小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题
类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5 cm,BC=10 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )
A.C.
[1**********]4
2.如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为( )
A.1 cm B.1.5 cm
C.2 cm D.3 cm
3.(青岛中考)如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,若AB=6,BC=9,则BF的长为( )
A.4 B.2 C.4.5 D.
5
4.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.
6
5.(铜仁中考)如图,在长方形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为( )
1515
A..5 D.42
6.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是( )
A.10-2 B.6 C.13-2 D.
4
7.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是________.
9.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将它的锐角A翻折,使得点A落在BC边的中点D处,折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的值为________.
10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=________.
11.为了向建国六十六周年献礼,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级(1)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是:
①先裁下了一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm的长方形纸片ABCD, ②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处, 请你根据①②步骤解答下列问题:计算EC,FC的长.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题 1.如图,一圆柱体的底面周长为24 cm,高AB为5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )
A.6 cm B.12 cm C.13 cm D.
16 cm
2.如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
________cm.
3.如图,在一个长为2 m,宽为1 m的长方形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为0.2 m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m).
4.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm,底面是边长为4 cm的正方形,从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短?最短长度是多少?
5.如图,一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长.
参考答案
类型1
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm 9.
2
13
10.1.5 3
11.因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以△ADE≌△AFE. 所以DE=FE,AD=AF.因为BC=20 cm,AB=16 cm,
所以CD=16 cm,AD=AF=20 cm.在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF=12 cm.所以CF=20-12=8(cm). 因为四边形ABCD是长方形,所以∠C=90°.设CE=x,则DE=EF=16-x,
22
在Rt△CEF中,由勾股定理,得(16-x)=64+x.解得:x=6.所以EC=6 cm. 答:EC=6 cm,CF=8 cm. 类型2
1.C 2.15 3.2.60 4.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上,如图.构成矩形ABC′D′,则A到C′的最短距离为AC′
22
的长度,连接AC′交DC于O,易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.即O为DC的中点,由勾股定理,得AC′=AD′+D′222
C′=8+6=100,∴AC′=10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O,再沿直线到顶点C′,贴的彩带最短,最短长度为10 cm.
5.(1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1,爬过的路径的长l1=4+(4+5)=97.蚂蚁沿着
22
木柜表面经线段BB1到C1,爬过的路径的长l2=(4+4)+589.∵l1>l2,∴最短路径的长是89.
2
2
小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题
类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=5 cm,BC=10 cm,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( )
A.C.
[1**********]4
2.如图所示,有一块直角三角形纸片,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,将斜边AB翻折,使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为AD,则CE的长为( )
A.1 cm B.1.5 cm
C.2 cm D.3 cm
3.(青岛中考)如图,将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上,若AB=6,BC=9,则BF的长为( )
A.4 B.2 C.4.5 D.
5
4.如图,长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.
6
5.(铜仁中考)如图,在长方形ABCD中,BC=6,CD=3,将△BCD沿对角线BD翻折,点C落在点C′处,BC′交AD于点E,则线段DE的长为( )
1515
A..5 D.42
6.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是( )
A.10-2 B.6 C.13-2 D.
4
7.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是________.
9.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将它的锐角A翻折,使得点A落在BC边的中点D处,折痕交AC边于点E,交AB边于点F,则DE的值为________.
10.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′=________.
11.为了向建国六十六周年献礼,某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动,八年级(1)班开展了手工制作竞赛,每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是:
①先裁下了一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm的长方形纸片ABCD, ②将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的F处, 请你根据①②步骤解答下列问题:计算EC,FC的长.
类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题 1.如图,一圆柱体的底面周长为24 cm,高AB为5 cm,BC是直径,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )
A.6 cm B.12 cm C.13 cm D.
16 cm
2.如图,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
________cm.
3.如图,在一个长为2 m,宽为1 m的长方形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD,木块从正面看是边长为0.2 m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m).
4.一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒.长方体高6 cm,底面是边长为4 cm的正方形,从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短?最短长度是多少?
5.如图,一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,BC=4,CC1=5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长.
参考答案
类型1
1.D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm 9.
2
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10.1.5 3
11.因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以△ADE≌△AFE. 所以DE=FE,AD=AF.因为BC=20 cm,AB=16 cm,
所以CD=16 cm,AD=AF=20 cm.在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF=12 cm.所以CF=20-12=8(cm). 因为四边形ABCD是长方形,所以∠C=90°.设CE=x,则DE=EF=16-x,
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在Rt△CEF中,由勾股定理,得(16-x)=64+x.解得:x=6.所以EC=6 cm. 答:EC=6 cm,CF=8 cm. 类型2
1.C 2.15 3.2.60 4.把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上,如图.构成矩形ABC′D′,则A到C′的最短距离为AC′
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的长度,连接AC′交DC于O,易证△AOD≌△C′OC.∴OD=OC.即O为DC的中点,由勾股定理,得AC′=AD′+D′222
C′=8+6=100,∴AC′=10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O,再沿直线到顶点C′,贴的彩带最短,最短长度为10 cm.
5.(1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1,爬过的路径的长l1=4+(4+5)=97.蚂蚁沿着
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木柜表面经线段BB1到C1,爬过的路径的长l2=(4+4)+589.∵l1>l2,∴最短路径的长是89.
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