差分进化算法-DE

2.1 分进差化法

差算分进化法算Dif（efrenita lEvoultion，DE）和G ，ASO，PCA 等进O化法算 一，样 都是于群基体智的能随机行并优化算，法通过模生物仿体内个体间的群合 与竞争产作的生启式发体智能来指导优群搜索。化E D特的记有能忆力其使可 动以跟态踪当前的搜索况，情调整其以搜索策，实略自适现应寻优，此因有较强 的具全收局性和敛棒鲁， 且性需不要借助题问的定信息，适特于解求一利些常规用 数学规划方法的无法所解求复的杂境环中的优化题[问96]。 D E的群由种若个体干组，成每个个体 表代优问题的化一个在解。潜DE 的优 化机 制根是不同个据体之间的距离和方向信来息生成新候选的个，体 实现体进群 。化其他与化进法算类，DE似采用变异、交 、叉选择这个典三进化算型子种对 进群行更，新但不于传统同化进算子DE 的，进化子算有其独之处。 （到1）变异子算 假设群规模种为 PN 解的，数为 维N ，则群 种P G

示为数实解空间的一个中量向 ip G (pi G 1 ,ip2 ,

N

，第

G代 个 i体 以可

表 G, pNi) ， i  1 2,,

,

N 。E D变的

异子为算个每个体生一成对个的应时临个体 uGi ，称“变异为个体 。” 如异公式变(21)所示，D.E 当代种从中随机选择群3 个 体个为父代作体个 进变异行生成，变个体 ui异 G。G

G uiGj rpG 1 ,  j F ( pr 2 , jpr 3 j,

)(.2)

1G G

其G 中iuj是变 异个体u i G第 j 维的元；素pr G1 ，pr2 ，pr 为第3G 种群代中3 互个

的个异，并且体r 1 r2 r3 i ； F是 数实常，量称“缩为放因子” ，取值范围其 一为 F 般 ,02 。 （2）交算子叉 在进化法算，交中也叉为“称组” ，即将多重父代个体个照按一的规则进定 行叉组交合，现实局开采部。D E用利交算叉生子成的新候解选 ivG， 为“称验试个体 ” 。D E用常的交方式叉为项式二叉，交公如(2式2.)示。

所u ,G f i radn() C R   j Ir G vi  j ijG pij ,ohtewrie

(2s2).

G

其 v中j i为候解 选vi G的第 j维元素 ra；n d) ( [0,1是 之间的)均随匀机数CR，是

； Ir是 [ 1 , ]N 之间的随机数，整对于同一体 个,01 之间 的数常称，为交叉“率概 的不”同维度 ，rI保持唯 。 一公式从(.2)2图和1 可以看出，异变个体 uG 中至i有少一个元素被继到新的 承选候中，因此解，DE 可较以好保地种持群多样性。

u的G piGi

r CR jIr

iu G 1pG i1

ruet afsle

uGi 2p G 2ifal

es tru

e…

… … … …

Guij

Gp i

j… ……

…G iNu pGN

i

fale fslsea

piG

j

rute rut ……e

G iN

vuG

iui

G 1

uGi

2图

2. D1 交E算叉子意示

图（3

选）算择子D 采用贪婪E选择策略对种群进行来更新，通过比新生较的试成验体与个

当 代种群中应个对的优劣体 选择，应值适优的个体更作为子进入新代群，如种公式( 23.)示。所

p

G1 i



vi ,Gi f f (iGv)  f( piG)  G p i ,otehrisew

(23)

从.公式(21.可以看出，)DE的变异操作 际上是将实两不个父代同个的差体 加值权加后到 3第个父代 个，从体而到一得个的新临时个体因此，。D E有具好很 的几意何，如义图2.2 示。

所x2

u

i rp1 F (p 2  rp r )3变异

ui

候解

p选1r

v

ip

2

r交叉

p

3r

pi

0

图.22DE 个体 更新原理示意

图x1

总的来说

，ED 法的进算流化程图 如2.3 所，示即通 变异算过来子探新索，解利用交 叉算子行进局部开，发利用贪 选择策婪进略保优行，种群向最使区优靠域拢。 因，DE此 算具法较有好的局收敛性全。初

始群种父代 变 交异 选择

叉图 23 .ED 化进程流

在 D

PBO S法算8[0中]，S 数函对于粒相子置和速度更位的范围是对称新的 通过，S 函转换之后数概率范围的同也样是对的称因。此DB，PS O算采法用 S 函数 为作数空间到二进制空实的间映射有其理性合然后，。对于二进制码编D E算 而言，法变异算子 成生临的时数变异实量向果如作为S 函数 自变的量 ，其值范 围取不是对称的，因此，在进二制 ED算法中直接套用 BDSO P法算转的换法方 然是显不可的。行在进 化算中法，父代 体在个索空搜中的分间布情况对生于成子代体个指导， 法算向更优域区索具搜重要意有义。布估分算计（ Es法imtaiotn f oDsiritbtuon

i[83 84] Alg,oirhmt， DE） A遗是传法和统计算习的学结合 通过，计学统习手的段立

建解

空间内个体分布概率的模，型然后 概率对模随机采型产生样新的体，群此如反 复行，进现实体群进化。的为 克服 了DBDE 算由于 S法 数函义域不对称定使转得之换取 后1“ 和 “0””

的率概不对从而导致称算搜法不平索，衡影响法算优的性化能的陷缺，受 DE 和 ADBSPO 算的启发法本，文引“入率概测预布分”的念，将概 EA 和D ED算法 合结起，来同 时对S 函数 进修正， 提行了一种基于概率出预更新机测的改进制二 制进DE 算（M法odfiei Bindry DaEM，DEB）。 2. 11.算法原理 （1）概率测算子 预MBE D法提出了一个 “算率概预算测”子 对父代个的体比特分进行建模， 建立布父代体个概率分布向量 f 的 iGp ， 然 后用该概利率向量行进随采样机，生

成

 ，G如式公2.(1)(1.12)2所示。新的二进 变制个体 ui异

G fj ip j

 1 e

12b G GG  p r1, j  F (pr 2 ,j r 3,pj )  0. 51 2F





(.11)2

G

 1,if r nda()  f (pi )j u 0, o thewriseG j

i(

.212)

G G中其p Gr 1、 pr 2 、p r3 是第 G代 群中随种选出的机 3个不同的 父个代，F体 0

G是 据概 是根缩因放，子 b0 是跨 度系，rand数 ) ( 是 ,0 1 之的间匀均机数，随uj

率向量采样i生的成进二变异位。制 图如2 7 所示，MBDE.根 据3个 同不父代体个的特比分布预来下测代个 一体，一方可以面从父个代体继承中有用的全局息，另信一面，相方于对群种增 学递习算法Popu（ltioa-nbaesdIn rcasingeL arneignP，BIL）[83]根父据种群代所中有 个体分的建布立唯的概一向率导致量成的子生代重复率、多样高差的缺性点，MBDE 只选分父代个体进行部率估计，概可以不同为个体建立不的的概率同 估向量，从而提计高种群多样的，性免由避于次解群集优致的导熟收早。

G 敛pr1 Gr p2

概

模型

率u

iG变

异体

个

Gpr 3

概率估计

算子

父

个代体

图

2 7. BDM 概率E计算子

估

于由用 采3个 不同个的对应体比特位进行概预测率因，就有 8此种 0 、 组 1合从。 图2. 8和 2.表 可1看以出，BDEM 概的估率算计子关于是实数变值异称对 ，的因此以实现可“” 01“平衡”搜，索避陷入局部免最。例如优当比，特组 为合1“1”0，即父时代种中比群“特”多于“01时”此时，为防止陷局部最优， 入子代“1取”概率的能太不大；同，理当比组特为“合010”时，代取子“0”的概 也不能太率大，此 因MBD 能较E好地防止种群入局陷部优。

最1 0. 908 ..0 076. 0011,1 1 10 1100 

S'

()x

0.5

0.4 0 .30.2 .01 010 0-F 000, 011

01 11F-

0

0

5.

1

F

1+F

x

图

.28M BE 概率估计算子D（F2= ）表 .2 1同父不比代特组合况情下概向量率取值

的

pG 1, r

0j0 0 0 1 11

1

prG2 ,

j00 1 1 00 1

1

rGp3 ,

j01 0 10 1 0 1

ij u

0G -F 0 F 1-F1 +F 11

f(iuj) F=.050.047 400.05 20.0005 .004740.9526 .0500 0.909570 .9526 =1.0 F0.11920. 00520 .888 0.0191 0.28088 0.112 0.9979 0588.80F 2=0. .031520 0.2050 973.40 .2135 0.68570. 062 0.697950 .7658

G ui

j/0 1/100 1 0// 1/01 /1 00/ 0/11

注0/： 1表可示能取0 也能取 1可

（）交2叉子 算MBED 法算留保标了 D准E 算中的交叉算法子，不的是同标准，DE 算 中 交叉操法作个中体都是浮编码的点个体，而在 BMDE算法 中，算子该将是二制进

码编的代父体个pi 与概G率测算子生预的临成时异个体变行进叉，将父交代体个中的有 用息继承信到子代体 v个iG中，如 公(2式1.)3示。所

G , if ran () d CR   j Ir  uij v  G pij ,ohtrewse

iG i

j(

213.)

（

3选）择算子 MDBE 同时保也留标了 DE 算法的准择选子，算通过 婪贪择选最将优体个保存 新到代一种中群指，算导法最向优域搜区索 。21..2算法流程 BDM E法利用算概估计率子生成算进制二异变体个，利交用算子叉变异 个体将父与个体代进交叉生成行验试体个 ，后然根贪据婪择策选略留试验

保个体与 代个父之体的间优者胜为作子个代体进入种群，新实种群的更现，其新详细程流如 图 .2 9所。示St p e： 设置1算控制参数法：交叉率 概CR，缩 放子因 F，跨 系数 度 b种，群 模规N P，最大迭 代数次G ax m设种；代数群计器 数 G 0； Stp 2： e0 0 机初始化二进随种群制 P  p1 ,0 2 ,p , p0i , ,NpP ，其中 ip 0 01,N

，i为个 体的引， N索为个体 编码长；

St度pe3：

计算种群中

有个体所的应适，值选最优个体 pb ；出

Step 4

：判断 是否满算法停足止代迭条件，是，则若止终代迭输出并优最解pb

， 否则续继面下步，对骤种进群行代迭新；

更St

e 5： Stppe6：

据概根率预测算生成子异个变体 ui G，即公式(2.1)1(.12)2 将父代个体； iGp与 iuG 行进叉，即按照交公式(.21)生成3二制试验进个体 viG作 候为解选；

S

tep7

：择操选作根：公式(2.3据，比较父代)体 个pGi 与试个体验 ivG 优劣的 选，择胜者优为作新代一体个 ip G1

teSp 8：

G 

G  1 ；转到 tep 4S 续继代迭。

图 .92 MBE 算D优化法程流

2.1 分进差化法

差算分进化法算Dif（efrenita lEvoultion，DE）和G ，ASO，PCA 等进O化法算 一，样 都是于群基体智的能随机行并优化算，法通过模生物仿体内个体间的群合 与竞争产作的生启式发体智能来指导优群搜索。化E D特的记有能忆力其使可 动以跟态踪当前的搜索况，情调整其以搜索策，实略自适现应寻优，此因有较强 的具全收局性和敛棒鲁， 且性需不要借助题问的定信息，适特于解求一利些常规用 数学规划方法的无法所解求复的杂境环中的优化题[问96]。 D E的群由种若个体干组，成每个个体 表代优问题的化一个在解。潜DE 的优 化机 制根是不同个据体之间的距离和方向信来息生成新候选的个，体 实现体进群 。化其他与化进法算类，DE似采用变异、交 、叉选择这个典三进化算型子种对 进群行更，新但不于传统同化进算子DE 的，进化子算有其独之处。 （到1）变异子算 假设群规模种为 PN 解的，数为 维N ，则群 种P G

示为数实解空间的一个中量向 ip G (pi G 1 ,ip2 ,

N

，第

G代 个 i体 以可

表 G, pNi) ， i  1 2,,

,

N 。E D变的

异子为算个每个体生一成对个的应时临个体 uGi ，称“变异为个体 。” 如异公式变(21)所示，D.E 当代种从中随机选择群3 个 体个为父代作体个 进变异行生成，变个体 ui异 G。G

G uiGj rpG 1 ,  j F ( pr 2 , jpr 3 j,

)(.2)

1G G

其G 中iuj是变 异个体u i G第 j 维的元；素pr G1 ，pr2 ，pr 为第3G 种群代中3 互个

的个异，并且体r 1 r2 r3 i ； F是 数实常，量称“缩为放因子” ，取值范围其 一为 F 般 ,02 。 （2）交算子叉 在进化法算，交中也叉为“称组” ，即将多重父代个体个照按一的规则进定 行叉组交合，现实局开采部。D E用利交算叉生子成的新候解选 ivG， 为“称验试个体 ” 。D E用常的交方式叉为项式二叉，交公如(2式2.)示。

所u ,G f i radn() C R   j Ir G vi  j ijG pij ,ohtewrie

(2s2).

G

其 v中j i为候解 选vi G的第 j维元素 ra；n d) ( [0,1是 之间的)均随匀机数CR，是

； Ir是 [ 1 , ]N 之间的随机数，整对于同一体 个,01 之间 的数常称，为交叉“率概 的不”同维度 ，rI保持唯 。 一公式从(.2)2图和1 可以看出，异变个体 uG 中至i有少一个元素被继到新的 承选候中，因此解，DE 可较以好保地种持群多样性。

u的G piGi

r CR jIr

iu G 1pG i1

ruet afsle

uGi 2p G 2ifal

es tru

e…

… … … …

Guij

Gp i

j… ……

…G iNu pGN

i

fale fslsea

piG

j

rute rut ……e

G iN

vuG

iui

G 1

uGi

2图

2. D1 交E算叉子意示

图（3

选）算择子D 采用贪婪E选择策略对种群进行来更新，通过比新生较的试成验体与个

当 代种群中应个对的优劣体 选择，应值适优的个体更作为子进入新代群，如种公式( 23.)示。所

p

G1 i



vi ,Gi f f (iGv)  f( piG)  G p i ,otehrisew

(23)

从.公式(21.可以看出，)DE的变异操作 际上是将实两不个父代同个的差体 加值权加后到 3第个父代 个，从体而到一得个的新临时个体因此，。D E有具好很 的几意何，如义图2.2 示。

所x2

u

i rp1 F (p 2  rp r )3变异

ui

候解

p选1r

v

ip

2

r交叉

p

3r

pi

0

图.22DE 个体 更新原理示意

图x1

总的来说

，ED 法的进算流化程图 如2.3 所，示即通 变异算过来子探新索，解利用交 叉算子行进局部开，发利用贪 选择策婪进略保优行，种群向最使区优靠域拢。 因，DE此 算具法较有好的局收敛性全。初

始群种父代 变 交异 选择

叉图 23 .ED 化进程流

在 D

PBO S法算8[0中]，S 数函对于粒相子置和速度更位的范围是对称新的 通过，S 函转换之后数概率范围的同也样是对的称因。此DB，PS O算采法用 S 函数 为作数空间到二进制空实的间映射有其理性合然后，。对于二进制码编D E算 而言，法变异算子 成生临的时数变异实量向果如作为S 函数 自变的量 ，其值范 围取不是对称的，因此，在进二制 ED算法中直接套用 BDSO P法算转的换法方 然是显不可的。行在进 化算中法，父代 体在个索空搜中的分间布情况对生于成子代体个指导， 法算向更优域区索具搜重要意有义。布估分算计（ Es法imtaiotn f oDsiritbtuon

i[83 84] Alg,oirhmt， DE） A遗是传法和统计算习的学结合 通过，计学统习手的段立

建解

空间内个体分布概率的模，型然后 概率对模随机采型产生样新的体，群此如反 复行，进现实体群进化。的为 克服 了DBDE 算由于 S法 数函义域不对称定使转得之换取 后1“ 和 “0””

的率概不对从而导致称算搜法不平索，衡影响法算优的性化能的陷缺，受 DE 和 ADBSPO 算的启发法本，文引“入率概测预布分”的念，将概 EA 和D ED算法 合结起，来同 时对S 函数 进修正， 提行了一种基于概率出预更新机测的改进制二 制进DE 算（M法odfiei Bindry DaEM，DEB）。 2. 11.算法原理 （1）概率测算子 预MBE D法提出了一个 “算率概预算测”子 对父代个的体比特分进行建模， 建立布父代体个概率分布向量 f 的 iGp ， 然 后用该概利率向量行进随采样机，生

成

 ，G如式公2.(1)(1.12)2所示。新的二进 变制个体 ui异

G fj ip j

 1 e

12b G GG  p r1, j  F (pr 2 ,j r 3,pj )  0. 51 2F





(.11)2

G

 1,if r nda()  f (pi )j u 0, o thewriseG j

i(

.212)

G G中其p Gr 1、 pr 2 、p r3 是第 G代 群中随种选出的机 3个不同的 父个代，F体 0

G是 据概 是根缩因放，子 b0 是跨 度系，rand数 ) ( 是 ,0 1 之的间匀均机数，随uj

率向量采样i生的成进二变异位。制 图如2 7 所示，MBDE.根 据3个 同不父代体个的特比分布预来下测代个 一体，一方可以面从父个代体继承中有用的全局息，另信一面，相方于对群种增 学递习算法Popu（ltioa-nbaesdIn rcasingeL arneignP，BIL）[83]根父据种群代所中有 个体分的建布立唯的概一向率导致量成的子生代重复率、多样高差的缺性点，MBDE 只选分父代个体进行部率估计，概可以不同为个体建立不的的概率同 估向量，从而提计高种群多样的，性免由避于次解群集优致的导熟收早。

G 敛pr1 Gr p2

概

模型

率u

iG变

异体

个

Gpr 3

概率估计

算子

父

个代体

图

2 7. BDM 概率E计算子

估

于由用 采3个 不同个的对应体比特位进行概预测率因，就有 8此种 0 、 组 1合从。 图2. 8和 2.表 可1看以出，BDEM 概的估率算计子关于是实数变值异称对 ，的因此以实现可“” 01“平衡”搜，索避陷入局部免最。例如优当比，特组 为合1“1”0，即父时代种中比群“特”多于“01时”此时，为防止陷局部最优， 入子代“1取”概率的能太不大；同，理当比组特为“合010”时，代取子“0”的概 也不能太率大，此 因MBD 能较E好地防止种群入局陷部优。

最1 0. 908 ..0 076. 0011,1 1 10 1100 

S'

()x

0.5

0.4 0 .30.2 .01 010 0-F 000, 011

01 11F-

0

0

5.

1

F

1+F

x

图

.28M BE 概率估计算子D（F2= ）表 .2 1同父不比代特组合况情下概向量率取值

的

pG 1, r

0j0 0 0 1 11

1

prG2 ,

j00 1 1 00 1

1

rGp3 ,

j01 0 10 1 0 1

ij u

0G -F 0 F 1-F1 +F 11

f(iuj) F=.050.047 400.05 20.0005 .004740.9526 .0500 0.909570 .9526 =1.0 F0.11920. 00520 .888 0.0191 0.28088 0.112 0.9979 0588.80F 2=0. .031520 0.2050 973.40 .2135 0.68570. 062 0.697950 .7658

G ui

j/0 1/100 1 0// 1/01 /1 00/ 0/11

注0/： 1表可示能取0 也能取 1可

（）交2叉子 算MBED 法算留保标了 D准E 算中的交叉算法子，不的是同标准，DE 算 中 交叉操法作个中体都是浮编码的点个体，而在 BMDE算法 中，算子该将是二制进

码编的代父体个pi 与概G率测算子生预的临成时异个体变行进叉，将父交代体个中的有 用息继承信到子代体 v个iG中，如 公(2式1.)3示。所

G , if ran () d CR   j Ir  uij v  G pij ,ohtrewse

iG i

j(

213.)

（

3选）择算子 MDBE 同时保也留标了 DE 算法的准择选子，算通过 婪贪择选最将优体个保存 新到代一种中群指，算导法最向优域搜区索 。21..2算法流程 BDM E法利用算概估计率子生成算进制二异变体个，利交用算子叉变异 个体将父与个体代进交叉生成行验试体个 ，后然根贪据婪择策选略留试验

保个体与 代个父之体的间优者胜为作子个代体进入种群，新实种群的更现，其新详细程流如 图 .2 9所。示St p e： 设置1算控制参数法：交叉率 概CR，缩 放子因 F，跨 系数 度 b种，群 模规N P，最大迭 代数次G ax m设种；代数群计器 数 G 0； Stp 2： e0 0 机初始化二进随种群制 P  p1 ,0 2 ,p , p0i , ,NpP ，其中 ip 0 01,N

，i为个 体的引， N索为个体 编码长；

St度pe3：

计算种群中

有个体所的应适，值选最优个体 pb ；出

Step 4

：判断 是否满算法停足止代迭条件，是，则若止终代迭输出并优最解pb

， 否则续继面下步，对骤种进群行代迭新；

更St

e 5： Stppe6：

据概根率预测算生成子异个变体 ui G，即公式(2.1)1(.12)2 将父代个体； iGp与 iuG 行进叉，即按照交公式(.21)生成3二制试验进个体 viG作 候为解选；

S

tep7

：择操选作根：公式(2.3据，比较父代)体 个pGi 与试个体验 ivG 优劣的 选，择胜者优为作新代一体个 ip G1

teSp 8：

G 

G  1 ；转到 tep 4S 续继代迭。

图 .92 MBE 算D优化法程流