一类绝对值函数最值问题的解法及其应用
图解2013年湖南省高考数学应用题
湖南省南县第一中学 陈敬波 （413200）
在高中数学教材必修一与选修4-5中提到过绝对值函数，求含绝对值函数的最大值与最小值问题，是中学生学习中的难点问题，解决问题的常用方法是分类讨论去绝对值，化为分段函数，利用函数的图象求解，或利用绝对值的几何意义求其最值.
在学习与教学过程中, 我们应该充分利用函数的图象求解. 本文侧重用函数的图象解答.
例1. 求函数f 的最小值.
思路一.(分类讨论法, 目的是去掉绝对值, 化为分段函数)
f(x)=.
作出函数的图象，由图1得:,y min =3.
思路二. 利用绝对值的几何意义
f(x)可表示为数轴上的动点M （X ）到数轴上两定
点A （-1）、B （2
）的距离的和，由几何意义有，
,f(x)min =3,
例2. 求函数f(x)=|x+3|-|x-1|的最大值与最小值
思路一. 分类讨论法 f(x)=
作出函数的图象. 由图得：1,f(x)max =4;x,f(x)max =4. .
注：通过两个绝对值函数的作图，我们发现函数图象在零点（使绝对值为零的x 值）处图象的出现转折，函数图象是中间部分是线段，两端为射线的图形. 下面例3进一步验证上面的结论.
例3. 作出下列函数图象，并指出它的最大值与最小值．
（１）y=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
（２）y=|1-x|+|x|+|x-20|.
分析：分类讨论，去掉绝对值，作出函数的图象. (1)
由图3知：x=3时，y min =24.
(2).
由图4得：x=1,y=20.
例4．（2013年湖南省高考数学理20题）在平面直角坐标系xOy
中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N
的一条“L 路径”. 如图5所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N
都是M 到N 的“L 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面
xOy 内三点A (3,20),B ( 10,0), C (14,0)处. 现计划在x 轴上方区域
（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.
（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
解: 设点P 的坐标为
(1) 点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,
(2) 由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和
的最小值为点P 分别到三个居
民区的“L 路径”长度最小值和(记为d) 的最小值.
① 当时, 如图6.
d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
令d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
由图3知x=3,d1(x)min =24.
令d 2(y)=2|y|+|y-20|,
d 2(y)
② 当得， 时, 由于“L 路径”不能进入保护区，
如图7. 所以
d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此时d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|，
d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|
故d= d1(x)+ d2(y)
.
综上所述，在点P （3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
湖南高考特别注重对数学应用意识的考查，每年高考都要有一道依据现实生活背景，提
炼相关数量关系，构造数学模型，解决数学问题的应用题，这是湖南高考的显著特征，也是湖南考生的难题. 本题建模后, 结合绝对值函数的图象求解显得简单而可行.
一类绝对值函数最值问题的解法及其应用
图解2013年湖南省高考数学应用题
湖南省南县第一中学 陈敬波 （413200）
在高中数学教材必修一与选修4-5中提到过绝对值函数，求含绝对值函数的最大值与最小值问题，是中学生学习中的难点问题，解决问题的常用方法是分类讨论去绝对值，化为分段函数，利用函数的图象求解，或利用绝对值的几何意义求其最值.
在学习与教学过程中, 我们应该充分利用函数的图象求解. 本文侧重用函数的图象解答.
例1. 求函数f 的最小值.
思路一.(分类讨论法, 目的是去掉绝对值, 化为分段函数)
f(x)=.
作出函数的图象，由图1得:,y min =3.
思路二. 利用绝对值的几何意义
f(x)可表示为数轴上的动点M （X ）到数轴上两定
点A （-1）、B （2
）的距离的和，由几何意义有，
,f(x)min =3,
例2. 求函数f(x)=|x+3|-|x-1|的最大值与最小值
思路一. 分类讨论法 f(x)=
作出函数的图象. 由图得：1,f(x)max =4;x,f(x)max =4. .
注：通过两个绝对值函数的作图，我们发现函数图象在零点（使绝对值为零的x 值）处图象的出现转折，函数图象是中间部分是线段，两端为射线的图形. 下面例3进一步验证上面的结论.
例3. 作出下列函数图象，并指出它的最大值与最小值．
（１）y=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
（２）y=|1-x|+|x|+|x-20|.
分析：分类讨论，去掉绝对值，作出函数的图象. (1)
由图3知：x=3时，y min =24.
(2).
由图4得：x=1,y=20.
例4．（2013年湖南省高考数学理20题）在平面直角坐标系xOy
中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N
的一条“L 路径”. 如图5所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N
都是M 到N 的“L 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面
xOy 内三点A (3,20),B ( 10,0), C (14,0)处. 现计划在x 轴上方区域
（包含x 轴）内的某一点P 处修建一个文化中心.
（I ）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II ）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
解: 设点P 的坐标为
(1) 点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,
(2) 由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和
的最小值为点P 分别到三个居
民区的“L 路径”长度最小值和(记为d) 的最小值.
① 当时, 如图6.
d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
令d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
由图3知x=3,d1(x)min =24.
令d 2(y)=2|y|+|y-20|,
d 2(y)
② 当得， 时, 由于“L 路径”不能进入保护区，
如图7. 所以
d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此时d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|，
d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|
故d= d1(x)+ d2(y)
.
综上所述，在点P （3，1）处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.
湖南高考特别注重对数学应用意识的考查，每年高考都要有一道依据现实生活背景，提
炼相关数量关系，构造数学模型，解决数学问题的应用题，这是湖南高考的显著特征，也是湖南考生的难题. 本题建模后, 结合绝对值函数的图象求解显得简单而可行.