历年高考物理压轴题精选(二)
2006年理综（全国卷Ⅰ）（河南、河北、广西、新疆、湖北、江西、等省用）
25. (20分) 有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动。现取以下简化模型进行定量研究。
如图所示，电容量为C 的平行板电容器的极板A 和B 水平放置，相距为d ，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连。设两板之间只有一个质量为m 的导电小球，小球可视为质点。已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α
（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少应大于多少？
（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T 内小球做了很多次往返运动。求在T 时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量。
解析25. 解：（1）用Q 表示极板电荷量的大小，q 表示碰后小球电荷量的大小。要
使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则
q
ε
>mg ① d
其中 q=αQ ② 又有 Q=Cε ③ 由以上三式有 ε>
④ αC
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动。以a 1表示其加速度，t 1表示从A 板到B 板所用的时间，则有 ε
q +mg=ma1郝双制作 ⑤ d 1 d= a 1t 12⑥ 2
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2
表示其
加速度，t 2表示从B 板到A 板所用的时间，则有 ε
q －mg=ma2 ⑦ d 1 d= a 2t 22⑧
2
小球往返一次共用时间为（t 1+t2），故小球在T 时间内往返的次数 T n= ⑨ t 1+t2由以上关系式得: n=
T
2md
αC ε+mgd
2md αC ε－mgd
⑩
小球往返一次通过的电量为2q ，在T 时间内通过电源的总电量 Q'=2qn ○11 由以上两式可得:郝双制作 Q'=
2αC εT
+
αC ε+mgd
αC ε－mgd
2007高考北京理综
25．（22分）离子推进器是新一代航天动力装置，可用于卫
星姿态控制和轨道修正。推进剂从图中P 处注入，在A 处电离出正离子，BC 之间加有恒定电压，正离子进入B
时的速度忽略不计，经加速后形成电流为I 的离子束后喷出。已知推进器获得的推力为F ，单位时间内喷出的离子质量为J 。为研究方便，假定离子推进器在太空飞
行时不受其他阻力，忽略推进器运动的速度。⑪求加在B C 间的电压U
离子推进器正常运行，必须在出口D 处向正离子束注入电子，试解释其原因。
12F 2
⑪U =（动量定理：单位时间内F=Jv；单位时间内UI =Jv ，消去v 得
22JI
U 。）⑫推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作
用，将严重阻碍正离子的继续喷出。电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。因此，必须在出口D 处发射电子注入到正离子束中，以中和正离子，使推进器持续推力。 难 三、磁场
2006年理综Ⅱ（黑龙江、吉林、广西、云南、贵州等省用）
25．（20分）
如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别
为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？
解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v ，交替地在xy 平面内B 1与B 2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m 和q ，圆周运动的半径分别为和r 2，有
r 1＝
mv
qB ① 1
r 2＝
mv
qB ② 2
现分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy 平面内，粒子先沿半径为r 1的半圆C 1
运动至y 轴上离O 点距离为2 r 1的A 点，接着沿半径为2 r 2的半圆D 1运动至y 轴的O 1点，O 1O 距离
d ＝2（r 2－r 1） ③
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y 轴出发沿半径r 1的半圆和半径为r 2的半圆回到原点下方y 轴），粒子y 坐标就减小d 。
设粒子经过n 次回旋后与y 轴交于O n 点。若OO n 即nd 满足
nd ＝2r 1= ④
则粒子再经过半圆C n +1就能够经过原点，式中n ＝1，2，3，„„为回旋次数。 由③④式解得
r 1n
r =
⑤ n n +1
由①②⑤式可得B 1、B 2应满足的条件
B 2n
B =
n ＝1，2，3，„„ ⑥ 1n +1
评分参考：①、②式各2分，求得⑤式12分，⑥式4分。解法不同，最后结果的表
达式不同，只要正确，同样给分。
2007高考全国理综Ⅰ
25．（22分）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线
为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示。在y >0，0a 的区域由垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光
y
屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0
y 轴范围：0-2a ；x 轴范围：2a-2 1+
⎛ ⎝⎫
⎪a 难 3⎪⎭
2008年（重庆卷）
25. （20分）题25题为一种质谱仪工作原理示意图. 在以O 为圆心，OH 为对称
轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场. 对称于OH 轴的C 和D 分别是离子发射点和收集点.CM 垂直磁场左边界于M ，且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C 射出，这些离子在CM 方向上的分速度均为v 0. 若该离子束中比荷为
q
的离子都能汇聚到D ，试求： m
（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM 方向运动的离子为研究对象）；
（2）离子沿与CM 成θ角的直线CN 进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
（3）线段CM 的长度. 25. 解： （1）
设沿CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R
2mv 01
由 R '=qv 0B =
2R
R=d 得B ＝
mv 0 qd
磁场方向垂直纸面向外 （2）
设沿CN 运动的离子速度大小为v ，在磁场中的轨道半径为R ′，运动时间为t 由v cos θ=v 0
得v ＝
v 0
cos θ
R ′=
mv qB =
d
cos θ
方法一：设弧长为s
t =
s v
s=2(θ+α) ×R ′ t =
（2θ+α）⨯R '
v
方法二：
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝
2πm
qB
t =Ｔ×
θ+α2(θ+α)
π=v 0
(3)
方法一： CM =MN cot θ
MN +d R 'sin(α+β) =sin α
Ｒ′=
d
cos θ
以上3式联立求解得 CM =d cot α 方法二：
设圆心为A ，过A 做AB 垂直NO ， 可以证明NM ＝BO ∵NM =CM tan θ
又∵BO =AB cot α=R ′sin θcot α=d
cos θ
sin θcot α∴CM =d cot α
四、复合场
B
E
2006年全国理综 (四川卷)
25．（20分）
如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B ＝1.57T 。小球1带正电，其电量与质量之比
q 1m 1
=4C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定和水平
悬空支架上。小球1向右以v0＝23.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经0.75s 再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。（取g ＝9.8m/s2）问：
（1）电场强度E 的大小是多少？ （2）两小球的质量之比是多少？
解析
（1）小球1所受的重力与电场力始终平衡 mg 1=q1E ①
E ＝2. 5N/C ② （2）相碰后小球1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
q 1v 1B ＝m 1
v 1
③ R 1
半径为 R 1＝
m 1v 1
④ q 1B
周期为 T ＝
2 m 1
＝1s ⑤ q 1B
3T 4
∵两球运动时间 t ＝0. 75s ＝
∴小球1只能逆时针经
3
周期时与小球2再次相碰 ⑥ 4
12
gt ⑦ 2
第一次相碰后小球2作平抛运动 h ＝R 1＝
L ＝R 1＝v 2t ⑧ 两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向
m 1v 0＝m 1v 1+m 2v 2 ⑨
由⑦、⑧式得 v 2＝3.75m/s 由④式得 v 1＝17.66m/s
∴两小球质量之比
m 2v 2+v 1
＝11 ⑩ =
m 1v 1
2006年（广东卷）
18．（17分）在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质量均为m ，电量为+q 的完全相同的带电粒子P 1和P 2，在小孔A 处以初速度为零先后释放。在平行板间距为d 的匀强电场中加速后，P 1从C 处对着圆心进入半径为R 的固定圆筒中（筒壁上的小孔C 只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度为B 的匀强磁场。P 1每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P 1进入磁场第一次与筒壁碰撞点为D ，∠COD =θ，如图12所示。延后释放的P 2，将第一次欲逃逸出圆筒的P 1正碰圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P 2与P 1之后的碰撞，将P 1限制在圆筒内运动。碰撞过程均无机械能损失。设
5
d =πR ，求：在P 2和P 1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P 1与筒壁的可能碰撞
8
次数。
附：部分三角函数值
解：P 1从C 运动到D ， 周期T =
2πm
， qB
半径r ＝R tan
θmv ＝， 2qB
从C 到D 的时间 t CD =T
π-θ
2π
每次碰撞应当在C 点，设P 1的圆筒内转动了n 圈和筒壁碰撞了K 次后和P 2
相碰于C 点，K ＋1
2πn
θ
所以时间间隔，则
P 1、P 2次碰撞的时间间隔
t =t CD (K +1=)
2πm π-θ
⨯⨯K (+qB 2π
2πn
m (π-)
(K +1) ＝qB
v ，2
在t 时间内，P 2向左运动x 再回到C ，平均速度为
54⨯πR
2x 4x 4d 5πR t ==≤==v v v 2v 2
5πR
≥2v
m (π-
由上两式可得：
2πn
)
(K +1) qB
（K ＋1）
2n 5mv
（1－）≤R
K +12qB
tan
n π5
(K +1-2n ) ≤
2K +1
当 n=1, K=2、3、4、5、6、7 时符合条件，K=1、8、9„„„不符合条件
当 n=2,3,4„„„. 时，无化K=多少，均不符合条件。
2007高考全国Ⅱ理综
25．（20分）如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电
场，场强大小为E 。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是y 轴上的一点，它到坐标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 的距离为l 。一质量为m 、电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入磁场区域，并再次通过A 点。此时速度方向与y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：⑪粒子经过C 点时速度的大小和方向；⑫磁感应强度的大小B 。
qE 4h +l
⑪v =
2mh
22
⑫B =
l h 2+l 22mhE
（提示：如图所示，设轨迹圆半径为R ，圆心为P ，设C 点q
2h
，R cos β=R cos αl
2
速度与x 轴成α，P A 与y 轴成β，则tan α=
2
+h ，R sin β=l-R sin α。由以上三式得R =
h +l 2hl
4h 2+l 2，再由
m v R =和v 的表达式得最后结果。）
Bq
2008年(山东卷)
25. （18分）两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t =0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E 0、磁感应强度B 0、粒子的比荷
q
均已m
10π2mE 02πm
知，且t 0=，两板间距h =。
qB 0qB 02
（1）求粒子在0～t 0时间内的位移大小与极板间距h 的比值。 （2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h 表示）。
（3）若板间电场强度E 随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，
试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。
解法一：（1）设粒子在0～t 0时间内运动的位移大小为s 1 s 1=
12
at 0 2qE 0
m
①
a = ②
10π2mE 02πm
又已知t 0= , h =
qB 0qB 02
联立①②式解得
s 11
= h 5
③
（2）粒子在t 0~2t 0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与
磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v 1，轨道半径为R 1，周期为T ，则
v 1=at 0
④ ⑤
mv 12
qv 1B 0=R 1
联立④⑤式得
R 1=
h 5π
⑥
又T =
2πm
qB 0
⑦
即粒子在t 0~2t 0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t 0~3t 0时间内，粒子做初速度为v 1的匀加速直线运动，设位移大小为s 2
12
s 2=v 1t 0+at 0
2
解得 s 2=
⑧
3h 5
⑨
由于s 1+s 2＜h , 所以粒子在3t 0~4t 0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v 2，半径为R 2
v 2=v 1+at 0
2mv 2
qv 2B 0=
R 2
⑩ 11
○
解得 R 2=2h 5π 12 ○
由于s 1+s 2+R 2＜h , 粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t 0~5t 0时间内，粒子
运动到正极板（如图1所示）。因此粒子运动的最大半径R 2=
（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示。
解法二：由题意可知，电磁场的周期为2t 0，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线
运动，加速度大小为
a =2h 。 5πqE 0 方向向上 m
后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T T =2πm =t 0 qB 0
粒子恰好完成一次匀速圆周运动。至第n 个周期末，粒子位移大小为s n s n =1a (nt 0) 2 2
10π2mE 0 又已知 h = 2qB 0
n 2
h 由以上各式得 s n =5
粒子速度大小为 v n =ant 0
粒子做圆周运动的半径为 R n =mv n qB 0
解得 R n =n h 5π
显然 s 2+R 2
（1）粒子在0～t 0时间内的位移大小与极板间距h 的比值 s 11= h 5
（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径 R 2=
（3）粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2。
2h 5π
历年高考物理压轴题精选(二)
2006年理综（全国卷Ⅰ）（河南、河北、广西、新疆、湖北、江西、等省用）
25. (20分) 有个演示实验，在上下面都是金属板的玻璃盒内，放了许多锡箔纸揉成的小球，当上下板间加上电压后，小球就上下不停地跳动。现取以下简化模型进行定量研究。
如图所示，电容量为C 的平行板电容器的极板A 和B 水平放置，相距为d ，与电动势为ε、内阻可不计的电源相连。设两板之间只有一个质量为m 的导电小球，小球可视为质点。已知：若小球与极板发生碰撞，则碰撞后小球的速度立即变为零，带电状态也立即改变，改变后，小球所带电荷符号与该极板相同，电量为极板电量的α倍（α
（1）欲使小球能够不断地在两板间上下往返运动，电动势ε至少应大于多少？
（2）设上述条件已满足，在较长的时间间隔T 内小球做了很多次往返运动。求在T 时间内小球往返运动的次数以及通过电源的总电量。
解析25. 解：（1）用Q 表示极板电荷量的大小，q 表示碰后小球电荷量的大小。要
使小球能不停地往返运动，小球所受的向上的电场力至少应大于重力，则
q
ε
>mg ① d
其中 q=αQ ② 又有 Q=Cε ③ 由以上三式有 ε>
④ αC
（2）当小球带正电时，小球所受电场力与重力方向相同，向下做加速运动。以a 1表示其加速度，t 1表示从A 板到B 板所用的时间，则有 ε
q +mg=ma1郝双制作 ⑤ d 1 d= a 1t 12⑥ 2
当小球带负电时，小球所受电场力与重力方向相反，向上做加速运动，以a2
表示其
加速度，t 2表示从B 板到A 板所用的时间，则有 ε
q －mg=ma2 ⑦ d 1 d= a 2t 22⑧
2
小球往返一次共用时间为（t 1+t2），故小球在T 时间内往返的次数 T n= ⑨ t 1+t2由以上关系式得: n=
T
2md
αC ε+mgd
2md αC ε－mgd
⑩
小球往返一次通过的电量为2q ，在T 时间内通过电源的总电量 Q'=2qn ○11 由以上两式可得:郝双制作 Q'=
2αC εT
+
αC ε+mgd
αC ε－mgd
2007高考北京理综
25．（22分）离子推进器是新一代航天动力装置，可用于卫
星姿态控制和轨道修正。推进剂从图中P 处注入，在A 处电离出正离子，BC 之间加有恒定电压，正离子进入B
时的速度忽略不计，经加速后形成电流为I 的离子束后喷出。已知推进器获得的推力为F ，单位时间内喷出的离子质量为J 。为研究方便，假定离子推进器在太空飞
行时不受其他阻力，忽略推进器运动的速度。⑪求加在B C 间的电压U
离子推进器正常运行，必须在出口D 处向正离子束注入电子，试解释其原因。
12F 2
⑪U =（动量定理：单位时间内F=Jv；单位时间内UI =Jv ，消去v 得
22JI
U 。）⑫推进器持续喷出正离子束，会使带有负电荷的电子留在其中，由于库仑力作
用，将严重阻碍正离子的继续喷出。电子积累足够多时，甚至会将喷出的正离子再吸引回来，致使推进器无法正常工作。因此，必须在出口D 处发射电子注入到正离子束中，以中和正离子，使推进器持续推力。 难 三、磁场
2006年理综Ⅱ（黑龙江、吉林、广西、云南、贵州等省用）
25．（20分）
如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别
为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B 1与B 2的比值应满足什么条件？
解析：粒子在整个过程中的速度大小恒为v ，交替地在xy 平面内B 1与B 2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为m 和q ，圆周运动的半径分别为和r 2，有
r 1＝
mv
qB ① 1
r 2＝
mv
qB ② 2
现分析粒子运动的轨迹。如图所示，在xy 平面内，粒子先沿半径为r 1的半圆C 1
运动至y 轴上离O 点距离为2 r 1的A 点，接着沿半径为2 r 2的半圆D 1运动至y 轴的O 1点，O 1O 距离
d ＝2（r 2－r 1） ③
此后，粒子每经历一次“回旋”（即从y 轴出发沿半径r 1的半圆和半径为r 2的半圆回到原点下方y 轴），粒子y 坐标就减小d 。
设粒子经过n 次回旋后与y 轴交于O n 点。若OO n 即nd 满足
nd ＝2r 1= ④
则粒子再经过半圆C n +1就能够经过原点，式中n ＝1，2，3，„„为回旋次数。 由③④式解得
r 1n
r =
⑤ n n +1
由①②⑤式可得B 1、B 2应满足的条件
B 2n
B =
n ＝1，2，3，„„ ⑥ 1n +1
评分参考：①、②式各2分，求得⑤式12分，⑥式4分。解法不同，最后结果的表
达式不同，只要正确，同样给分。
2007高考全国理综Ⅰ
25．（22分）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线
为x 轴和y 轴，交点O 为原点，如图所示。在y >0，0a 的区域由垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B 。在O 点处有一小孔，一束质量为m 、带电量为q （q >0）的粒子沿x 轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光
y
屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大的粒子在0
y 轴范围：0-2a ；x 轴范围：2a-2 1+
⎛ ⎝⎫
⎪a 难 3⎪⎭
2008年（重庆卷）
25. （20分）题25题为一种质谱仪工作原理示意图. 在以O 为圆心，OH 为对称
轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场. 对称于OH 轴的C 和D 分别是离子发射点和收集点.CM 垂直磁场左边界于M ，且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C 射出，这些离子在CM 方向上的分速度均为v 0. 若该离子束中比荷为
q
的离子都能汇聚到D ，试求： m
（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM 方向运动的离子为研究对象）；
（2）离子沿与CM 成θ角的直线CN 进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；
（3）线段CM 的长度. 25. 解： （1）
设沿CM 方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R
2mv 01
由 R '=qv 0B =
2R
R=d 得B ＝
mv 0 qd
磁场方向垂直纸面向外 （2）
设沿CN 运动的离子速度大小为v ，在磁场中的轨道半径为R ′，运动时间为t 由v cos θ=v 0
得v ＝
v 0
cos θ
R ′=
mv qB =
d
cos θ
方法一：设弧长为s
t =
s v
s=2(θ+α) ×R ′ t =
（2θ+α）⨯R '
v
方法二：
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝
2πm
qB
t =Ｔ×
θ+α2(θ+α)
π=v 0
(3)
方法一： CM =MN cot θ
MN +d R 'sin(α+β) =sin α
Ｒ′=
d
cos θ
以上3式联立求解得 CM =d cot α 方法二：
设圆心为A ，过A 做AB 垂直NO ， 可以证明NM ＝BO ∵NM =CM tan θ
又∵BO =AB cot α=R ′sin θcot α=d
cos θ
sin θcot α∴CM =d cot α
四、复合场
B
E
2006年全国理综 (四川卷)
25．（20分）
如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B ＝1.57T 。小球1带正电，其电量与质量之比
q 1m 1
=4C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定和水平
悬空支架上。小球1向右以v0＝23.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经0.75s 再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。（取g ＝9.8m/s2）问：
（1）电场强度E 的大小是多少？ （2）两小球的质量之比是多少？
解析
（1）小球1所受的重力与电场力始终平衡 mg 1=q1E ①
E ＝2. 5N/C ② （2）相碰后小球1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：
q 1v 1B ＝m 1
v 1
③ R 1
半径为 R 1＝
m 1v 1
④ q 1B
周期为 T ＝
2 m 1
＝1s ⑤ q 1B
3T 4
∵两球运动时间 t ＝0. 75s ＝
∴小球1只能逆时针经
3
周期时与小球2再次相碰 ⑥ 4
12
gt ⑦ 2
第一次相碰后小球2作平抛运动 h ＝R 1＝
L ＝R 1＝v 2t ⑧ 两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向
m 1v 0＝m 1v 1+m 2v 2 ⑨
由⑦、⑧式得 v 2＝3.75m/s 由④式得 v 1＝17.66m/s
∴两小球质量之比
m 2v 2+v 1
＝11 ⑩ =
m 1v 1
2006年（广东卷）
18．（17分）在光滑绝缘的水平桌面上，有两个质量均为m ，电量为+q 的完全相同的带电粒子P 1和P 2，在小孔A 处以初速度为零先后释放。在平行板间距为d 的匀强电场中加速后，P 1从C 处对着圆心进入半径为R 的固定圆筒中（筒壁上的小孔C 只能容一个粒子通过），圆筒内有垂直水平面向上的磁感应强度为B 的匀强磁场。P 1每次与筒壁发生碰撞均无电荷迁移，P 1进入磁场第一次与筒壁碰撞点为D ，∠COD =θ，如图12所示。延后释放的P 2，将第一次欲逃逸出圆筒的P 1正碰圆筒内，此次碰撞刚结束，立即改变平行板间的电压，并利用P 2与P 1之后的碰撞，将P 1限制在圆筒内运动。碰撞过程均无机械能损失。设
5
d =πR ，求：在P 2和P 1相邻两次碰撞时间间隔内，粒子P 1与筒壁的可能碰撞
8
次数。
附：部分三角函数值
解：P 1从C 运动到D ， 周期T =
2πm
， qB
半径r ＝R tan
θmv ＝， 2qB
从C 到D 的时间 t CD =T
π-θ
2π
每次碰撞应当在C 点，设P 1的圆筒内转动了n 圈和筒壁碰撞了K 次后和P 2
相碰于C 点，K ＋1
2πn
θ
所以时间间隔，则
P 1、P 2次碰撞的时间间隔
t =t CD (K +1=)
2πm π-θ
⨯⨯K (+qB 2π
2πn
m (π-)
(K +1) ＝qB
v ，2
在t 时间内，P 2向左运动x 再回到C ，平均速度为
54⨯πR
2x 4x 4d 5πR t ==≤==v v v 2v 2
5πR
≥2v
m (π-
由上两式可得：
2πn
)
(K +1) qB
（K ＋1）
2n 5mv
（1－）≤R
K +12qB
tan
n π5
(K +1-2n ) ≤
2K +1
当 n=1, K=2、3、4、5、6、7 时符合条件，K=1、8、9„„„不符合条件
当 n=2,3,4„„„. 时，无化K=多少，均不符合条件。
2007高考全国Ⅱ理综
25．（20分）如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电
场，场强大小为E 。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是y 轴上的一点，它到坐标原点O 的距离为h ；C 是x 轴上的一点，到O 的距离为l 。一质量为m 、电荷量为q 的带负电的粒子以某一初速度沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C 点进入磁场区域，并再次通过A 点。此时速度方向与y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：⑪粒子经过C 点时速度的大小和方向；⑫磁感应强度的大小B 。
qE 4h +l
⑪v =
2mh
22
⑫B =
l h 2+l 22mhE
（提示：如图所示，设轨迹圆半径为R ，圆心为P ，设C 点q
2h
，R cos β=R cos αl
2
速度与x 轴成α，P A 与y 轴成β，则tan α=
2
+h ，R sin β=l-R sin α。由以上三式得R =
h +l 2hl
4h 2+l 2，再由
m v R =和v 的表达式得最后结果。）
Bq
2008年(山东卷)
25. （18分）两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图1、图2所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在t =0时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E 0、磁感应强度B 0、粒子的比荷
q
均已m
10π2mE 02πm
知，且t 0=，两板间距h =。
qB 0qB 02
（1）求粒子在0～t 0时间内的位移大小与极板间距h 的比值。 （2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用h 表示）。
（3）若板间电场强度E 随时间的变化仍如图1所示，磁场的变化改为如图3所示，
试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。
解法一：（1）设粒子在0～t 0时间内运动的位移大小为s 1 s 1=
12
at 0 2qE 0
m
①
a = ②
10π2mE 02πm
又已知t 0= , h =
qB 0qB 02
联立①②式解得
s 11
= h 5
③
（2）粒子在t 0~2t 0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与
磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为v 1，轨道半径为R 1，周期为T ，则
v 1=at 0
④ ⑤
mv 12
qv 1B 0=R 1
联立④⑤式得
R 1=
h 5π
⑥
又T =
2πm
qB 0
⑦
即粒子在t 0~2t 0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t 0~3t 0时间内，粒子做初速度为v 1的匀加速直线运动，设位移大小为s 2
12
s 2=v 1t 0+at 0
2
解得 s 2=
⑧
3h 5
⑨
由于s 1+s 2＜h , 所以粒子在3t 0~4t 0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v 2，半径为R 2
v 2=v 1+at 0
2mv 2
qv 2B 0=
R 2
⑩ 11
○
解得 R 2=2h 5π 12 ○
由于s 1+s 2+R 2＜h , 粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t 0~5t 0时间内，粒子
运动到正极板（如图1所示）。因此粒子运动的最大半径R 2=
（3）粒子在板间运动的轨迹如图2所示。
解法二：由题意可知，电磁场的周期为2t 0，前半周期粒子受电场作用做匀加速直线
运动，加速度大小为
a =2h 。 5πqE 0 方向向上 m
后半周期粒子受磁场作用做匀速圆周运动，周期为T T =2πm =t 0 qB 0
粒子恰好完成一次匀速圆周运动。至第n 个周期末，粒子位移大小为s n s n =1a (nt 0) 2 2
10π2mE 0 又已知 h = 2qB 0
n 2
h 由以上各式得 s n =5
粒子速度大小为 v n =ant 0
粒子做圆周运动的半径为 R n =mv n qB 0
解得 R n =n h 5π
显然 s 2+R 2
（1）粒子在0～t 0时间内的位移大小与极板间距h 的比值 s 11= h 5
（2）粒子在极板间做圆周运动的最大半径 R 2=
（3）粒子在板间运动的轨迹图见解法一中的图2。
2h 5π