7.1多元函数的极限与连续

第七章 多元函数微分学

一元函数微分学

推广

第一节

多元函数的极限与连续

一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性

多元函数微分学 注意：两者的联系与区别。 善于类比, 区别异同

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一、多元函数的概念

1 邻域 设P0 ( x0 , y0 )是xoy平面上的一个点，  是某一  的点P( x, y) 的全 正数，与点P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 体，称为点P0 的 邻域，记为U( P0 ,  ) ，

U ( P0 , ) P | PP0 |  

 ( x , y ) | ( x  x0 )2  ( y  y0 )2   .

在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方 邻域与圆邻域可以互相包含.

。 P

0









P0

平面上的方邻域为

U( P0 , δ )  ( x , y ) x  x0  δ , y  y0  δ

圆邻域

球邻域

点P0的去心邻域。 U ( P0 )  P 0  PP0  δ

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o



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

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2. 区域 (1) 内点、外点、边界点

设有点集 E 及一点 P :  若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点；  若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , 则称 P 为 E 的外点 ;

(2) 聚点

E

若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域 U ( P , δ) 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 .



E

聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .

 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

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1

(3) 开区域及闭区域

 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；  E 的边界点的全体称为 E 的边界 , 记作E ;  若点集 E E , 则称 E 为闭集；  若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ;  连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;  开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。 D 。

例如，在平面上

y

( x, y ) x  y  0 

( x , y ) 1  x 2  y 2  4 

开区域

o

y

x

( x, y )

y

o

x  y  0

y

( x , y ) 1  x 2  y 2  4 

闭区域

o

1 2x

x

o

1 2x

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y

点集 ( x , y ) x  1是开集， 但非区域 .

3 n维空间

1 o 1 x

 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与 某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无界域 .

n 元数组 设n 为 取定 的一个 自然数， 我们称 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数 组 n 维空间中的一个点，数 x i 称为该 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 点的第i 个坐标.

说明：

n  n维空间的记号为R ;

 n维空间中两点间距离公式

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4 设两点为 P ( x1 , x2 ,

, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),

| PQ | ( y1  x1 )  ( y2  x2 )    ( yn  xn ) .

2 2 2

多元函数的概念 引例:

r

h

 圆柱体的体积

特殊地当 n  1, 2, 3 时，便为数轴、平 面、空间两点间的距离．  n维空间中邻域、区域等概念

P | PP0 |  , P  Rn  邻域：U ( P0 , )  

V   r 2 h , ( r , h ) r  0, h  0 

 定量理想气体的压强

p RT ( R 为常数） , V

(V , T )

V  0, T  T0 

内点、边界点、区域等概念也可定义．

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2

二元函数的定义

设D 是平面上的一个非空点集， 如果对于每个 点 P ( x , y )  D ，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函数，记为 z  f ( x , y ) （或记为 z  f ( P ) ）. 点函数

例1 求 f ( x , y ) 

解

arcsin( 3  x 2  y 2 ) 的定义域． x  y2

2 2  3  x  y  1  2  x  y  0

类似地可定义三元及三元以上函数．

当 n  2 时，n 元函数统称为多元函数 .

多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量等概念 .

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2  x 2  y 2  4   2 x  y

所求定义域为 D  {( x , y ) | 2  x 2  y 2  4, x  y 2 }.

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5

二元函数 z  f ( x , y ) 的图形

D ，对于任意取 设函数 z  f ( x , y ) 的定义域为 定的 P ( x , y )  D ，对应的函数值为 z  f ( x , y ) ， z 为竖坐标在 这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、 D 上一切点 空间就确定一点 M ( x , y , z ) ，当 P 取遍 时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z  f ( x , y ), ( x , y )  D} ，这个点集称为 二元函数的图形.

二元函数的图形通常是一张曲面. 此曲面在xoy 面上的投影为 z  f ( x , y ) 的定 义域，定义域为xoy面上的点集。

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（如下页图）

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二、多元函数的极限

例如, z  sin xy 图形如右图.

2 2 2 2 例如,x  y  z  a

定义1. 设 n 元函数 f ( P ), P  D  R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数  , 总存在正数 , 对一 切 P  D  U ( P0 , δ) , 都有 f ( P ) - A  ε, 则称 A 为函数

z



如图球面.

D  {( x , y ) x 2  y 2  a 2 }.

o

x

f ( P )当P  P0 时的极限， 记作 lim f ( P )  A (也称为 n 重极限)

P  P0

y

当 n =2 时 , 记   PP0  ( x  x0 )2  ( y  y0 )2 二元函数的极限可写作：

单值分支:z  a 2  x 2  y 2

z a x  y .

2 2 2

lim f ( x , y )  A  lim f ( x , y )  A

 0

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x  x0 y  y0

上页

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3

说明： （1）定义中P  P0的方式是任意的；

lim f ( x , y ); （2）二元函数的极限也叫二重极限 x x

y y0

0

例2

( x 2  y 2 ) sin 求证 lim x 0

y 0

2 2

1 0 x  y2

2

证 ( x  y ) s

in x 2  y 2  0

2 2

1

（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

1  x  y  sin 2  x2  y 2   x  y2 x2  y2      0,     ,

2 2 当 0  ( x  0)  ( y  0)   时，

适当放大

( x 2  y 2 ) sin

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1 0  x 2  y2

原结论成立．

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例3 求极限 lim x 0

解

lim sin( x 2 y ) x 0 x 2  y 2 y 0

x 0 y 0

sin( x 2 y ) . x 2  y2 y 0

例4. 求 lim

x 0 y 0

1  cos( x 2  y 2 ) ( x 2  y2 ) x2 y2

此函数定义域 不包括 x , y 轴

2 2 2 2 2 2 解: 因 x2 y 2  1 4(x  y ) , 令 r  x  y , 则

 lim

sin( x y) x y  2 , x2 y x  y2

2

2

1  cos( x 2  y 2 ) 4 (1  cos r 2 )  ( x2  y2 ) x2 y2 r6

而 故

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其中 lim

sin( x 2 y ) u  x 2 y sin u lim  1, 2 x 0 x y u 0 u y 0

lim

r 0

4(1  cos r 2 ) 2 r4  lim 6   6 r  0 r r

lim 1  cos( x 2  y 2 ) 2 2 2 2  x 0 ( x  y ) x y y 0

1  cos r 2 ~

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sin( x 2 y ) x2 y 1 0  0.   0,  lim x x 2 2  x 0 x 2  y 2 x y 2 y 0

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r4 2

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例4. 求 lim

1  cos( x 2  y 2 ) 2 2 2 2 x 0 ( x  y ) x y y 0

此函数定义域 不包括 x , y 轴

例5 证明lim x 0

y 0

x3 y 不存在． x6  y 2

解 : 利用等价无穷小替换，有 1 2 ( x  y 2 )2 1  cos( x 2  y 2 ) 2 lim 2  lim 2 x 0 ( x  y 2 ) x 2 y 2 x 0 ( x  y 2 ) x 2 y 2

y 0 y 0

3 证 取 y  kx ,

lim

2 xy x2  y2 1  lim 2 2  lim   lim x 0 2 x y x 0 2 x 2 y 2 x  0 xy

y 0

y 0 y 0

x3 y x 3  kx 3 k  lim 6  , 2 x0 x  y x0 x  k 2 x 6 1  k2 3 y 0

6

y  kx

( 2 xy  x 2  y 2 )

其值随k的不同而变化， 故极限不存在．

故

lim

x 0 y 0

1  cos( x  y )  ( x2  y2 )x 2 y2

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2

2

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4

确定极限不存在的方法：

（1） 令 P ( x , y ) 沿 y  kx 趋向于P0 ( 0,0) ， 若极限值

( 3)选取一种特定的P  P0的方式，若极限不存在 ， 则可断言原极限也不存在。

与k 有关，则可断言极限不存在 ；

（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，

x  x0 y  y0

例6

定

若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于点

( x 0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否断

( x , y ) ( x0 , y0 )

但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点

lim

f ( x, y)  A？

P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在．

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解

不能.

x3 y2

f ( x , y ) 与累次极限 lim lim f ( x , y )  二重极限xlim x x  x y y

y  y0

0 0 0

例 f ( x , y )  ( x 2  y 4 )2 , ( x , y )  ( 0,0 ) 取 y  kx ,

f ( x , kx )  x3  k 2 x2 0 x   0 ( x 2  k 4 x 4 )2 y6 y2

及 lim lim f ( x , y ) 不同. y  y 0 x  x0

例如, f ( x , y )



x 0 y 0

xy , 显然 x2  y2

y0 x 0

f ( x , y ) 不存在. 但是( x , ylim ) ( 0 , 0 )

2 2 原因为若取 x  y , f ( y , y )  ( y 4  y 4 ) 2  4 .

lim lim f ( x , y )  0 , lim lim f ( x , y )  0

1

但知它在(0,0)点二重极限不存在 .

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三、 多元函数的连续性

定义2 . 设 n 元函数 f ( P ) 定义在 D 上 , P0  D , 如果存在

P  P0

lim f ( P )  f ( P0 )

 x3  y3 , ( x , y )  ( 0 ,0 )  2 2 例7 讨论函数 f ( x , y )   x  y  0, ( x , y )  ( 0 ,0 ) 

在(0,0)处的连续性． 解 取 x   cos  ,

则称 n 元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续 , 此时 P0 称为间断点 . 间断线 如果函数在 点集D 上各点处都连续, 则称此函数 在 点集D 上连续.

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y   sin

f ( x , y )  f ( 0 ,0 )

  (sin 3   cos 3  )  2 

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5

例8

    0,    , 当 0  x 2  y 2   2

f ( x , y )  f (0,0)  2   

( x , y ) ( 0 , 0 )

时

lim

f ( x , y )  f ( 0,0),

讨论函数  xy , x 2  y2  0  2 2 f ( x, y)   x  y  0, x 2  y2  0  在(0,0)的连续性． 解 取 y  kx

lim xy k kx 2  lim  2 2 x0 x  y x0 x  k 2 x 2 1 k2 y 0 y  kx

2

故函数在(0,0)处连续. 注：常采用极坐标讨论极限，但要注意  的 任意性！

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其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．

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与一元函数类似： 多元连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍连续； 多元连续函数的复合函数仍连续。 多元初等函数：由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和有限次复合 步骤所得到的多元函数叫多元初等函数

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例如：

sin( x 2  xy )  e tan xy

3

ln( xy  e xy ) x2  y2

都是多元初等函数 结论：一切多元初等函数在其定义区域内是 连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭 区域．

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一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函

P  P0

求函数f(x,y)的二重极限的常用方法有： (1) 利用连续的定义及初等函数的连续性。

如 P0 ( x 0 , y0 )是 f ( x , y )的连续点，则

x  x0 y  y0

数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P )  f ( P0 ).

P  P0

例9

求 lim

x 0 y 0

xy  1  1 . xy

xy  1  1 1  lim xy( xy  1  1) x 0 xy  1  1 y 0

lim f ( x , y )  f ( x 0 , y 0 )

解 原式  lim

(2) 利用二重极限的定义去验证函数的极限； (3) 利用极限的性质（如四则运算，夹逼定 理，重要极限，等价无穷小代换等）；

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x 0 y0

1  . 2

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6

闭区域上连续函数的性质

（1）最大值和最小

值定理

(4)消去极限的分子分母中极限为零的因子； (5)做变量代换转化成一元函数的极限问题， 利用一元函数中的已知极限。

若f ( P )在有界闭区域D上连续，则它在D 上必定取得最大值和最小值，即 P1 ,P2  D, 使对P  D，有 f ( P1 )  f ( P )  f ( P2 ).

（2）有界性定理

若f ( P ) 在有界闭区域D上连续，则 f ( P )在D上有界，即存在M  0, 使对 P  D, 有 | f ( P ) | M .

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（3）介值定理

若f ( P ) 在有界闭区域D上连续，M与m 分别 是f ( P )在D上的最大值和最小值， 则对满足 m  ¦  M的任意实数，必存在P  D , 使 f (P)  ¦ .

内容小结

1. 区域  ? 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ) ? 区域 ? R 空间 2. 多元函数概念 n 元函数 u  f ( P )  f ( x1 , x2 ,, x n )

n

连通的开集

P  D  Rn

常用

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二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数

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3. 多元函数的极限

P  P0

lim f ( P )  A

 ε  0 ,  δ  0 , 当0  PP0  δ时，

有 f (P)  A  ε

练习题 1. 设 f ( x y ,

xy  u

y2 x

)  x 2  y 2 , 求 f ( yx , x y ) .

y  3 uv u x3 uv

2

解 令

4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P ) 在 P0 连续 最值定理 ; 有界定理 ;

P  P0

lim f ( P )  f ( P0 )

y2 v x

f (u , v ) 

2) 有界闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理

2 u2  ( uv ) 3 2 ( uv ) 3

u

2

3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

y2 , v xy x

 y2 

f(

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y 2 y2 , x y)  ( x ) 2 x y

y2  y2 x2

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7

1 . 设 f (x y,

y2 x

)  x 2  y 2 , 求 f ( yx , x y ) .

v2 u

yv

2

2. lim x

x 0 y 0

ln(1  xy ) 是否存在？ x y

xy

解法2 令

f(

v y2 x  uv u x v2 y2 v f ( , uv )  f ( x y , )  u x u

f( y2 y2 , x y)  2  y2 x x

v2 , uv ) u

解： 利用 ln(1  x y ) ~ x y , 取 y  x   x

lim x

 v

2

2

x 0 y 0

x  2  x 3 x2 y ln(1  xy )  lim  lim x0 x 0 x  y x x y x 0

3 3 3

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即

 1,   lim( x 2  x 3 )   0 , x0  ,  所以极限不存在 .

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3. 证明 f ( x , y )  在全平面连续.

xy , ( x , y )  ( 0,0) x2  y2 0, ( x , y )  ( 0, 0)

作业

P52 1 3(1)(3) 4(2)(3), 5 6(1)

证 : 在 ( x , y )  ( 0,0) 处 , f ( x , y ) 为初等函数 , 故连续. 又

0

1 x2  y2 xy   2 2 2 x2  y2 x y

1 2

2

x y

2

2

2

预习：7.2

偏导数

由夹逼准则得

xy  0  f ( 0, 0) lim 2 x 0 x  y2 y 0

故函数在全平面连续 .

x  y  2 xy

复习：一元函数的微分学

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小测验        1. 设m  2a  b , n  ka  b , 其中 | a | 1,      | b | 2, 且a  b , 若m  n, 求k的值.

2 . 已知直线 L过点 P ( 0 ,1,1)且平行于平面 ： 2 x  2 y  z  1, 又知直线 L 垂直于直线 L0 : x1 y  2 z 3   , 求直线 L的标准方程。 1 2 1 x 1 y 1 z   , 3.已知直线方程 L1 : 2 3 1 x 1 L2 :  y  2  1  z , 验证它们相交， 1

小测验解答        1. 设m  2a  b , n  ka  b , 其中 | a | 1,      | b | 2, 且a  b , 若m  n, 求k的值.     解：  a  b ,  a  b  0     又  m  n,  m  n  0,     即 ( 2a  b )  ( ka  b )  0     2k | a |2  ( 2  k )a  b  | b |2  0   2k | a |2  | b |2  0

2k  4  0

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并求它们所确定的平面方程.

上页

 k  2.

上页

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8

2 . 已知直线 L过点 P ( 0 ,1,1)且平行于平面 ： 2 x  2 y  z  1, 又知直线 L 垂直于直线 L0 : x1 y  2 z 3   , 求直线 L的标准方程。 1 2 1  解：平面的法向量为：n  {2,2,1}  直线L0的方向向量为：s0  {1,2,1}

或设

 L的方向向量为s  {m , n, p}

 说明： 通常用n表示平面的法向量，  用s 表示直线的方向向量.

由已知条件，可取   L 的方向向量为：

i j k    s  n  s0  2  2 1  {4,3,2} 1  2 1 x y 1 z 1  L的标准方程为：  4 3 2

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3.已知直线方程 L1 :

x 1 y 1 z   , 2 3 1 x 1 L2 :  y  2  1  z , 验证它们相交， 1

  s1  { 2,3,1}, s2  {1,1,1},

平面的法向量为：

   n  s1  s2  2  i

 j

 k

并求它们所确定的平面方程. 解 或解交点 (-1,-2,1)

M1 (1,1,0 )  L1 , M 2 ( 1,2,0)  L2 ,

3  1  { 2,3,5}

1 1 1

所以平面方程为： 2 x  3 y  5z  1  0. 说明：平面的一般方程为：Ax  By  Cz  D  0 平面的法向量为： n  { A, B , C }

 n  k{ A, B , C }, k  0.

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M1 M 2  {2,3,1}, 2 3 1   ( s1 , s2 , M1 M 2 )   1 1  1  0  L1 , L2共面。 2 3 1  L1 , L2 相交。 又因为L1 , L2不平行，

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

9

第七章 多元函数微分学

一元函数微分学

推广

第一节

多元函数的极限与连续

一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性

多元函数微分学 注意：两者的联系与区别。 善于类比, 区别异同

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一、多元函数的概念

1 邻域 设P0 ( x0 , y0 )是xoy平面上的一个点，  是某一  的点P( x, y) 的全 正数，与点P0 ( x0 , y0 ) 距离小于 体，称为点P0 的 邻域，记为U( P0 ,  ) ，

U ( P0 , ) P | PP0 |  

 ( x , y ) | ( x  x0 )2  ( y  y0 )2   .

在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方 邻域与圆邻域可以互相包含.

。 P

0









P0

平面上的方邻域为

U( P0 , δ )  ( x , y ) x  x0  δ , y  y0  δ

圆邻域

球邻域

点P0的去心邻域。 U ( P0 )  P 0  PP0  δ

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o



下页



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上页

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点

设有点集 E 及一点 P :  若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点；  若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , 则称 P 为 E 的外点 ;

(2) 聚点

E

若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域 U ( P , δ) 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 .



E

聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .

 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

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上页

下页

1

(3) 开区域及闭区域

 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；  E 的边界点的全体称为 E 的边界 , 记作E ;  若点集 E E , 则称 E 为闭集；  若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ;  连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;  开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。 D 。

例如，在平面上

y

( x, y ) x  y  0 

( x , y ) 1  x 2  y 2  4 

开区域

o

y

x

( x, y )

y

o

x  y  0

y

( x , y ) 1  x 2  y 2  4 

闭区域

o

1 2x

x

o

1 2x

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上页

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y

点集 ( x , y ) x  1是开集， 但非区域 .

3 n维空间

1 o 1 x

 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与 某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无界域 .

n 元数组 设n 为 取定 的一个 自然数， 我们称 ( x1 , x 2 , , x n ) 的全体为 n 维空间，而每个 n 元数 组 n 维空间中的一个点，数 x i 称为该 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称为 点的第i 个坐标.

说明：

n  n维空间的记号为R ;

 n维空间中两点间距离公式

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4 设两点为 P ( x1 , x2 ,

, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),

| PQ | ( y1  x1 )  ( y2  x2 )    ( yn  xn ) .

2 2 2

多元函数的概念 引例:

r

h

 圆柱体的体积

特殊地当 n  1, 2, 3 时，便为数轴、平 面、空间两点间的距离．  n维空间中邻域、区域等概念

P | PP0 |  , P  Rn  邻域：U ( P0 , )  

V   r 2 h , ( r , h ) r  0, h  0 

 定量理想气体的压强

p RT ( R 为常数） , V

(V , T )

V  0, T  T0 

内点、边界点、区域等概念也可定义．

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2

二元函数的定义

设D 是平面上的一个非空点集， 如果对于每个 点 P ( x , y )  D ，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函数，记为 z  f ( x , y ) （或记为 z  f ( P ) ）. 点函数

例1 求 f ( x , y ) 

解

arcsin( 3  x 2  y 2 ) 的定义域． x  y2

2 2  3  x  y  1  2  x  y  0

类似地可定义三元及三元以上函数．

当 n  2 时，n 元函数统称为多元函数 .

多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因 变量等概念 .

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2  x 2  y 2  4   2 x  y

所求定义域为 D  {( x , y ) | 2  x 2  y 2  4, x  y 2 }.

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5

二元函数 z  f ( x , y ) 的图形

D ，对于任意取 设函数 z  f ( x , y ) 的定义域为 定的 P ( x , y )  D ，对应的函数值为 z  f ( x , y ) ， z 为竖坐标在 这样，以x 为横坐标、y 为纵坐标、 D 上一切点 空间就确定一点 M ( x , y , z ) ，当 P 取遍 时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z  f ( x , y ), ( x , y )  D} ，这个点集称为 二元函数的图形.

二元函数的图形通常是一张曲面. 此曲面在xoy 面上的投影为 z  f ( x , y ) 的定 义域，定义域为xoy面上的点集。

上页

（如下页图）

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二、多元函数的极限

例如, z  sin xy 图形如右图.

2 2 2 2 例如,x  y  z  a

定义1. 设 n 元函数 f ( P ), P  D  R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数  , 总存在正数 , 对一 切 P  D  U ( P0 , δ) , 都有 f ( P ) - A  ε, 则称 A 为函数

z



如图球面.

D  {( x , y ) x 2  y 2  a 2 }.

o

x

f ( P )当P  P0 时的极限， 记作 lim f ( P )  A (也称为 n 重极限)

P  P0

y

当 n =2 时 , 记   PP0  ( x  x0 )2  ( y  y0 )2 二元函数的极限可写作：

单值分支:z  a 2  x 2  y 2

z a x  y .

2 2 2

lim f ( x , y )  A  lim f ( x , y )  A

 0

上页

下页

x  x0 y  y0

上页

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3

说明： （1）定义中P  P0的方式是任意的；

lim f ( x , y ); （2）二元函数的极限也叫二重极限 x x

y y0

0

例2

( x 2  y 2 ) sin 求证 lim x 0

y 0

2 2

1 0 x  y2

2

证 ( x  y ) s

in x 2  y 2  0

2 2

1

（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．

1  x  y  sin 2  x2  y 2   x  y2 x2  y2      0,     ,

2 2 当 0  ( x  0)  ( y  0)   时，

适当放大

( x 2  y 2 ) sin

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1 0  x 2  y2

原结论成立．

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例3 求极限 lim x 0

解

lim sin( x 2 y ) x 0 x 2  y 2 y 0

x 0 y 0

sin( x 2 y ) . x 2  y2 y 0

例4. 求 lim

x 0 y 0

1  cos( x 2  y 2 ) ( x 2  y2 ) x2 y2

此函数定义域 不包括 x , y 轴

2 2 2 2 2 2 解: 因 x2 y 2  1 4(x  y ) , 令 r  x  y , 则

 lim

sin( x y) x y  2 , x2 y x  y2

2

2

1  cos( x 2  y 2 ) 4 (1  cos r 2 )  ( x2  y2 ) x2 y2 r6

而 故

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其中 lim

sin( x 2 y ) u  x 2 y sin u lim  1, 2 x 0 x y u 0 u y 0

lim

r 0

4(1  cos r 2 ) 2 r4  lim 6   6 r  0 r r

lim 1  cos( x 2  y 2 ) 2 2 2 2  x 0 ( x  y ) x y y 0

1  cos r 2 ~

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sin( x 2 y ) x2 y 1 0  0.   0,  lim x x 2 2  x 0 x 2  y 2 x y 2 y 0

上页

r4 2

下页

例4. 求 lim

1  cos( x 2  y 2 ) 2 2 2 2 x 0 ( x  y ) x y y 0

此函数定义域 不包括 x , y 轴

例5 证明lim x 0

y 0

x3 y 不存在． x6  y 2

解 : 利用等价无穷小替换，有 1 2 ( x  y 2 )2 1  cos( x 2  y 2 ) 2 lim 2  lim 2 x 0 ( x  y 2 ) x 2 y 2 x 0 ( x  y 2 ) x 2 y 2

y 0 y 0

3 证 取 y  kx ,

lim

2 xy x2  y2 1  lim 2 2  lim   lim x 0 2 x y x 0 2 x 2 y 2 x  0 xy

y 0

y 0 y 0

x3 y x 3  kx 3 k  lim 6  , 2 x0 x  y x0 x  k 2 x 6 1  k2 3 y 0

6

y  kx

( 2 xy  x 2  y 2 )

其值随k的不同而变化， 故极限不存在．

故

lim

x 0 y 0

1  cos( x  y )  ( x2  y2 )x 2 y2

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2

2

上页

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4

确定极限不存在的方法：

（1） 令 P ( x , y ) 沿 y  kx 趋向于P0 ( 0,0) ， 若极限值

( 3)选取一种特定的P  P0的方式，若极限不存在 ， 则可断言原极限也不存在。

与k 有关，则可断言极限不存在 ；

（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，

x  x0 y  y0

例6

定

若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于点

( x 0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否断

( x , y ) ( x0 , y0 )

但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点

lim

f ( x, y)  A？

P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在．

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上页

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解

不能.

x3 y2

f ( x , y ) 与累次极限 lim lim f ( x , y )  二重极限xlim x x  x y y

y  y0

0 0 0

例 f ( x , y )  ( x 2  y 4 )2 , ( x , y )  ( 0,0 ) 取 y  kx ,

f ( x , kx )  x3  k 2 x2 0 x   0 ( x 2  k 4 x 4 )2 y6 y2

及 lim lim f ( x , y ) 不同. y  y 0 x  x0

例如, f ( x , y )



x 0 y 0

xy , 显然 x2  y2

y0 x 0

f ( x , y ) 不存在. 但是( x , ylim ) ( 0 , 0 )

2 2 原因为若取 x  y , f ( y , y )  ( y 4  y 4 ) 2  4 .

lim lim f ( x , y )  0 , lim lim f ( x , y )  0

1

但知它在(0,0)点二重极限不存在 .

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三、 多元函数的连续性

定义2 . 设 n 元函数 f ( P ) 定义在 D 上 , P0  D , 如果存在

P  P0

lim f ( P )  f ( P0 )

 x3  y3 , ( x , y )  ( 0 ,0 )  2 2 例7 讨论函数 f ( x , y )   x  y  0, ( x , y )  ( 0 ,0 ) 

在(0,0)处的连续性． 解 取 x   cos  ,

则称 n 元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续 , 此时 P0 称为间断点 . 间断线 如果函数在 点集D 上各点处都连续, 则称此函数 在 点集D 上连续.

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y   sin

f ( x , y )  f ( 0 ,0 )

  (sin 3   cos 3  )  2 

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5

例8

    0,    , 当 0  x 2  y 2   2

f ( x , y )  f (0,0)  2   

( x , y ) ( 0 , 0 )

时

lim

f ( x , y )  f ( 0,0),

讨论函数  xy , x 2  y2  0  2 2 f ( x, y)   x  y  0, x 2  y2  0  在(0,0)的连续性． 解 取 y  kx

lim xy k kx 2  lim  2 2 x0 x  y x0 x  k 2 x 2 1 k2 y 0 y  kx

2

故函数在(0,0)处连续. 注：常采用极坐标讨论极限，但要注意  的 任意性！

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其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续．

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与一元函数类似： 多元连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍连续； 多元连续函数的复合函数仍连续。 多元初等函数：由多元多项式及基本初等 函数经过有限次的四则运算和有限次复合 步骤所得到的多元函数叫多元初等函数

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例如：

sin( x 2  xy )  e tan xy

3

ln( xy  e xy ) x2  y2

都是多元初等函数 结论：一切多元初等函数在其定义区域内是 连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭 区域．

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一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函

P  P0

求函数f(x,y)的二重极限的常用方法有： (1) 利用连续的定义及初等函数的连续性。

如 P0 ( x 0 , y0 )是 f ( x , y )的连续点，则

x  x0 y  y0

数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P )  f ( P0 ).

P  P0

例9

求 lim

x 0 y 0

xy  1  1 . xy

xy  1  1 1  lim xy( xy  1  1) x 0 xy  1  1 y 0

lim f ( x , y )  f ( x 0 , y 0 )

解 原式  lim

(2) 利用二重极限的定义去验证函数的极限； (3) 利用极限的性质（如四则运算，夹逼定 理，重要极限，等价无穷小代换等）；

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x 0 y0

1  . 2

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6

闭区域上连续函数的性质

（1）最大值和最小

值定理

(4)消去极限的分子分母中极限为零的因子； (5)做变量代换转化成一元函数的极限问题， 利用一元函数中的已知极限。

若f ( P )在有界闭区域D上连续，则它在D 上必定取得最大值和最小值，即 P1 ,P2  D, 使对P  D，有 f ( P1 )  f ( P )  f ( P2 ).

（2）有界性定理

若f ( P ) 在有界闭区域D上连续，则 f ( P )在D上有界，即存在M  0, 使对 P  D, 有 | f ( P ) | M .

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（3）介值定理

若f ( P ) 在有界闭区域D上连续，M与m 分别 是f ( P )在D上的最大值和最小值， 则对满足 m  ¦  M的任意实数，必存在P  D , 使 f (P)  ¦ .

内容小结

1. 区域  ? 邻域 : U ( P0 , δ ) , U ( P0 , δ) ? 区域 ? R 空间 2. 多元函数概念 n 元函数 u  f ( P )  f ( x1 , x2 ,, x n )

n

连通的开集

P  D  Rn

常用

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二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数

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3. 多元函数的极限

P  P0

lim f ( P )  A

 ε  0 ,  δ  0 , 当0  PP0  δ时，

有 f (P)  A  ε

练习题 1. 设 f ( x y ,

xy  u

y2 x

)  x 2  y 2 , 求 f ( yx , x y ) .

y  3 uv u x3 uv

2

解 令

4. 多元函数的连续性 1) 函数 f ( P ) 在 P0 连续 最值定理 ; 有界定理 ;

P  P0

lim f ( P )  f ( P0 )

y2 v x

f (u , v ) 

2) 有界闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理

2 u2  ( uv ) 3 2 ( uv ) 3

u

2

3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

y2 , v xy x

 y2 

f(

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y 2 y2 , x y)  ( x ) 2 x y

y2  y2 x2

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7

1 . 设 f (x y,

y2 x

)  x 2  y 2 , 求 f ( yx , x y ) .

v2 u

yv

2

2. lim x

x 0 y 0

ln(1  xy ) 是否存在？ x y

xy

解法2 令

f(

v y2 x  uv u x v2 y2 v f ( , uv )  f ( x y , )  u x u

f( y2 y2 , x y)  2  y2 x x

v2 , uv ) u

解： 利用 ln(1  x y ) ~ x y , 取 y  x   x

lim x

 v

2

2

x 0 y 0

x  2  x 3 x2 y ln(1  xy )  lim  lim x0 x 0 x  y x x y x 0

3 3 3

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即

 1,   lim( x 2  x 3 )   0 , x0  ,  所以极限不存在 .

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3. 证明 f ( x , y )  在全平面连续.

xy , ( x , y )  ( 0,0) x2  y2 0, ( x , y )  ( 0, 0)

作业

P52 1 3(1)(3) 4(2)(3), 5 6(1)

证 : 在 ( x , y )  ( 0,0) 处 , f ( x , y ) 为初等函数 , 故连续. 又

0

1 x2  y2 xy   2 2 2 x2  y2 x y

1 2

2

x y

2

2

2

预习：7.2

偏导数

由夹逼准则得

xy  0  f ( 0, 0) lim 2 x 0 x  y2 y 0

故函数在全平面连续 .

x  y  2 xy

复习：一元函数的微分学

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小测验        1. 设m  2a  b , n  ka  b , 其中 | a | 1,      | b | 2, 且a  b , 若m  n, 求k的值.

2 . 已知直线 L过点 P ( 0 ,1,1)且平行于平面 ： 2 x  2 y  z  1, 又知直线 L 垂直于直线 L0 : x1 y  2 z 3   , 求直线 L的标准方程。 1 2 1 x 1 y 1 z   , 3.已知直线方程 L1 : 2 3 1 x 1 L2 :  y  2  1  z , 验证它们相交， 1

小测验解答        1. 设m  2a  b , n  ka  b , 其中 | a | 1,      | b | 2, 且a  b , 若m  n, 求k的值.     解：  a  b ,  a  b  0     又  m  n,  m  n  0,     即 ( 2a  b )  ( ka  b )  0     2k | a |2  ( 2  k )a  b  | b |2  0   2k | a |2  | b |2  0

2k  4  0

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并求它们所确定的平面方程.

上页

 k  2.

上页

下页

8

2 . 已知直线 L过点 P ( 0 ,1,1)且平行于平面 ： 2 x  2 y  z  1, 又知直线 L 垂直于直线 L0 : x1 y  2 z 3   , 求直线 L的标准方程。 1 2 1  解：平面的法向量为：n  {2,2,1}  直线L0的方向向量为：s0  {1,2,1}

或设

 L的方向向量为s  {m , n, p}

 说明： 通常用n表示平面的法向量，  用s 表示直线的方向向量.

由已知条件，可取   L 的方向向量为：

i j k    s  n  s0  2  2 1  {4,3,2} 1  2 1 x y 1 z 1  L的标准方程为：  4 3 2

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3.已知直线方程 L1 :

x 1 y 1 z   , 2 3 1 x 1 L2 :  y  2  1  z , 验证它们相交， 1

  s1  { 2,3,1}, s2  {1,1,1},

平面的法向量为：

   n  s1  s2  2  i

 j

 k

并求它们所确定的平面方程. 解 或解交点 (-1,-2,1)

M1 (1,1,0 )  L1 , M 2 ( 1,2,0)  L2 ,

3  1  { 2,3,5}

1 1 1

所以平面方程为： 2 x  3 y  5z  1  0. 说明：平面的一般方程为：Ax  By  Cz  D  0 平面的法向量为： n  { A, B , C }

 n  k{ A, B , C }, k  0.

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M1 M 2  {2,3,1}, 2 3 1   ( s1 , s2 , M1 M 2 )   1 1  1  0  L1 , L2共面。 2 3 1  L1 , L2 相交。 又因为L1 , L2不平行，

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

9