导数知识点
考试内容： 导数的背影． 导数的概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．
（3）掌握函数，y=c(c为常数) 、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
∆y ∆x lim
∆x →0
y =f (x ) 在x 0
注：①∆x 是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x 可正，可负，但不为零. ②以知函数y
=f (x ) 定义域为A
=
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
∆y ∆x
=lim
∆x →0
称为函数
y =f (x )
在点x 0到x 0
+∆x
之间的平均变化率；如果极限
处可导，并把这个极限叫做
∆y ∆x
=lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
'
存在，则称函数y
或y '
|x =x
=f (x ) 在点x 0
'
处的导数，记作
f (x 0)
，即
f (x 0)
=
lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
.
，y
=f (x )
'
的定义域为B ，则A 与B 关系为A
⊇B
.
2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系：
⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y =f (x ) 在点x 0处可导，那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上，令x =x 0+∆x ，则x →x 0相当于∆x →0. 于是
lim
x →x 0
f (x ) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]
∆x →0
f (x 0) =f (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).
'
=lim [
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
⋅∆x +f (x 0)]=lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
⋅lim +lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
⑵如果y 例：
∆y ∆x
=f (x ) 点x 0
处连续，那么y
=f (x )
在点x 0处可导，是不成立的.
=0
f (x ) =|x |在点x 0=0处连续，但在点x 0
=-1
处不可导，因为
∆y ∆x
=
|∆x |∆x
，当∆x ＞0时，
=1；当∆x ＜0时，
∆y ∆x
，故
lim
∆x →0
∆y ∆x
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y 也就是说，曲线
'
=f (x )
在点(x 0,
f (x ))
'
处的切线的斜率，，切线方程为
y =f (x )
在点P
(x 0, f (x ))
处的切线的斜率是
f (x 0)
y -y 0=f (x )(x -x 0).
4. 求导数的四则运算法则：
(u ±v ) =u ±v ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x )
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' ' ' '
(uv ) =vu +v u ⇒(cv ) =c v +cv
'
'
'
=cv （c 为常数）
'
⎛u ⎫ ⎪⎝v ⎭
=
vu -v u v
2
(v ≠0)
注：①u , v 必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设
f (x ) =2sin x +
2x
，g (x ) =
cos x -
2x
，则
f (x ), g (x )
在x
=0
处均不可导，但它们和
f (x ) +g (x ) =sin x +cos x
=0
在x 处均可导.
f x (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x )
'
'
'
5. 复合函数的求导法则：或y ' x
=y
'
u
⋅u
'
x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y 增函数；如果
f (x )
'
=f (x ) 在某个区间内可导，如果f (x )
'
＞0，则y
=f (x )
为
＜0，则y =f (x ) 为减函数.
⑵常数的判定方法； 如果函数y 注：①都有
=f (x ) 在区间I
内恒有
f (x )
'
=0，则y
=f (x )
为常数.
=2x
3
f (x ) 0
是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如y
f (x ) 0
在(-∞, +∞) 上并不是
f (x ) 0
，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样是f （x ）递减的充分非必
要条件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）
当函数f (x ) 在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧②如果在x 0附近的左侧
f (x )
'
＞0，右侧＜0，右侧
f (x )
'
＜0，那么＞0，那么
f (x 0) 是极大值； f (x 0) 是极小值.
'
f (x )
'
f (x )
'
也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号，而不是
②
f (x )
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点x 0是可导函数
f (x )
的极值点，则
f (x )
'
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y
=f (x ) =x
3
，x
=0
使
f (x )
'
=0，但x
=0
不是极值点.
=0
②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I. C '
=0
（C 为常数） (sinx ) =cos x
'
(arcsinx ) =
'
11-x
2
(x ) =nx
n ' n -1
'
（n ∈R ） (cosx ) =-sin x (arccos
x ) =-
'
1-x
2
II.
(lnx ) =
'
1x
(log
a
x ) =
'
1x
log
a
e
(arctan
x ) =
x
'
1
2
+1
(e
x
)
'
=e
x
(a ) =a
x ' x
ln a (arc cot x ) =-
'
1x
2
+1
III. 求导的常见方法：
①常用结论：(ln②形如y
|x |)=
'
1x
.
或y
=
(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) (x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )
=(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )
两边同取自然对数，可转化
求代数和形式. ③无理函数或形如y
y y
'
=x
x
这类函数，如y
'
=x
x
取自然对数之后可变形为ln
'
x
x
y =x ln x
，对两边
求导可得
=ln x +x ⋅
1x
⇒y =y ln x +y ⇒y =x ln x +x .
导数知识点
考试内容： 导数的背影． 导数的概念．
多项式函数的导数．
利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义．
（3）掌握函数，y=c(c为常数) 、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．
1. 导数（导函数的简称）的定义：设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
∆y ∆x lim
∆x →0
y =f (x ) 在x 0
注：①∆x 是增量，我们也称为“改变量”，因为∆x 可正，可负，但不为零. ②以知函数y
=f (x ) 定义域为A
=
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
∆y ∆x
=lim
∆x →0
称为函数
y =f (x )
在点x 0到x 0
+∆x
之间的平均变化率；如果极限
处可导，并把这个极限叫做
∆y ∆x
=lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
'
存在，则称函数y
或y '
|x =x
=f (x ) 在点x 0
'
处的导数，记作
f (x 0)
，即
f (x 0)
=
lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
.
，y
=f (x )
'
的定义域为B ，则A 与B 关系为A
⊇B
.
2. 函数y =f (x ) 在点x 0处连续与点x 0处可导的关系：
⑴函数y =f (x ) 在点x 0处连续是y =f (x ) 在点x 0处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果y =f (x ) 在点x 0处可导，那么y =f (x ) 点x 0处连续. 事实上，令x =x 0+∆x ，则x →x 0相当于∆x →0. 于是
lim
x →x 0
f (x ) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) =lim [f (x +x 0) -f (x 0) +f (x 0)]
∆x →0
f (x 0) =f (x 0) ⋅0+f (x 0) =f (x 0).
'
=lim [
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
⋅∆x +f (x 0)]=lim
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
⋅lim +lim
∆x →0
∆x →0
∆x →0
⑵如果y 例：
∆y ∆x
=f (x ) 点x 0
处连续，那么y
=f (x )
在点x 0处可导，是不成立的.
=0
f (x ) =|x |在点x 0=0处连续，但在点x 0
=-1
处不可导，因为
∆y ∆x
=
|∆x |∆x
，当∆x ＞0时，
=1；当∆x ＜0时，
∆y ∆x
，故
lim
∆x →0
∆y ∆x
不存在.
注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y 也就是说，曲线
'
=f (x )
在点(x 0,
f (x ))
'
处的切线的斜率，，切线方程为
y =f (x )
在点P
(x 0, f (x ))
处的切线的斜率是
f (x 0)
y -y 0=f (x )(x -x 0).
4. 求导数的四则运算法则：
(u ±v ) =u ±v ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x ) ⇒y =f 1(x ) +f 2(x ) +... +f n (x )
'
'
'
'
'
'
'
'
'
' ' ' '
(uv ) =vu +v u ⇒(cv ) =c v +cv
'
'
'
=cv （c 为常数）
'
⎛u ⎫ ⎪⎝v ⎭
=
vu -v u v
2
(v ≠0)
注：①u , v 必须是可导函数.
②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设
f (x ) =2sin x +
2x
，g (x ) =
cos x -
2x
，则
f (x ), g (x )
在x
=0
处均不可导，但它们和
f (x ) +g (x ) =sin x +cos x
=0
在x 处均可导.
f x (ϕ(x )) =f (u ) ϕ(x )
'
'
'
5. 复合函数的求导法则：或y ' x
=y
'
u
⋅u
'
x
复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数y 增函数；如果
f (x )
'
=f (x ) 在某个区间内可导，如果f (x )
'
＞0，则y
=f (x )
为
＜0，则y =f (x ) 为减函数.
⑵常数的判定方法； 如果函数y 注：①都有
=f (x ) 在区间I
内恒有
f (x )
'
=0，则y
=f (x )
为常数.
=2x
3
f (x ) 0
是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如y
f (x ) 0
在(-∞, +∞) 上并不是
f (x ) 0
，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样是f （x ）递减的充分非必
要条件.
②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有f (x ) ＜f (x 0) ，则f (x 0) 是函数f (x ) 的极大值，极小值同理）
当函数f (x ) 在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧②如果在x 0附近的左侧
f (x )
'
＞0，右侧＜0，右侧
f (x )
'
＜0，那么＞0，那么
f (x 0) 是极大值； f (x 0) 是极小值.
'
f (x )
'
f (x )
'
也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧导数异号，而不是
②
f (x )
=0. 此外，函数不
①
可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点x 0是可导函数
f (x )
的极值点，则
f (x )
'
=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函
数，其一点x 0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y
=f (x ) =x
3
，x
=0
使
f (x )
'
=0，但x
=0
不是极值点.
=0
②例如：函数y =f (x ) =|x |，在点x =0处不可导，但点x 是函数的极小值点.
8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I. C '
=0
（C 为常数） (sinx ) =cos x
'
(arcsinx ) =
'
11-x
2
(x ) =nx
n ' n -1
'
（n ∈R ） (cosx ) =-sin x (arccos
x ) =-
'
1-x
2
II.
(lnx ) =
'
1x
(log
a
x ) =
'
1x
log
a
e
(arctan
x ) =
x
'
1
2
+1
(e
x
)
'
=e
x
(a ) =a
x ' x
ln a (arc cot x ) =-
'
1x
2
+1
III. 求导的常见方法：
①常用结论：(ln②形如y
|x |)=
'
1x
.
或y
=
(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n ) (x -b 1)(x -b 2)...(x -b n )
=(x -a 1)(x -a 2)...(x -a n )
两边同取自然对数，可转化
求代数和形式. ③无理函数或形如y
y y
'
=x
x
这类函数，如y
'
=x
x
取自然对数之后可变形为ln
'
x
x
y =x ln x
，对两边
求导可得
=ln x +x ⋅
1x
⇒y =y ln x +y ⇒y =x ln x +x .