一元二次方程复习题(知识点梳理)

一元二次方程复习题

考点一、概念 (1)定义：

含有_______未知数，并且未知数的最高次数是______的______方程，就叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般表达式：

ax

2

其中_______是二次项，________是二次项系数；bxc0(a0)，

________是一次项，________是一次项系数；__________是常数项。

⑶判断一元二次方程的依据：

①二次项系数不为“0”；②未知数最高次数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A 3x122x1 B C ax2bxc0

1x

2



1x

20

D x22xx21

例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

针对练习：

1、方程8x27的一次项系数是

考点二、一元二次方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 。

针对练习：

1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为另一根是 。

2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m。 4、方程abx2bcxca0的一个根为（ ） A 1 B 1 C bc D a

x1x1

3的解相同。

考点三、一元二次方程的解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

（一）直接开方法：形如xa

均适用直接开方法

2

b(b0)，axmbxn

2

2

等形式

典型例题：

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x90;

2

例2、若9x116x2，则x的值为

2

2

针对练习：

下列方程无解的是（ ）

2

A.x232x21 B.x20 C.2x31x D.x290（二）

（二）因式分解法：xx1xx20

xx1,或xx2

方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式：如ax

x2axa

2

2

mbxn

2

2

，xaxbxaxc ，

0

典型例题：

例1、2xx35x3的根为（ ） A x

52

B x3 C x1

52

,x23

D x

25

例2、若4xy234xy40，则4x+y的值为 变式1：a2b2a2b260,则a2b2。

2

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。 例3、方程x2x60的解为（ ） A.x13，x

2

2 B.x13，x

2

2 C.x13，x

2

3 D.x12，x

2

2

针对练习：

1、下列说法中：

①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2)； ②x26x8(x2)(x4)；③a25ab6b2(a2)(a3) ④x2y2(xy)(x

y)(x

y)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x17)(3x17)0 正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、以17与17为根的一元二次方程是______________。

A．x22x60 B.x22x60 C．y22y60 D．y22y60

3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数____________。 4、方程：x2

1x

2

2的解是。

（三）配方法

通过配成_________来解一元二次方程的方法叫做配方法。配方是为了_________，把一个一元二次方程转化____________为来解。

配方法的一般步骤：①把常数移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

已知x2y24x6y130，x、y

为实数，求xy的值。

针对练习：

已知x2

1x

2

x

1x

40，则x

1x



类型四、公式法

通过对ax2bxc0a0进行配方，可以得到求根公式：

x

b

b4ac2a

2

,a0,且b24ac0

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x26. ⑵x3x68. ⑶x24x10

⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5

考点四、“降次思想”的应用：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。 典型例题：

例1、 已知x3x20，求代数式

2

x13

x1

2

x1

的值。

例2、 如果x2x10，那么代数式x32x27的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22

x5xy6y0.

(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。

考点四、根的判别式：b24ac

当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根；

根的判别式的作用：

①判断方程根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1 例3、已知关于x的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

针对练习：

1、当时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

ykx2,

3、k为何值时，方程组2

y4x2y10.

（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：

例1、关于x的方程m1x22mx30。⑴有两个实数根，则m为 ;⑵只有一个根，则m为 。

例2、不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.

3、某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为多少？(精确到0.1%)

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

6、学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽。

考点七、根与系数的关系 ⑴前提：对于ax2

bxc0而言，当满足①a0

、②0时，才能用

根与系数的关系（韦达定理）。

⑵根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2bxc（的两个根，则0a0）

x1x2

ba,x1x2

ca

。

⑶应用：整体代入求值。 典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

A.3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2， （1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab 变式：若a22a10，b22b10，则

ab



ba

的值为。

一元二次方程复习题

考点一、概念 (1)定义：

含有_______未知数，并且未知数的最高次数是______的______方程，就叫做一元二次方程。

(2)一元二次方程的一般表达式：

ax

2

其中_______是二次项，________是二次项系数；bxc0(a0)，

________是一次项，________是一次项系数；__________是常数项。

⑶判断一元二次方程的依据：

①二次项系数不为“0”；②未知数最高次数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A 3x122x1 B C ax2bxc0

1x

2



1x

20

D x22xx21

例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

针对练习：

1、方程8x27的一次项系数是

考点二、一元二次方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：

例1、已知2y2y3的值为2，则4y22y1的值为。

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0，则a的值为 。

针对练习：

1、已知方程x2kx100的一根是2，则k为另一根是 。

2、已知关于x的方程x2kx20的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式m2m。 4、方程abx2bcxca0的一个根为（ ） A 1 B 1 C bc D a

x1x1

3的解相同。

考点三、一元二次方程的解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

（一）直接开方法：形如xa

均适用直接开方法

2

b(b0)，axmbxn

2

2

等形式

典型例题：

例1、解方程：12x280; 22516x2=0; 31x90;

2

例2、若9x116x2，则x的值为

2

2

针对练习：

下列方程无解的是（ ）

2

A.x232x21 B.x20 C.2x31x D.x290（二）

（二）因式分解法：xx1xx20

xx1,或xx2

方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 方程形式：如ax

x2axa

2

2

mbxn

2

2

，xaxbxaxc ，

0

典型例题：

例1、2xx35x3的根为（ ） A x

52

B x3 C x1

52

,x23

D x

25

例2、若4xy234xy40，则4x+y的值为 变式1：a2b2a2b260,则a2b2。

2

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为 。 例3、方程x2x60的解为（ ） A.x13，x

2

2 B.x13，x

2

2 C.x13，x

2

3 D.x12，x

2

2

针对练习：

1、下列说法中：

①方程x2pxq0的二根为x1，x2，则x2pxq(xx1)(xx2)； ②x26x8(x2)(x4)；③a25ab6b2(a2)(a3) ④x2y2(xy)(x

y)(x

y)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x17)(3x17)0 正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、以17与17为根的一元二次方程是______________。

A．x22x60 B.x22x60 C．y22y60 D．y22y60

3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数____________。 4、方程：x2

1x

2

2的解是。

（三）配方法

通过配成_________来解一元二次方程的方法叫做配方法。配方是为了_________，把一个一元二次方程转化____________为来解。

配方法的一般步骤：①把常数移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。

已知x2y24x6y130，x、y

为实数，求xy的值。

针对练习：

已知x2

1x

2

x

1x

40，则x

1x



类型四、公式法

通过对ax2bxc0a0进行配方，可以得到求根公式：

x

b

b4ac2a

2

,a0,且b24ac0

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x26. ⑵x3x68. ⑶x24x10

⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5

考点四、“降次思想”的应用：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。 典型例题：

例1、 已知x3x20，求代数式

2

x13

x1

2

x1

的值。

例2、 如果x2x10，那么代数式x32x27的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22

x5xy6y0.

(1)(2)

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。

考点四、根的判别式：b24ac

当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根；

根的判别式的作用：

①判断方程根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( )

A.m0且m1 B.m0 C.m1 D.m1 例3、已知关于x的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

针对练习：

1、当时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

ykx2,

3、k为何值时，方程组2

y4x2y10.

（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解.

考点五、方程类问题中的“分类讨论” 典型例题：

例1、关于x的方程m1x22mx30。⑴有两个实数根，则m为 ;⑵只有一个根，则m为 。

例2、不解方程，判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、已知两个数的差是8，积是209，求这两个数.

3、某市市政府计划两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中市财政净收入的平均年增长率应为多少？(精确到0.1%)

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

6、学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽。

考点七、根与系数的关系 ⑴前提：对于ax2

bxc0而言，当满足①a0

、②0时，才能用

根与系数的关系（韦达定理）。

⑵根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2bxc（的两个根，则0a0）

x1x2

ba,x1x2

ca

。

⑶应用：整体代入求值。 典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ）

A.3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2， （1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab 变式：若a22a10，b22b10，则

ab



ba

的值为。