专题四 三角函数
一．基本知识点
【1】角的基本概念
（1）正角 负角 零角
（2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
{αk ⋅360
第一象限角的集合为
{αk ⋅360+90
第二象限角的集合为
αk ⋅360+180
第四象限角的集合
{αα=k ⋅180, k ∈Z}
终边在x 轴上的角的集合为
α=k ⋅180+90, k ∈Z}{y 终边在轴上的角的集合为 α=k ⋅90, k ∈Z}{终边在坐标轴上的角的集合为
{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
（3）与角α终边相同的角的集合为
1
（4）弧度制与角度制的换算公式：2π=360，
1 =
π
180，
⎛180⎫ 1= ≈57.3⎪⎝π⎭
【2】三角函数的定义
设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是
(x , y )，
它与原点的距离是
r r =>0
(
)，则
s i n α=
y x
cos α=r ，r ，
tan α=
y
(x ≠0)x ．
【3】三角函数的基本关系
(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)
sin α
=tan α(2)cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪
tan α⎭． ⎝
【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (-α)=-sin α cos (-α)=cos α tan (-α)=-tan α sin (π-α)=sin α cos (π-α)=-cos α tan (π-α)=-tan α
⎛π⎫⎛π⎫
sin -α⎪=cos α cos -α⎪=sin α ⎝2⎭⎝2⎭⎛π⎫⎛π⎫
sin +α⎪=-cos α cos +α⎪=-sin α ⎝2⎭⎝2⎭
【5】常用三角函数公式
（1）两角和与差的三角函数关系
sin(α±β)=sinα·cosβ±cos α·sinβ cos(α±β)=cosα·cosβ sin α·sinβ
2
tan(α±β) =
tan α±tan β
1 tan α⋅tan β
2tan α
2
1-tan α
（2）倍角公式
sin2α=2sinα·cosα tan 2α=cos2α=cosα-sin （3）半角公式
2
2
α=2cos2α-1=1-2sin2α
sin
2
α=
1-cos 2α1+cos 2α2
=cos α
22
（4）辅助角公式a sin x +b cos x =
(x +θ)(a >0) (其
b
确定) a
中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan θ=（5）特殊角的三角函数
【6】三角函数的性质 （1）函数
y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)
T=
2π
的性质：
①振幅：A；②周期：
ω；③频率：ϕ．
f =
1ω=
T2π；
④相位：ωx +ϕ；⑤初相：
（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
3
二．例题分析
【例1】已知角α的终边经过点P 0(-3, -4)，求角α的正弦值，余弦值，正切值.
【变式1】已知sin α=-
3
，求cos α，tan α的值 5
sin α+cos α
的值
sin α-cos α
【变式2】已知tan α=2，求
【变式3】已知sin α=2cos α，
sin α-4cos α
5sin α+2cos α2
（2） 求sin α+sin 2α
（1） 求
【变式4】（2012年江西）
sin +cos α1
=，求tan 2α的值
sin -cos α2
4
【变式4】（2012年全国卷）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=
，则cos 2α=
A -
B - C D 3939
【变式5】（2012年重庆卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ．-3 B-1 C 1 D3
【例2】已知sin α⋅cos α=
1π
，0
，且
【变式1】已知sin α⋅cos α=
【变式2】（2012年辽宁）已知sin α-cos2α=α∈(o , π)则
tan α的值是sin 2α的值
【例3】（2008年天津理）已知cos x -
⎛⎝
π⎫
2⎛π3π⎫, x ∈ , ⎪. ⎪=
4⎭10⎝24⎭
（1）求sin x -
⎛
⎝
π⎫
⎪的值 4⎭
（2）求sin x 的值； （3）求sin 2x +
【变式1】已知函数f (x ) =x cos x +2cos 2x -1(x ∈R ) （Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及在区间⎢0,
⎛⎝
π⎫
⎪的值. 3⎭
⎡π⎤
上的最大值和最小值； ⎥⎣2⎦
5
（Ⅱ）若f (x 0) =
6⎡ππ⎤
, x 0∈⎢, ⎥，求cos 2x 0的值。 5⎣42⎦
【例4】已知函数f (x )=sin 2x -
⎛
⎝
π⎫
⎪，(x ∈R ) 6⎭
（1）求函数f (x )的周期、递增区间、递减区间 （2）求函数f (x )取得最大值时x 的集合 （3）求函数f (x )取得最小值时x 的集合
【变式1】已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ), x ∈R ，其中
ω>0, -π
最大值，
（1）求函数f (x )的表达式
（2）求函数f (x )的递增区间和点减区间 （3）求函数f (x )取得最大值时x 的集合
【变式2】（2011年和平区一模） 已知f (x )=cos x +
π
2
时，f (x ) 取得
⎛⎝
π⎫
⎪，g (x )=f (x )⋅f (-x ) 3⎭
6
（1）求f
⎛π⎫
⎪的值；（2）求g (x )的最小正周期； 2⎝⎭
11
sin 2x +的最大值和h (x )取得最大值时x 的24
（3）求函数h (x )=g (x )-集合.
【变式3】（2012年南开区一模）
2设函数f (x )=(2x -)+2sin (x -)x ∈R
（1）求f (x )的最小正周期；
（2）求使得f (x )取得最大值时x 的集合 （3）若θ∈(0, 2)且f (θ)=
5
，求cos 4θ 3
【例5】（2011年北京理）已知函数f (x ) =4cos x sin(x +（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期：
π
6
) -1
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-
⎡ππ⎤
, ⎥上的最大值和最小值。 ⎣64⎦
【变式1】（2007年天津理）已知函数
f (x ) =2cos x (sinx -cos x ) +1，x ∈R ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；
7
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢⎥上的最小值和最大值．
84
【变式2】（2012年和平区一模）
设f (x )=2sin x cos x +2x +m (m ∈R )（1）当x ∈R 时，求f (x )的单调递增区间；
⎡π3π⎤⎣⎦
（2）当x ∈⎢0,
⎡π⎤
时f (x )的最大值是6，求实数m 的值⎥ ⎣2⎦
【变式3】（2012河西一模）
x x ⎫⎛
已知平面内点A cos ,sin ⎪，点B (11,
22⎭⎝
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；
2
，，OA +OB =OC f (x )=OC )
（Ⅱ）当x ∈[-π, π]时求函数f (x ) 的最大值和最小值，并求当f (x ) 取得最值时x 的取值
【变式4】（2012年天津理）
π⎫π⎫⎛⎛
已知函数f (x )=sin 2x +⎪+sin 2x -⎪+2cos 2x -1(x ∈R ) 3⎭3⎭⎝⎝(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期；
⎡ππ⎤
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢-, ⎥ 上的最大值和最小值.
⎣44⎦
【例6】（2011年天津理） 已知函数f (x ) =tan(2x +
8
π
4
),
（Ⅰ）求f (x ) 的定义域与最小正周期；
（II ）设α∈ 0,
α⎛π⎫
f () =2cos 2α, 求α的大小． ，若⎪24⎝⎭
【变式1】求函数y =tan
π⎫⎛π
x +⎪的定义域，周期和单调区间
3⎭⎝2
专题四 三角函数
一．基本知识点
【1】角的基本概念
（1）正角 负角 零角
（2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．
{αk ⋅360
第一象限角的集合为
{αk ⋅360+90
第二象限角的集合为
αk ⋅360+180
第四象限角的集合
{αα=k ⋅180, k ∈Z}
终边在x 轴上的角的集合为
α=k ⋅180+90, k ∈Z}{y 终边在轴上的角的集合为 α=k ⋅90, k ∈Z}{终边在坐标轴上的角的集合为
{ββ=k ⋅360+α, k ∈Z}
（3）与角α终边相同的角的集合为
1
（4）弧度制与角度制的换算公式：2π=360，
1 =
π
180，
⎛180⎫ 1= ≈57.3⎪⎝π⎭
【2】三角函数的定义
设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是
(x , y )，
它与原点的距离是
r r =>0
(
)，则
s i n α=
y x
cos α=r ，r ，
tan α=
y
(x ≠0)x ．
【3】三角函数的基本关系
(1)sin 2α+cos 2α=1(sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α)
sin α
=tan α(2)cos α
sin α⎫⎛
sin α=tan αcos α,cos α= ⎪
tan α⎭． ⎝
【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
sin (π+α)=-sin α cos (π+α)=-cos α tan (π+α)=tan α sin (-α)=-sin α cos (-α)=cos α tan (-α)=-tan α sin (π-α)=sin α cos (π-α)=-cos α tan (π-α)=-tan α
⎛π⎫⎛π⎫
sin -α⎪=cos α cos -α⎪=sin α ⎝2⎭⎝2⎭⎛π⎫⎛π⎫
sin +α⎪=-cos α cos +α⎪=-sin α ⎝2⎭⎝2⎭
【5】常用三角函数公式
（1）两角和与差的三角函数关系
sin(α±β)=sinα·cosβ±cos α·sinβ cos(α±β)=cosα·cosβ sin α·sinβ
2
tan(α±β) =
tan α±tan β
1 tan α⋅tan β
2tan α
2
1-tan α
（2）倍角公式
sin2α=2sinα·cosα tan 2α=cos2α=cosα-sin （3）半角公式
2
2
α=2cos2α-1=1-2sin2α
sin
2
α=
1-cos 2α1+cos 2α2
=cos α
22
（4）辅助角公式a sin x +b cos x =
(x +θ)(a >0) (其
b
确定) a
中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan θ=（5）特殊角的三角函数
【6】三角函数的性质 （1）函数
y =Asin (ωx +ϕ)(A>0, ω>0)
T=
2π
的性质：
①振幅：A；②周期：
ω；③频率：ϕ．
f =
1ω=
T2π；
④相位：ωx +ϕ；⑤初相：
（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
3
二．例题分析
【例1】已知角α的终边经过点P 0(-3, -4)，求角α的正弦值，余弦值，正切值.
【变式1】已知sin α=-
3
，求cos α，tan α的值 5
sin α+cos α
的值
sin α-cos α
【变式2】已知tan α=2，求
【变式3】已知sin α=2cos α，
sin α-4cos α
5sin α+2cos α2
（2） 求sin α+sin 2α
（1） 求
【变式4】（2012年江西）
sin +cos α1
=，求tan 2α的值
sin -cos α2
4
【变式4】（2012年全国卷）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=
，则cos 2α=
A -
B - C D 3939
【变式5】（2012年重庆卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ．-3 B-1 C 1 D3
【例2】已知sin α⋅cos α=
1π
，0
，且
【变式1】已知sin α⋅cos α=
【变式2】（2012年辽宁）已知sin α-cos2α=α∈(o , π)则
tan α的值是sin 2α的值
【例3】（2008年天津理）已知cos x -
⎛⎝
π⎫
2⎛π3π⎫, x ∈ , ⎪. ⎪=
4⎭10⎝24⎭
（1）求sin x -
⎛
⎝
π⎫
⎪的值 4⎭
（2）求sin x 的值； （3）求sin 2x +
【变式1】已知函数f (x ) =x cos x +2cos 2x -1(x ∈R ) （Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期及在区间⎢0,
⎛⎝
π⎫
⎪的值. 3⎭
⎡π⎤
上的最大值和最小值； ⎥⎣2⎦
5
（Ⅱ）若f (x 0) =
6⎡ππ⎤
, x 0∈⎢, ⎥，求cos 2x 0的值。 5⎣42⎦
【例4】已知函数f (x )=sin 2x -
⎛
⎝
π⎫
⎪，(x ∈R ) 6⎭
（1）求函数f (x )的周期、递增区间、递减区间 （2）求函数f (x )取得最大值时x 的集合 （3）求函数f (x )取得最小值时x 的集合
【变式1】已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ), x ∈R ，其中
ω>0, -π
最大值，
（1）求函数f (x )的表达式
（2）求函数f (x )的递增区间和点减区间 （3）求函数f (x )取得最大值时x 的集合
【变式2】（2011年和平区一模） 已知f (x )=cos x +
π
2
时，f (x ) 取得
⎛⎝
π⎫
⎪，g (x )=f (x )⋅f (-x ) 3⎭
6
（1）求f
⎛π⎫
⎪的值；（2）求g (x )的最小正周期； 2⎝⎭
11
sin 2x +的最大值和h (x )取得最大值时x 的24
（3）求函数h (x )=g (x )-集合.
【变式3】（2012年南开区一模）
2设函数f (x )=(2x -)+2sin (x -)x ∈R
（1）求f (x )的最小正周期；
（2）求使得f (x )取得最大值时x 的集合 （3）若θ∈(0, 2)且f (θ)=
5
，求cos 4θ 3
【例5】（2011年北京理）已知函数f (x ) =4cos x sin(x +（Ⅰ）求f (x ) 的最小正周期：
π
6
) -1
（Ⅱ）求f (x ) 在区间⎢-
⎡ππ⎤
, ⎥上的最大值和最小值。 ⎣64⎦
【变式1】（2007年天津理）已知函数
f (x ) =2cos x (sinx -cos x ) +1，x ∈R ．
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；
7
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢⎥上的最小值和最大值．
84
【变式2】（2012年和平区一模）
设f (x )=2sin x cos x +2x +m (m ∈R )（1）当x ∈R 时，求f (x )的单调递增区间；
⎡π3π⎤⎣⎦
（2）当x ∈⎢0,
⎡π⎤
时f (x )的最大值是6，求实数m 的值⎥ ⎣2⎦
【变式3】（2012河西一模）
x x ⎫⎛
已知平面内点A cos ,sin ⎪，点B (11,
22⎭⎝
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；
2
，，OA +OB =OC f (x )=OC )
（Ⅱ）当x ∈[-π, π]时求函数f (x ) 的最大值和最小值，并求当f (x ) 取得最值时x 的取值
【变式4】（2012年天津理）
π⎫π⎫⎛⎛
已知函数f (x )=sin 2x +⎪+sin 2x -⎪+2cos 2x -1(x ∈R ) 3⎭3⎭⎝⎝(Ⅰ) 求函数f (x ) 的最小正周期；
⎡ππ⎤
（Ⅱ）求函数f (x ) 在区间⎢-, ⎥ 上的最大值和最小值.
⎣44⎦
【例6】（2011年天津理） 已知函数f (x ) =tan(2x +
8
π
4
),
（Ⅰ）求f (x ) 的定义域与最小正周期；
（II ）设α∈ 0,
α⎛π⎫
f () =2cos 2α, 求α的大小． ，若⎪24⎝⎭
【变式1】求函数y =tan
π⎫⎛π
x +⎪的定义域，周期和单调区间
3⎭⎝2