方法技巧 导数与函数零点
用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明
（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。
题型一 判断，证明函数零点个数
例1设函数2。若方程f (x ) =mx 在区间[1, e ]上有唯一实数解，求实f (x ) =ln x ，
数m 的取值范围；
x 2
f (1))处的切线练习1设函数f (x ) =(x +a )ln x ，g (x ) =x . 已知曲线y =f (x ) 在点(1，e
与直线2x -y =0平行.
k +1) 内存在唯一的(I ) 求a 的值；(II ) 是否存在自然数k ，使得方程f (x ) =g (x ) 在(k ，
根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；
练习2设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e -ax ，其中a 为实数．若g (x ) 在(-1, +∞) 上是x
单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．
练习3． 设函数f (x ) =e x -m -x , 其中m ∈R .
（1）求函数f (x ) 的最值；
（2）判断，当m >1时，函数f (x ) 在区间(m , 2m ) 内是否存在零点。
x 2
练习4设函数f (x )=-k ln x ，k >0． 2
（I ）求f (x )的单调区间和极值；
（II ）证明：若f (x )存在零点，则f (x
)在区间上仅有一个零点． (
21x +
，h (x ) = 32
（Ⅰ）设函数F (x ) ＝f (x ) －h (x ) ，求F (x ) 的单调区间与极值； 例2已知函数f (x ) =
33（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程log 4[f (x -1) -]=log 2h (a -x ) -log 2h (4-x ) ； 24
练习1设函数f (x )=ln x +m ，m ∈R . x
x 零点的个数； 3(1)当m ＝e(e为自然对数的底数) 时，求f (x ) 的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f '(x )-
x 练习2已知函数f (x )=ln e +a (a 为常数) 是实数集R 上的奇函数，函数()
g (x )=λf (x )+sin x 是区间[一1，1]上的减函数．
(I)求a 的值；
(II) 若g (x )≤t +λt +1在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． 2
(Ⅲ) 讨论关于x 的方程
ln x =x 2-2ex +m 的根的个数。 f (x )
题型二 已知零点个数，求参数范围
例3已知函数f (x ) =x +x sin x +cos x 2
（1）若曲线y =f (x ) 在点(a , f (a )) 处与直线y =b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线y =f (x ) 与直线y =b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
练习1已知函数f (x )=e -mx 在(-1, +∞) 上没有零点，求m 的取值范围； x
1练习2已知函数f （x ）＝2（x －1）2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．当m ＞0时，
若曲线y ＝f （x ）在点P （1，1）处的切线l 与曲线y ＝f （x ）有且只有一个公共点，求实数m 的值．
练习3已知函数f (x ) =x -1+1(a ∈R , e 为自然对数的底数). 若直线l :y =kx -1与曲线x e
y f (x ) 没有公共点, 求k 的最大值.
例4、已知函数f (x )=－x +8x,g (x ) =6ln x+m
（Ⅰ）求f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值h (t );
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x ) 的图象与y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
2
方法技巧 导数与函数零点
用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。
（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明
（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。
题型一 判断，证明函数零点个数
例1设函数2。若方程f (x ) =mx 在区间[1, e ]上有唯一实数解，求实f (x ) =ln x ，
数m 的取值范围；
x 2
f (1))处的切线练习1设函数f (x ) =(x +a )ln x ，g (x ) =x . 已知曲线y =f (x ) 在点(1，e
与直线2x -y =0平行.
k +1) 内存在唯一的(I ) 求a 的值；(II ) 是否存在自然数k ，使得方程f (x ) =g (x ) 在(k ，
根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；
练习2设函数f (x ) =ln x -ax ，g (x ) =e -ax ，其中a 为实数．若g (x ) 在(-1, +∞) 上是x
单调增函数，试求f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．
练习3． 设函数f (x ) =e x -m -x , 其中m ∈R .
（1）求函数f (x ) 的最值；
（2）判断，当m >1时，函数f (x ) 在区间(m , 2m ) 内是否存在零点。
x 2
练习4设函数f (x )=-k ln x ，k >0． 2
（I ）求f (x )的单调区间和极值；
（II ）证明：若f (x )存在零点，则f (x
)在区间上仅有一个零点． (
21x +
，h (x ) = 32
（Ⅰ）设函数F (x ) ＝f (x ) －h (x ) ，求F (x ) 的单调区间与极值； 例2已知函数f (x ) =
33（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程log 4[f (x -1) -]=log 2h (a -x ) -log 2h (4-x ) ； 24
练习1设函数f (x )=ln x +m ，m ∈R . x
x 零点的个数； 3(1)当m ＝e(e为自然对数的底数) 时，求f (x ) 的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f '(x )-
x 练习2已知函数f (x )=ln e +a (a 为常数) 是实数集R 上的奇函数，函数()
g (x )=λf (x )+sin x 是区间[一1，1]上的减函数．
(I)求a 的值；
(II) 若g (x )≤t +λt +1在x ∈[一1，1]上恒成立，求t 的取值范围． 2
(Ⅲ) 讨论关于x 的方程
ln x =x 2-2ex +m 的根的个数。 f (x )
题型二 已知零点个数，求参数范围
例3已知函数f (x ) =x +x sin x +cos x 2
（1）若曲线y =f (x ) 在点(a , f (a )) 处与直线y =b 相切，求a 与b 的值。
（2）若曲线y =f (x ) 与直线y =b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。
练习1已知函数f (x )=e -mx 在(-1, +∞) 上没有零点，求m 的取值范围； x
1练习2已知函数f （x ）＝2（x －1）2－2x ＋3＋ln x ，m ∈R ．当m ＞0时，
若曲线y ＝f （x ）在点P （1，1）处的切线l 与曲线y ＝f （x ）有且只有一个公共点，求实数m 的值．
练习3已知函数f (x ) =x -1+1(a ∈R , e 为自然对数的底数). 若直线l :y =kx -1与曲线x e
y f (x ) 没有公共点, 求k 的最大值.
例4、已知函数f (x )=－x +8x,g (x ) =6ln x+m
（Ⅰ）求f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值h (t );
（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y =f (x ) 的图象与y =g (x ) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
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