2016届自主招生数学教学内容
08．一次分式型函数学案
【教学目标】
1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象．
2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学重点】
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学难点】
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学过程】
一、复习
1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数．
k 2．学生谈对反比例函数y =(k ≠0) 的认识． x
二、基本函数作图
例1．作下列函数图象
3（1）y =； x
2（2）y =-． x
归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称
点；对于（1），点(, ) 是该双曲线的一个顶点．
k 归纳2：一般地，函数y =(k ≠0) 的图象是双曲线，原点是图象的中x
心对称点．当k >0时图象分布在一、三象限，图象与直线y =x 的交点是双曲线的顶点；当k
三、利用平移作图
1例2．类比函数y =x 2的图象到函数y =(x +1) 2+2的图象的变换，指出y =由的图象到x
11y =-2的图象的变换，并作出函数y =-2的图象． x -1x -1
归纳：x →x -1图象向右平移1个单位；y =f (x ) →y =f (x ) -2图象向下平移2个单位，
等等． 2练习：指出函数y =1-的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数x -3
2的图象． y =1-x -3
例3．作函数y =
数y =3-2x ax +b a b 的图象，并归纳一次型分式函数y =(≠) 图象与函数函x -1cx +d c d k (k ≠0) 的图象的关系． x
ax +b a b 归纳：一次型分式函数y =(≠) 本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相cx +d c d
差一个平移． x +1练习：作函数y =的图象． x +2四．“二线一点”法作图探究 x +3例4．已知函数y =． 2x -4
（1）作函数的图象；
（2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即
函数的值域）．
1（3）x 的取值范围x ≠2，y 的取值范围y ≠反映在图象上的特点是什么？ 2
11（函数图象与直线x =2, y =没有交点，即x =2, y =是对应双曲线的渐近线） 22
（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、
x +3三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数y =2x -4
的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）
ax +b a b （5）对于一般的一次型分式函数y =(≠) 如何来确定渐近线，即确定x 与cx +d c d
y 的取值范围？
（6）观察例4、例3，发现与系数a , b , c , d 关系．
3x -2例5．作函数y =的图象． x -1
ax +b a b 归纳：对于一次型分式函数y =(≠) 的作法： cx +d c d
d a d a （1）先确定x 与y 的取值范围：x ≠-，y ≠，即找到双曲线的渐近线x =-，y =； c c c c
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
2-3x 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数y =的图象． x +1
五．小结与作业
1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．
ax +b a b d a 2．作函数y =(≠) 的图象可用平移法，也可用“二线一点”法．x =-，y = cx +d c d c c
d a 是双曲线的两条渐近线，点(-, ) 是图象的中心对称点．
c c
2016届自主招生数学教学内容
08．一次分式型函数学案
【教学目标】
1．通过对反比例函数图象的研究，重新认识反比例函数图象．
2．会用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学重点】
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学难点】
用图象的平移及“二线一点”法作一次分式型函数的图象．
【教学过程】
一、复习
1．复习已学过的函数的解析式与图象：一次函数（正比例函数）；二次函数；反比例函数．
k 2．学生谈对反比例函数y =(k ≠0) 的认识． x
二、基本函数作图
例1．作下列函数图象
3（1）y =； x
2（2）y =-． x
归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称
点；对于（1），点(, ) 是该双曲线的一个顶点．
k 归纳2：一般地，函数y =(k ≠0) 的图象是双曲线，原点是图象的中x
心对称点．当k >0时图象分布在一、三象限，图象与直线y =x 的交点是双曲线的顶点；当k
三、利用平移作图
1例2．类比函数y =x 2的图象到函数y =(x +1) 2+2的图象的变换，指出y =由的图象到x
11y =-2的图象的变换，并作出函数y =-2的图象． x -1x -1
归纳：x →x -1图象向右平移1个单位；y =f (x ) →y =f (x ) -2图象向下平移2个单位，
等等． 2练习：指出函数y =1-的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数x -3
2的图象． y =1-x -3
例3．作函数y =
数y =3-2x ax +b a b 的图象，并归纳一次型分式函数y =(≠) 图象与函数函x -1cx +d c d k (k ≠0) 的图象的关系． x
ax +b a b 归纳：一次型分式函数y =(≠) 本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相cx +d c d
差一个平移． x +1练习：作函数y =的图象． x +2四．“二线一点”法作图探究 x +3例4．已知函数y =． 2x -4
（1）作函数的图象；
（2）并指出函数自变量x 的取值范围（即函数的定义域）；因变量y 的取值范围（即
函数的值域）．
1（3）x 的取值范围x ≠2，y 的取值范围y ≠反映在图象上的特点是什么？ 2
11（函数图象与直线x =2, y =没有交点，即x =2, y =是对应双曲线的渐近线） 22
（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、
x +3三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数y =2x -4
的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）
ax +b a b （5）对于一般的一次型分式函数y =(≠) 如何来确定渐近线，即确定x 与cx +d c d
y 的取值范围？
（6）观察例4、例3，发现与系数a , b , c , d 关系．
3x -2例5．作函数y =的图象． x -1
ax +b a b 归纳：对于一次型分式函数y =(≠) 的作法： cx +d c d
d a d a （1）先确定x 与y 的取值范围：x ≠-，y ≠，即找到双曲线的渐近线x =-，y =； c c c c
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
2-3x 练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数y =的图象． x +1
五．小结与作业
1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．
ax +b a b d a 2．作函数y =(≠) 的图象可用平移法，也可用“二线一点”法．x =-，y = cx +d c d c c
d a 是双曲线的两条渐近线，点(-, ) 是图象的中心对称点．
c c