6.5最简三角方程（2）
上海市第四中学 张云
一、 教学内容分析
在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的∆≥0，而且要关注此三角函数本身的条件限制． 二、教学目标设计
1．会解简单的三角方程（形如A sin x +B cos x =C ，A sin 2x +B sin x =C ，
A sin 2x +B cos x =C 等）．
[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．
２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．
三、教学重点及难点
重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；
难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用
公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论． 四、教学用具准备
多媒体设备 五、教学流程设计
六、教学过程设计 1．概念辨析
已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：
把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；
（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；
（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；
（4
）形如a sin x +b cos x =c 的方程，通常是引入辅助角，化原方程为
sin(x +θ) =
≤1时，方程有解．
2．例题分析
例1、解方程2sin 2x +3cos x =0．
解 原方程可化为 2(1-c 2o x s +) 3x =c o ，s 0
即 2cos 2x -3cos x -2=0． 解这个关于cos x 的二次方程，得
1
cos x =2，cos x =-．
2
由cos x =2，得解集为φ； 由cos x =-，得解集为⎨x x =2k π±
2
⎩
1
⎧
2π⎫, k ∈Z ⎬． 3⎭
所以原方程的解集为⎨x x =2k π±
⎩
⎧
2π⎫, k ∈Z ⎬． 3⎭
[说明]方程中的sin 2x 可化为1-cos 2x ，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当∆≥0时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解． 例2
、解方程sin 2x -
x cos x -cos 2x =0． 3
解一 因为cos x ≠0（使cos x =0的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos 2x ，得
tan 2x x -1=0． 解关于tan x 的二次方程，得
tan x =
tan x =
由tan x =⎨x x =k π+, k ∈Z ⎬；
⎩
3
⎭
⎧π⎫
由tan x =⎧π⎫⎨x x =k π-, k ∈Z ⎬． 6⎩⎭
⎧⎩
所以原方程的解集为⎨x x =k π+, 或x =k π-, k ∈Z ⎬．
3
6
⎭
ππ⎫
[说明]若方程的每一项关于sin x 及cos x 的次数都是相同的（本题都是二次）, 那么这样的方程叫做关于sin x 及cos x 的齐次方程．它的解法一般是, 先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解． 解二 降次得
化简得
1-c o s x 23+1c x o s 2
i n x 2-=，0 22
i n x 2+c o x s =2． 0
因为cos 2x ≠0（使cos 2x =0的x 的值不可能满足原方程），所以
在方程的两边同除以cos 2x
，得tan 2x =
由tan 2x = 2x =k π-, k ∈Z ，即x =
3
π
k ππ
-, k ∈Z ． 26
所以原方程的解集为⎨x x =
⎩
⎧
k ππ⎫-, k ∈Z ⎬． 26⎭
[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，
k πππk πππ
-变成n π-；当k 是奇数2n+1时，-变成n π+，266263
所以实质上⎨x x =k π+, 或x =k π-, k ∈Z ⎬与⎨x x =
⎩
3
6
⎭
⎩
⎧ππ⎫⎧
k ππ⎫
-, k ∈Z ⎬是相26⎭
等的集合． 解三 降次得
化简得
1-c o s x 23+1c x o s 2
i n x 2-=，0 22
i n x 2+3
c o x s =2， 0
即 sin(2x +) =0，
3
π
得 2x +
π
3
=k π, k ∈Z ，即x =
k ππ
-, k ∈Z ． 26
所以原方程的解集为⎨x x =
⎩
⎧
k ππ⎫-, k ∈Z ⎬． 26⎭
[说明]一般说来，对于形如a sin x +b cos x =c 的三角方程，可先在方程的两边都除
以，然后引入辅助角，原方程变形
为
sin(x +θ) =
≤1时，方程有解．
例3、若方程cos 2x -2sin x +m -1=0存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 2sin 2x +2sin x -m =0，
即 sin 2x +sin x -
m
=0 2
解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为-1≤sin x ≤1
m ⎧
∆=1-4⋅(-) ≥0⎪⎪2
要使方程有解，只需⎨
m ⎪1+1-≥0
⎪⎩2
解得-≤m ≤4．
⎤
所以m 的取值范围为⎡． -, 4⎢⎥⎣2⎦
1
1
2
[说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的∆≥0，而且必须考虑sin x 的值在[-1,1]内．
解二 由原方程得 2sin 2x +2sin x -m =0，
得m =2sin 2x +2sin x =2(sinx +) 2- 因为-1≤sin x ≤1，所以-≤m ≤4．
⎤
所以m 的取值范围为⎡． -, 4⎢⎥⎣2⎦
11
2
12
12
[说明] 当方程sin x =t (t 为常数）有解时，必须满
足t ≤1，则原题就转化为求m =2(t +) 2-, t ∈[-1,1]的最大值、最小值问题． 3．问题拓展
例4、求方程sin 2x =cos(π-x ) 的解集． 解一 由原方程得2sin x ⋅cos x =-cos x ，
1
2
12
得 cos x =0，sin x =-．
⎫
由cos x =0，得解集为⎧x x =k π+, k ∈Z ⎨⎬；
⎩
2
⎭
1
1
2
π
由sin x =-，得解集为⎨x x =k π-(-1) K
2
⎩⎧⎩
⎧π
⎫, k ∈Z ⎬． 6⎭
所以原方程的解集为⎨x x =k π+或x =k π-(-1) K
2
ππ
⎫
, k ∈Z ⎬． 6⎭
解二 由原方程得sin 2x =－cos x ， 即sin 2x =sin(
得2x =2k π+即x =2k π+
3π
+x ) 2
3π3π
+x 或2x =2k π+π-(+x ) ， 22
3π2k ππ
-，k ∈Z ． 或x =
236
所以原方程的解集为⎨x x =2k π+
⎩
⎧
3π2k ππ⎫
或x =-, k ∈Z ⎬． 236⎭
解三 由原方程得sin 2x =－cos x ， 即cos(+2x ) =cos x
2
π
得2x +
π
2
=2k π+x 或2x +
π
2
=2k π-x ，
即x =2k π-或x =
2
π
2k ππ
-，k ∈Z ． 36
所以原方程的解集为⎨x x =2k π-或x =
⎩
2
⎧π
2k ππ⎫
-, k ∈Z ⎬． 36⎭
[说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证
这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．
（1）sin α=sin β，则α=2k π+β或α=2k π+π-β, k ∈Z ； （2）cos α=cos β，则α=2k π+β或α=2k π-β, k ∈Z ； （3）tan α=tan β，则α=k π+β, k ∈Z ．
三、巩固练习
1、解下列方程的解集： （1）2sin 2x +3cos x -3=0； （2）8sin 2x =5sin 2x -1．
2、关于x 的方程sin 2x +cos x +k =0有实数解, 求实数k 的取值范围. 3、求方程cos(πsin x ) =的解集． 4、已知函数f (x ) =sin 4+4cos 2（1）化简f (x ) ，并求f (
x 2
x x x
-cos 4+4sin 2， 222
1
2
25
π) ； 6
（2）若0
2
α
四、课堂小结
本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。掌握基本方法与合理选用公式和变换方法是本节课的重点．含有字母三角方程的实数解讨论是本节课的难点．
五、作业布置
略
6.5最简三角方程（2）
上海市第四中学 张云
一、 教学内容分析
在掌握最简三角方程的解集基础上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用基本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的∆≥0，而且要关注此三角函数本身的条件限制． 二、教学目标设计
1．会解简单的三角方程（形如A sin x +B cos x =C ，A sin 2x +B sin x =C ，
A sin 2x +B cos x =C 等）．
[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．
２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．
三、教学重点及难点
重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法；
难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用
公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论． 四、教学用具准备
多媒体设备 五、教学流程设计
六、教学过程设计 1．概念辨析
已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：
把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有： （1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；
（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；
（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；
（4
）形如a sin x +b cos x =c 的方程，通常是引入辅助角，化原方程为
sin(x +θ) =
≤1时，方程有解．
2．例题分析
例1、解方程2sin 2x +3cos x =0．
解 原方程可化为 2(1-c 2o x s +) 3x =c o ，s 0
即 2cos 2x -3cos x -2=0． 解这个关于cos x 的二次方程，得
1
cos x =2，cos x =-．
2
由cos x =2，得解集为φ； 由cos x =-，得解集为⎨x x =2k π±
2
⎩
1
⎧
2π⎫, k ∈Z ⎬． 3⎭
所以原方程的解集为⎨x x =2k π±
⎩
⎧
2π⎫, k ∈Z ⎬． 3⎭
[说明]方程中的sin 2x 可化为1-cos 2x ，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当∆≥0时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解． 例2
、解方程sin 2x -
x cos x -cos 2x =0． 3
解一 因为cos x ≠0（使cos x =0的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos 2x ，得
tan 2x x -1=0． 解关于tan x 的二次方程，得
tan x =
tan x =
由tan x =⎨x x =k π+, k ∈Z ⎬；
⎩
3
⎭
⎧π⎫
由tan x =⎧π⎫⎨x x =k π-, k ∈Z ⎬． 6⎩⎭
⎧⎩
所以原方程的解集为⎨x x =k π+, 或x =k π-, k ∈Z ⎬．
3
6
⎭
ππ⎫
[说明]若方程的每一项关于sin x 及cos x 的次数都是相同的（本题都是二次）, 那么这样的方程叫做关于sin x 及cos x 的齐次方程．它的解法一般是, 先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解． 解二 降次得
化简得
1-c o s x 23+1c x o s 2
i n x 2-=，0 22
i n x 2+c o x s =2． 0
因为cos 2x ≠0（使cos 2x =0的x 的值不可能满足原方程），所以
在方程的两边同除以cos 2x
，得tan 2x =
由tan 2x = 2x =k π-, k ∈Z ，即x =
3
π
k ππ
-, k ∈Z ． 26
所以原方程的解集为⎨x x =
⎩
⎧
k ππ⎫-, k ∈Z ⎬． 26⎭
[说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，
k πππk πππ
-变成n π-；当k 是奇数2n+1时，-变成n π+，266263
所以实质上⎨x x =k π+, 或x =k π-, k ∈Z ⎬与⎨x x =
⎩
3
6
⎭
⎩
⎧ππ⎫⎧
k ππ⎫
-, k ∈Z ⎬是相26⎭
等的集合． 解三 降次得
化简得
1-c o s x 23+1c x o s 2
i n x 2-=，0 22
i n x 2+3
c o x s =2， 0
即 sin(2x +) =0，
3
π
得 2x +
π
3
=k π, k ∈Z ，即x =
k ππ
-, k ∈Z ． 26
所以原方程的解集为⎨x x =
⎩
⎧
k ππ⎫-, k ∈Z ⎬． 26⎭
[说明]一般说来，对于形如a sin x +b cos x =c 的三角方程，可先在方程的两边都除
以，然后引入辅助角，原方程变形
为
sin(x +θ) =
≤1时，方程有解．
例3、若方程cos 2x -2sin x +m -1=0存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 2sin 2x +2sin x -m =0，
即 sin 2x +sin x -
m
=0 2
解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为-1≤sin x ≤1
m ⎧
∆=1-4⋅(-) ≥0⎪⎪2
要使方程有解，只需⎨
m ⎪1+1-≥0
⎪⎩2
解得-≤m ≤4．
⎤
所以m 的取值范围为⎡． -, 4⎢⎥⎣2⎦
1
1
2
[说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的∆≥0，而且必须考虑sin x 的值在[-1,1]内．
解二 由原方程得 2sin 2x +2sin x -m =0，
得m =2sin 2x +2sin x =2(sinx +) 2- 因为-1≤sin x ≤1，所以-≤m ≤4．
⎤
所以m 的取值范围为⎡． -, 4⎢⎥⎣2⎦
11
2
12
12
[说明] 当方程sin x =t (t 为常数）有解时，必须满
足t ≤1，则原题就转化为求m =2(t +) 2-, t ∈[-1,1]的最大值、最小值问题． 3．问题拓展
例4、求方程sin 2x =cos(π-x ) 的解集． 解一 由原方程得2sin x ⋅cos x =-cos x ，
1
2
12
得 cos x =0，sin x =-．
⎫
由cos x =0，得解集为⎧x x =k π+, k ∈Z ⎨⎬；
⎩
2
⎭
1
1
2
π
由sin x =-，得解集为⎨x x =k π-(-1) K
2
⎩⎧⎩
⎧π
⎫, k ∈Z ⎬． 6⎭
所以原方程的解集为⎨x x =k π+或x =k π-(-1) K
2
ππ
⎫
, k ∈Z ⎬． 6⎭
解二 由原方程得sin 2x =－cos x ， 即sin 2x =sin(
得2x =2k π+即x =2k π+
3π
+x ) 2
3π3π
+x 或2x =2k π+π-(+x ) ， 22
3π2k ππ
-，k ∈Z ． 或x =
236
所以原方程的解集为⎨x x =2k π+
⎩
⎧
3π2k ππ⎫
或x =-, k ∈Z ⎬． 236⎭
解三 由原方程得sin 2x =－cos x ， 即cos(+2x ) =cos x
2
π
得2x +
π
2
=2k π+x 或2x +
π
2
=2k π-x ，
即x =2k π-或x =
2
π
2k ππ
-，k ∈Z ． 36
所以原方程的解集为⎨x x =2k π-或x =
⎩
2
⎧π
2k ππ⎫
-, k ∈Z ⎬． 36⎭
[说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证
这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．
（1）sin α=sin β，则α=2k π+β或α=2k π+π-β, k ∈Z ； （2）cos α=cos β，则α=2k π+β或α=2k π-β, k ∈Z ； （3）tan α=tan β，则α=k π+β, k ∈Z ．
三、巩固练习
1、解下列方程的解集： （1）2sin 2x +3cos x -3=0； （2）8sin 2x =5sin 2x -1．
2、关于x 的方程sin 2x +cos x +k =0有实数解, 求实数k 的取值范围. 3、求方程cos(πsin x ) =的解集． 4、已知函数f (x ) =sin 4+4cos 2（1）化简f (x ) ，并求f (
x 2
x x x
-cos 4+4sin 2， 222
1
2
25
π) ； 6
（2）若0
2
α
四、课堂小结
本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。掌握基本方法与合理选用公式和变换方法是本节课的重点．含有字母三角方程的实数解讨论是本节课的难点．
五、作业布置
略