极限法的应用
极端值法：
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．
1. 如图所示电路中，当可变电阻R 的阻值增大时（ ） A. A、B 两点间的电压U 增大 B. A、B 两点间的电压U 减小 C. 通过R 的电流I 增大 D. 通过R 的电流I 减小
2. 如图所示，电源内阻不能忽略，R 1＝10Ω，R 2＝8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A ；当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是（ ）
A ．0.27A B ．0.24A C ．0.21A D ．0.18A 3. 物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q （q>0），而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O 1和O 2相距为2a ，联线的中点为O ，轴线上的A 点在O 点右侧与O 点相距为r （r
A ．B ．
C ．D ．
4. 如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，
两端分别悬挂质量为
m 1
和
m 2的物体A 和B 。若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2。已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确的。请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是
A. B.
C. D.
函数求极值法：
高考中对运用数学工具解决物理问题的要求越来越高，其中运用函数知识解决极值问题是常常遇到的．数学上求极值的方法通常有：利用二次函数求极值、利用不等式求极值、利用判别式求极值、利用三角函数求极值等．
5. 巡航快艇A 从港口P 出发拦截正以速度V B 沿直线MN 航行的船B ，港口P 与B 船航线MN 的垂直距离为a ，A 艇启航时B 船离港口的距离为b (b >a ) ，如图所示．如果略去A 艇启动时的
加速过程，认为它始终做匀速运动，试求A 艇能拦住B 船所需
的最小速率．
6. 如图所示，一辆有四分之一圆弧的小车停在不光滑的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车的顶端无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态. 试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大? 最大值为多少?
7. 一小物块以速度v 0=10m /s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图
所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最 大？这个距离是多少？（g 取10m/s2）
8. 一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？
B
9. 物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G
，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力
F 为多大？
答案：
1. 可变电阻R 的变化范围在零到无穷大之间连续变化。当R=0时，A 、B 间短路，此时U=0，
I =E (R 1+r ) ；当R →∞时，R 断路，I =0，U =ER 2(R 1+R 2+r ) 。可见，当R 的阻
值增大时，U 增大而I 减小，因此A 、D 选项正确。
2. 开关S 分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得
I 1=
r +R 1r +100.2r 2E E
I 1=⨯0.2=+，I 2= 所以有I 2= r +R 2r +8r +8r +8r +R 1r +R 2
虽然电源内阻R 的数值未知，但其取值范围尽然是0∞，所以，当R ＝0时，I 2＝0.25A ；当R
→∞时，I 2→0.2A ．故电流表示数的变化范围是0.2A ＜I 2＜0.25A ．
本题的正确选项是BC ．
5. 设A 艇能拦住B 船所需的最小速率为v A ，且A 艇在C 处拦截住B 船，则航行方向为PC ，∠BAC =θ，如图所示．
v t v A t
在△BAC 中，由正弦定理B =
sin θsin ∠ABC
av B a
而sin ∠ABC =，所以有v A =
b b sin θ
a
由上式可知，当θ=90︒时，v B 最小，且最小值为v B
b
6. 设圆弧半径为R ，当小球运动到重力与半径夹角为θ时，速度为v. 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有:
mv 2/2=mgRcosθ N-mgcos θ=mv2/R
解得小球对小车的压力为:N=3mgcosθ 其水平分量为Nx=3mgcosθsin θ=3mgsin2θ/2 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=3mgsin2θ/2
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为f max =3mg/2
7. 依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持
力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律，
1212
mv 0=mv +m g h ① 22
12
gt ② 2
小物块做平抛运动的水平距离s 和高度
h 分别为：h =
s =vt ③
22v 0v 02h 2
=2() -(h -) 2 以上三式联立解得：s =v -2gh g 4g 4g
2
22v 0v 0
当h ==2. 5m 时，飞行距离最大，为s max ==5m 。
4g 2g
8. 当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ ①
12
mgL cos θ=mv ② 且有2
解①②可得：P =mg 2gL cos θsin 2θ 令y=cosθsinθ
B
g
y =cos θsin 2θ=
11(2cos 2θsin 4θ) =(2cos 2θ⋅sin 2θ⋅sin 2θ) 22
又 2cos 2θ+sin 2θ+sin 2θ=2(sin2θ+cos 2θ) =2
根据基本不等式a +b +c ≥abc ，可知：当且仅当2cos
2
θ=sin 2θ，y 有最大值
由2cos 2θ=1-cos 2θ得：cos θ=
3
结论：当时，y 及功率P 有最大值。
33cos θ=3
9. 解：方法一：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即 F cos θ-f =0 ① N +F sin θ=G ② f =μN ③ 由联立①②③式解得：
F =
μG μG μG
, ==
22μsin θ+cos θ+μ(sinθcos φ+cos θsin φ) +μsin(θ+φ)
1
其中tan φ= 方法二：
μ
, 所以 F min =
μ+μ
2
G
F
将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F' ，如图4，F ’与竖直方向的夹角为tan φ=
f
G
f
=μ（为一定值）。N
这样木块可认为受到三个力:重力G, 桌面对木块的作用力
F' 和拉力F 的作用。如图所示。只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为F =G sin φ 而sin φ=
tan φ+tan φ
2
=
μ
+μ
2
φ= 故F =G s i n
μG
+μ
2
极限法的应用
极端值法：
对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．
1. 如图所示电路中，当可变电阻R 的阻值增大时（ ） A. A、B 两点间的电压U 增大 B. A、B 两点间的电压U 减小 C. 通过R 的电流I 增大 D. 通过R 的电流I 减小
2. 如图所示，电源内阻不能忽略，R 1＝10Ω，R 2＝8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A ；当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是（ ）
A ．0.27A B ．0.24A C ．0.21A D ．0.18A 3. 物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R 1和R 2的圆环，两圆环上的电荷量均为q （q>0），而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O 1和O 2相距为2a ，联线的中点为O ，轴线上的A 点在O 点右侧与O 点相距为r （r
A ．B ．
C ．D ．
4. 如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，
两端分别悬挂质量为
m 1
和
m 2的物体A 和B 。若滑轮有一定大小，质量为m 且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2。已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确的。请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是
A. B.
C. D.
函数求极值法：
高考中对运用数学工具解决物理问题的要求越来越高，其中运用函数知识解决极值问题是常常遇到的．数学上求极值的方法通常有：利用二次函数求极值、利用不等式求极值、利用判别式求极值、利用三角函数求极值等．
5. 巡航快艇A 从港口P 出发拦截正以速度V B 沿直线MN 航行的船B ，港口P 与B 船航线MN 的垂直距离为a ，A 艇启航时B 船离港口的距离为b (b >a ) ，如图所示．如果略去A 艇启动时的
加速过程，认为它始终做匀速运动，试求A 艇能拦住B 船所需
的最小速率．
6. 如图所示，一辆有四分之一圆弧的小车停在不光滑的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车的顶端无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态. 试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大? 最大值为多少?
7. 一小物块以速度v 0=10m /s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图
所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最 大？这个距离是多少？（g 取10m/s2）
8. 一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？
B
9. 物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G
，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力
F 为多大？
答案：
1. 可变电阻R 的变化范围在零到无穷大之间连续变化。当R=0时，A 、B 间短路，此时U=0，
I =E (R 1+r ) ；当R →∞时，R 断路，I =0，U =ER 2(R 1+R 2+r ) 。可见，当R 的阻
值增大时，U 增大而I 减小，因此A 、D 选项正确。
2. 开关S 分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得
I 1=
r +R 1r +100.2r 2E E
I 1=⨯0.2=+，I 2= 所以有I 2= r +R 2r +8r +8r +8r +R 1r +R 2
虽然电源内阻R 的数值未知，但其取值范围尽然是0∞，所以，当R ＝0时，I 2＝0.25A ；当R
→∞时，I 2→0.2A ．故电流表示数的变化范围是0.2A ＜I 2＜0.25A ．
本题的正确选项是BC ．
5. 设A 艇能拦住B 船所需的最小速率为v A ，且A 艇在C 处拦截住B 船，则航行方向为PC ，∠BAC =θ，如图所示．
v t v A t
在△BAC 中，由正弦定理B =
sin θsin ∠ABC
av B a
而sin ∠ABC =，所以有v A =
b b sin θ
a
由上式可知，当θ=90︒时，v B 最小，且最小值为v B
b
6. 设圆弧半径为R ，当小球运动到重力与半径夹角为θ时，速度为v. 根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有:
mv 2/2=mgRcosθ N-mgcos θ=mv2/R
解得小球对小车的压力为:N=3mgcosθ 其水平分量为Nx=3mgcosθsin θ=3mgsin2θ/2 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=Nx=3mgsin2θ/2
可以看出：当sin2θ=1,即θ=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为f max =3mg/2
7. 依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持
力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律，
1212
mv 0=mv +m g h ① 22
12
gt ② 2
小物块做平抛运动的水平距离s 和高度
h 分别为：h =
s =vt ③
22v 0v 02h 2
=2() -(h -) 2 以上三式联立解得：s =v -2gh g 4g 4g
2
22v 0v 0
当h ==2. 5m 时，飞行距离最大，为s max ==5m 。
4g 2g
8. 当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ ①
12
mgL cos θ=mv ② 且有2
解①②可得：P =mg 2gL cos θsin 2θ 令y=cosθsinθ
B
g
y =cos θsin 2θ=
11(2cos 2θsin 4θ) =(2cos 2θ⋅sin 2θ⋅sin 2θ) 22
又 2cos 2θ+sin 2θ+sin 2θ=2(sin2θ+cos 2θ) =2
根据基本不等式a +b +c ≥abc ，可知：当且仅当2cos
2
θ=sin 2θ，y 有最大值
由2cos 2θ=1-cos 2θ得：cos θ=
3
结论：当时，y 及功率P 有最大值。
33cos θ=3
9. 解：方法一：设拉力F 与水平方向的夹角为θ，根据题意可列平衡方程式， 即 F cos θ-f =0 ① N +F sin θ=G ② f =μN ③ 由联立①②③式解得：
F =
μG μG μG
, ==
22μsin θ+cos θ+μ(sinθcos φ+cos θsin φ) +μsin(θ+φ)
1
其中tan φ= 方法二：
μ
, 所以 F min =
μ+μ
2
G
F
将摩擦力f 和地面对木块的弹力N 合成一个力F' ，如图4，F ’与竖直方向的夹角为tan φ=
f
G
f
=μ（为一定值）。N
这样木块可认为受到三个力:重力G, 桌面对木块的作用力
F' 和拉力F 的作用。如图所示。只用当F 与F ’垂直时，即拉力与水平方向成φ角时，拉力F 最小为F =G sin φ 而sin φ=
tan φ+tan φ
2
=
μ
+μ
2
φ= 故F =G s i n
μG
+μ
2