第１６卷第２期唐山学院学报Ｖ０１．１６Ｎｏ．２２００３年０６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｎｇｓｈａｎＣｏｌｌｅｇｅＪｕｎ．２００３
求积分因子的新方法
李振东张永珍
（唐山学院基础部，河北唐山０６３０００）
摘要：介绍了求解微分方程过程中寻找积分因子的几种方法，并通过实例验证了这些方法的有效性。关键词：全微分方程；积分因子；全微分；通解
中图分类号：０１７５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—２４９Ｘ（２００３）０２—００１６—０１
ＮｅｗＭｅｔｈｏｄｓｔｏＰｒｏｖｅＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒ
ＬＩＺｈｅｎ—－ｄｏｎｇＺＨＡＮＧＹｏｎｇ——ｚｈｅｎ
（ＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＤｉｖｉｓｉｏｎＴａｎｇｓｈａｎＣｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ０６３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｏｆｈｏｗｔｏｆｉｎｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｏｌｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｇａａｔｉｏｎａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｉｒｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｓｓａｒｅａｌｓｏｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｅｘａｍｐｌｅｓ．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ
如果方程Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０（１）例１求微分方程（ｙ－－ｘ２）ｄｘ－－ｘｄｙ＝０的通解。的左边恰好是一个函数Ｕ＝－Ｕ（Ｘ，了）的全微分，即有解可以先把它改写成（ｙｄｘ－－ｘｄｙ）－－Ｘ２ｄｘ＝Ｏ。
如＝Ｐｄｚ＋Ｑｄｙ或塞＝Ｐ，考＝Ｑ。两边同乘以积分因子砉得
那么方程（１）就叫全微分方程，这时它的通解是—ｙ—ｄ—ｘ—－－—ｒｘ—一ｄｙ—ｄｚ：Ｏ
“（ｚ，ｙ）一Ｃ，（这里的Ｃ是任意常数）Ｚ。
当方程Ｐ（ｚ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ一０不是全微分方程时，ｄ（上）＋ｄｘ一０工
如存在不恒为零的函数／ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）使方程产Ｐｄｚ＋ｔｚＱｄｙ＝０
成为全微分方程，那么∥（ｚ，ｙ）就称为方程（１）的积分因子。即÷＋ｚ＝ｃ为原方程的通解。
例如，７ｙ程ｙｄｘ－－ｘｄｙ＝０不是全微分方程，但素是它的例２求微分方程（ｚ＋２ｙ）ｄｘ＋ｘｄｙ＝０的通解。
解两边同乘以积分因子ｚ，得
积分因子，因为在方程两边乘上素后，即得全微分方程
ｙ—ｄ—ｘ—－－，ｘｄｙ＝０，ｄ（三）一０，（ｒＥ的通解为三一Ｃ）ｚ２ｄｚ＋２ｘｙｄｘ＋ｘ２ｄｙ＝０，
一３
）））即ｄ（等）＋ｄ（ｚ２ｙ）一０。ｕ
关于微分方程（１）的积分因子的存在性问题，在理论上巾３
已经解决，下面只着重讨论怎样求积分因子的问题。积分之。等＋ｚ２ｙ＝Ｃ为方程的通解。
１对于某些简单的微分方程，可以通过“凑２对于较复杂的微分方程，可把它的左边分微分”的方法来求积分因子，为此，必须熟悉成若干组
一些基本的二元函数的全微分例如，在分成两组的情况下，有
（Ｐｌｄｘ＋Ｑ１ｄｙ）＋（Ｐ２ｄｘ＋Ｑ２ｄｙ）一０（２）
一ｄ（１ｎ号）；ｙ—ｄｘ习－－弓ｘ广ｄｙ＝ｄ（ａｒｃｔｇ号）；努一ｉ１例灿ｄｘ＋咖＝ｄ（ｘ３０；学一ｄ（ｘ－－ｖ－）；警然后，分别找出两组的积分因子户－及肫，即存在函数／１。
ｄ＝／ｚ１（ｚ，ｙ）及／ｚ２＝／１２（ｚ，ｙ），使得
２
（１ｎ帚）等。的Ｐ１ｄｚ＿舶曼１（：ｙｄ砒。（下转第４０页）‘’
Ｆ２Ｐｚｄｘ＋户２Ｑ２ｄｙ＝ｄｕ２收稿日期：２００２—１２一０９
作者简介：李振东（１９７０一），男，讲师，主要从事高等数学教学与研究。
・４０・唐山学院学报第１６卷（上接第１６页）再借助产ｌ及胁来求微分方程（２）的积分因
子，为此，应知道下面的定理。对于第一组一２ｙｄｘ＋ｚｄｙ，乘以击后得
定理如果产是微分方程（１）的积分因子，即一坐＋ｄｙ：ｄ（１ｎ姜），
肛Ｐｄｚ＋／ＹＱｄｙ＝ｄｕ，
那么户认“）也是（１）的积分因子，这里妒＠）是“的任何从而第一组的积分因子的一般形战刀瓦１叭≯ｙ）。连续函数。
证因为产认“）（Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ）＝Ｐ（“）（ｔｆＰｄｘ＋ｔｄＱｄｙ）对于第二组３ｘｙ３ｄｘ＋ｚ２ｙ２曲，乘以方≯后，得
＝ｆ必ｕ）ｄｕ＝ｄｉｅ（ｕ）］．警＋ｄｙ．．：龇（由），Ｚ一
Ｖ
这里西（“）是认“）的一个原函数。
这样，对于上述分成两组的情形，如果能够选取适当的从而第二组的积分因子一般形式为刍９（ｚ３ｙ）。
函数认摊－）及９（乱：），使得，只要选取以孝）＝ｚ２ｙ，９（一ｙ）一ｚ３ｙ，就有点文ｙｚ２）
卢＝／１ｌＶ（ｕ１）＝Ｐ２粤’（“２），
那么产即是第一组的积分因子，也是第二组的积分因５；每９（ｚ３ｙ）＝ｚｙ２。
子，因而也是微分方程（２）的积分因子。这就是所要求的积分因子。方程两边同乘以素得
例３求解微分方程（ｘｙ２＋ｙ）ｄｘ＋ｘｄｙ＝０的通解。
解先把它的左边分组成（一等ｄ计拳∽＋（３ｘ２ｙｄｚ＋蒯ｙ）＝。
ｘｙ２ｄｘ＋（ｙｄｚ＋ｘｄｙ）＝０
ｘｙ２ｄｘ＋ｄ（ｚｙ）＝０ｄ（寻）＋ｄ（ｘ２ｙ）＝ｏ
即现在产２＝ｌ，“：＝ｘｙ，于是＂ｖｔｒ（ｘｙ）是第二组的积分因
子，只要适当选取ＸＦ（ｘｙ），使ＸＦ（ｘｙ）也是第一组的积分因子ｚ３Ｙ一号。Ｃ为原方程的通解・使用积分因子是求解微分方程（１）的一种重要方法，知即可，为此取道的许多微分方程也可用这种方法来求解。例如，对一阶线
妒（ｚｊ，）。；每。性微分方程
在所给方程两边乘以主Ｌ＿，得业ｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ。），
警＋警２２＝ｏ。把它改写成［Ｐ（ｚ）ｙ—ＱＱ）］ｄｚ＋ｄｙ：０，ｐ—Ｐ』Ｐｃ州，
ｚ。≯一。。
是方程的积分因子，ｄ［ｙ。ｐｃ，，“］一Ｑ（ｚ）ｅｐｃ州。：ｏ。从而一
ＩｎＩｚＩ＿土ｘｙ２Ｃ为原方程的通解。阶线性微分方程的通解为
例４求微分方程（３ｘｙ３—２ｙ）ｄｘ＋（≯ｙ２＋ｘ）ｄｙ＝０）懈ＪＰ（，）“一ｌＱ（ｚ）ｅ』Ｐ（ｚ）ｄｚｄｚ—Ｃ，的通解。
解先将它的左边分组成（一２ｙｄｘ＋ｘｄｙ）＋（３ｘｙ３ｄｘ即ｙ—ｅ一』，ｃ＝）ａｚ［ＩＱ（ｚ）Ｐ』Ｐ（ｚ）ｄｘｄ。ｆｃ］。＋ｚ２Ｙ２ｄｙ）＝０。（责任编校：自丽娟）
求积分因子的新方法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李振东， 张永珍唐山学院,基础部,河北,唐山,063000唐山学院学报JOURNAL OF TANGSHAN COLLEGE2003，16(2)1次
相似文献(10条)
1.期刊论文 段志霞. 卫艳荣 全微分方程与积分因子法 -宿州教育学院学报2009,12(1)
给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.
2.期刊论文 徐安农. 段复建 全微分方程与积分因子法 -桂林电子工业学院学报2002,22(2)
在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.
3.期刊论文 吴绪权. Wu Xuquan 积分因子的一种求法 -中国水运（理论版）2006,4(9)
从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手,给出了一种求积分因子的方法.
4.期刊论文 汤光宋. 徐丰 几类有关全微分方程问题的求解公式 -邵阳学院学报2003,2(2)
利用全微分方程的条件,给出一类微分方程的积分因子及通解公式,得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程,获得未知函数及全微分方程的通解.
5.期刊论文 温启军. 张丽静. WEN Qi-jun. ZHANG Li-jing 关于积分因子的讨论 -长春大学学报（自然科学版）2006,16(5)
采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段,讨论了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则;通过实例来说明准则的应用方法.
6.期刊论文 刘许成. LIU Xu-cheng 变量分离型积分因子存在定理及应用 -大学数学2006,22(4)
给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.
7.期刊论文 申小琳. Shen Xiaolin 变量分离型积分因子存在性及其应用 -延安职业技术学院学报2009,23(3)
由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.
8.期刊论文 张奕河. 郭文川. ZHANG Yi-he. GUO Wen-chuan 关于一阶常微分方程的积分因子求解问题 -四川理工学院学报（自然科学版）2009,22(6)
一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.
9.期刊论文 郭文秀. GUO Wen-xiu 利用积分因子巧解微分方程 -武汉职业技术学院学报2002,1(3)
求微分方程的通解常用到积分因子,求积分因子无固定法则可循.本文力图通过对全微分方程解法的探索,提出求积分因子的常用方法,以便顺利地求微分方程的通解.
10.期刊论文 赵凯宏. 李晓飞. ZHAO Kai-hong. LI Xiao-fei 常微分方程求积分因子的一个定理及其应用 -玉溪师范学院学报2004,20(12)
将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程,从而与常微分方程组的首次积分相联系.利用"可积组合法"来求积分因子,从而使所求常微分方程化成全微分方程.
引证文献(1条)
1. 李刚升 浅谈积分因子与偏微分方程[期刊论文]-科技信息(学术版) 2008(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tsgdzkxxxb200302007.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c8572b55-9e76-483a-b5ff-9dcf010f3824
下载时间：2010年8月11日
第１６卷第２期唐山学院学报Ｖ０１．１６Ｎｏ．２２００３年０６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴａｎｇｓｈａｎＣｏｌｌｅｇｅＪｕｎ．２００３
求积分因子的新方法
李振东张永珍
（唐山学院基础部，河北唐山０６３０００）
摘要：介绍了求解微分方程过程中寻找积分因子的几种方法，并通过实例验证了这些方法的有效性。关键词：全微分方程；积分因子；全微分；通解
中图分类号：０１７５文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—２４９Ｘ（２００３）０２—００１６—０１
ＮｅｗＭｅｔｈｏｄｓｔｏＰｒｏｖｅＩｎｔｅｇｒａｔｉｎｇＦａｃｔｏｒ
ＬＩＺｈｅｎ—－ｄｏｎｇＺＨＡＮＧＹｏｎｇ——ｚｈｅｎ
（ＢａｓｉｃＣｏｕｒｓｅｓＤｉｖｉｓｉｏｎＴａｎｇｓｈａｎＣｏｌｌｅｇｅ，Ｔａｎｇｓｈａｎ０６３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅｍｅｔｈｏｄｓｏｆｈｏｗｔｏｆｉｎｄｔｈｅｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｓｏｌｖｉｎｇｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｇａａｔｉｏｎａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｉｒｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｓｓａｒｅａｌｓｏｖｅｒｉｆｉｅｄｂｙｅｘａｍｐｌｅｓ．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇｆａｃｔｏｒ；ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ；ｇｅｎｅｒａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ
如果方程Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０（１）例１求微分方程（ｙ－－ｘ２）ｄｘ－－ｘｄｙ＝０的通解。的左边恰好是一个函数Ｕ＝－Ｕ（Ｘ，了）的全微分，即有解可以先把它改写成（ｙｄｘ－－ｘｄｙ）－－Ｘ２ｄｘ＝Ｏ。
如＝Ｐｄｚ＋Ｑｄｙ或塞＝Ｐ，考＝Ｑ。两边同乘以积分因子砉得
那么方程（１）就叫全微分方程，这时它的通解是—ｙ—ｄ—ｘ—－－—ｒｘ—一ｄｙ—ｄｚ：Ｏ
“（ｚ，ｙ）一Ｃ，（这里的Ｃ是任意常数）Ｚ。
当方程Ｐ（ｚ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ一０不是全微分方程时，ｄ（上）＋ｄｘ一０工
如存在不恒为零的函数／ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）使方程产Ｐｄｚ＋ｔｚＱｄｙ＝０
成为全微分方程，那么∥（ｚ，ｙ）就称为方程（１）的积分因子。即÷＋ｚ＝ｃ为原方程的通解。
例如，７ｙ程ｙｄｘ－－ｘｄｙ＝０不是全微分方程，但素是它的例２求微分方程（ｚ＋２ｙ）ｄｘ＋ｘｄｙ＝０的通解。
解两边同乘以积分因子ｚ，得
积分因子，因为在方程两边乘上素后，即得全微分方程
ｙ—ｄ—ｘ—－－，ｘｄｙ＝０，ｄ（三）一０，（ｒＥ的通解为三一Ｃ）ｚ２ｄｚ＋２ｘｙｄｘ＋ｘ２ｄｙ＝０，
一３
）））即ｄ（等）＋ｄ（ｚ２ｙ）一０。ｕ
关于微分方程（１）的积分因子的存在性问题，在理论上巾３
已经解决，下面只着重讨论怎样求积分因子的问题。积分之。等＋ｚ２ｙ＝Ｃ为方程的通解。
１对于某些简单的微分方程，可以通过“凑２对于较复杂的微分方程，可把它的左边分微分”的方法来求积分因子，为此，必须熟悉成若干组
一些基本的二元函数的全微分例如，在分成两组的情况下，有
（Ｐｌｄｘ＋Ｑ１ｄｙ）＋（Ｐ２ｄｘ＋Ｑ２ｄｙ）一０（２）
一ｄ（１ｎ号）；ｙ—ｄｘ习－－弓ｘ广ｄｙ＝ｄ（ａｒｃｔｇ号）；努一ｉ１例灿ｄｘ＋咖＝ｄ（ｘ３０；学一ｄ（ｘ－－ｖ－）；警然后，分别找出两组的积分因子户－及肫，即存在函数／１。
ｄ＝／ｚ１（ｚ，ｙ）及／ｚ２＝／１２（ｚ，ｙ），使得
２
（１ｎ帚）等。的Ｐ１ｄｚ＿舶曼１（：ｙｄ砒。（下转第４０页）‘’
Ｆ２Ｐｚｄｘ＋户２Ｑ２ｄｙ＝ｄｕ２收稿日期：２００２—１２一０９
作者简介：李振东（１９７０一），男，讲师，主要从事高等数学教学与研究。
・４０・唐山学院学报第１６卷（上接第１６页）再借助产ｌ及胁来求微分方程（２）的积分因
子，为此，应知道下面的定理。对于第一组一２ｙｄｘ＋ｚｄｙ，乘以击后得
定理如果产是微分方程（１）的积分因子，即一坐＋ｄｙ：ｄ（１ｎ姜），
肛Ｐｄｚ＋／ＹＱｄｙ＝ｄｕ，
那么户认“）也是（１）的积分因子，这里妒＠）是“的任何从而第一组的积分因子的一般形战刀瓦１叭≯ｙ）。连续函数。
证因为产认“）（Ｐｄｘ＋Ｑｄｙ）＝Ｐ（“）（ｔｆＰｄｘ＋ｔｄＱｄｙ）对于第二组３ｘｙ３ｄｘ＋ｚ２ｙ２曲，乘以方≯后，得
＝ｆ必ｕ）ｄｕ＝ｄｉｅ（ｕ）］．警＋ｄｙ．．：龇（由），Ｚ一
Ｖ
这里西（“）是认“）的一个原函数。
这样，对于上述分成两组的情形，如果能够选取适当的从而第二组的积分因子一般形式为刍９（ｚ３ｙ）。
函数认摊－）及９（乱：），使得，只要选取以孝）＝ｚ２ｙ，９（一ｙ）一ｚ３ｙ，就有点文ｙｚ２）
卢＝／１ｌＶ（ｕ１）＝Ｐ２粤’（“２），
那么产即是第一组的积分因子，也是第二组的积分因５；每９（ｚ３ｙ）＝ｚｙ２。
子，因而也是微分方程（２）的积分因子。这就是所要求的积分因子。方程两边同乘以素得
例３求解微分方程（ｘｙ２＋ｙ）ｄｘ＋ｘｄｙ＝０的通解。
解先把它的左边分组成（一等ｄ计拳∽＋（３ｘ２ｙｄｚ＋蒯ｙ）＝。
ｘｙ２ｄｘ＋（ｙｄｚ＋ｘｄｙ）＝０
ｘｙ２ｄｘ＋ｄ（ｚｙ）＝０ｄ（寻）＋ｄ（ｘ２ｙ）＝ｏ
即现在产２＝ｌ，“：＝ｘｙ，于是＂ｖｔｒ（ｘｙ）是第二组的积分因
子，只要适当选取ＸＦ（ｘｙ），使ＸＦ（ｘｙ）也是第一组的积分因子ｚ３Ｙ一号。Ｃ为原方程的通解・使用积分因子是求解微分方程（１）的一种重要方法，知即可，为此取道的许多微分方程也可用这种方法来求解。例如，对一阶线
妒（ｚｊ，）。；每。性微分方程
在所给方程两边乘以主Ｌ＿，得业ｄｘ＋Ｐ（ｘ）ｙ＝Ｑ。），
警＋警２２＝ｏ。把它改写成［Ｐ（ｚ）ｙ—ＱＱ）］ｄｚ＋ｄｙ：０，ｐ—Ｐ』Ｐｃ州，
ｚ。≯一。。
是方程的积分因子，ｄ［ｙ。ｐｃ，，“］一Ｑ（ｚ）ｅｐｃ州。：ｏ。从而一
ＩｎＩｚＩ＿土ｘｙ２Ｃ为原方程的通解。阶线性微分方程的通解为
例４求微分方程（３ｘｙ３—２ｙ）ｄｘ＋（≯ｙ２＋ｘ）ｄｙ＝０）懈ＪＰ（，）“一ｌＱ（ｚ）ｅ』Ｐ（ｚ）ｄｚｄｚ—Ｃ，的通解。
解先将它的左边分组成（一２ｙｄｘ＋ｘｄｙ）＋（３ｘｙ３ｄｘ即ｙ—ｅ一』，ｃ＝）ａｚ［ＩＱ（ｚ）Ｐ』Ｐ（ｚ）ｄｘｄ。ｆｃ］。＋ｚ２Ｙ２ｄｙ）＝０。（责任编校：自丽娟）
求积分因子的新方法
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：李振东， 张永珍唐山学院,基础部,河北,唐山,063000唐山学院学报JOURNAL OF TANGSHAN COLLEGE2003，16(2)1次
相似文献(10条)
1.期刊论文 段志霞. 卫艳荣 全微分方程与积分因子法 -宿州教育学院学报2009,12(1)
给出了全微分方程通过积分可以求出它的通解,并提供了采用积分因子法把一阶微分方程转化为全微分方程来求解的一种方法.
2.期刊论文 徐安农. 段复建 全微分方程与积分因子法 -桂林电子工业学院学报2002,22(2)
在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等.其中尤以积分因子法出现的最晚,而作用也最大.在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的.
3.期刊论文 吴绪权. Wu Xuquan 积分因子的一种求法 -中国水运（理论版）2006,4(9)
从非全微分方程通过分离变量法变为全微分方程的过程入手,给出了一种求积分因子的方法.
4.期刊论文 汤光宋. 徐丰 几类有关全微分方程问题的求解公式 -邵阳学院学报2003,2(2)
利用全微分方程的条件,给出一类微分方程的积分因子及通解公式,得出几类全微分方程中未知函数所满足的微分方程,获得未知函数及全微分方程的通解.
5.期刊论文 温启军. 张丽静. WEN Qi-jun. ZHANG Li-jing 关于积分因子的讨论 -长春大学学报（自然科学版）2006,16(5)
采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程一个重要手段,讨论了积分因子存在的充要条件及确定若干特殊类型积分因子的准则;通过实例来说明准则的应用方法.
6.期刊论文 刘许成. LIU Xu-cheng 变量分离型积分因子存在定理及应用 -大学数学2006,22(4)
给出了变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离型积分因子μ(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式.
7.期刊论文 申小琳. Shen Xiaolin 变量分离型积分因子存在性及其应用 -延安职业技术学院学报2009,23(3)
由变量分离型积分因子u(x,y)=p(x)q(y)的定义,得到了微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0存在变量分离因子u(x,y)=p(x)q(y)的充要条件和计算积分因子的公式,然后应用到一些微分方程的求解中.
8.期刊论文 张奕河. 郭文川. ZHANG Yi-he. GUO Wen-chuan 关于一阶常微分方程的积分因子求解问题 -四川理工学院学报（自然科学版）2009,22(6)
一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0不是全微分方程时,寻找它的积分因子成为求解方程的关键,但又是比较棘手的问题.针对这一情况,本文通过对方程的积分因子存在的充要条件定理的证明,利用定理结论求解积分因子,进而求出其通解,是一种行之有效又直观方便的方法,从而达到化难为易的目的,而且定理结论具有一般性,可以进行推广,使求积分因子时不再盲目,变得有规可循.
9.期刊论文 郭文秀. GUO Wen-xiu 利用积分因子巧解微分方程 -武汉职业技术学院学报2002,1(3)
求微分方程的通解常用到积分因子,求积分因子无固定法则可循.本文力图通过对全微分方程解法的探索,提出求积分因子的常用方法,以便顺利地求微分方程的通解.
10.期刊论文 赵凯宏. 李晓飞. ZHAO Kai-hong. LI Xiao-fei 常微分方程求积分因子的一个定理及其应用 -玉溪师范学院学报2004,20(12)
将积分因子满足的偏微分方程改写成其特征方程,从而与常微分方程组的首次积分相联系.利用"可积组合法"来求积分因子,从而使所求常微分方程化成全微分方程.
引证文献(1条)
1. 李刚升 浅谈积分因子与偏微分方程[期刊论文]-科技信息(学术版) 2008(2)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_tsgdzkxxxb200302007.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c8572b55-9e76-483a-b5ff-9dcf010f3824
下载时间：2010年8月11日