三角形的基础概念
【考点链接】
三角形中的主要线段：
1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 4. 三角形的内角和为180，外角和为360， 5. 三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和
【典例精析】
例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC 的度数．
A
B
4
D C
例2 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ，
若S △ABC ＝24cm , 求△DEC 的面积.
2
B
例3 如图，在等腰三角形ACB 中，AC =BC =5，AB =8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），
DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求DE +DF 的长．
提示：面积法
D
等腰三角形与直角三角形
【考点链接】
一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
例1 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求
这个三角形的腰长及底边长．
例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千
米/时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60°的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒． （1）试求该车从A 点到B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速．
全等三角形
【考点链接】
1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等
.
5. 全等变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把∆ABC 沿直线BC 移动到∆A 'B 'C '和∆A ''B ''C ''位置就是平移变换．
②对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换．如图2，将∆A B C 翻折180到∆ABD 位置的变换就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将∆ABC 绕过A 点旋转180到∆ADE 的位置，就是旋转变换．
这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
图1 图2 图3
【典例精析】
例1 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：AB=CF.
例2 （06重庆）如图所示，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC，
且AE ∥BC ．求证：（1）△AEF ≌△BCD ；（2）EF ∥CD ．
相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）
AD AE AE
== B．AB AC BC DE AE DE
== C． D．BC AB BC
A ．AD
BD AD
AC
4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件： （1）
AB BC BC AC
==；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． A ' B ' B ' C ' B ' C ' A ' C '
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（ ） A ．1 B．2 C．3 D．4
【考点链接】
一、相似三角形的定义
相似多边形：各角相等、各边对应成比例的多边形叫做相似多边形。
相似三角形：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．
2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）
则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2．
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
四、位似三角形
1. 什么叫位似图形?
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2. 位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 对应点连线都交于位似中心，对应线段平行或在一条直线上 3. 利用位似可以把一个图形放大或缩小 4. 位似变换的步骤：
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
【典例精析】
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正
方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？
例2. 在平面直角坐标系中, △ABC 三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O 为位似中心, 相似比为2, 将△ABC 放大
.
【中考演练】
1. 如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．
2. 在Rt ∆ABC 中, ∠C 为直角, CD ⊥AB 于点D , BC =3, AB =5, 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.
C
（第1题） （第2题） （第3题） 3. 如图，在△ABC 中, 若DE ∥BC,
AD 1
＝,DE ＝4cm, 则BC 的长为 ( ) DB 2
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，
试证明△ABF ∽△EAD ．
锐角三角函数
【课前热身】
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA
＝ A
．3 C．
2
，则AC 的长是（ ） 3
4
D 5
2．Rt ∆ABC 中，∠C=90︒，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ）
A ．
123 B． C． D．1 222
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0点B （0，－4），则cos ∠OAB 等于_______．cos 30︒4．=____________．
1+sin 30︒
【考点链接】
1．sin α，cos α，tan α定义
sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值
b
c
【典例精析】
例1 计算
:4sin3060︒．
解直角三角形及其应用
1. 解直角三角形的应用仰角、俯角：
如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
图1
2. 坡度、坡角：
如图2，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比) ，用字母i 表示，即i =坡面与水平面的夹角叫坡角．
坡度与坡角(若用α表示) 的关系：i =tan α．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
h ． l
图2 图3
3. 方向角：
如图3，平面上，过观测点O 作一条水平线(向右为东向) 和一条铅垂线(向上为北向) ，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的
方向角为“北偏西45”(或“西偏北45” )．
【典例精析】
例1 (08十堰) 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【中考演练】
1．(07乌兰察布) 升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角
恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_______.
1.73，结果精确到0.1m ） 2．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器
A 的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，米，求塔高AB ．（保留根号） 测得塔顶CD=30
三角形的基础概念
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三角形中的主要线段：
1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 4. 三角形的内角和为180，外角和为360， 5. 三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和
【典例精析】
例1 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC 的度数．
A
B
4
D C
例2 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边BC 和边AC 的中点，连接DE 、AD ，
若S △ABC ＝24cm , 求△DEC 的面积.
2
B
例3 如图，在等腰三角形ACB 中，AC =BC =5，AB =8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），
DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求DE +DF 的长．
提示：面积法
D
等腰三角形与直角三角形
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一．等腰三角形的性质与判定： 1. 等腰三角形的两底角__________；
2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一； 3. 有两个角相等的三角形是_________．
二．等边三角形的性质与判定：
1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；
2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．
三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________． 3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；
4. 勾股定理：_________________________________________．
5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．
【典例精析】
例1 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求
这个三角形的腰长及底边长．
例2 （06包头）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千
米/时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60°的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒． （1）试求该车从A 点到B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速．
全等三角形
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1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.
2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.
3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.
4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等
.
5. 全等变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把∆ABC 沿直线BC 移动到∆A 'B 'C '和∆A ''B ''C ''位置就是平移变换．
②对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换．如图2，将∆A B C 翻折180到∆ABD 位置的变换就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将∆ABC 绕过A 点旋转180到∆ADE 的位置，就是旋转变换．
这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
图1 图2 图3
【典例精析】
例1 已知：在梯形ABCD 中，AB//CD，E 是BC 的中点，直线AE 与DC 的延长线交于点F. 求证：AB=CF.
例2 （06重庆）如图所示，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF，AE=BC，
且AE ∥BC ．求证：（1）△AEF ≌△BCD ；（2）EF ∥CD ．
相似三角形
【课前热身】
1．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．
2．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________． 3．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（ ）
AD AE AE
== B．AB AC BC DE AE DE
== C． D．BC AB BC
A ．AD
BD AD
AC
4．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件： （1）
AB BC BC AC
==；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′． A ' B ' B ' C ' B ' C ' A ' C '
如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′的共有多少组（ ） A ．1 B．2 C．3 D．4
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一、相似三角形的定义
相似多边形：各角相等、各边对应成比例的多边形叫做相似多边形。
相似三角形：三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
二、相似三角形的判定方法
1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．
2. 射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）
则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2．
3. 两个角对应相等的两个三角形__________．
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 5. 三边对应成比例的两个三角形___________． 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________，对应角________． 2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．
3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．
四、位似三角形
1. 什么叫位似图形?
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2. 位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 对应点连线都交于位似中心，对应线段平行或在一条直线上 3. 利用位似可以把一个图形放大或缩小 4. 位似变换的步骤：
①确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。
【典例精析】
例1 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，•要把它加工成正方形零件，使正
方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？
例2. 在平面直角坐标系中, △ABC 三个顶点的坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O 为位似中心, 相似比为2, 将△ABC 放大
.
【中考演练】
1. 如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．
2. 在Rt ∆ABC 中, ∠C 为直角, CD ⊥AB 于点D , BC =3, AB =5, 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ； 并写出它的面积比_____.
C
（第1题） （第2题） （第3题） 3. 如图，在△ABC 中, 若DE ∥BC,
AD 1
＝,DE ＝4cm, 则BC 的长为 ( ) DB 2
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4. 如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，
试证明△ABF ∽△EAD ．
锐角三角函数
【课前热身】
1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA
＝ A
．3 C．
2
，则AC 的长是（ ） 3
4
D 5
2．Rt ∆ABC 中，∠C=90︒，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值（ ）
A ．
123 B． C． D．1 222
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0点B （0，－4），则cos ∠OAB 等于_______．cos 30︒4．=____________．
1+sin 30︒
【考点链接】
1．sin α，cos α，tan α定义
sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值
b
c
【典例精析】
例1 计算
:4sin3060︒．
解直角三角形及其应用
1. 解直角三角形的应用仰角、俯角：
如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
图1
2. 坡度、坡角：
如图2，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比) ，用字母i 表示，即i =坡面与水平面的夹角叫坡角．
坡度与坡角(若用α表示) 的关系：i =tan α．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
h ． l
图2 图3
3. 方向角：
如图3，平面上，过观测点O 作一条水平线(向右为东向) 和一条铅垂线(向上为北向) ，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．
例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的
方向角为“北偏西45”(或“西偏北45” )．
【典例精析】
例1 (08十堰) 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【中考演练】
1．(07乌兰察布) 升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时， 该同学视线的仰角
恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为_______.
1.73，结果精确到0.1m ） 2．（06哈尔滨）如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 、D 两点，用测角仪器
A 的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，米，求塔高AB ．（保留根号） 测得塔顶CD=30