样性和个体差异。
2．心理学依据。初中生有着强烈的独立自主的需要，有明显的自我意识，初中开放式数学课堂教学注重顺应学生的心理发展变化，让学生主动的参与到教学过程中来，发挥他们的主体精神和主体意识，更加符合初中学生的心理需求和认知特点。
3．教育学依据。近年来，中学数学教学的教育理论、模式，都是以突出学生的主体参与和发挥教师的主导作用为根本宗旨，让学生积极主动地参与到教学全过程来。波兰著名数学教育家波利亚提出了数学教学应“既教猜想，又教证明”，说明数学教学不能进行结论式教学，更应进行过程教学。
4．数学学科的依据。数学教育的核心是培养人的思维能力，要求培养学生的合情思维、合情推理等非逻辑思维能力。开放式课堂教学为学生提供了发展自我思维能力的空间、自我创造能力的机会，培养了学生应用数学的意识和能力。
三．实验的原则 １．主体性原则
教师通过为学生创设开放的教学环境，提供独立的活动空间、时间和机会，把学习的“主动权”交给学生，从而激活学生学习的内化过程，培养学生的数学思维，提高数学能力。
２．成功性原则
在开放式课堂教学中，教师要在充分了解认识学生的基础之上，尊重与发展学生个性，充分激发学生的学习动机，帮助其树立自尊心与自信心，使之不断进步，享受成功体验。
３．建构性原则
教师通过设计和展示问题情景，打破了学生原有的认知平衡，在认知心理上产生了认知需要，通过同化和顺应把新知识纳入到自己的认知结构中。
４．发展性原则
实验过程中不仅要注重学生的认知水平的发展，还要注重学生的心理发展、人格发展，让学生在获取知识的同时也发展了学生的交互能力，学会做人，实现学生的可持续发展。
５．民主性原则
师生之间、学生之间形成了宽松、民主的学习氛围，学生可以提出假设，进行讨论、解释和验证，平等、民主地在问题解决的过程中学习数学，教师允许学生对问题的解决持有异议，尊重学生的独创性见解，宽容对待学生在问题解决过程所犯的错误。
四．实验的操作模式
1．明确教学目标：实验的教学目标的确定遵循以下要义：
①培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的源动力；②培养学生的探索精神；③磨练学生克服困难、坚忍不拔的意志品质；④培养学生的元认知能力；⑤提高学生建构新知识的能力，并通过同化和顺应扩大认知结构；⑥培养学生的创新意识，发展创新能力；⑦培养学生具有良好的数学思维，形成正确的数学观。
2．提出问题：
教师根据已定的教学任务和学生的特征，有针对性地选择和组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和手段，提出适当的教学问题。数学开放式课堂教学以开放题为载体，但目前教材中的例题、习题以封闭题为主，所以教师还需要编制一定的开放题。
3．师生平等探讨
对于提出的问题，教师可以引导学生进行类比、对比、联想、观察、实验、归纳等，形成更数学化、抽象化的问题，或形成引入探索、有希望成立的猜想，或分解成更小、更具体、更可操作、更熟悉、更清晰的问题，从而使学生的思考更科学化。
4．学生自主探索解疑
在教师的指导下，学生可以通过分组学习讨论，进一步理解和探讨疑难问题。学生之间相互启发，反复推敲，使学生的思维在合作学习中得到补充，体现了学生学习的主体性。
5．教师指导，学生总结
教师在整个教学过程中发挥指导作用，在学生在讨论问题和探索问题的过程中不断进行调控，帮助学生进行自我总结，并对小组之间的结论进行优化评比，调整学生的学习思路。
6．获取认知，促进发展
在教师的主导下，学生通过课前预习、课堂探索、合作交流等形式，扩大了学生的认知结构，促进了学习内容的揭示。同时，开放的课堂上被激活的主动学习的意识，必然要延伸到课后，使学生在课后能自觉地练习、学习和应用数学，获得终身受用的可持续学习的发展性能力。
五．实验过程及数据分析
1．实验假设：初中数学开放式课堂教学，将有利于提高学生的学习兴趣。
2．取样：样本取自北京市日坛中学初三（8）班，共41名学生。该班的数学平均成绩比较稳定。班里有几名学习成绩优异的学生，但也有3名数学学困生，有7-8名学生学习比较吃力。因此该班学生的数学学习状况有一定的代表性。
该班的数学教师思想活跃，对开放式教学有一定的理解和认识。这也是我们选择该班的原因之一。 3．数据收集：数据收集采用了调查问卷形式，同时为了了解学生内心的真实想法，在实验前对三个不同学习程度的学生进行了访谈。
4．访谈分析：我们有代表性的选择了三个学习层次的学生作为访谈对象。通过对学生的访谈，我们发现他们对于数学学习有几点相同的看法：①都普遍认为自己在学习有潜力，有进一步提高数学成绩的可能性；②对学习困难上的自我分析是对解题缺乏思路；③对合作学习持欢迎态度；④对开放式教学愿意尝试。因此我们认为在初中进行开放式教学的尝试是可能的。
5．前测结果及分析：
本问卷采用了SPSS10.0（Statistical Product and Service Solutions）统计分析软件做数据定量分析。根据调查问卷的结构体系，可值得分析的数据比较多。因此我们从繁多的数据中抽取了与这几个指标有关的数据做分析说明。
从表中可以发现，学生对自己对数学学科学习的评价值较高，对现有教学方式的评价值较低，这与访谈得出的学生认为自己学有潜力，对数学学科学习表现出兴趣的结果是一致的。对数学学习的自我评价上也呈现积极趋势，这与该班的学生实际情况也比较吻合。为了更有效的说明学生对数学现有教学方式的评价，我们对数据进行
了频率和百分比的分析。
我们发现， 41.5%学生认为现有教学方式太死板；36.6%认为这种教学方式一般，但同时也有22.0%的学生认为现有的教学方式比较好。说明从总体上看学生对现有的数学课堂教学方式并不持积极态度，与他们对自己的学科学习评价形成反差，说明学生并不满意现有的教学方式。
通过表三的数据分析我们发现，学生希望能够改变现有教学方式，对我们即将进行的数学开放式课堂教学实验是欢迎的。同时学生对合作学习的评价值较高。对于开放题引入教学等数据分析发现学生的态度比较积极，这和我们分析出学生希望改变现有教学方式，并对我们的教学实验持欢迎态度的结果是一致的。
通过调查问卷，要了解的重要信息之一是学生对数学开放式课堂教学的接受度。因此我们对其做了频率和百分比分析。
从中可以看出，有65.7%的学生愿意尝试数学开放式课堂教学，有12.2%的学生乐于接受开放式教学。因此，从调查数据的分析上我们认为学生对于数学开放式课堂教学的态度比较积极，进行课堂教学实验是有意义的。
6．后测调查结果及分析：
我们对数据进行了对比分析研究，选取了如下几个方面的数据做了分析。
从表五的数据分析看，我们可以发现学生对本节数学开放式课堂教学实验的教学内容和教学容量认可度的数值比较高，说明学生认为“基本掌握”实验的课堂所学。同时教学容量认得度合理，说明学生对本节实验课的教学容量“完全接受”或“基本接受”。从中反映出学生对实验的内容和容量基本认可。对开放题的评价数据分析结果看，学生对开放题所持看法是“联系实际，便于理解，符合学生的能力水平，比较感兴趣” 。
通过统计表六我们可以发现有60%的学生对第6题（开放题）感兴趣，（在问卷结果里有两名学生对这样的一组开放题的所有问题都表示有兴趣，他们的数据超出输入值范围，被视为遗失数据）。该题是我们设计的一道开放型问题。这种分析结果符合我们的实验假设。
从数据分析上看，学生通过实验对合作学习的认可度上有了一些变化，学生通过实际的教学体验，对合作学习有了更加直接的认识，从而对这种学习方式的认可度得以提升，更多的学生能够接受这种学习方式。同时从表七中我们还可以得知，学生对教师通过设计问题情景，进行问题解决的教学方式的测试数据也反映出学生对这种教学方式是比较认可的。从后测态度的数据也可以看出通过教学实验学生对数学开放式课堂教学态度是积极的。
为了更进一步观察学生在态度上的变化，我们对第11题的数据做了频率和百分比分析，学生通过这节课的学习，对数学开放式课堂是接受和认可的。有52.5%的学生认为“在老师的启发下，自己去观察、猜想、对比、论证，有利于发展学生的数学意识，培养能力”，表示愿意今后还能上这样的课。说明学生能以一种积极心态认可这节数学开放式课堂教学的实验课。
六．实验结论
我们收集了两组数据：一是学生对现有教学方式的评价，另一个是学生对开放式课堂教学的评价，利用t-检验对实验假设进行验证。检验结果如下：
从统计表九不难发现，学生对开放式课堂教学的评价值高于对现有教学方式的评价，且标准差为1.1277，大于实验前测中对现有教学方式评价的标准差，也说明通过实验，学生对开放式课堂教学的认识和评价比较一致。同时从统计表十看出t检验结果为t=4.251，df=40，P=0.000，统计结果按α=0.01水准，说明检验结果具有统计上的显著差异。说明在初中进行数学开放式课堂教学将有利于提高学生的学习兴趣。在初中数学课堂教学中遵循 “明确教学目标→提出问题→师生平等探讨→学生自主索探解疑→教师指导，学生总结→获取认知，促进发展”
样性和个体差异。
2．心理学依据。初中生有着强烈的独立自主的需要，有明显的自我意识，初中开放式数学课堂教学注重顺应学生的心理发展变化，让学生主动的参与到教学过程中来，发挥他们的主体精神和主体意识，更加符合初中学生的心理需求和认知特点。
3．教育学依据。近年来，中学数学教学的教育理论、模式，都是以突出学生的主体参与和发挥教师的主导作用为根本宗旨，让学生积极主动地参与到教学全过程来。波兰著名数学教育家波利亚提出了数学教学应“既教猜想，又教证明”，说明数学教学不能进行结论式教学，更应进行过程教学。
4．数学学科的依据。数学教育的核心是培养人的思维能力，要求培养学生的合情思维、合情推理等非逻辑思维能力。开放式课堂教学为学生提供了发展自我思维能力的空间、自我创造能力的机会，培养了学生应用数学的意识和能力。
三．实验的原则 １．主体性原则
教师通过为学生创设开放的教学环境，提供独立的活动空间、时间和机会，把学习的“主动权”交给学生，从而激活学生学习的内化过程，培养学生的数学思维，提高数学能力。
２．成功性原则
在开放式课堂教学中，教师要在充分了解认识学生的基础之上，尊重与发展学生个性，充分激发学生的学习动机，帮助其树立自尊心与自信心，使之不断进步，享受成功体验。
３．建构性原则
教师通过设计和展示问题情景，打破了学生原有的认知平衡，在认知心理上产生了认知需要，通过同化和顺应把新知识纳入到自己的认知结构中。
４．发展性原则
实验过程中不仅要注重学生的认知水平的发展，还要注重学生的心理发展、人格发展，让学生在获取知识的同时也发展了学生的交互能力，学会做人，实现学生的可持续发展。
５．民主性原则
师生之间、学生之间形成了宽松、民主的学习氛围，学生可以提出假设，进行讨论、解释和验证，平等、民主地在问题解决的过程中学习数学，教师允许学生对问题的解决持有异议，尊重学生的独创性见解，宽容对待学生在问题解决过程所犯的错误。
四．实验的操作模式
1．明确教学目标：实验的教学目标的确定遵循以下要义：
①培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的源动力；②培养学生的探索精神；③磨练学生克服困难、坚忍不拔的意志品质；④培养学生的元认知能力；⑤提高学生建构新知识的能力，并通过同化和顺应扩大认知结构；⑥培养学生的创新意识，发展创新能力；⑦培养学生具有良好的数学思维，形成正确的数学观。
2．提出问题：
教师根据已定的教学任务和学生的特征，有针对性地选择和组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和手段，提出适当的教学问题。数学开放式课堂教学以开放题为载体，但目前教材中的例题、习题以封闭题为主，所以教师还需要编制一定的开放题。
3．师生平等探讨
对于提出的问题，教师可以引导学生进行类比、对比、联想、观察、实验、归纳等，形成更数学化、抽象化的问题，或形成引入探索、有希望成立的猜想，或分解成更小、更具体、更可操作、更熟悉、更清晰的问题，从而使学生的思考更科学化。
4．学生自主探索解疑
在教师的指导下，学生可以通过分组学习讨论，进一步理解和探讨疑难问题。学生之间相互启发，反复推敲，使学生的思维在合作学习中得到补充，体现了学生学习的主体性。
5．教师指导，学生总结
教师在整个教学过程中发挥指导作用，在学生在讨论问题和探索问题的过程中不断进行调控，帮助学生进行自我总结，并对小组之间的结论进行优化评比，调整学生的学习思路。
6．获取认知，促进发展
在教师的主导下，学生通过课前预习、课堂探索、合作交流等形式，扩大了学生的认知结构，促进了学习内容的揭示。同时，开放的课堂上被激活的主动学习的意识，必然要延伸到课后，使学生在课后能自觉地练习、学习和应用数学，获得终身受用的可持续学习的发展性能力。
五．实验过程及数据分析
1．实验假设：初中数学开放式课堂教学，将有利于提高学生的学习兴趣。
2．取样：样本取自北京市日坛中学初三（8）班，共41名学生。该班的数学平均成绩比较稳定。班里有几名学习成绩优异的学生，但也有3名数学学困生，有7-8名学生学习比较吃力。因此该班学生的数学学习状况有一定的代表性。
该班的数学教师思想活跃，对开放式教学有一定的理解和认识。这也是我们选择该班的原因之一。 3．数据收集：数据收集采用了调查问卷形式，同时为了了解学生内心的真实想法，在实验前对三个不同学习程度的学生进行了访谈。
4．访谈分析：我们有代表性的选择了三个学习层次的学生作为访谈对象。通过对学生的访谈，我们发现他们对于数学学习有几点相同的看法：①都普遍认为自己在学习有潜力，有进一步提高数学成绩的可能性；②对学习困难上的自我分析是对解题缺乏思路；③对合作学习持欢迎态度；④对开放式教学愿意尝试。因此我们认为在初中进行开放式教学的尝试是可能的。
5．前测结果及分析：
本问卷采用了SPSS10.0（Statistical Product and Service Solutions）统计分析软件做数据定量分析。根据调查问卷的结构体系，可值得分析的数据比较多。因此我们从繁多的数据中抽取了与这几个指标有关的数据做分析说明。
从表中可以发现，学生对自己对数学学科学习的评价值较高，对现有教学方式的评价值较低，这与访谈得出的学生认为自己学有潜力，对数学学科学习表现出兴趣的结果是一致的。对数学学习的自我评价上也呈现积极趋势，这与该班的学生实际情况也比较吻合。为了更有效的说明学生对数学现有教学方式的评价，我们对数据进行
了频率和百分比的分析。
我们发现， 41.5%学生认为现有教学方式太死板；36.6%认为这种教学方式一般，但同时也有22.0%的学生认为现有的教学方式比较好。说明从总体上看学生对现有的数学课堂教学方式并不持积极态度，与他们对自己的学科学习评价形成反差，说明学生并不满意现有的教学方式。
通过表三的数据分析我们发现，学生希望能够改变现有教学方式，对我们即将进行的数学开放式课堂教学实验是欢迎的。同时学生对合作学习的评价值较高。对于开放题引入教学等数据分析发现学生的态度比较积极，这和我们分析出学生希望改变现有教学方式，并对我们的教学实验持欢迎态度的结果是一致的。
通过调查问卷，要了解的重要信息之一是学生对数学开放式课堂教学的接受度。因此我们对其做了频率和百分比分析。
从中可以看出，有65.7%的学生愿意尝试数学开放式课堂教学，有12.2%的学生乐于接受开放式教学。因此，从调查数据的分析上我们认为学生对于数学开放式课堂教学的态度比较积极，进行课堂教学实验是有意义的。
6．后测调查结果及分析：
我们对数据进行了对比分析研究，选取了如下几个方面的数据做了分析。
从表五的数据分析看，我们可以发现学生对本节数学开放式课堂教学实验的教学内容和教学容量认可度的数值比较高，说明学生认为“基本掌握”实验的课堂所学。同时教学容量认得度合理，说明学生对本节实验课的教学容量“完全接受”或“基本接受”。从中反映出学生对实验的内容和容量基本认可。对开放题的评价数据分析结果看，学生对开放题所持看法是“联系实际，便于理解，符合学生的能力水平，比较感兴趣” 。
通过统计表六我们可以发现有60%的学生对第6题（开放题）感兴趣，（在问卷结果里有两名学生对这样的一组开放题的所有问题都表示有兴趣，他们的数据超出输入值范围，被视为遗失数据）。该题是我们设计的一道开放型问题。这种分析结果符合我们的实验假设。
从数据分析上看，学生通过实验对合作学习的认可度上有了一些变化，学生通过实际的教学体验，对合作学习有了更加直接的认识，从而对这种学习方式的认可度得以提升，更多的学生能够接受这种学习方式。同时从表七中我们还可以得知，学生对教师通过设计问题情景，进行问题解决的教学方式的测试数据也反映出学生对这种教学方式是比较认可的。从后测态度的数据也可以看出通过教学实验学生对数学开放式课堂教学态度是积极的。
为了更进一步观察学生在态度上的变化，我们对第11题的数据做了频率和百分比分析，学生通过这节课的学习，对数学开放式课堂是接受和认可的。有52.5%的学生认为“在老师的启发下，自己去观察、猜想、对比、论证，有利于发展学生的数学意识，培养能力”，表示愿意今后还能上这样的课。说明学生能以一种积极心态认可这节数学开放式课堂教学的实验课。
六．实验结论
我们收集了两组数据：一是学生对现有教学方式的评价，另一个是学生对开放式课堂教学的评价，利用t-检验对实验假设进行验证。检验结果如下：
从统计表九不难发现，学生对开放式课堂教学的评价值高于对现有教学方式的评价，且标准差为1.1277，大于实验前测中对现有教学方式评价的标准差，也说明通过实验，学生对开放式课堂教学的认识和评价比较一致。同时从统计表十看出t检验结果为t=4.251，df=40，P=0.000，统计结果按α=0.01水准，说明检验结果具有统计上的显著差异。说明在初中进行数学开放式课堂教学将有利于提高学生的学习兴趣。在初中数学课堂教学中遵循 “明确教学目标→提出问题→师生平等探讨→学生自主索探解疑→教师指导，学生总结→获取认知，促进发展”