分式函数值域解法探析
甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣
函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。
一、相关概念
函数值是指在函数y ＝f (x ) 中，与自变量x 的值对应的y 值。
函数的值域是函数值的集合，是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。
二、分式函数的类型及值域解法
类型一：一次分式型
一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x （或参数）的一次函数的分式函数。
1. y = (a 0) 型
例１ 求函数y =的值域。
解法一：常数分离法。将y =转化为y =（k 1,k 2为常数），则y k 1 解：∵y ==，
∴
y 。
解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
解：反解y =得x =，
对调 y = (
x ) ，
∴函数y =
的值域为
y 。
2. y = (a 0) 型
分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x ，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y =（t =sinx ）在t 的指定区间上求值域类似。
即：将y =反解得sin x =f (y ), 而-1≤sin x ≤1, 即-1≤f (y ) ≤1，解之即可。
例２ 求函数y =的值域。
解：由y =
∵ -1≤sin x ≤1， 得，sin x =，
∴-1≤≤1， 解之得≤y ≤3。
3. y =或y = (a 0) 型
分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。
即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx |≤1解题。
例３ 求函数y =
解：∵2cos x +100，
∴3sin x -2y cos x =10y +3。 的值域。
∴, 其中， 由∴和, 整理得8y +5y ≤0。 2得， ∴≤y ≤0 即原函数的值域为[，0]。
总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。
类型二：二次分式型
二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x 的二次函数。由于出现了x 2项，直接反解x 的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。
１. y = (a 、d 不同时为0) ，x ∈R 型
分析：去分母后，可将方程看作是含参数y 的二次方程f (x )=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f (y ) ≥0), 解该不等式便可求出原函数的值域。
≥0（=f(y)）, 即：用判别式法。先去分母，得到含参数y 的二次方程f (x )=0,根据判别式
即可求出值域。
例４ 求函数y =的值域。
解：由y ＝得yx 2－3x ＋4y ＝0。
当y ＝0时，x ＝0，当y ≠0时，由△≥0得-
∵函数定义域为R ， ≤y ≤。
∴函数y ＝的值域为[-，] 。
说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。
2. y = (a 、d 不同时为0) ，指定的区间上求值域型。
例５ 求（x
分析：因为x 0, >0。 ∴=1-4x +
=[(5-4x)+ ]-4
≥2
=-2， ∴原函数的值域为。-4
例６ 求的值域。
错解：
=≥2。
分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中
和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。
解：用单调性法 =， 令=t ，显然t ≥2，则y=t + (t ≥2) ，
任取2≤t 1≤t 2, 则f (t 1)= t1+, f (t 2)= t2
+，
f (t 1)- f(t 2)=( t1
+)-( t2
+)=( t1- t2)( 1-) ，
∵2≤t 1≤t 2 ∴t 1- t20，
∴f (t 1)- f(t 2)=( t1- t2)( 1-)
∴f (t 1)
+ 在t ≥2上单调递增。
∴当t =2、即=2、x =0时，y min
=， ∴原函数的值域为。
总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。 故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。
三、提炼知识，总结分式函数值域解法
求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：
1. 反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。
2. 判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x 的二次方程f (x ，y ) ＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
3. 不等式法。不等式法是利用基本不等式：a ＋b ≥2 (a 、b ∈R ＋) ，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。
4. 换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。
5. 单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法。
另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明。
35x 2-4x +5y =+ 4x x +5
分式函数值域解法探析
甘肃省定西工贸中专文峰分校 张占荣
函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教。
一、相关概念
函数值是指在函数y ＝f (x ) 中，与自变量x 的值对应的y 值。
函数的值域是函数值的集合，是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。
二、分式函数的类型及值域解法
类型一：一次分式型
一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x （或参数）的一次函数的分式函数。
1. y = (a 0) 型
例１ 求函数y =的值域。
解法一：常数分离法。将y =转化为y =（k 1,k 2为常数），则y k 1 解：∵y ==，
∴
y 。
解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
解：反解y =得x =，
对调 y = (
x ) ，
∴函数y =
的值域为
y 。
2. y = (a 0) 型
分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x ，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y =（t =sinx ）在t 的指定区间上求值域类似。
即：将y =反解得sin x =f (y ), 而-1≤sin x ≤1, 即-1≤f (y ) ≤1，解之即可。
例２ 求函数y =的值域。
解：由y =
∵ -1≤sin x ≤1， 得，sin x =，
∴-1≤≤1， 解之得≤y ≤3。
3. y =或y = (a 0) 型
分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。
即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx |≤1解题。
例３ 求函数y =
解：∵2cos x +100，
∴3sin x -2y cos x =10y +3。 的值域。
∴, 其中， 由∴和, 整理得8y +5y ≤0。 2得， ∴≤y ≤0 即原函数的值域为[，0]。
总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。
类型二：二次分式型
二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x 的二次函数。由于出现了x 2项，直接反解x 的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。
１. y = (a 、d 不同时为0) ，x ∈R 型
分析：去分母后，可将方程看作是含参数y 的二次方程f (x )=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f (y ) ≥0), 解该不等式便可求出原函数的值域。
≥0（=f(y)）, 即：用判别式法。先去分母，得到含参数y 的二次方程f (x )=0,根据判别式
即可求出值域。
例４ 求函数y =的值域。
解：由y ＝得yx 2－3x ＋4y ＝0。
当y ＝0时，x ＝0，当y ≠0时，由△≥0得-
∵函数定义域为R ， ≤y ≤。
∴函数y ＝的值域为[-，] 。
说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。
2. y = (a 、d 不同时为0) ，指定的区间上求值域型。
例５ 求（x
分析：因为x 0, >0。 ∴=1-4x +
=[(5-4x)+ ]-4
≥2
=-2， ∴原函数的值域为。-4
例６ 求的值域。
错解：
=≥2。
分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中
和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。
解：用单调性法 =， 令=t ，显然t ≥2，则y=t + (t ≥2) ，
任取2≤t 1≤t 2, 则f (t 1)= t1+, f (t 2)= t2
+，
f (t 1)- f(t 2)=( t1
+)-( t2
+)=( t1- t2)( 1-) ，
∵2≤t 1≤t 2 ∴t 1- t20，
∴f (t 1)- f(t 2)=( t1- t2)( 1-)
∴f (t 1)
+ 在t ≥2上单调递增。
∴当t =2、即=2、x =0时，y min
=， ∴原函数的值域为。
总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围。虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法。若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁。 故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果。
三、提炼知识，总结分式函数值域解法
求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式。但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法。常用的方法有：
1. 反函数法。反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域。
2. 判别式法。判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于x 的二次方程f (x ，y ) ＝0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域。需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内。
3. 不等式法。不等式法是利用基本不等式：a ＋b ≥2 (a 、b ∈R ＋) ，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”。
4. 换元法。换元法是求复合型分式函数值域的常用方法。当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。要注意换元后自变量的取值范围。
5. 单调性法。单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法。
另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域。由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明。
35x 2-4x +5y =+ 4x x +5