1. 已知三角形各顶点坐标为(10,10),(10,30)和(30,20),作下列变换，写出变换的矩阵，画出变换后的图形。先绕原点逆时针旋转90度, 再沿X 正向平移10，沿Y 负向平移20。
⎡1
平移变换矩阵为：⎢0
⎢⎢⎣10
1-20
⎡00⎤
，旋转变换矩阵为：⎢-10⎥⎢⎥
⎢⎥1⎦⎣00⎤⎡1
⎥0⎥×⎢0
⎢⎢1⎥⎦⎣10
1-20
0⎤⎡0＝⎢-10⎥⎥⎢⎢1⎥⎦⎣10
1
00
10-20
0⎤ 0⎥⎥1⎥⎦
0⎤
0⎥⎥1⎥⎦
⎡0
总的变换矩阵为：T ＝⎢-1
⎢⎢⎣0
1
00
2. 已知三角形ABC 各顶点的坐标A (1,2)、B (5,2)、C (3,5)，相对直线P 1P 2(线段的坐标分别为：P 1 (-1,-1) 、P 2 (8,3)做对称变换后到达A ' ，B ' ， C ' 。试计算A ' ，B ' ， C ' 的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）
⎡100⎤⎢⎥
解: (1) 将坐标平移至P1 (-1,-1)点: Ta =⎢010⎥
⎢⎣111⎥⎦
(2) 线段P 1P 2与X 轴夹角为θ=arctg
4
9
⎡cos θ
(3) 顺时针方向旋转θ角: Tb =⎢⎢sin θ
⎢⎣0⎡100⎤
⎢⎥
(4) 关于X 轴对称: Tc =⎢0-10⎥
⎢⎣001⎥⎦
-sin θcos θ
0⎤0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡cos θ
⎢
(5)逆时针转回: Td =⎢-sin θ
⎢⎣0
sin θcos θ
0⎤0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡100⎤⎢⎥
(6) 将坐标系平移回原处 Te =⎢010⎥
⎢⎣-1-11⎥⎦
(7)变换矩阵: T=Ta ⨯Tb ⨯Tc ⨯Td ⨯Te
(8) 求变换后的三角形ABC 各顶点的坐标A ’、B ’、C ’
[ B’: [X C’: [X
/
A ’: X A
/B /C
Y A Y B Y C
//
/
1=[121]⨯T
21]⨯T 51]⨯T
]1]=[51]=[3
4. 如右图所示，裁剪窗口为正方形(2,2)—(6,6)，采用逐边裁剪算法，依次按左上右下的顺序，
用四条窗口边界裁剪多边形ABCDE ，试写出每条窗口边界裁剪后输出的新的多边形的顶点序列。
解：初始顶点集合为：V0={A,B,C,D,E} 按照左上右下的裁剪顺序，则有：
左裁剪：由于顶点A,B,C,D 均在左边界内，E 在左边界外，仅讨论边界DE 和EA ：
对于线段DE,D 在左边界内，E 在左边界外，且与左边界交点为1，故V1={A,B,C,D,1} 对于线段EA ，E 在左边界外，A 在左边界内，且与左边界交点为2，故V1={1,2,A,B,C,D } 上裁剪：对于顶点集合V1={A,B,C,D,1,2}中，1,2，A,B,C 均在上边界内，D 在上边界外，
对于线段CD,C 在上边界内，D 在上边界外，且与上边界交点为10，故V2={1,2,A,B,C,10 } 对于线段D1,D 在上边界外，1在上边界内，且与上边界交点为9，故V2={1,2,A,B,C,10,9 } 右裁剪：对于顶点集合V2={1,2,A,B,C,10,9}中，9,1,2,A,B 均在右边界内，C,10均在右边界外， 对于线段BC ，B 在右边界内，C 在右边界外，且与右边界交点为7，故V3={10,9,1,2,A,B, 7} 对于线段C10，完全处于右边界之外，直接完全裁剪 对于线段109，9在右边界内，10在右边界外，且与右边界交点为8，故V3={9,1,2,A,B, 7,8} 下裁剪：对于顶点集合V3={9,1,2,A,B, 7,8}中，B, 7,8,9,1,2,均在下边界内，A 在下边界外， 对于线段2A ，2在下边界内，A 在下边界外，且与下边界交点为3，故V4={ B, 7,8,9,1,2,3} 对于线段AB ，B 在下边界内，A 在下边界外，且与下边界交点为4，故V4={ B, 7,8,9,1,2,3,4} 所以，裁剪后剩余的多边形为B 7891234
5. 在用户坐标系中，定义了一个窗口（左下角坐标为：-20，-20；右上角的坐标为60，60），给定线段的端点坐标为P （-70，-30），Q （200，80），求出线段与窗口的所有交点坐标（考虑窗口的四条边，结果保留整数），并根据编码法，确定裁剪后的线段端点坐标。
线段方程为：y+30=11/27(x+70)，端点编码：P （0101），Q （1010） 左边界交点：L （-20，-10），编码：0001 上边界交点：T （151，60），编码：1010 右边界交点：R （60，23），编码：0010 下边界交点：B （-46，-20），编码：0101 根据x 排序得：P ，B ，L ，R ，T ，Q P ，B 按位与为：0101非零，丢弃。 B ，L 按位与为：0001非零，丢弃。 L ，R 按位与为：0000，保留。
R ，T 按位与为：0010非零，丢弃。
T ，Q 按位与为：1010非零，丢弃。 裁剪后的端点坐标为L （-20，-10），R （60，23）。
6. 已知线段P 1P 2的两个端点坐标为：P 1 (-5,10) 、P 2 (10,-5)，裁剪窗口为(0,0) —(10,10) 。请使用Liang —Barskey 线段裁剪算法计算出裁剪以后剩余的线段。
解：Δx =10-(-5)=15 Δy =(-5) -10=-15
p1=-Δx =-15 q1=(-5) -0=-5 p2=Δx =15 q2=10-(-5)=15 p3=-Δy =15 q3=10-0=10 p4=Δy =-15 q4=10-10=0 根据公式：uk=qk/pk，则有：
u1=1/3 u2=1 u3=2/3 u4=0
由于p1,p40,所以ue=min{1,u2,u3}=2/3
⎧x =x 1+∆x ⋅μ
根据线段参数方程：⎨，则有：
⎩y =y 1+∆y ⋅μ
当us=1/3时，xs =(-5)+15. (1/3)=0, ys=10+(-15) . (1/3)=5 当ue=2/3时，xe =(-5)+15. (2/3)=5, ye=10+(-15) . (2/3)=0 因此，裁剪后剩余的线段为 ：起点为(0, 5)，终点为(5,0)
4. 试分析下图中，当选取S 为种子时，基于4-连通区域按右－上－左－下顺序实现区域填充的过程。要求写出区域内所有像素点被填色的顺序。
1. 已知三角形各顶点坐标为(10,10),(10,30)和(30,20),作下列变换，写出变换的矩阵，画出变换后的图形。先绕原点逆时针旋转90度, 再沿X 正向平移10，沿Y 负向平移20。
⎡1
平移变换矩阵为：⎢0
⎢⎢⎣10
1-20
⎡00⎤
，旋转变换矩阵为：⎢-10⎥⎢⎥
⎢⎥1⎦⎣00⎤⎡1
⎥0⎥×⎢0
⎢⎢1⎥⎦⎣10
1-20
0⎤⎡0＝⎢-10⎥⎥⎢⎢1⎥⎦⎣10
1
00
10-20
0⎤ 0⎥⎥1⎥⎦
0⎤
0⎥⎥1⎥⎦
⎡0
总的变换矩阵为：T ＝⎢-1
⎢⎢⎣0
1
00
2. 已知三角形ABC 各顶点的坐标A (1,2)、B (5,2)、C (3,5)，相对直线P 1P 2(线段的坐标分别为：P 1 (-1,-1) 、P 2 (8,3)做对称变换后到达A ' ，B ' ， C ' 。试计算A ' ，B ' ， C ' 的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵，列出计算式子，不要求计算结果）
⎡100⎤⎢⎥
解: (1) 将坐标平移至P1 (-1,-1)点: Ta =⎢010⎥
⎢⎣111⎥⎦
(2) 线段P 1P 2与X 轴夹角为θ=arctg
4
9
⎡cos θ
(3) 顺时针方向旋转θ角: Tb =⎢⎢sin θ
⎢⎣0⎡100⎤
⎢⎥
(4) 关于X 轴对称: Tc =⎢0-10⎥
⎢⎣001⎥⎦
-sin θcos θ
0⎤0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡cos θ
⎢
(5)逆时针转回: Td =⎢-sin θ
⎢⎣0
sin θcos θ
0⎤0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡100⎤⎢⎥
(6) 将坐标系平移回原处 Te =⎢010⎥
⎢⎣-1-11⎥⎦
(7)变换矩阵: T=Ta ⨯Tb ⨯Tc ⨯Td ⨯Te
(8) 求变换后的三角形ABC 各顶点的坐标A ’、B ’、C ’
[ B’: [X C’: [X
/
A ’: X A
/B /C
Y A Y B Y C
//
/
1=[121]⨯T
21]⨯T 51]⨯T
]1]=[51]=[3
4. 如右图所示，裁剪窗口为正方形(2,2)—(6,6)，采用逐边裁剪算法，依次按左上右下的顺序，
用四条窗口边界裁剪多边形ABCDE ，试写出每条窗口边界裁剪后输出的新的多边形的顶点序列。
解：初始顶点集合为：V0={A,B,C,D,E} 按照左上右下的裁剪顺序，则有：
左裁剪：由于顶点A,B,C,D 均在左边界内，E 在左边界外，仅讨论边界DE 和EA ：
对于线段DE,D 在左边界内，E 在左边界外，且与左边界交点为1，故V1={A,B,C,D,1} 对于线段EA ，E 在左边界外，A 在左边界内，且与左边界交点为2，故V1={1,2,A,B,C,D } 上裁剪：对于顶点集合V1={A,B,C,D,1,2}中，1,2，A,B,C 均在上边界内，D 在上边界外，
对于线段CD,C 在上边界内，D 在上边界外，且与上边界交点为10，故V2={1,2,A,B,C,10 } 对于线段D1,D 在上边界外，1在上边界内，且与上边界交点为9，故V2={1,2,A,B,C,10,9 } 右裁剪：对于顶点集合V2={1,2,A,B,C,10,9}中，9,1,2,A,B 均在右边界内，C,10均在右边界外， 对于线段BC ，B 在右边界内，C 在右边界外，且与右边界交点为7，故V3={10,9,1,2,A,B, 7} 对于线段C10，完全处于右边界之外，直接完全裁剪 对于线段109，9在右边界内，10在右边界外，且与右边界交点为8，故V3={9,1,2,A,B, 7,8} 下裁剪：对于顶点集合V3={9,1,2,A,B, 7,8}中，B, 7,8,9,1,2,均在下边界内，A 在下边界外， 对于线段2A ，2在下边界内，A 在下边界外，且与下边界交点为3，故V4={ B, 7,8,9,1,2,3} 对于线段AB ，B 在下边界内，A 在下边界外，且与下边界交点为4，故V4={ B, 7,8,9,1,2,3,4} 所以，裁剪后剩余的多边形为B 7891234
5. 在用户坐标系中，定义了一个窗口（左下角坐标为：-20，-20；右上角的坐标为60，60），给定线段的端点坐标为P （-70，-30），Q （200，80），求出线段与窗口的所有交点坐标（考虑窗口的四条边，结果保留整数），并根据编码法，确定裁剪后的线段端点坐标。
线段方程为：y+30=11/27(x+70)，端点编码：P （0101），Q （1010） 左边界交点：L （-20，-10），编码：0001 上边界交点：T （151，60），编码：1010 右边界交点：R （60，23），编码：0010 下边界交点：B （-46，-20），编码：0101 根据x 排序得：P ，B ，L ，R ，T ，Q P ，B 按位与为：0101非零，丢弃。 B ，L 按位与为：0001非零，丢弃。 L ，R 按位与为：0000，保留。
R ，T 按位与为：0010非零，丢弃。
T ，Q 按位与为：1010非零，丢弃。 裁剪后的端点坐标为L （-20，-10），R （60，23）。
6. 已知线段P 1P 2的两个端点坐标为：P 1 (-5,10) 、P 2 (10,-5)，裁剪窗口为(0,0) —(10,10) 。请使用Liang —Barskey 线段裁剪算法计算出裁剪以后剩余的线段。
解：Δx =10-(-5)=15 Δy =(-5) -10=-15
p1=-Δx =-15 q1=(-5) -0=-5 p2=Δx =15 q2=10-(-5)=15 p3=-Δy =15 q3=10-0=10 p4=Δy =-15 q4=10-10=0 根据公式：uk=qk/pk，则有：
u1=1/3 u2=1 u3=2/3 u4=0
由于p1,p40,所以ue=min{1,u2,u3}=2/3
⎧x =x 1+∆x ⋅μ
根据线段参数方程：⎨，则有：
⎩y =y 1+∆y ⋅μ
当us=1/3时，xs =(-5)+15. (1/3)=0, ys=10+(-15) . (1/3)=5 当ue=2/3时，xe =(-5)+15. (2/3)=5, ye=10+(-15) . (2/3)=0 因此，裁剪后剩余的线段为 ：起点为(0, 5)，终点为(5,0)
4. 试分析下图中，当选取S 为种子时，基于4-连通区域按右－上－左－下顺序实现区域填充的过程。要求写出区域内所有像素点被填色的顺序。