a 2
－b 2
) ＝(c 2
－b 2
)(b －a ) ＋(b 2
－a 2
)(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a ) ．
∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2
＋bc 2
＋ca 2
>a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a . 即a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a
＋bc 2
＋ca 2
.
a ＋b
3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b
≥(ab ) 2
.
证明：
a a b b a －b b －a a －b 2
a ＋b ＝a
b
2
＝⎛ a (ab )
2
⎝b ⎭
2
，
a －b 当a ＝b 时，⎛ a ⎝b ⎭
2
＝1.
当a >b >0a b
b
，
a －2
，
a －b 则⎛ a ⎝b ⎭
2
>1.
当b >a >0时，0
，
a －b
b
2
，
⎛a a －b 则 ⎝b ⎭
2
>1.
综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b
≥(ab )
a ＋b
2
成立
[典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a b c
1
(2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0b 2
－ac 3a .
[证明] (1)法一 11
1
⎛11331a ＋b ＋c (a ＋b ＋c ) ⎝a ＋b ＋1⎫
c ⎪⎭
≥3·abc ·3·abc ＝9(当且仅
当a ＝b ＝c ＝1
3
时等号成立) ．
法二
1
a 11＝a ＋b ＋c a ＋b ＋c a ＋b ＋c b c
a b c
3＋⎛ b a ⎝a ＋b ⎭＋⎛ c a ⎝a ＋c ⎭＋⎛ c b ⎝b c ⎫⎪⎭
≥3＋2＋2＋2
＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
)
(2)要证b 2
－ac
－ac
. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2
＋a (a ＋b )
， 只需证2a 2
－ab －b 2
>0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.
∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．
证明：⎛ ⎝a ＋a ⎫⎪2⎭＋⎛ ⎝b ＋b 2⎭＋⎛ ⎝c ＋c 2
⎭
＝1⎡⎛1⎫2⎛1⎫2⎛1⎫2
⎤3(12＋12＋12
)·⎢⎢⎣ ⎝
a ＋a ⎪⎭＋ ⎝b ＋b ⎪⎭＋ ⎝c ＋c ⎪⎭⎥ ⎥⎦
≥1⎡3⎢⎣1×⎛ ⎝a ＋1a ⎫⎪⎭＋1×⎛ 1⎝b ＋b ⎫⎪⎭＋1×⎛ 1⎝c ＋c ⎭⎤⎥2⎦ ＝1⎡⎛113⎢⎣1＋ a ＋b ＋c 1⎝a ＋b c ⎭⎤⎥2⎦
2
＝1⎡3⎢⎣1＋⎛ ⎝3＋b a a c b c a b b ＋c a c ⎫⎪⎭⎤⎥2⎦ ≥1⎡b a c ⎫⎤3⎢⎣1＋⎛
⎝
3＋·a ＋2 c a b b ·b c
2 c a ⎪⎭⎥2⎦
＝13×(1＋9) 2
＝1003
当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，等号成立．
[针对训练]
已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －－ab
证明：法一(分析法)
要证c －c －ab
－ab
－ab ， 即证|a －c c －ab ， 即证(a －c ) 2
－2ac
因为a >0，所以只要证a －2c
由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 法二(综合法)
因为a ＋b 0，所以a 2
－2ac
－ab ， 所以|a －c c 2
－ab ，
所以－c 2
－ab
－c c 2
－ab ， 所以c －c 2
－ab
－ab .
[典例] (2014·洛阳模拟) 有小于1的n (n ≥2)个正数x 1，x 2，x 3，„，x n ，且x 1＋x 2＋x 3
＋„＋x n ＝1.
求证：
1111
x －x ＋1－x 1x 22x 3－x 3x n －x n
[证明] ∵0
i
x 3>，其中i ＝1,2,3，„，n ， i －x i x i
∴11111111n 1
x 3＋3＋3＋„＋3＋≥n 1－x 1x 2－x 2x 3－x 3x n －x n x 1x 2x 3x n x 1x 2x 3„x n
∵ n
x ＋x 2＋x 3＋„＋x n 1x 2x 3„x x 1n ≤
n ＝1
n
n
∴1
x ≥n ，
1x 2x 3„x n
∴111122
x 3＋3＋3＋„＋x 3>n ≥2＝4， 1－x 1x 2－x 2x 3－x 3x n －n ∴
1111
x －x 3＋x ＋3＋„＋>4. 112－x 32x 3－x 3x n －x 3n
[针对训练]
设n 121n ＋1＋1n ＋21
2n
证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1,2，„，n ) ，得111
2n n ＋k n 当k ＝112n 1n ＋1
n ；
当k ＝2111
2n n ＋2
„
当k ＝n 111
2n n ＋n
，
∴1n 22n 1n ＋1＋1n ＋2＋„＋12n
＝1.
[典例] (2014·南通模拟) 若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，3a ＋211
3b ＋2＋3c ＋2小值．
[解] 由柯西不等式知：
⎛ 1⎝3a ＋213b ＋213c ＋2⎭
[(3a ＋2) ＋(3b ＋2) ＋(3c ＋2)]≥
⎛ 1⎝3a ＋23a ＋2＋13b ＋23b ＋2＋13c ＋2×3c ＋2⎫⎪22⎭
＝3＝9.
∴
⎛111⎝3a ＋23b ＋23c ＋2⎭[3(a ＋b ＋c ) ＋6]≥9，
即⎛ 1⎝3a ＋213b ＋213c ＋2⎭
×9≥9.
∴
13a ＋211
3b ＋23c ＋2
≥1. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝1
3时，取到最小值1.
[针对训练]
已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2
＋2b 2
＋3c 2
＋6d 2
＝5，求证：1≤a ≤2. 证明：由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2) ⎛ 1⎝21316⎭≥(b ＋c ＋d ) 2
，
即2b 2
＋3c 2
＋6d 2
≥(b ＋c ＋d ) 2
，
由已知可得2b 2
＋3c 2
＋6d 2
＝5－a 2
，b ＋c ＋d ＝3－a ， ∴5－a 2
≥(3－a ) 2，即1≤a ≤2. 当且仅当
2b 1＝3c 1＝6d 1，即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 236
[课堂练通考点]
1．(2013·陕西高考改编) 已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，求(am ＋bn )(bm
3
＋an ) 的最小值．
ab ＋bc ＋ca ≤.
1
解：(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝ab (m 2
＋n 2
) ＋mn (a 2
＋b 2
)≥2abmn ＋mn (a 2
＋b 2
) ＝4ab ＋2(a 2
＋b 2
) ＝2(2ab ＋a 2
＋b 2
) ＝2(a ＋b ) 2
＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号) ．
即所求最小值为2.
2．已知x 2y 2a b a >b >0)，试利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y ) 2
2＋2＝1(的大小关系．
x 2y 2
解：∵a 2b
21，
2
2
∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2) ⎛ x y ⎝a 2＋b 2⎭≥⎡⎢⎣⎛ ⎝a ·x a ⎫⎪⎭＋⎛ y ⎝b ·b ⎫⎪⎭⎤⎥2⎦
＝(x ＋y ) 2
. 故a 2
＋b 2
≥(x ＋y ) 2
. 3．设x ，y ，z 均为实数，求
2x ＋y －z
x 2＋2y 2＋z 2
的最大值．
解：由柯西不等式知(x 2
＋2y 2
＋z 2
) ⎡⎢⎢22＋⎣2＋(－1) 2
⎤⎥≥(2x ＋y －z ) 2⇒ 2x ＋y －z ⎥⎦
x 2＋2y 2＋z 2≤
222
. 当且仅当x
2＝2y ＝－z >0时等号成立．
即所求最大值为
222
. 4．(2013·全国卷Ⅱ) 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；
a 2b 2c 2
b c ＋a
证明：(1)由a 2
＋b 2
≥2ab ，b 2
＋c 2
≥2bc ，c 2
＋a 2
≥2ca 得a 2
＋b 2
＋c 2
≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c ) 2
＝1，即a 2
＋b 2
＋c 2
＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即
4
3
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
a 2b 2故b ＋c ＋c 2
a (a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c ) ， a 2b 2c 2a 2b 2c 2
即b ＋c ＋a a ＋b ＋c . b c ＋a
≥1. [课下提升考能]
1．已知x ，y ，z ∈R ，若x 4＋y 4＋z 4＝1，求证：x 2＋y 2＋z 2
3. 证明：x ，y ，z ∈R ，且x 4
＋y 4
＋z 4
＝1为定值，利用柯西不等式得到(x 2＋y 2＋z 2) 2≤(12＋12＋12)[(x 2) 2＋(y 2) 2＋(z 2) 2
]． 从而(x 2
＋y 2
＋z 2) 2
≤3⇒x 2
＋y 2
＋z 2
3.
当且仅当x 2y 2z 2
1＝11时取“＝”号，
又x 4
＋y 4
＋z 4
＝1，所以x 2
＝y 2
＝z 2
＝
3
3
2．(2014·大连模拟) 已知a >0，b >0，c >0，a ＋b >c .
求证：
a b c
1＋a 1＋b >1＋c
证明：∵a >0，b >0， ∴a a b b
1＋a 1＋a ＋b 1＋b 1＋a ＋b
∴
a
1＋a b 1＋b a ＋b 1＋a ＋b
而函数f (x ) x 1
1＋x ＝1－1＋x
在(0，＋∞)上递增，且a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c ) ， 则
a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c
所以，
1＋a 1＋b 1＋c 故原不等式成立．
3．已知a ≥b >0，求证：2a －b ≥2ab －a b .
证明：2a －b －(2ab －a b ) ＝2a (a －b ) ＋b (a －b ) ＝(a －b )(2a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(2a 3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
a b c
1⎛11⎫11∴ ⎪≥，当且仅当a ＝b 时等号成立； 2⎝2a 2b ⎭2ab a ＋b
1⎛1111
＋≥≥b ＝c 时等号成立； 2⎝2b 2c ⎭2bc b ＋c
1⎛1111＋b ) ．
因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0， 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0， 即2a 3
－b 3
≥2ab 2
－a 2
b .
．已知a ，b ，c ∈R ，求证：b 2c 2a 2
4b ＋a b ＋c ≥c ＋a c a a b ＋b c
. b 2c 2
证明：∵a ，b ，c ∈R b b ＋，∴a b ≥2
a ·c b 2c a
， c 2a 2
同理，c a 2b 2
a b c
b ，c a
≥2b c b 2c 2b c a a ＋b a 2
c
c
a
a b
b c
5．已知f (x ) 1＋x 2
，a ≠b ，求证|f (a ) －f (b )|
|a 2
－b 2
|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b
2
|1＋a 2
＋1＋b
2
又|a ＋b |≤|a |＋|b |a ＋1＋a 1＋b . ∴
|a ＋b |1＋a 2
＋1＋b
2
∵a ≠b ，∴|a －b |>0，∴|f (a ) －f (b )|
6．设a ，b ，c 均为正实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1
a ＋b 证明：∵a ，b ，c 均为正实数，
2 ⎝2c ＋2a ⎭≥2ca ≥c ＋a
c ＝a 时等号成立； 三个不等式相加即得12a ＋12b 12c ≥1b ＋c 11c ＋a a ＋b ，
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
2014高考一卷
. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若a >0, b >0，且
1a +1
b
=. (Ⅰ) 求a 3
+b 3
的最小值；
（Ⅱ）是否存在
a , b ，使得2a
+3b =6？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)
=
1a +
1b ≥，得ab ≥
2，且当a =b 时等号成立，故a 3+b 3≥
=a =b =
∴a 3
+
b 3
的最小值为„„„5分
（Ⅱ）由6=2a +3b ≥ab ≤
3
2
，又由(Ⅰ) 知ab ≥2，二者矛盾， 所以不存在a , b ，使得2a +3b =6成立. „„„„„10分 2014高考二卷 24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )=x ++x -a (a >0)
（Ⅰ）证明：f (x )≥2；
5
（Ⅱ）若f (3)
1 ．（2013
年高考大纲卷（文））不等式
x 2-2
（ ） A ．(-1,1)
B ．(-2,2)
C ．(-1,0) (0,1) D ．(-2,0) (0,2)
【答案】D
2．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））选修4—5:不等式选讲
已知函数f (x ) =|2x -1|+|2x +a |, g (x ) =x +3. (Ⅰ)当a =-2时, 求不等式f (x ) -1, 且当x ∈[-
a 2, 1
2
) 时, f (x ) ≤g (x ) , 求a 的取值范围 【答案】解:(I)当a =-2时，不等式f (x )
⎧
⎪-5x , x
2y ⎪
⎨-x -2, 1≤x ≤1,
⎪
2其图像如图所示
⎪⎪3x -6, x >1. ⎩
从图像可知, 当且仅当x ∈(0,2) 时,y
x 0
};
(II)当x ∈⎢⎡-
a 1
⎣
2, 2), f (x ) =1+a . 不等式f (x ) ≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x ∈⎡a 1⎫
a 4⎣⎢-
2, 2⎪⎭
都成立, 故-2≥a -2, 即a ≤3,
从而a 的取值范围是 ⎛-1, 4⎥⎤⎝
3
⎦
.
3．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5; 不等式选讲
设a , b , c 均为正数, 且a +b +c =1, 证明:
ca ≤1a 2b 2c 2
(Ⅰ)ab +bc +3; (Ⅱ)b +c +a
≥1.
6
3．（2013年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲
已知函数f (x )=x -a , 其中a >1.
(I)当a =2时, 求不等式f (x )≥4=x -4的解集;
(II)已知关于x 的不等式{f (2x +a )-2f (x )}
≤2的解集为{x |1≤x ≤2}, 求a 的值
7