相遇及追及问题

△s=s0+s车－s人=25+18－36=7m

练习：A、B两质点从同一位置沿同一方向同时开始运动，其v—t图线如图所示，则A、B相距最远的距离是______m，______s末B追上A，B追上A时的速度大小是_____m/s。

解：9m；6s；12m/s

例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？ 分析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。

解答：设经时间t追上。依题意： v甲t-at2/2+L=v乙t 15t-t 2/2+32=9t

t=16s t=-4s(舍去) 甲车刹车的时间 t′=v0/a=15s

显然，甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移

s甲=v02/2a=152/2=112.5m 乙车的总位移

s乙=s甲+32=144.5m

t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s

二．避碰问题

两物体恰能“避碰”的条件是：两物体在同一位置时，两物体的相对速度为0。

例、(《金版教程》P65 例3)为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？取重力加速度g=10m／s2．(99〃全国)

解析：相遇时，若后车与前车速度相等，则不会出相危险。 后车匀速运动的位移 s1=v0t=50/3 m 后车的加速度 a=f/m=μg=4m/s2 后车匀减速的位移 s2=v02/2a=138.9m 汽车间距 s=s1+s2=155.6m

三．求解追击问题的常用方法

(《金版教程》P62)

1、通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：

⑴、匀减速物体追赶同向匀速物体时，能追上或恰好追不上的临界条件：

即将靠近时，追赶者速度等于被追赶者速度（即当追赶者速度大于被追赶者速度时，能追上；当追赶者速度小于被追赶者速度时，追不上）

⑵、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。

2．利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。 3．在追击问题中还常常用到求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。

例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

解法一：

两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。

当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v

对甲车： v=v1+a1t1 对乙车： v=v2+a2t1

两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s

此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则： v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2

得 t=8s 或t=0(出发时刻，舍去。) 解法二：

甲车位移 s1= v1t+a1t2/2 乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2 某一时刻两车相距为△s

△s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2

当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远 △s=12×4-3×42/2=24m 当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0

∴ t=8s 或t=0(舍去) 例2、《金版教程》P62 例8

例3、(《金版教程》P52 例6)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解法一、利用二次函数极值法求解 设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔS，由如图1可得

ΔS = S自 - S汽 =

v自t - at2 =6t -t2

2

132

二次函数求极值的条件可知： 当t= -b2a

=

63

（s）= 2（s

）时两

32

车之间的距离有极大值，且ΔSma x =6×2 -×22 =6（m）

解法二、利用分析法求解

自行车在追击汽车的前一阶段过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

由上述分析可知当两车之间的距离最大时有 v汽 =at = v自 ∴ t =

v自a

=

63

（s）=2（s）

12

∵ΔSma x = S自 - S汽

∴ΔSma x = v自t -

at2 =6×2 -×22 =6（m）

2

3

解法三、利用图象求解

在同一V---t图中画出自行车和汽车的速度图线，如图2所示，其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移S自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大，

即： ΔSma x =6t0 -

12

t0×6 （1）

因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小

∴tgθ=

6t0

=a

6

∴ t0 ==（s）=2（s） （2）

a

3

6

由上面（1）、（2）两式可得ΔSma x =6 （m） 解法四、利用相对运动求解

选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v相初 = 6m/s，a相 = -3 m/s2， v相末 = 0 。

由公式 2a相S相 = v相末2- v相初2 得 S相 =

v相末

2

v相初

2

2a相

=

06

2

2(3)

=6（m）

练习：1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1=20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2=30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？

解一、两车速度相等时，相距最远。 a1t=a2(t-3) 得 t=9s

∴ △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m

解二、 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27) 二次项系数为负，有极大值。 △s=-5(t-9)2+270 当t=9s时，△s有极大值 △s=270m 解三、用图象法求。 作出v—t图如图。由图可知，在t=9s

△s即为图中斜三角形的面积。

△s=3×180/2=270m

2、A

、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A

车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

解一：作物理情景示意图如图所示。

对A： s1=v1t-at2/2 ① v2=v1-at ② 对B： s2=v2t ③ 且 s1-s2=100m

由①、③得 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2 ④ 由②、④得 t=20s a=0.5m/s2

解二、利用平均速度公式。

s1=(v1+v2)t/2=15t s2=v2t=10t

s1-s2=15t-10t=100

∴ t=20s

由v2=v1-at得 a=0.5m/s2

解三、作出v—t图，如图。

图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，A比B多之的位移，即s1-s2=100m。

100=10×t/2 ∴ t=20s |a|=tgθ=1/2=0.5m/s2

解四、以B车为参照物，用相对运动求解。 A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。

vt2=v02-2as

0=102-2a100 a=0.5m/s2 v2=v1-at

得 t=20s

教学后记：

△s=s0+s车－s人=25+18－36=7m

练习：A、B两质点从同一位置沿同一方向同时开始运动，其v—t图线如图所示，则A、B相距最远的距离是______m，______s末B追上A，B追上A时的速度大小是_____m/s。

解：9m；6s；12m/s

例2、甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车开始刹车，加速度大小为1m/s2。问经多少时间乙车可追上甲车？ 分析：乙此追上甲车可能有两种不同情况：甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。

解答：设经时间t追上。依题意： v甲t-at2/2+L=v乙t 15t-t 2/2+32=9t

t=16s t=-4s(舍去) 甲车刹车的时间 t′=v0/a=15s

显然，甲车停止后乙再追上甲。 甲车刹车的位移

s甲=v02/2a=152/2=112.5m 乙车的总位移

s乙=s甲+32=144.5m

t=s乙/v乙=144.5/9=16.06s

二．避碰问题

两物体恰能“避碰”的条件是：两物体在同一位置时，两物体的相对速度为0。

例、(《金版教程》P65 例3)为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离．已知某高速公路的最高限速v＝120km／h．假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t＝0.50s．刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重力的0.40倍．该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少？取重力加速度g=10m／s2．(99〃全国)

解析：相遇时，若后车与前车速度相等，则不会出相危险。 后车匀速运动的位移 s1=v0t=50/3 m 后车的加速度 a=f/m=μg=4m/s2 后车匀减速的位移 s2=v02/2a=138.9m 汽车间距 s=s1+s2=155.6m

三．求解追击问题的常用方法

(《金版教程》P62)

1、通过运动过程的分析，找到隐含条件，从而顺利列方程求解，例如：

⑴、匀减速物体追赶同向匀速物体时，能追上或恰好追不上的临界条件：

即将靠近时，追赶者速度等于被追赶者速度（即当追赶者速度大于被追赶者速度时，能追上；当追赶者速度小于被追赶者速度时，追不上）

⑵、初速为零的匀加速物体追赶同向匀速物体时，追上前两者具有最大距离的条件：追赶者的速度等于被追赶者的速度。

2．利用二次函数求极值的数学方法，根据物理现象，列方程求解。 3．在追击问题中还常常用到求“面积”的方法，它可以达到化繁为简，化难为易，直观形象的效果。

例1、甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间。

解法一：

两车同时同向出发，开始一段由于甲车速度大于乙车速度，将使两车距离拉开，由于甲车作匀减速运动，乙车作加速运动，总有某一时刻两车速度相同，此时两车相距最远，随着甲车进一步减速，乙车进一步加速，动车速度大于甲车速度，使两车距离变小，当乙车追上甲车时．两车运动位移相同。

当两车速度相同时，两车相距最远，此时两车运动时间为t1，两车速度为v

对甲车： v=v1+a1t1 对乙车： v=v2+a2t1

两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2)=4s

此时两车相距 △s=s1-s2=(v1t1+a1t12/2)- (v2t1+a2t12/2)=24m 当乙车追上甲车时，两车位移均为s，运动时间为t．则： v1t+a1t2/2=v2t2+a2t2/2

得 t=8s 或t=0(出发时刻，舍去。) 解法二：

甲车位移 s1= v1t+a1t2/2 乙车位移 s2= v2t2+a2t2/2 某一时刻两车相距为△s

△s=s1-s2= (v1t+a1t2/2)-(v2t2+a2t2/2) =12t-3t2/2

当t=-b/2a时，即t=4s时，两车相距最远 △s=12×4-3×42/2=24m 当两车相遇时，△s=0，即12t-3t2/2=0

∴ t=8s 或t=0(舍去) 例2、《金版教程》P62 例8

例3、(《金版教程》P52 例6)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解法一、利用二次函数极值法求解 设经过时间t汽车和自行车之间的距离ΔS，由如图1可得

ΔS = S自 - S汽 =

v自t - at2 =6t -t2

2

132

二次函数求极值的条件可知： 当t= -b2a

=

63

（s）= 2（s

）时两

32

车之间的距离有极大值，且ΔSma x =6×2 -×22 =6（m）

解法二、利用分析法求解

自行车在追击汽车的前一阶段过程中，由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

由上述分析可知当两车之间的距离最大时有 v汽 =at = v自 ∴ t =

v自a

=

63

（s）=2（s）

12

∵ΔSma x = S自 - S汽

∴ΔSma x = v自t -

at2 =6×2 -×22 =6（m）

2

3

解法三、利用图象求解

在同一V---t图中画出自行车和汽车的速度图线，如图2所示，其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移S自等于图线Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S汽 则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大，

即： ΔSma x =6t0 -

12

t0×6 （1）

因为汽车的速度图线的斜率等于汽车的加速度大小

∴tgθ=

6t0

=a

6

∴ t0 ==（s）=2（s） （2）

a

3

6

由上面（1）、（2）两式可得ΔSma x =6 （m） 解法四、利用相对运动求解

选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v相初 = 6m/s，a相 = -3 m/s2， v相末 = 0 。

由公式 2a相S相 = v相末2- v相初2 得 S相 =

v相末

2

v相初

2

2a相

=

06

2

2(3)

=6（m）

练习：1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启动，加速度a1=20m/s2，B车晚3s启动，加速度a2=30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距离是多少？

解一、两车速度相等时，相距最远。 a1t=a2(t-3) 得 t=9s

∴ △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=270m

解二、 △s=a1t2/2-a2(t-3)2/2=-5t2+90t-135=-5(t2-18t+27) 二次项系数为负，有极大值。 △s=-5(t-9)2+270 当t=9s时，△s有极大值 △s=270m 解三、用图象法求。 作出v—t图如图。由图可知，在t=9s

△s即为图中斜三角形的面积。

△s=3×180/2=270m

2、A

、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A

车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车相遇时不相撞。

解一：作物理情景示意图如图所示。

对A： s1=v1t-at2/2 ① v2=v1-at ② 对B： s2=v2t ③ 且 s1-s2=100m

由①、③得 100=20t-at2/2-10t=10t-at2/2 ④ 由②、④得 t=20s a=0.5m/s2

解二、利用平均速度公式。

s1=(v1+v2)t/2=15t s2=v2t=10t

s1-s2=15t-10t=100

∴ t=20s

由v2=v1-at得 a=0.5m/s2

解三、作出v—t图，如图。

图中三角形面积表示A车车速由20m/s到10m/s时，A比B多之的位移，即s1-s2=100m。

100=10×t/2 ∴ t=20s |a|=tgθ=1/2=0.5m/s2

解四、以B车为参照物，用相对运动求解。 A相对于B车的初速度为10m/s，A以a减速，行驶100m后“停下”，跟B相遇而不相撞。

vt2=v02-2as

0=102-2a100 a=0.5m/s2 v2=v1-at

得 t=20s

教学后记：