平面向量数量积

高三级部数学科平面向量学案 NO：__11

平面向量的数量积

一、考纲要求及重难点

1、考纲要求（1）、理解平面向量数量积的含义及其物理意义（2）、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算（3）、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。 2、重难点：（1）、平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向

量的夹角、模及判断向量的垂直，是重点也是难点；

(2)、题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解

答题为主.

二、课前自测

1、已知向量a ＝(1，2) ，向量b ＝(x ，－2) ，且a ⊥(a－b) ，则实数x 等于( ) A ．9 B ．4 C．0 D．－4 2、若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b ) ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0

3、已知向量a ＝(1，1) ，2a ＋b ＝(4，2) ，则向量a ，b 的夹角为( ) ππππA. D. 6432

4、在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM =2MA ，则CM ∙CB 等于( )

A ． 2 B．3 C．4 D．6 5、（2013山东理15）

三、考点梳理

1. 平面向量的数量积

（1）向量的夹角 ①定义：

②范围：向量a 与b 的夹角的范围是_____________.

(2)向量在轴上的正射影 (3)平面向量数量积的定义 (4)数量积的运算律 ①交换律： ②数乘结合律： ③分配律：

2. 平面向量数量积的性质及坐标表示 a =(x1,y 1), b =(x2,y 2)

四、典例精析

考点一、平面向量数量积的概念及运算

例1、(1)若向量a ＝(1，1) ，b ＝(2，5) ，c ＝(3，x ) 满足条件(8a －b ) ·c ＝30，则x ＝( )

A ．6 B．5 C．4 D ．3

（2）在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC =2BD ，CA =3CE ，

则AD ∙BE =_________

（3）设向量a ，b 满足|a|=|b|=1a b =-，则|a+2b|=( )

A B C

D 1

b =，b =(2,sin2x ) ，（4）已知a =(1,sinx ) ，其中x ∈(0,π) 。若a ∙则a （） t n x =

A 1 B -1 C

变式训练1、（1）. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足AP =2PM ，

则AP ∙(PB +PC ) 等于( )

4444 B 、 C 、- D 、- 9339

（2）在 ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB =（2，4），AC =（1，3），则BD ∙BC =_______.

A 、

考点二、平面向量的垂直与夹角例2、（1）（2011·湖北高考）若向量a=(1,2),b =(1,-1),则2a +b 与a -b 的夹角等于( )

A 、-

B 、

3πππ

C 、 D 、

464

（2）设两个向量a , b 模分别为2和1，夹角为，若向量2ta +7b 与a +tb 的夹角为钝角，

求实数t 的范围。

变式训练2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1, －2) 、B(2,3)、C(－2, －1). (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t 满足(AB -tOC ) ⊥OC ，求t 的值.

考点三：平面向量的模

例3：设向量a , b 满足a =1, a -b =a ∙(a -b ) =0，则2a +b =（）

A 、2 B

、、4 D

、 1

变式训练3：已知向量a =(sinx ,1), b =(cosx , -).

（1）、当a ⊥b 时，求a +b 的值；（2）、求函数f (x ) =a ∙(b -a ) 的最小正周期

五、当堂检测

1、设向量a ＝(2，0) ，b ＝(1，1) ，则下列结论中正确的是( ) 1

A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝ C ．a ∥b D ．(a －b ) ⊥b

2、已知向量a ＝(2，－1) ，b ＝(x ，－2) ，c ＝(3，y ) ，若a ∥b ，(a ＋b ) ⊥(b －c ) ，M (x ，y ) ，

N (y ，x ) ，则向量MN 的模为________．

3、已知|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 上的投影的数量为________．

六、课堂小结

七、课后巩固

1、设非零向量a ＝(x ，2x ) ，b ＝(－3x ，2) ，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) 4⎫A ．(－∞，0) B. ⎛⎝3⎭

4114

，＋∞⎫ D. ⎛∪⎛0⎫∪⎛，＋∞⎫ C ．(－∞，0) ∪⎛3⎝3⎭⎝3⎝3⎭⎝⎭2、已知向量a ＝(1，2) ，b ＝(2，－2) ．

(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c ) a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影的数量．

3、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2) ，又点A (8，0) ，B (n ，t ) ，→→→→

若AB ⊥a ，且|AB |＝OA |，求向量OB .