一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周）
二、本章概念
1. 算术平方根
2. 被开方数
3. 平方根（二次方根）
4. 开平方
5. 立方根（三次方根）
6. 开立方
7. 根指数
8. 无理数
9. 实数
10. 实数与数轴上的点一一对应.
三、分类的数学思想
1.
2.
四、估算
下列各数分别界于哪两个整数之间
1
【知识要点】
1. 算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a a ”.
2. 如果x 2=a，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ”
（a 称为被开方数）.
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.
联系：
（1）被开方数必须都为非负数；
（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.
（3）0的算术平方根与平方根同为0.
5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“”（a 称为被开方数）.
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.
8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如25=5, 2500=50.
10. 平方表：（自行完成）
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1.
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.
30a ≥0.
4、公式：⑴2=a（a ≥0）a 取任何数）.
5、区分
2=a（a ≥0），与 a 2=a
6. 非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）.
【典型例题】
1. 下列语句中，正确的是（ D ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A ．－2是2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ．16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3
3. 已知实数x ，y 满足
(y＋1) 2=0，则x －y 等于
解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，解得x=2，y=－1，
所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．
4. 求下列各式的值
（1）±；（2）-；（3）9
25；（4）(-4) 2
解答：（1）因为92=81，所以±81=±9.
（2）因为42=16，所以－=-4.
（3）因为⎛ 3⎫2
⎝5⎪⎭=925，所以925=3
5.
（4）因为42=(-4) 2，所以(-4) 2=4.
5. 已知实数x ，y 满足
(y＋1) 2=0，则x －y 等于
解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，
解得x=2，y=－1，所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．
6. 计算
（1）64的立方根是 4
3（2）下列说法中：①±3都是27的立方根，②y =y ，③64的立方根是2，
④±82=±4. 其中正确的有 （ B ）
A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7. 易混淆的三个数（自行分析它们）
（1）a 2（2）(a ) 2（3）a 3
综合演练
一、填空题
1、（－0.7）2的平方根是 2、若a 2=25,b =3,则a ＋b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 4、3-π+4-π＝ ____________
5、若m 、n 互为相反数，则m -5+n ＝_________
6、若 a 2=-a ，则a______0 7、若x -7有意义，则x 的取值范围是 8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于－2，小于10的整数有______个.
10、一个正数x 的两个平方根分别是a ＋2和a －4，则a=__ ___，x=___ __.
11、当x _______时，x -3有意义.
12、当x _______时，2x -3有意义.
13、当x
_______有意义.
14、当x
________时，式子x -2有意义. 15、若4a +1有意义，则a 能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
A．－3 B．3 C．±3 D．81
2．下列计算正确的是（ ）
A
±2 B
C. ±=6 D.-92=-9
3．下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B
2
2
4． 64的平方根是（ ）
A ．±8 B．±4 C．±2 D
5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
111A ．4 B． C．－ D． 844
6．下列结论正确的是（ ） A --6) 2=-6 B(-3) 2=9 C (-16) 2=±16 D⎛- - ⎝16⎫16 ⎪=⎪25⎭252
7．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A 、7是49的算术平方根，即49=±7
B 、7是(-7) 2的平方根，即-7) 2=7
C 、±7是49的平方根，即±=7
D 、±7是49的平方根，即49=±7
8．下列语句中正确的是（ ）
A 、-9的平方根是-3 B、9的平方根是3
C 、 9的算术平方根是±3 D、9的算术平方根是3
9．下列说法：(1)±3是9的平方根；(2)9的平方根是±3；(3)3是9的平方根；(4)9的
平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C ．1个 D．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、-1是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x －1）－169=0； （2）4（3x ＋1）－1=0；
四、解答题
1、求2
2、计算
223、若x -1+(3x +y -1) =0，求5x +y 的值. 227的平方根和算术平方根. 927+-+4-的值
4、若a 、b 、c 满足a -3+
5、已知
6、阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如5，
23(5+b ) 2+c -1=0，求代数式b -c 的值. a y -2x +x 2+25-x =0，求7（x ＋y ）－20的立方根. ，2一样的式子，其实我们还可以3+1
将其进一步化简：
35＝3⨯3（一） ＝；
⨯523＝2⨯33⨯33（二）
2⨯－1）2-1）2＝＝3-1（三）
223-1））-1+1+1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2还可以用以下方法化简： 3+1
223）-12+13-1）＝3-1＝＝3+1+1+1+1
（1）请用不同的方法化简
①参照（三）式得
②参照（四）式得
（2）化简：
2： 5+3-1（四） 2＝__________________； +2＝___________________. 5+1111 +++... ++1+7+2n +1+2n -1
一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周）
二、本章概念
1. 算术平方根
2. 被开方数
3. 平方根（二次方根）
4. 开平方
5. 立方根（三次方根）
6. 开立方
7. 根指数
8. 无理数
9. 实数
10. 实数与数轴上的点一一对应.
三、分类的数学思想
1.
2.
四、估算
下列各数分别界于哪两个整数之间
1
【知识要点】
1. 算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a a ”.
2. 如果x 2=a，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ”
（a 称为被开方数）.
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.
联系：
（1）被开方数必须都为非负数；
（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.
（3）0的算术平方根与平方根同为0.
5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“”（a 称为被开方数）.
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.
8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如25=5, 2500=50.
10. 平方表：（自行完成）
题型规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1.
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.
30a ≥0.
4、公式：⑴2=a（a ≥0）a 取任何数）.
5、区分
2=a（a ≥0），与 a 2=a
6. 非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）.
【典型例题】
1. 下列语句中，正确的是（ D ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A ．－2是2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ．16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3
3. 已知实数x ，y 满足
(y＋1) 2=0，则x －y 等于
解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，解得x=2，y=－1，
所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．
4. 求下列各式的值
（1）±；（2）-；（3）9
25；（4）(-4) 2
解答：（1）因为92=81，所以±81=±9.
（2）因为42=16，所以－=-4.
（3）因为⎛ 3⎫2
⎝5⎪⎭=925，所以925=3
5.
（4）因为42=(-4) 2，所以(-4) 2=4.
5. 已知实数x ，y 满足
(y＋1) 2=0，则x －y 等于
解答：根据题意得，x －2=0，y ＋1=0，
解得x=2，y=－1，所以，x －y=2－（－1）=2＋1=3．
6. 计算
（1）64的立方根是 4
3（2）下列说法中：①±3都是27的立方根，②y =y ，③64的立方根是2，
④±82=±4. 其中正确的有 （ B ）
A 、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7. 易混淆的三个数（自行分析它们）
（1）a 2（2）(a ) 2（3）a 3
综合演练
一、填空题
1、（－0.7）2的平方根是 2、若a 2=25,b =3,则a ＋b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是 4、3-π+4-π＝ ____________
5、若m 、n 互为相反数，则m -5+n ＝_________
6、若 a 2=-a ，则a______0 7、若x -7有意义，则x 的取值范围是 8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于－2，小于10的整数有______个.
10、一个正数x 的两个平方根分别是a ＋2和a －4，则a=__ ___，x=___ __.
11、当x _______时，x -3有意义.
12、当x _______时，2x -3有意义.
13、当x
_______有意义.
14、当x
________时，式子x -2有意义. 15、若4a +1有意义，则a 能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
A．－3 B．3 C．±3 D．81
2．下列计算正确的是（ ）
A
±2 B
C. ±=6 D.-92=-9
3．下列说法中正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B
2
2
4． 64的平方根是（ ）
A ．±8 B．±4 C．±2 D
5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
111A ．4 B． C．－ D． 844
6．下列结论正确的是（ ） A --6) 2=-6 B(-3) 2=9 C (-16) 2=±16 D⎛- - ⎝16⎫16 ⎪=⎪25⎭252
7．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A 、7是49的算术平方根，即49=±7
B 、7是(-7) 2的平方根，即-7) 2=7
C 、±7是49的平方根，即±=7
D 、±7是49的平方根，即49=±7
8．下列语句中正确的是（ ）
A 、-9的平方根是-3 B、9的平方根是3
C 、 9的算术平方根是±3 D、9的算术平方根是3
9．下列说法：(1)±3是9的平方根；(2)9的平方根是±3；(3)3是9的平方根；(4)9的
平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C ．1个 D．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、-1是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x －1）－169=0； （2）4（3x ＋1）－1=0；
四、解答题
1、求2
2、计算
223、若x -1+(3x +y -1) =0，求5x +y 的值. 227的平方根和算术平方根. 927+-+4-的值
4、若a 、b 、c 满足a -3+
5、已知
6、阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如5，
23(5+b ) 2+c -1=0，求代数式b -c 的值. a y -2x +x 2+25-x =0，求7（x ＋y ）－20的立方根. ，2一样的式子，其实我们还可以3+1
将其进一步化简：
35＝3⨯3（一） ＝；
⨯523＝2⨯33⨯33（二）
2⨯－1）2-1）2＝＝3-1（三）
223-1））-1+1+1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
2还可以用以下方法化简： 3+1
223）-12+13-1）＝3-1＝＝3+1+1+1+1
（1）请用不同的方法化简
①参照（三）式得
②参照（四）式得
（2）化简：
2： 5+3-1（四） 2＝__________________； +2＝___________________. 5+1111 +++... ++1+7+2n +1+2n -1