有理数混合运算中的技巧与策略

有理数混合运算中的技巧与策略

有理数的运算是初中数学中的基础运算, 熟练地掌握有关的运算技巧和策略, 按照一定的运算规律, 巧妙地运用有关数学方法, 是提高运算速度和准确性的必要保证. 下面介绍一些运算技巧与策略.

一、巧妙运用运算律

进行有理数的加减运算时, 运用交换律、结合律归类加减, 常常可以使运算简捷. 如同号的数相结合、互为相反数的数结合、整数与整数结合、分数与分数结合、同分母与同分母结合等.

例1 求和

11⎫⎛22222⎫⎛33333⎫⎛111+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪+⋅⋅⋅+5960⎭⎝3455960⎭⎝4565960⎭⎝234

⎫⎛⎫解:原式=+⎛++++ ⎪ ⎪+⋅⋅⋅+(+++⋅⋅⋅++) 2⎝33⎭⎝444⎭[***********]35859⎛5858⎫59 ⎪+⎝5960⎭60

12359+++⋅⋅⋅+2222

1 =(1+2+3+⋅⋅⋅+59) 2

=885=

评析:灵活运用有理数加法运算律是解题关键·在应用加法交换律、结合律时一定要注意每个数的性质符号（正、负）不能改变, 根据问题特点, 灵活选择合适的解法是解题关键. 此题由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加, 从中找出解题规律.

二、变换顺序

在有理数的运算中, 适当改变运算顺序, 有时可以减少运算量, 在具体运算过程

中, 技巧是恰到好处地运用交换律、结合律和分配律等运算律简化运算. 例2 计算:-1-2+4-5+1-3.8

解:原式

11214=(-1+1) +(-2-5) +(4-3.8) 66335

=-8+1

=-[1**********]

评析:在运算前, 首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等, 适当交换一下各数的位置, 达到简化运算、快速解题的目的.

三、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时, 常根据所求式结构, 采用倒序相加减的方法把问题简化.

例3 计算[**************]+++⋅⋅⋅+++ . ① [***********]052005

解:把①式倒排列后, 得

[**************]+++⋅⋅⋅+++ ② [***********]052005

①+②得

[***********][1**********]1+) +(+) +(+) +⋅⋅⋅+(+) +(+) +(+) [***********][***********][1**********]5=2⨯4009

[**************]+++⋅⋅⋅+++=4009 所以：[***********]052005(

评析:显然, 此类问题是不能“硬算”的, 倒序相加可提高运算速度, 降低复杂程度.

本题也可以直接用求和公式

1+2+3+⋅⋅⋅+4007+4008+4009=4009⨯(1+4009) =4009⨯2005 2

四、巧拆项

把一项拆成两项的和或积, 使得算式可以消去某些项, 使运算简捷.

例4 计算:1+

解:

1+111++⋅⋅⋅+1+21+2+31+2+3+⋅⋅⋅+100

22222=+++⋅⋅⋅++1⨯22⨯33⨯499⨯100100⨯101 111111111=2(1-+-+-+⋅⋅⋅+-+-) [**************]1

100200=2⨯=101101

100⨯(1+100) 12=，所以， 21+2+3+⋅⋅⋅+100100⨯101111++⋅⋅⋅+ 1+21+2+31+2+3+⋅⋅⋅+100评析: 可知1+2+3+⋅⋅⋅+100=形如1111) 的形式. 对于这些题目结构复杂, 的分数, 可以拆成(-m n n +m n (n +m )

长度较大的数, 用常规的方法不易解决. 解这类问题要根据题目的结构特点, 找出拆项规律, 灵活巧妙地把问题解决.

五、整体换元

对于较复杂的算式直接运算很困难, 若能抓住其特征, 运用整体运算的思维, 创造性地加以解决, 就能收到事半功倍的效果.

例5 计算:

[1**********]1(++⋅⋅⋅+)(1+++⋅⋅⋅+) -(1+++⋅⋅⋅+)(++⋅⋅⋅+) [***********]232005

111=t 解:设1+++⋅⋅⋅+232005

则原式

11) t -(t +)(t -1) 20062006

111=(t 2-t +t ) -(t 2+t -t -) [1**********]6 111=t 2-t +t -t 2-t +t +[1**********]6

1=2006=(t -1+

评析:整体换元可以避开局部细节的麻烦, 它利用前后项之间的倍数关系, 使用的是错位相加法.

六、凑整求和

在有理数的运算中, 为了计算的方便, 常把非整数凑成整数, 一般凑成整一、整

十、整百、整千等数, 这样便于迅速得到答案.

例6 计算

11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999. 解:添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,依次与各数配对相加, 得:

11+ 192 + 1993 +19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999. = 20+200+2×103+2×104+…+2×109-(9+8+7+6+5+4+3+2+1)

= 2222222220-45

= 2222222175.

评析:将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加), 可以降低解题难度, 提高解题效率.

七、变量替换

通过引入新变量转化命题结构, 这样不但可以减少运算过程, 还有利于寻找解题思路, 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用.

12617+39-2) 例7 计算⨯(0.125+1261120.125⨯(7+3+9-27+3437543

1261解:设a =7+3, b =0.125, c =9-2 4375

a c a ab +c (b +) ==1 则原式=ba +c a ab +c a

评析:此题横看纵看都显得比较复杂, 但若仔细观察, 整个式子可分为三个部分: 12617+3,0.125,9-2, 因此, 采用变量替换就大大减少了计算量. 4375

八、构造对偶式

在计算一些连乘的有理数式子时, 可以根据式子的结构特征, 构造一些与它有内在联系的辅助式, 然后经过运算, 促使问题的转化与解决.

135797991⨯) 与的大小. [1**********]

13579799解:设A =(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯) 246898100

246898100构造对偶式: B =(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯) 357999101例8 比较(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯

则

[1**********]100A ⨯B =⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯[**************] 1=101

由于0

即. 135797991⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯

评析:构造对偶式的目的是为了沟通分子与分母的直接联系, 从而达到简化解题过程的目的.

有理数混合运算中的技巧与策略

有理数的运算是初中数学中的基础运算, 熟练地掌握有关的运算技巧和策略, 按照一定的运算规律, 巧妙地运用有关数学方法, 是提高运算速度和准确性的必要保证. 下面介绍一些运算技巧与策略.

一、巧妙运用运算律

进行有理数的加减运算时, 运用交换律、结合律归类加减, 常常可以使运算简捷. 如同号的数相结合、互为相反数的数结合、整数与整数结合、分数与分数结合、同分母与同分母结合等.

例1 求和

11⎫⎛22222⎫⎛33333⎫⎛111+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪+⋅⋅⋅+5960⎭⎝3455960⎭⎝4565960⎭⎝234

⎫⎛⎫解:原式=+⎛++++ ⎪ ⎪+⋅⋅⋅+(+++⋅⋅⋅++) 2⎝33⎭⎝444⎭[***********]35859⎛5858⎫59 ⎪+⎝5960⎭60

12359+++⋅⋅⋅+2222

1 =(1+2+3+⋅⋅⋅+59) 2

=885=

评析:灵活运用有理数加法运算律是解题关键·在应用加法交换律、结合律时一定要注意每个数的性质符号（正、负）不能改变, 根据问题特点, 灵活选择合适的解法是解题关键. 此题由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加, 从中找出解题规律.

二、变换顺序

在有理数的运算中, 适当改变运算顺序, 有时可以减少运算量, 在具体运算过程

中, 技巧是恰到好处地运用交换律、结合律和分配律等运算律简化运算. 例2 计算:-1-2+4-5+1-3.8

解:原式

11214=(-1+1) +(-2-5) +(4-3.8) 66335

=-8+1

=-[1**********]

评析:在运算前, 首先观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等, 适当交换一下各数的位置, 达到简化运算、快速解题的目的.

三、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时, 常根据所求式结构, 采用倒序相加减的方法把问题简化.

例3 计算[**************]+++⋅⋅⋅+++ . ① [***********]052005

解:把①式倒排列后, 得

[**************]+++⋅⋅⋅+++ ② [***********]052005

①+②得

[***********][1**********]1+) +(+) +(+) +⋅⋅⋅+(+) +(+) +(+) [***********][***********][1**********]5=2⨯4009

[**************]+++⋅⋅⋅+++=4009 所以：[***********]052005(

评析:显然, 此类问题是不能“硬算”的, 倒序相加可提高运算速度, 降低复杂程度.

本题也可以直接用求和公式

1+2+3+⋅⋅⋅+4007+4008+4009=4009⨯(1+4009) =4009⨯2005 2

四、巧拆项

把一项拆成两项的和或积, 使得算式可以消去某些项, 使运算简捷.

例4 计算:1+

解:

1+111++⋅⋅⋅+1+21+2+31+2+3+⋅⋅⋅+100

22222=+++⋅⋅⋅++1⨯22⨯33⨯499⨯100100⨯101 111111111=2(1-+-+-+⋅⋅⋅+-+-) [**************]1

100200=2⨯=101101

100⨯(1+100) 12=，所以， 21+2+3+⋅⋅⋅+100100⨯101111++⋅⋅⋅+ 1+21+2+31+2+3+⋅⋅⋅+100评析: 可知1+2+3+⋅⋅⋅+100=形如1111) 的形式. 对于这些题目结构复杂, 的分数, 可以拆成(-m n n +m n (n +m )

长度较大的数, 用常规的方法不易解决. 解这类问题要根据题目的结构特点, 找出拆项规律, 灵活巧妙地把问题解决.

五、整体换元

对于较复杂的算式直接运算很困难, 若能抓住其特征, 运用整体运算的思维, 创造性地加以解决, 就能收到事半功倍的效果.

例5 计算:

[1**********]1(++⋅⋅⋅+)(1+++⋅⋅⋅+) -(1+++⋅⋅⋅+)(++⋅⋅⋅+) [***********]232005

111=t 解:设1+++⋅⋅⋅+232005

则原式

11) t -(t +)(t -1) 20062006

111=(t 2-t +t ) -(t 2+t -t -) [1**********]6 111=t 2-t +t -t 2-t +t +[1**********]6

1=2006=(t -1+

评析:整体换元可以避开局部细节的麻烦, 它利用前后项之间的倍数关系, 使用的是错位相加法.

六、凑整求和

在有理数的运算中, 为了计算的方便, 常把非整数凑成整数, 一般凑成整一、整

十、整百、整千等数, 这样便于迅速得到答案.

例6 计算

11+192+1993+19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999. 解:添上9+8+7+6+5+4+3+2+1,依次与各数配对相加, 得:

11+ 192 + 1993 +19994+199995+1999996+19999997+199999998+1999999999. = 20+200+2×103+2×104+…+2×109-(9+8+7+6+5+4+3+2+1)

= 2222222220-45

= 2222222175.

评析:将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加), 可以降低解题难度, 提高解题效率.

七、变量替换

通过引入新变量转化命题结构, 这样不但可以减少运算过程, 还有利于寻找解题思路, 其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用.

12617+39-2) 例7 计算⨯(0.125+1261120.125⨯(7+3+9-27+3437543

1261解:设a =7+3, b =0.125, c =9-2 4375

a c a ab +c (b +) ==1 则原式=ba +c a ab +c a

评析:此题横看纵看都显得比较复杂, 但若仔细观察, 整个式子可分为三个部分: 12617+3,0.125,9-2, 因此, 采用变量替换就大大减少了计算量. 4375

八、构造对偶式

在计算一些连乘的有理数式子时, 可以根据式子的结构特征, 构造一些与它有内在联系的辅助式, 然后经过运算, 促使问题的转化与解决.

135797991⨯) 与的大小. [1**********]

13579799解:设A =(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯) 246898100

246898100构造对偶式: B =(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯) 357999101例8 比较(⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯

则

[1**********]100A ⨯B =⨯⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯[**************] 1=101

由于0

即. 135797991⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯

评析:构造对偶式的目的是为了沟通分子与分母的直接联系, 从而达到简化解题过程的目的.