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中考数学折叠问题综合训练
第4题
第5题
第6题 第7题
5、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为_______. 6、如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD，则折痕BE 的长为_______．
7、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜边AC 上，若AB=3，BC=4，则BD=________ 8、. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD的度数为_________.
第11题
第8题 第9题 第10题
9、如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A ′处，连接A ′C ，则∠BA ′C= _______. 10、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为_________.
11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为________．
12、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB=3cm，BC=5cm，
- 1 -
17、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D 是BC 边上的一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________.
18、如图，矩形ABCD 中，AB=15cm，点E 在AD 上，且AE=9cm，连接EC ，将矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A′处，则A′C=________cm.
第21题
第22题
第19题
第20题
19、将矩形纸片ABCD ，按如图所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在对角线BD 上，得到菱形BEDF ．若BC=6，则AB 的长为________． 20、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，DC=5cm，则点D 到斜边AB 的距离是_______cm． 21、如图，矩形纸片ABCD ，AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C 落在AD 上的点E 处，折痕为BF ，则DE=_______． 22、如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD ，其中A （0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处．则E 点的坐标是________． 23、如图，M 为矩形纸片ABCD 的边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠A 1MD 1=40°，则∠BMC 的度数为________．
- 2 -
24、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为______. 第25题
第26题
第23题
第24题
25、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为_________． 26、如图所示，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方向连续翻折2010次，依次得到点P 1，P 2，P 3…P2010．则点P 2010的坐标是________.
27、如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB=a．将△ABO 沿BO 对折于△A′BO，M 为BC 上一动点，则A′M的最小值为________. 第30题 第28题
第27题
28
、矩形纸片ABCD 中，AB=5，
AD=4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的
B′处，折痕为AE 、在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为_________.
29、小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_________ ；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为________. 30、如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF=________度．
31如图矩形ABCD 中已知，BC=分的面积是__
DC=1，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，边BE 落在点F 处，那么图中的阴影部
- 3 -
、
32已知平面直角坐标系XOY 中，点A 在批物线将矩形AB0D 设对角线对折叠后使得点A 的对应点为
上过A 点作AB ⊥x 轴于点B ，作AD ⊥y 轴于点D ，
，重叠部分（阴影）为△BDC （1）求证△BDC 是等腰三角形；
（2）如果点A 的坐标为（1，m ）求△DBC 的面积。（3）在（2）的条件下求直线BC 的解析式并判断点A 的象点A ＇是否落在已知抛物线上，请说明理由。
33. 在矩形ABOD 纸片中，AB=7，OB=9，将纸片AB 边往下折叠，使角点B 与O 点重合，角点A 与D 点重合使得折叠限E ，F 若将角点B 沿OD 移动到位置，则E 点沿OB 移动到位置，F 沿DA 移动到位置，取交AD 于G 。（1）设O =x O=y ，求y 与x 的函数关系，并且写出x 的值范围。 （2）当x=2时，DG 的长是多少？
（3）在角点B 在OD 上移动的过程中是否存在一点使△OB ′E ′≌△DGB ′如果存在，请求出的符合条件的B 点的坐标。如果不存在试说明理由。
34有一矩形纸片ABCD ，已知AB=5，BC=13，若将AD 边向下翻折，使角点A 与角点B 重合，且角点D 与角点C 重合，取角点A 新位置为，角点D 的新位置为D ′，且折痕与AB 、OC 边的交点为E 、F ，如图1，当角点A ′在BC 上滑动时，E 、F 点的运动位置分别为E ′、F ′, 若BA ′=x,其折叠部分图形的面积为S （如图2），
求触角点AD 在BC 上运动时。折叠部分图形的面积S 与x 的函数关系。
- 4 -
32(2)∵点A 在批物线
上。 ∴
，即A(1, ， ∴
，∴点B （1，0）C （0，
）在直线上故 )
设C 点的坐标为（0，）∵在Rt △ABD 中∴∠ABD=30，∠CBO=30，∴（3）设BC 的直线解析式为
对折叠关系可知∠∠90°过作X 轴的垂线AE
垂足为E
。则
∴
把
物线上 33（1）设
≤7
代入抛物线方程得，当时
A 点在抛
=y
则=9-y ∴ 则，即所求函数为： 0≤x
（2）当x=2时， 又∵当x=2时，则D=5。 同时可证∽∴
，
∴，即
（3）存在。 ∵在
∽
条件下，当
=
，
时，△OB ′E ′与△DGB ′全等，
即当
时，有
无
，
意
，
，
，， 即义
或
，而，
，则设
∴当
时，
，
，
，∴△OB ′E ′≌△DGB
设
，
，
又可证：△
∽△故可得
，即
- 5 -
，
又可证：
∽△
可得：，即
，
当与D 点重合（如图3）时，可由：
即：
由
，
∵
当x=25时AG 无意义舍去，∴x=1。 ∴当O ≤x ≤1时，
，
其中，
∴S 影=
当
时，
，（如图1）当
时，
=16.9（如图3）
当1≤x ≤5时，过F ′作点BC 的垂线垂足为H （如图4）
时，时，
（如图3）
（如图5）
当
当
- 6 -
当5≤≤13时，过F ′作点BC 的垂线垂足为H ′， 可证 又∵ 于是得：
∴
∴
∴
当
时
，（如图5）
，，
，设
，
。
，∴
，则
。
当时
（如图7） ∴综上：
- 7 -
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中考数学折叠问题综合训练
第4题
第5题
第6题 第7题
5、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为_______. 6、如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD，则折痕BE 的长为_______．
7、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜边AC 上，若AB=3，BC=4，则BD=________ 8、. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD的度数为_________.
第11题
第8题 第9题 第10题
9、如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A ′处，连接A ′C ，则∠BA ′C= _______. 10、如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB′与AD 的交点C′处．则BC ：AB 的值为_________.
11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为________．
12、把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB=3cm，BC=5cm，
- 1 -
17、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D 是BC 边上的一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________.
18、如图，矩形ABCD 中，AB=15cm，点E 在AD 上，且AE=9cm，连接EC ，将矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A′处，则A′C=________cm.
第21题
第22题
第19题
第20题
19、将矩形纸片ABCD ，按如图所示的方式折叠，点A 、点C 恰好落在对角线BD 上，得到菱形BEDF ．若BC=6，则AB 的长为________． 20、如图，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在AC 上，将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，DC=5cm，则点D 到斜边AB 的距离是_______cm． 21、如图，矩形纸片ABCD ，AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C 落在AD 上的点E 处，折痕为BF ，则DE=_______． 22、如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD ，其中A （0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处．则E 点的坐标是________． 23、如图，M 为矩形纸片ABCD 的边AD 的中点，将纸片沿BM 、CM 折叠，使点A 落在A 1处，点D 落在D 1处．若∠A 1MD 1=40°，则∠BMC 的度数为________．
- 2 -
24、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为______. 第25题
第26题
第23题
第24题
25、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD 的长为_________． 26、如图所示，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方向连续翻折2010次，依次得到点P 1，P 2，P 3…P2010．则点P 2010的坐标是________.
27、如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB=a．将△ABO 沿BO 对折于△A′BO，M 为BC 上一动点，则A′M的最小值为________. 第30题 第28题
第27题
28
、矩形纸片ABCD 中，AB=5，
AD=4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的
B′处，折痕为AE 、在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等，则此相等距离为_________.
29、小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_________ ；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为________. 30、如图，D 是AB 边上的中点，将△ABC 沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若∠B=50°，则∠BDF=________度．
31如图矩形ABCD 中已知，BC=分的面积是__
DC=1，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，边BE 落在点F 处，那么图中的阴影部
- 3 -
、
32已知平面直角坐标系XOY 中，点A 在批物线将矩形AB0D 设对角线对折叠后使得点A 的对应点为
上过A 点作AB ⊥x 轴于点B ，作AD ⊥y 轴于点D ，
，重叠部分（阴影）为△BDC （1）求证△BDC 是等腰三角形；
（2）如果点A 的坐标为（1，m ）求△DBC 的面积。（3）在（2）的条件下求直线BC 的解析式并判断点A 的象点A ＇是否落在已知抛物线上，请说明理由。
33. 在矩形ABOD 纸片中，AB=7，OB=9，将纸片AB 边往下折叠，使角点B 与O 点重合，角点A 与D 点重合使得折叠限E ，F 若将角点B 沿OD 移动到位置，则E 点沿OB 移动到位置，F 沿DA 移动到位置，取交AD 于G 。（1）设O =x O=y ，求y 与x 的函数关系，并且写出x 的值范围。 （2）当x=2时，DG 的长是多少？
（3）在角点B 在OD 上移动的过程中是否存在一点使△OB ′E ′≌△DGB ′如果存在，请求出的符合条件的B 点的坐标。如果不存在试说明理由。
34有一矩形纸片ABCD ，已知AB=5，BC=13，若将AD 边向下翻折，使角点A 与角点B 重合，且角点D 与角点C 重合，取角点A 新位置为，角点D 的新位置为D ′，且折痕与AB 、OC 边的交点为E 、F ，如图1，当角点A ′在BC 上滑动时，E 、F 点的运动位置分别为E ′、F ′, 若BA ′=x,其折叠部分图形的面积为S （如图2），
求触角点AD 在BC 上运动时。折叠部分图形的面积S 与x 的函数关系。
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32(2)∵点A 在批物线
上。 ∴
，即A(1, ， ∴
，∴点B （1，0）C （0，
）在直线上故 )
设C 点的坐标为（0，）∵在Rt △ABD 中∴∠ABD=30，∠CBO=30，∴（3）设BC 的直线解析式为
对折叠关系可知∠∠90°过作X 轴的垂线AE
垂足为E
。则
∴
把
物线上 33（1）设
≤7
代入抛物线方程得，当时
A 点在抛
=y
则=9-y ∴ 则，即所求函数为： 0≤x
（2）当x=2时， 又∵当x=2时，则D=5。 同时可证∽∴
，
∴，即
（3）存在。 ∵在
∽
条件下，当
=
，
时，△OB ′E ′与△DGB ′全等，
即当
时，有
无
，
意
，
，
，， 即义
或
，而，
，则设
∴当
时，
，
，
，∴△OB ′E ′≌△DGB
设
，
，
又可证：△
∽△故可得
，即
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，
又可证：
∽△
可得：，即
，
当与D 点重合（如图3）时，可由：
即：
由
，
∵
当x=25时AG 无意义舍去，∴x=1。 ∴当O ≤x ≤1时，
，
其中，
∴S 影=
当
时，
，（如图1）当
时，
=16.9（如图3）
当1≤x ≤5时，过F ′作点BC 的垂线垂足为H （如图4）
时，时，
（如图3）
（如图5）
当
当
- 6 -
当5≤≤13时，过F ′作点BC 的垂线垂足为H ′， 可证 又∵ 于是得：
∴
∴
∴
当
时
，（如图5）
，，
，设
，
。
，∴
，则
。
当时
（如图7） ∴综上：
- 7 -