立体几何有关概念与公式
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法
1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行 3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法
1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成90︒角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角, 则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为90︒
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
⎛π⎤
1、异面直线所成的角的取值范围是：0︒
⎝2⎦⎡π⎤
2、直线与平面所成的角的取值范围是：0︒≤θ≤90︒ ⎢0, ⎥
⎣2⎦⎛π⎤
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0︒
⎝2⎦
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0︒
内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 重心：中线的交点 垂心：高的交点
十一、棱柱及有关概念 （一） 棱柱的判断：
看面：有两个面互相平行，其余各面为四边形． 看线：每相邻两个四边形的公共边都互相平行． (二) 棱柱的分类
棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．
十二、棱锥及有关概念
一）正棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． 二）正棱锥的性质．
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形． （2）正棱锥的斜高相等．
（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：
①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．
③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形． ④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．
⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角． 十三、球的有关概念
1、 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几
何体叫做球体。
2、 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，
截面圆叫小圆。 3、 球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：r =R 2-d 2 4、 把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道
是一个大圆，其余的纬线都是小圆。
5、 球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度。
十四、面积：
1、s 直棱柱侧=ch s 斜棱柱侧=c `l (c `为直截面周长) s 圆柱侧=cl =2πrh
2、中截面面积：s 0=3、s 正棱锥侧=4、s 正棱台侧
s `+s
2
11
ch ` s 圆锥侧=cl =πrl 2211
=(c +c `)h ` s 圆台=(c +c `)l =π(r +r `)l 22
5、预备定理s 球内接圆台，圆柱，圆锥=2πph
①s 球=4πr 2 ②s 球带=2πrh ③s 球冠=2πrh =π(r 2+h 2)
6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：
r αθ=⋅2π=2π⋅s i
l 2
8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l, 圆台侧面展开后所得的扇环圆心角
r -r `r -r `c -c `
⋅360︒=⋅2π=为θ，则：θ= l l l
9、圆锥中，过两母线的截面面积为s
1
当轴截面顶角α∈(0︒, 90︒]时，s 截面最大=s 轴截面=l 2sin α
211
当轴截面顶角α∈[90︒, 180︒)时，s 截面最大=l 2sin 90︒=l 2≠s 轴截面
22l
10、球面距离l =R ⋅θ（θ用弧度表示, θ=）
R
十五、体积
2
1、V 棱柱=sh =s `l (s`为直截面面积) V 圆柱=π⋅r h =sh
2、V 棱锥
1121V =π⋅r h =sh =sh 圆锥
333
111
3、V 棱台=h (s +s ⋅s `+s `) V 圆台=πh (r 2+rr `+r `2) =h (s +s ⋅s `+s `)
3334
4、V 球=πR 3
311
5、V 球缺=πh (3r 2+h 2) =πh 2(3R -h )
63
6、V 体=
1
S 表⋅r 内切球半径(适用于有内切球的多面体) 3
立体几何有关概念与公式
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行 2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、 判定线面平行的方法
1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行 3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法
1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成90︒角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角, 则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为90︒
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
⎛π⎤
1、异面直线所成的角的取值范围是：0︒
⎝2⎦⎡π⎤
2、直线与平面所成的角的取值范围是：0︒≤θ≤90︒ ⎢0, ⎥
⎣2⎦⎛π⎤
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0︒
⎝2⎦
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：0︒
内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 重心：中线的交点 垂心：高的交点
十一、棱柱及有关概念 （一） 棱柱的判断：
看面：有两个面互相平行，其余各面为四边形． 看线：每相邻两个四边形的公共边都互相平行． (二) 棱柱的分类
棱柱根据侧棱和底面的关系分为两种：一种当侧棱与底面不垂直时，称为斜棱柱；另一种当侧棱与底面垂直时，称为直棱柱．直棱柱的面若为正多边形则称为正棱柱．
十二、棱锥及有关概念
一）正棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． 二）正棱锥的性质．
（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形． （2）正棱锥的斜高相等．
（3）正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：
①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（正多边形的半径）组成一个直角三角形．
②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影（正多边形的边心距）组成一个直角三角形．
③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形． ④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角形．
⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角． 十三、球的有关概念
1、 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。球面所围成的几
何体叫做球体。
2、 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面，
截面圆叫小圆。 3、 球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：r =R 2-d 2 4、 把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道
是一个大圆，其余的纬线都是小圆。
5、 球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度。
十四、面积：
1、s 直棱柱侧=ch s 斜棱柱侧=c `l (c `为直截面周长) s 圆柱侧=cl =2πrh
2、中截面面积：s 0=3、s 正棱锥侧=4、s 正棱台侧
s `+s
2
11
ch ` s 圆锥侧=cl =πrl 2211
=(c +c `)h ` s 圆台=(c +c `)l =π(r +r `)l 22
5、预备定理s 球内接圆台，圆柱，圆锥=2πph
①s 球=4πr 2 ②s 球带=2πrh ③s 球冠=2πrh =π(r 2+h 2)
6、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
7、圆锥轴截面的顶角α和侧面展开图的圆心角θ的关系为：
r αθ=⋅2π=2π⋅s i
l 2
8、圆台上、下底面半径为r`、r ，母线为l, 圆台侧面展开后所得的扇环圆心角
r -r `r -r `c -c `
⋅360︒=⋅2π=为θ，则：θ= l l l
9、圆锥中，过两母线的截面面积为s
1
当轴截面顶角α∈(0︒, 90︒]时，s 截面最大=s 轴截面=l 2sin α
211
当轴截面顶角α∈[90︒, 180︒)时，s 截面最大=l 2sin 90︒=l 2≠s 轴截面
22l
10、球面距离l =R ⋅θ（θ用弧度表示, θ=）
R
十五、体积
2
1、V 棱柱=sh =s `l (s`为直截面面积) V 圆柱=π⋅r h =sh
2、V 棱锥
1121V =π⋅r h =sh =sh 圆锥
333
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3、V 棱台=h (s +s ⋅s `+s `) V 圆台=πh (r 2+rr `+r `2) =h (s +s ⋅s `+s `)
3334
4、V 球=πR 3
311
5、V 球缺=πh (3r 2+h 2) =πh 2(3R -h )
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6、V 体=
1
S 表⋅r 内切球半径(适用于有内切球的多面体) 3