河曲中学预习案(2015版) 高二数学一轮复习(文科) sx/fx/02/01
2.1函数及其表示法
一、【学习目标】
⒈了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
3. 了解简单的分段函数 ，并能简单的应用。
二、【自主学习】
基础回扣 2. 函数的定义域、值域、相等函数
(1)定义域:
在函数y=f(x),x∈A 中,________的取值范围
(数集A) 叫做函数的定义域. (2)值域: 函数值的集合____________叫做函数的值域. (3)相等函数: 如果两个函数的_______相同, 并且_________完全一致, 则这两个函数为相等函数. 3. 函数的表示方法 表示函数的常用方法:_______、_______和_______. 4. 分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上, 因_________不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,其值域等于各段函数的值域的_____,分段函数虽由几个部分组成, 但它表示的是一个函数. 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)对于函数f:A→B, 其值域是集合B.( ) (2)函数y=1与y=x不是同一个函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同, 则这两个函数是相等函数.( ) (4)映射是特殊的函数.( )
考点自测
1. 若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x ≤2},值域为N={y|0≤ y≤2},则函数y=f(x)的
图象可能是( ) 0
2. 给出四个命题:
①函数是其定义域到值域的映射;
②f(x)=x -3+2-x 是一个函数;
③函数y=2x(x∈N) 的图象是一条直线;
④f(x)= x 与g(x)=x是同一函数.
x 2其中正确的有( )
(A)1个 (B)2个
2(C)3个 (D)4个 3. 函数y=x-2x 的定义域为{0,1,2,3},则其值域为＿＿＿＿.
4. 函数y=x +1的定义域为＿＿＿＿.
x
5. 设函数
则f(f(-4))=＿＿＿＿. ⎨1x x ≥0,
⎪() , x
三、【合作探究】
考向 1 求函数的定义域
【典例1】(1)(2013·大连模拟) 函数f(x)=lg(x +2) +2-x 2的定义域为________. x -x (2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为________. 【互动探究】若本例题(2)中条件不变, 求f(log2x) 的定义域. 【拓展提升】 简单函数定义域的三种类型及求法 (1)已知函数的解析式, 则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等式(组) 求解. (3)抽象函数定义域的求法 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a ≤g(x)≤b 求出; ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a,b]时的值域.
变式：已知函数f(x)的定义域为［1,2］，则函数g(x)=f (2x ) 的定义域是________.
(x -1) 0
考向 2 求函数的解析式
【典例2】(1)已知f(1-cosx)=sin2x,则f(x)=________.
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.
(3)已知f(x)+2f(1)=x(x≠0), 则f(x)=________.
x
【拓展提升】求函数解析式的三种类型及方法
(1)关于复合函数f(g(x))的解析式.
①配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x 替
代g(x),便得f(x)的解析式；
②换元法：令g(x)=t,用t 表示x ，代入f(g(x))求解.
(2)已知函数类型求解析式.
一般用待定系数法求解，根据函数类型设出函数解析式，然后根据条件求出待定系数.
(3)已知关于f(x)与f( 1 )或f(-x)的解析式求f(x). x
x 通常用解方程组法，用 1 或(-x)替代x ，构造方程，与原方程构成方程组，解方程组可
求f(x).
【变式训练】求下列函数的解析式：
①已知f( 2 +1)=lgx,求f(x); ②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).
x
(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.
考向 3 分段函数及其应用
【典例3】(1)(2013·开封模拟) 根据统计, 一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:
分钟) 为f(x)=⎧C , x
品用时15分钟, 那么C 和A 的值分别是( )
(A)75,25 (B)75,16
(C)60,25 (D)60,16
(2)(2013·唐山模拟) 已知函数f(x)=⎧-x -1, -1≤x
(A)(-∞,-1) ∪(1,+∞) (B)［-1,-
(C)(-∞,0) ∪(1,+∞) (D)［-1,-1) ∪(0,1］ 21］∪(0,1) 2
【互动探究】本例题(2)中条件不变, 若f(a)+f(1)=0,试求a 的值.
变式训练：
已知函数f(x)=⎧3x +2, x
) ⎨2⎩x +ax , x ≥1
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
2
(2)设函数f(x)=⎧x 2+bx +c , x ≤0，若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x 的方程f(x)=x的解⎨⎩2, x >0
的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【拓展提升】 分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间, 其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的
自变量的取值范围.
【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时, 应分类讨论.
四、【课堂基础达标训练】
1.(2012·福建高考) 设f(x)=⎪⎧1, x >0,g(x)=⎧1, x 为有理数, 则f(g(π)) 的值为( ) ⎨⎨0, x =0⎩0，x 为无理数⎪-1, x
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π
2.(2012·山东高考) 函数f(x)=1+4-x 2的定义域为( )
ln(x +1)
(A)［-2,0) ∪(0,2］ (B)(-1,0)∪(0,2］
(C)［-2,2］ (D)(-1,2］
3.(2012·安徽高考) 下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )
(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x|
(C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x
4.(2013·青岛模拟) 已知f(x)=⎧cos πx , x ≤0则f( 4 )的值为________. ⎨3⎩f (x -1) +1, x >0
5. 已知函数f(x)=⎧2, x ∈[-1, 1]若f(f(x))=2,则x 的取值范围是( ) ⎨⎩x , x ∉[-1, 1]
(A)∅ (B)[-1,1]
(C)(-∞,-1) ∪(1,+∞) (D){2}∪[-1,1]
6. 若一系列函数的解析式相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”.
例如, 解析式为y=2x+1,值域为{9}的“孪生函数”有个:(1)y=2x+1,x{-2}.(2)y=2x+1,x
∈{2}.(3)y=2x+1,x∈{-2,2}.那么函数解析式为y=2x+1,值域为{1,5}的“孪生函
数”共有( )
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个
六、【问题反馈】 22222
河曲中学预习案(2015版) 高二数学一轮复习(文科) sx/fx/02/01
2.1函数及其表示法
一、【学习目标】
⒈了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域。
2. 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。
3. 了解简单的分段函数 ，并能简单的应用。
二、【自主学习】
基础回扣 2. 函数的定义域、值域、相等函数
(1)定义域:
在函数y=f(x),x∈A 中,________的取值范围
(数集A) 叫做函数的定义域. (2)值域: 函数值的集合____________叫做函数的值域. (3)相等函数: 如果两个函数的_______相同, 并且_________完全一致, 则这两个函数为相等函数. 3. 函数的表示方法 表示函数的常用方法:_______、_______和_______. 4. 分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上, 因_________不同而分别用几个不同的式子来表示, 这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,其值域等于各段函数的值域的_____,分段函数虽由几个部分组成, 但它表示的是一个函数. 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)对于函数f:A→B, 其值域是集合B.( ) (2)函数y=1与y=x不是同一个函数.( ) (3)若两个函数的定义域与值域相同, 则这两个函数是相等函数.( ) (4)映射是特殊的函数.( )
考点自测
1. 若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x ≤2},值域为N={y|0≤ y≤2},则函数y=f(x)的
图象可能是( ) 0
2. 给出四个命题:
①函数是其定义域到值域的映射;
②f(x)=x -3+2-x 是一个函数;
③函数y=2x(x∈N) 的图象是一条直线;
④f(x)= x 与g(x)=x是同一函数.
x 2其中正确的有( )
(A)1个 (B)2个
2(C)3个 (D)4个 3. 函数y=x-2x 的定义域为{0,1,2,3},则其值域为＿＿＿＿.
4. 函数y=x +1的定义域为＿＿＿＿.
x
5. 设函数
则f(f(-4))=＿＿＿＿. ⎨1x x ≥0,
⎪() , x
三、【合作探究】
考向 1 求函数的定义域
【典例1】(1)(2013·大连模拟) 函数f(x)=lg(x +2) +2-x 2的定义域为________. x -x (2)已知函数f(2x)的定义域是［-1,1］，则f(x)的定义域为________. 【互动探究】若本例题(2)中条件不变, 求f(log2x) 的定义域. 【拓展提升】 简单函数定义域的三种类型及求法 (1)已知函数的解析式, 则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义的条件构造不等式(组) 求解. (3)抽象函数定义域的求法 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a ≤g(x)≤b 求出; ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a,b]时的值域.
变式：已知函数f(x)的定义域为［1,2］，则函数g(x)=f (2x ) 的定义域是________.
(x -1) 0
考向 2 求函数的解析式
【典例2】(1)已知f(1-cosx)=sin2x,则f(x)=________.
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.
(3)已知f(x)+2f(1)=x(x≠0), 则f(x)=________.
x
【拓展提升】求函数解析式的三种类型及方法
(1)关于复合函数f(g(x))的解析式.
①配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x 替
代g(x),便得f(x)的解析式；
②换元法：令g(x)=t,用t 表示x ，代入f(g(x))求解.
(2)已知函数类型求解析式.
一般用待定系数法求解，根据函数类型设出函数解析式，然后根据条件求出待定系数.
(3)已知关于f(x)与f( 1 )或f(-x)的解析式求f(x). x
x 通常用解方程组法，用 1 或(-x)替代x ，构造方程，与原方程构成方程组，解方程组可
求f(x).
【变式训练】求下列函数的解析式：
①已知f( 2 +1)=lgx,求f(x); ②2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).
x
(2)已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.
考向 3 分段函数及其应用
【典例3】(1)(2013·开封模拟) 根据统计, 一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:
分钟) 为f(x)=⎧C , x
品用时15分钟, 那么C 和A 的值分别是( )
(A)75,25 (B)75,16
(C)60,25 (D)60,16
(2)(2013·唐山模拟) 已知函数f(x)=⎧-x -1, -1≤x
(A)(-∞,-1) ∪(1,+∞) (B)［-1,-
(C)(-∞,0) ∪(1,+∞) (D)［-1,-1) ∪(0,1］ 21］∪(0,1) 2
【互动探究】本例题(2)中条件不变, 若f(a)+f(1)=0,试求a 的值.
变式训练：
已知函数f(x)=⎧3x +2, x
) ⎨2⎩x +ax , x ≥1
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
2
(2)设函数f(x)=⎧x 2+bx +c , x ≤0，若f(-2)=f(0),f(-1)=-3，则关于x 的方程f(x)=x的解⎨⎩2, x >0
的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【拓展提升】 分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间, 其次选定相应的解析式代入求解.
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的
自变量的取值范围.
【提醒】当分段函数的自变量范围不确定时, 应分类讨论.
四、【课堂基础达标训练】
1.(2012·福建高考) 设f(x)=⎪⎧1, x >0,g(x)=⎧1, x 为有理数, 则f(g(π)) 的值为( ) ⎨⎨0, x =0⎩0，x 为无理数⎪-1, x
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)π
2.(2012·山东高考) 函数f(x)=1+4-x 2的定义域为( )
ln(x +1)
(A)［-2,0) ∪(0,2］ (B)(-1,0)∪(0,2］
(C)［-2,2］ (D)(-1,2］
3.(2012·安徽高考) 下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )
(A)f(x)=|x| (B)f(x)=x-|x|
(C)f(x)=x+1 (D)f(x)=-x
4.(2013·青岛模拟) 已知f(x)=⎧cos πx , x ≤0则f( 4 )的值为________. ⎨3⎩f (x -1) +1, x >0
5. 已知函数f(x)=⎧2, x ∈[-1, 1]若f(f(x))=2,则x 的取值范围是( ) ⎨⎩x , x ∉[-1, 1]
(A)∅ (B)[-1,1]
(C)(-∞,-1) ∪(1,+∞) (D){2}∪[-1,1]
6. 若一系列函数的解析式相同, 值域相同, 但定义域不同, 则称这些函数为“孪生函数”.
例如, 解析式为y=2x+1,值域为{9}的“孪生函数”有个:(1)y=2x+1,x{-2}.(2)y=2x+1,x
∈{2}.(3)y=2x+1,x∈{-2,2}.那么函数解析式为y=2x+1,值域为{1,5}的“孪生函
数”共有( )
(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个
六、【问题反馈】 22222