复合函数的求导法则
在理论和实践中，我们经常会遇到复合函数. 求复合函数的导数也是一类重要的课题，下面我们来讨论一下复合函数的求导法则.
一般地，我们有如下的结论. 设f (x ) 和g (x ) 能复合成f [g (x )].
(1)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f '(u 0) g '(x 0) =f '[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f (u 0) g -(x 0) =f [g (x 0)]g -(x 0) .
(2)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≥u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f +'(u 0) g '(x 0) =f +'[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U +(x 0) 内有g (x ) ≥u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f +(u 0) g +(x 0) =f +[g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U -(x 0) 内有g (x ) ≥u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f +(u 0) g -(x 0) =f +[g (x 0)]g -(x 0) .
(3)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≤u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f -'(u 0) g '(x 0) =f -'[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U +(x 0) 内有g (x ) ≤u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f -(u 0) g +(x 0) =f -[g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U -(x 0) 内有g (x ) ≤u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f -(u 0) g -(x 0) =f -[g (x 0)]g -(x 0) .
讨论复合函数求导法则的各种情况是有必要的，这将为严格证明不定积分的换元法做好铺垫. 由于没有采用形式上的简化记法，所以上面的篇幅较大. 下面对几种典型的情况进行证明. 证明之前，先证明三个引理.
引理1 f (x ) 在点x 0处可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 这时必有f '(x 0) =H (x 0) ；
引理2 f (x ) 在点x 0处右可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 这时必有f +'(x 0) =H (x 0) ；
引理3 f (x ) 在点x 0处左可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 这时必有f -'(x 0) =H (x 0) .
下面先证明引理.
(1)f (x ) 在点x 0处可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 这时必有f '(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
f (x ) -f (x 0) 当x ∈U o (x 0) 时，我们有=H (x ) . 于是 x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) x →x 0x →x 0x -x 0
从而f (x ) 在点x 0处可导，且有f '(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处可导，从而可以定义一个函数
⎧f (x ) -f (x 0) , x ∈U o (x 0) ⎪x -x 0 H (x ) =⎨⎪f '(x ), x =x 00⎩
显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 此时还有f '(x 0) =H (x 0) .
(2)f (x ) 在点x 0处右可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 这时必有f +'(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) .
f (x ) -f (x 0) o 当x ∈U +=H (x ) . 于是 (x 0) 时，我们有x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) ++x →x 0x →x x -x 00
从而f (x ) 在点x 0处右可导，且有f +'(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处右可导，从而可以定义一个函数
⎧f '(x 0), x =x 0⎪⎪f (x ) -f (x 0) o H (x ) =⎨, x ∈U +(x 0) x -x 0⎪⎪2H (x ) -H (2x -x ), x ∈U o (x ) 00-0⎩
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 此时还有f +'(x 0) =H (x 0) .
(3)f (x ) 在点x 0处左可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 这时必有f -'(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) .
f (x ) -f (x 0) o 当x ∈U -=H (x ) . 于是 (x 0) 时，我们有x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) --x →x 0x →x x -x 00
从而f (x ) 在点x 0处左可导，且有f -'(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处左可导，从而可以定义一个函数
⎧f '(x 0), x =x 0⎪⎪f (x ) -f (x 0) o H (x ) =⎨, x ∈U -(x 0) x -x 0⎪⎪2H (x ) -H (2x -x ), x ∈U o (x ) 00+0⎩
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 此时还有f -'(x 0) =H (x 0) .
下面，我们证明复合函数的求导法则，这里我们只对三种情况进行证明.
(1)设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f '(u 0) g '(x 0) =f '[g (x 0)]g '(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0可导，由引理1知，存在G (x ) ，G (x ) 在x 0处连续，且有g (x ) -g (x 0)=G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . g '(x 0) =G (x 0) .
因为y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，由引理1知，存在F (u ) ，F (u ) 在u 0处连续，且有f (u ) -f (u 0)=F (u )(u -u 0) ，u ∈U (u 0) . f '(u 0) =F (u 0) .
分析知，可以选取U (x 0) 使F [g (x )]和f [g (x )]在U (x 0) 上有意义. 这时我们有
f [g (x )]-f [g (x 0)]=F [g (x )][g (x ) - g(x 0)]= F[g (x )]G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
F [g (x )]G (x ) 在x 0处显然连续. 由引理1知，f [g (x )]在点x 0处可导，并且有
{f [g (x 0)]}'=F [g (x 0)]G (x 0) =F (u 0) G (x 0) =f '(u 0) g '(x 0) =f '(g (x 0)) g '(x 0) . (2)设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0右可导，从而u =g (x ) 在某U +(x 0) 内有定义，设
o ⎧2g (x 0) -g (2x 0-x ), x ∈U -(x 0) ⎪g 1(x ) =⎨g (x 0), x =x 0
⎪o ⎩g (x ), x ∈U +(x 0)
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 那么容易知道g 1(x ) 在x 0处可导，并且有'(x 0) . 这时，根据上一个命题，我们知道f [g 1(x )]在x 0处可导，并且有[g 1(x 0)]'=g +
'''''[f [g 1(x 0)]]'+=[f [g 1(x 0)]]=f (u 0) g 1(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) . 注意到f [g 1(x )]与f [g (x )]
'在U +(x 0) 内是一样的，而f [g 1(x )]在x 0右可导，从而我们有[f [g 1(x 0)]]'+=[f [g (x 0)]]+，
于是复合函数y=f[g (x )]在点x 0右可导，且
''''[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) .
(3)设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≥u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f +'(u 0) g '(x 0) =f +'[g (x 0)]g '(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0可导，由引理1知，存在G (x ) ，G (x ) 在x 0处连续，且有g (x ) -g (x 0)=G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . g '(x 0) =G (x 0) .
因为y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，由引理2知，存在F (u ) ，F (u ) 在u 0处连续，且有f (u ) -f (u 0)=F (u )(u -u 0) ，u ∈U +(u 0) . f +'(u 0) =F (u 0) .
分析知，可以选取U (x 0) 使F [g (x )]和f [g (x )]在U (x 0) 上有意义. 这时我们有
f [g (x )]-f [g (x 0)]=F [g (x )][g (x ) - g(x 0)]= F[g (x )]G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
F [g (x )]G (x ) 在x 0处显然连续. 由引理1知，f [g (x )]在点x 0处可导，并且有
{f [g (x 0)]}'=F [g (x 0)]G (x 0) =F (u 0) G (x 0) =f +'(u 0) g '(x 0) =f +'(g (x 0)) g '(x 0) .
其它的证明均与上面三种证明相似，所以这里就不写出了. 下面我们来证明一个有用的命题. 这个命题可以用来证明不定积分的换元公式.
定理 函数g (x ) ，x ∈I （区间），其值域为E （区间）. 若g (x ) 在I 上可导，f (u ) 在E 上可导，那么复合函数f [g (x )]在I 上可导. 并且有
{f [g (x )]}'=f '(g (x )) g '(x ), x ∈I .
注意，在定理中，g (x ) 在区间I 左端点a 处的右导数仍记为g '(a ) ，而不记成'(a ) . 对于右端点和f (u ) 也类似处理. g +
证明 (1)设x 0不是I 的端点. 那么g (x ) 在x 0处可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
(2)设x 0是I 的右端点. 那么g (x ) 在x 0处左可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
(3)设x 0是I 的左端点. 那么g (x ) 在x 0处右可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
综合起来，命题得证. 用此命题可以严格证明不定积分的换元公式，这里就不写出来了.
复合函数的求导法则
在理论和实践中，我们经常会遇到复合函数. 求复合函数的导数也是一类重要的课题，下面我们来讨论一下复合函数的求导法则.
一般地，我们有如下的结论. 设f (x ) 和g (x ) 能复合成f [g (x )].
(1)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f '(u 0) g '(x 0) =f '[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f (u 0) g -(x 0) =f [g (x 0)]g -(x 0) .
(2)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≥u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f +'(u 0) g '(x 0) =f +'[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U +(x 0) 内有g (x ) ≥u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f +(u 0) g +(x 0) =f +[g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U -(x 0) 内有g (x ) ≥u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f +(u 0) g -(x 0) =f +[g (x 0)]g -(x 0) .
(3)1.设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≤u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f -'(u 0) g '(x 0) =f -'[g (x 0)]g '(x 0) ；
2. 设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U +(x 0) 内有g (x ) ≤u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f -(u 0) g +(x 0) =f -[g (x 0)]g +(x 0) ；
3. 设u =g (x ) 在点x 0左可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 左可导，在某U -(x 0) 内有g (x ) ≤u 0，
''''那么y=f[g (x )]在点x 0左可导，且[f [g (x 0)]]'-=f -(u 0) g -(x 0) =f -[g (x 0)]g -(x 0) .
讨论复合函数求导法则的各种情况是有必要的，这将为严格证明不定积分的换元法做好铺垫. 由于没有采用形式上的简化记法，所以上面的篇幅较大. 下面对几种典型的情况进行证明. 证明之前，先证明三个引理.
引理1 f (x ) 在点x 0处可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 这时必有f '(x 0) =H (x 0) ；
引理2 f (x ) 在点x 0处右可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 这时必有f +'(x 0) =H (x 0) ；
引理3 f (x ) 在点x 0处左可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 这时必有f -'(x 0) =H (x 0) .
下面先证明引理.
(1)f (x ) 在点x 0处可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 这时必有f '(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
f (x ) -f (x 0) 当x ∈U o (x 0) 时，我们有=H (x ) . 于是 x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) x →x 0x →x 0x -x 0
从而f (x ) 在点x 0处可导，且有f '(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处可导，从而可以定义一个函数
⎧f (x ) -f (x 0) , x ∈U o (x 0) ⎪x -x 0 H (x ) =⎨⎪f '(x ), x =x 00⎩
显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . 此时还有f '(x 0) =H (x 0) .
(2)f (x ) 在点x 0处右可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 这时必有f +'(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) .
f (x ) -f (x 0) o 当x ∈U +=H (x ) . 于是 (x 0) 时，我们有x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) ++x →x 0x →x x -x 00
从而f (x ) 在点x 0处右可导，且有f +'(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处右可导，从而可以定义一个函数
⎧f '(x 0), x =x 0⎪⎪f (x ) -f (x 0) o H (x ) =⎨, x ∈U +(x 0) x -x 0⎪⎪2H (x ) -H (2x -x ), x ∈U o (x ) 00-0⎩
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U +(x 0) . 此时还有f +'(x 0) =H (x 0) .
(3)f (x ) 在点x 0处左可导的充要条件是：存在一个在点x 0处连续的函数H (x ) ，使得f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 这时必有f -'(x 0) =H (x 0) .
证明 充分性. H (x ) 在点x 0处连续，且有f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) .
f (x ) -f (x 0) o 当x ∈U -=H (x ) . 于是 (x 0) 时，我们有x -x 0
f (x ) -f (x 0) lim =lim H (x ) =H (x 0) --x →x 0x →x x -x 00
从而f (x ) 在点x 0处左可导，且有f -'(x 0) =H (x 0) .
必要性. f (x ) 在点x 0处左可导，从而可以定义一个函数
⎧f '(x 0), x =x 0⎪⎪f (x ) -f (x 0) o H (x ) =⎨, x ∈U -(x 0) x -x 0⎪⎪2H (x ) -H (2x -x ), x ∈U o (x ) 00+0⎩
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 显然这个函数H (x ) 在点x 0处连续，并且满足f (x ) -f (x 0)=H (x )(x -x 0) ，x ∈U -(x 0) . 此时还有f -'(x 0) =H (x 0) .
下面，我们证明复合函数的求导法则，这里我们只对三种情况进行证明.
(1)设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f '(u 0) g '(x 0) =f '[g (x 0)]g '(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0可导，由引理1知，存在G (x ) ，G (x ) 在x 0处连续，且有g (x ) -g (x 0)=G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . g '(x 0) =G (x 0) .
因为y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，由引理1知，存在F (u ) ，F (u ) 在u 0处连续，且有f (u ) -f (u 0)=F (u )(u -u 0) ，u ∈U (u 0) . f '(u 0) =F (u 0) .
分析知，可以选取U (x 0) 使F [g (x )]和f [g (x )]在U (x 0) 上有意义. 这时我们有
f [g (x )]-f [g (x 0)]=F [g (x )][g (x ) - g(x 0)]= F[g (x )]G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
F [g (x )]G (x ) 在x 0处显然连续. 由引理1知，f [g (x )]在点x 0处可导，并且有
{f [g (x 0)]}'=F [g (x 0)]G (x 0) =F (u 0) G (x 0) =f '(u 0) g '(x 0) =f '(g (x 0)) g '(x 0) . (2)设u =g (x ) 在点x 0右可导，y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 可导，那么复合函数y=f[g (x )]
''''在点x 0右可导，且[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0右可导，从而u =g (x ) 在某U +(x 0) 内有定义，设
o ⎧2g (x 0) -g (2x 0-x ), x ∈U -(x 0) ⎪g 1(x ) =⎨g (x 0), x =x 0
⎪o ⎩g (x ), x ∈U +(x 0)
o o 其中U +(x 0) 与U -(x 0) 关于x 0对称. 那么容易知道g 1(x ) 在x 0处可导，并且有'(x 0) . 这时，根据上一个命题，我们知道f [g 1(x )]在x 0处可导，并且有[g 1(x 0)]'=g +
'''''[f [g 1(x 0)]]'+=[f [g 1(x 0)]]=f (u 0) g 1(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) . 注意到f [g 1(x )]与f [g (x )]
'在U +(x 0) 内是一样的，而f [g 1(x )]在x 0右可导，从而我们有[f [g 1(x 0)]]'+=[f [g (x 0)]]+，
于是复合函数y=f[g (x )]在点x 0右可导，且
''''[f [g (x 0)]]'+=f (u 0) g +(x 0) =f [g (x 0)]g +(x 0) .
(3)设u =g (x ) 在点x 0可导，y=f (u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，在某U (x 0) 内有g (x ) ≥u 0那么y=f[g (x )]在点x 0可导，且[f [g (x 0)]]'=f +'(u 0) g '(x 0) =f +'[g (x 0)]g '(x 0) .
证明 因为u =g (x ) 在点x 0可导，由引理1知，存在G (x ) ，G (x ) 在x 0处连续，且有g (x ) -g (x 0)=G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) . g '(x 0) =G (x 0) .
因为y=f(u ) 在点u 0=g(x 0) 右可导，由引理2知，存在F (u ) ，F (u ) 在u 0处连续，且有f (u ) -f (u 0)=F (u )(u -u 0) ，u ∈U +(u 0) . f +'(u 0) =F (u 0) .
分析知，可以选取U (x 0) 使F [g (x )]和f [g (x )]在U (x 0) 上有意义. 这时我们有
f [g (x )]-f [g (x 0)]=F [g (x )][g (x ) - g(x 0)]= F[g (x )]G (x )(x -x 0) ，x ∈U (x 0) .
F [g (x )]G (x ) 在x 0处显然连续. 由引理1知，f [g (x )]在点x 0处可导，并且有
{f [g (x 0)]}'=F [g (x 0)]G (x 0) =F (u 0) G (x 0) =f +'(u 0) g '(x 0) =f +'(g (x 0)) g '(x 0) .
其它的证明均与上面三种证明相似，所以这里就不写出了. 下面我们来证明一个有用的命题. 这个命题可以用来证明不定积分的换元公式.
定理 函数g (x ) ，x ∈I （区间），其值域为E （区间）. 若g (x ) 在I 上可导，f (u ) 在E 上可导，那么复合函数f [g (x )]在I 上可导. 并且有
{f [g (x )]}'=f '(g (x )) g '(x ), x ∈I .
注意，在定理中，g (x ) 在区间I 左端点a 处的右导数仍记为g '(a ) ，而不记成'(a ) . 对于右端点和f (u ) 也类似处理. g +
证明 (1)设x 0不是I 的端点. 那么g (x ) 在x 0处可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)1知f [g (x )]在x 0处可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
(2)设x 0是I 的右端点. 那么g (x ) 在x 0处左可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)3知f [g (x )]在x 0处左可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
(3)设x 0是I 的左端点. 那么g (x ) 在x 0处右可导.
若u 0=f (x 0) 不是E 的端点，那么f (u ) 在u 0处可导，由关于复合函数求导法则(1)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的右端点，那么f (u ) 在u 0处左可导，且g (x ) ≤u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(3)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) ；
若u 0=f (x 0) 是E 的左端点，那么f (u ) 在u 0处右可导，且g (x ) ≥u 0总成立. 由关于复合函数求导法则(2)2知f [g (x )]在x 0处右可导，并且{f [g (x 0)]}'=f '(g (x 0)) g '(x 0) .
综合起来，命题得证. 用此命题可以严格证明不定积分的换元公式，这里就不写出来了.