广义五点作图法及其应用 广义五点作图法及其应用
湖南省沅江一中 王习波
一、五点作图法 五点作图法
1、定义：定义：对于函数y=Asin(ωx+φ)，y=Asin(ωx+φ)，我们把我们把通过作出其在一个周期内的五个关键点从周期内的五个关键点从而作出其简图的方法叫五点作图法，这五个点包括三个平衡位置的点和一个高峰点、包括三个平衡位置的点和一个高峰点、一个低谷点。一个低谷点。
注意：注意：不是作出函数y=Asin(ωx+φ)在任意一个周期内的图象y=Asin(ωx+φ)在任意一个周期内的图象，在任意一个周期内的图象，更不是任意的五个点。更不是任意的五个点。
2、操作方法：操作方法：用“五点法”五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象y=Asin(ωx+φ)图象方法图象方法：方法：令ωx+φ分别等于0，，π，
2
π
3π
，2π依次求出五个点的横坐标2
x ，…… ……
1
二、广义五点作图法 广义五点作图法
1、 1、定义：定义：对于函数对于函数y=Asin(ωx+φ) :只要知道函数只要知道函数y=Asin(ωx+φ) 的一个关键点P （a,b）（平衡点a,b ）（平衡点、平衡点、高峰点、高峰点、低谷点）低谷点）和周期T ，我们就可以通过向左右各平移可以通过向左右各平移 、和
T
4
T 2
3T
来作出其余四个来作出其余四个关键点四个关键点，关键点，从而4
作出函数作出函数y=Asin(ωx+φ) 的简图。的简图。我们把这种作图方法叫广义五点作我们把这种作图方法叫广义五点作图法。图法。
2、操作方法，（七个点中选择五个就行，操作方法，如下图：如下图：七个点中选择五个就行，为便于求φ，应作出原点附近的平衡点来）作出原点附近的平衡点来）
三、广义五点作图法的应用广义五点作图法的应用 的应用
例1：设函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) （A ≠0，ω＞0，−＜φ＜）的图象 的图象
2
2
ππ
关于直线x=
2π
对称，对称，它的周期是π它的周期是π，则（ ） ） 3
1
A 、f(x)的图象过点f(x)的图象过点（的图象过点（0，）
2
2
B 、f(x)在区间f(x)在区间[在区间[
5π2π
，]上是减函数 上是减函数 123
C 、f(x)的最大值是f(x)的最大值是A
D 、f(x)的图象的一个对称中心是f(x)的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（解：由条件“由条件“关于直线x=
5π
，0） 12
2π2π对称”对称”可知，可知，函数f(x)过点f(x)过点P （，A ）33
2πT π3π
；又；又由条件“由条件“它的周期是π它的周期是π”可知＝=，于是或者（或者（，−A ）
34412
我们可以作出其图象如下（： 我们可以作出其图象如下（有两个）有两个）：
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象01 01
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象02 02
3
比照上面两个图知：比照上面两个图知：
A 、f(x)的图象过点f(x)的图象过点（的图象过点（0，） ――A――A 若不确定，若不确定，得不出此结论。得不出此结论。 B 、f(x)在区间f(x)在区间[在区间[
5π2π
，]上是减函数 上是减函数 123
2π
处在波谷时正确 时正确 ――只在――只在A 为负值即点为负值即点P （，A ）处在波
3
12
C 、f(x)的最大值是f(x)的最大值是A
―― ――只为正数时正确 ――只在A 为正数时正确 D 、f(x)的图象的一个对称中心是f(x)的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（
5π
，0） 12
――无论――无论A 为正值还是负值都正确。为正值还是负值都正确。
显然，显然，我们可以依据这两个图象迅速求出φ的值：的值： ① 找到邻近原点（邻近原点（0，0）的两个平衡点（
−π5π
，0），（，0） 1212
② 利用函数f(x)=A sinx f(x)= sin x 过原点，过原点，得 (ωx+φ＝0，f(0)＝f(0)＝0) ，即ωx+φ＝0，即2•
−π5ππ−5π
+φ＝0或2•+φ＝0，得φ＝或φ＝ 121266
③ 利用已知条件：利用已知条件：−＜φ＜，知：φ＝∈[−，]
2
2
6
2
2
πππππ
故：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(2=Asin(2x+)
6
π
例2：设函数f(x)=Asin(的图象 f(x)=Asin(ωx+φ) （A ≠0，ω＞0，−＜φ＜）的图象
2
2
ππ
关于点（关于点（
2π
，0）对称，对称，它的周期是π它的周期是π，请作出它的简图并求出 请作出它的简图并求出 3
φ的值。的值。
2π2π
，0）对称”对称”可知，可知，函数f(x)过点f(x)过点P （，33
T π3π
0）；又由条件；又由条件“又由条件“它的周期是π它的周期是π”可知＝=，于是我们可以作出
4412
解：由条件“由条件“关于点（关于点（
4
其图象如下（： 其图象如下（有两个）有两个）：
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象03 03
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象04 04
同样地，同样地，我们可以依据这两个图象迅速求出φ的值：的值： ① 找到邻近原点（邻近原点（0，0）的两个平衡点（
−4π2π
，0），（，0） 1212
② 利用函数f(x)=f(x)= A sinx sin x 过原点，过原点，得 (ωx+φ＝0，f(0)＝f(0)＝0) ，即ωx+φ
−4π2π2π−π
+φ＝0或2•+φ＝0，得φ＝或φ＝ 121233
ππ−πππ
③ 利用已知条件：用已知条件：−＜φ＜，知：φ＝∈[−，]
22322
＝0，即2•
故：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(2=Asin(2x −)
3
π
5
说明1：
在实际作图时，其实，在实际应用中我们会在实际应用中我们会在实际作图时，我们往往拘泥于我们往往拘泥于π，其实，发现完全可以将π看作12个单位长度，个单位长度，于是
π
4∼3，
π
12
∼1，
π
6
∼2，
π
5
∼2.5，
π
3
∼4，
π
2
∼6，这样可以快速作出函数这样可以快速作出函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 的图
象。
当然，当然，我们也可以将我们也可以将π看作14个单位长度、个单位长度、15个单位长度、个单位长度、x 个单位长度，单位长度，视具体的已知条件而灵活变动。视具体的已知条件而灵活变动。
此方法模仿自弧度与角度的对应。此方法模仿自弧度与角度的对应。 说明2：
有的时候已知条件是：有的时候已知条件是：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象关于直线x ＝100对称，对称，周期T ＝3. 这时你需这时你需要利用函数的周期性作出其在原点附近的一个周期的简图来，附近的一个周期的简图来，需灵活运用，需灵活运用，不可胶柱鼓瑟。不可胶柱鼓瑟。
湖南省沅江一中 王习波 完成于2014年5月11日星期日深夜
6
广义五点作图法及其应用 广义五点作图法及其应用
湖南省沅江一中 王习波
一、五点作图法 五点作图法
1、定义：定义：对于函数y=Asin(ωx+φ)，y=Asin(ωx+φ)，我们把我们把通过作出其在一个周期内的五个关键点从周期内的五个关键点从而作出其简图的方法叫五点作图法，这五个点包括三个平衡位置的点和一个高峰点、包括三个平衡位置的点和一个高峰点、一个低谷点。一个低谷点。
注意：注意：不是作出函数y=Asin(ωx+φ)在任意一个周期内的图象y=Asin(ωx+φ)在任意一个周期内的图象，在任意一个周期内的图象，更不是任意的五个点。更不是任意的五个点。
2、操作方法：操作方法：用“五点法”五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象y=Asin(ωx+φ)图象方法图象方法：方法：令ωx+φ分别等于0，，π，
2
π
3π
，2π依次求出五个点的横坐标2
x ，…… ……
1
二、广义五点作图法 广义五点作图法
1、 1、定义：定义：对于函数对于函数y=Asin(ωx+φ) :只要知道函数只要知道函数y=Asin(ωx+φ) 的一个关键点P （a,b）（平衡点a,b ）（平衡点、平衡点、高峰点、高峰点、低谷点）低谷点）和周期T ，我们就可以通过向左右各平移可以通过向左右各平移 、和
T
4
T 2
3T
来作出其余四个来作出其余四个关键点四个关键点，关键点，从而4
作出函数作出函数y=Asin(ωx+φ) 的简图。的简图。我们把这种作图方法叫广义五点作我们把这种作图方法叫广义五点作图法。图法。
2、操作方法，（七个点中选择五个就行，操作方法，如下图：如下图：七个点中选择五个就行，为便于求φ，应作出原点附近的平衡点来）作出原点附近的平衡点来）
三、广义五点作图法的应用广义五点作图法的应用 的应用
例1：设函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) （A ≠0，ω＞0，−＜φ＜）的图象 的图象
2
2
ππ
关于直线x=
2π
对称，对称，它的周期是π它的周期是π，则（ ） ） 3
1
A 、f(x)的图象过点f(x)的图象过点（的图象过点（0，）
2
2
B 、f(x)在区间f(x)在区间[在区间[
5π2π
，]上是减函数 上是减函数 123
C 、f(x)的最大值是f(x)的最大值是A
D 、f(x)的图象的一个对称中心是f(x)的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（解：由条件“由条件“关于直线x=
5π
，0） 12
2π2π对称”对称”可知，可知，函数f(x)过点f(x)过点P （，A ）33
2πT π3π
；又；又由条件“由条件“它的周期是π它的周期是π”可知＝=，于是或者（或者（，−A ）
34412
我们可以作出其图象如下（： 我们可以作出其图象如下（有两个）有两个）：
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象01 01
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象02 02
3
比照上面两个图知：比照上面两个图知：
A 、f(x)的图象过点f(x)的图象过点（的图象过点（0，） ――A――A 若不确定，若不确定，得不出此结论。得不出此结论。 B 、f(x)在区间f(x)在区间[在区间[
5π2π
，]上是减函数 上是减函数 123
2π
处在波谷时正确 时正确 ――只在――只在A 为负值即点为负值即点P （，A ）处在波
3
12
C 、f(x)的最大值是f(x)的最大值是A
―― ――只为正数时正确 ――只在A 为正数时正确 D 、f(x)的图象的一个对称中心是f(x)的图象的一个对称中心是（的图象的一个对称中心是（
5π
，0） 12
――无论――无论A 为正值还是负值都正确。为正值还是负值都正确。
显然，显然，我们可以依据这两个图象迅速求出φ的值：的值： ① 找到邻近原点（邻近原点（0，0）的两个平衡点（
−π5π
，0），（，0） 1212
② 利用函数f(x)=A sinx f(x)= sin x 过原点，过原点，得 (ωx+φ＝0，f(0)＝f(0)＝0) ，即ωx+φ＝0，即2•
−π5ππ−5π
+φ＝0或2•+φ＝0，得φ＝或φ＝ 121266
③ 利用已知条件：利用已知条件：−＜φ＜，知：φ＝∈[−，]
2
2
6
2
2
πππππ
故：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(2=Asin(2x+)
6
π
例2：设函数f(x)=Asin(的图象 f(x)=Asin(ωx+φ) （A ≠0，ω＞0，−＜φ＜）的图象
2
2
ππ
关于点（关于点（
2π
，0）对称，对称，它的周期是π它的周期是π，请作出它的简图并求出 请作出它的简图并求出 3
φ的值。的值。
2π2π
，0）对称”对称”可知，可知，函数f(x)过点f(x)过点P （，33
T π3π
0）；又由条件；又由条件“又由条件“它的周期是π它的周期是π”可知＝=，于是我们可以作出
4412
解：由条件“由条件“关于点（关于点（
4
其图象如下（： 其图象如下（有两个）有两个）：
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象03 03
函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 图象04 04
同样地，同样地，我们可以依据这两个图象迅速求出φ的值：的值： ① 找到邻近原点（邻近原点（0，0）的两个平衡点（
−4π2π
，0），（，0） 1212
② 利用函数f(x)=f(x)= A sinx sin x 过原点，过原点，得 (ωx+φ＝0，f(0)＝f(0)＝0) ，即ωx+φ
−4π2π2π−π
+φ＝0或2•+φ＝0，得φ＝或φ＝ 121233
ππ−πππ
③ 利用已知条件：用已知条件：−＜φ＜，知：φ＝∈[−，]
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＝0，即2•
故：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(2=Asin(2x −)
3
π
5
说明1：
在实际作图时，其实，在实际应用中我们会在实际应用中我们会在实际作图时，我们往往拘泥于我们往往拘泥于π，其实，发现完全可以将π看作12个单位长度，个单位长度，于是
π
4∼3，
π
12
∼1，
π
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∼2，
π
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∼2.5，
π
3
∼4，
π
2
∼6，这样可以快速作出函数这样可以快速作出函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 的图
象。
当然，当然，我们也可以将我们也可以将π看作14个单位长度、个单位长度、15个单位长度、个单位长度、x 个单位长度，单位长度，视具体的已知条件而灵活变动。视具体的已知条件而灵活变动。
此方法模仿自弧度与角度的对应。此方法模仿自弧度与角度的对应。 说明2：
有的时候已知条件是：有的时候已知条件是：函数f(x)=Asin(f(x)=Asin(ωx+φ) 的图象关于直线x ＝100对称，对称，周期T ＝3. 这时你需这时你需要利用函数的周期性作出其在原点附近的一个周期的简图来，附近的一个周期的简图来，需灵活运用，需灵活运用，不可胶柱鼓瑟。不可胶柱鼓瑟。
湖南省沅江一中 王习波 完成于2014年5月11日星期日深夜
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